Prof. Cláudio Serra
UNIDADE 1
1
Operações em R
2
2
Múltiplos e divisores grandezas direta e inversamente proporcionais
6
3
Porcentagem
11
4
Complemento
12
5
Médias e análise gráfica
14
6
Matrizes e determinantes
17
7
Equacionamento
22
8
Sistemas lineares - Parte 1
24
9
Sistemas lineares - Parte 2
27
Espaços R2 e R3
29
10
CAPÍTULO
01
Operações em
• 1) DÍZIMAS PERIÓDICAS •
forma n/d, onde: n é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não
periódica.
d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros
quantos forem os algarismos da parte não periódica.
Há frações que não possuem representações decimal exata.
Exemplos:
Exemplos:
Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um
ou mais algarismos, dá-se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas
periódicas.
Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem
infinitamente, constituem o período dessa dízima.
As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas
periódicas compostas.
Exemplos:
• 2) NÚMEROS IRRACIONAIS •
Um número real é dito um número irracional se ele não pode ser escrito
na forma de uma fração ou nem mesmo pode ser escrito na forma de uma dízima
periódica.
Exemplo: O número real abaixo é um número irracional, embora pareça uma
dízima periódica:
- Período: 5
- Período: 3
x=0,10100100010000100000...
- Período: 12
Observe que o número de zeros após o algarismo 1 aumenta a cada
passo. Existem infinitos números reais que não são dízimas periódicas e dois
números irracionais muito importantes, são:
e = 2,718281828459045...,
π = 3,141592653589793238462643...
São dízimas periódicas simples, uma vez que o período apresenta-se logo após
a vírgula.
- Período: 2 | Parte não periódica: 0
- Período: 4 | Parte não periódica: 15
São utilizados nas mais diversas aplicações práticas como: cálculos de
áreas, volumes, centros de gravidade, previsão populacional, etc.
- Período: 23 | Parte não periódica: 1
Racionalização de denominadores
São dízimas periódicas compostas, uma vez que entre o período e a
vírgula existe uma parte não periódica.
Considere a fração: que seu denominador é um número irracional.
Vamos agora multiplicar o numerador e o denominador desta fração por √3,
obtendo uma fração equivalente:
Nota: Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo
situado entre vírgulas e o período. Excluímos portanto da parte não periódica o
inteiro.
Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras:
1.1 Geratriz de uma dízima periódica
Observe que a fração equivalente possui um denominador racional. A
essa transformação, damos o nome de racionalização de denomindores.
A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de
um fração com denominador racional, equivalente a uma anterior, que possuía um
ou mais radicais em seu denominador.
Para racionalizar o denominador de uma fração devemos multiplicar os termos
desta fração por uma expressão com radical, denominado fator racionalizante, de
modo a obter uma nova fração equivalente com denominador sem radical.
É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a
uma dízima periódica. Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica.
Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima:
1.1.1 Dízima simples: A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem
para numerador o período e para denominador tantos noves quantos forem os
algarismos do período.
Exemplos:
1.1.2 Dízima Composta: A geratriz de uma dízima composta é uma fração da
2
Principais casos de racionalização:
• O denominador é um radical de índice 2:
• Divisibilidade por 6
Um número é divisível por 6 se é par e a soma de seus algarismos é divisível por 3.
Exemplos:
é o fator racionalizante de
, pois
.
=
Exemplos: 756 é divisível por 6, pois 756 é par e a soma de seus algarismos:
7+5+6=18 é divisível por 3, 527 não é divisível por 6,
pois não é par e 872 é par mas não é divisível por 6 pois a soma de seus algarismos:
8+7+2=17 não é divisível por 3.
² = |a|
• O denominador é um radical de índice diferente de 2.
Exemplos:
• Divisibilidade por 7
Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número
sem o último algarismo, resultar um número divisível por 7. Se o número obtido
ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7.
Exemplo: 165928 é divisível por 7 pois:
é o fator racionalizante de
+
é o fator racionalizante de
+ b é o fator racionalizante de
+
–b
Repete-se o processo com este último número.
• 3) PRODUTOS NOTÁVEIS •
Repete-se o processo com este último número.
• (a+b).(a+b) = a²+ab+ab+b² = a²+2ab+b²
• (a-b).(a-b) = a²-ab-ab+b² = a²-2ab+b²
• (a+b+c).(a+b+c)=a²+ab+ac+ab+b²+bc+ac+bc+c²
• ( a + b ) ³ = a³ + 3 a ²b + 3ab² + b³
• (a – b )³ = a³ - 3 a²b + 3ab² - b³
• (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac
• (a – b – c)² = a² + b² + c² - 2ab + 2bc – 2ac
Repete-se o processo com este último número.
A diferença é divisível por 7, logo o número dado inicialmente também é divisível
por 7.
• 4) ALGUNS CRITÉRIOS
DE DIVISIBILIDADE •
Exemplo: 4261 não é divisível por 7, pois:
• Divisibilidade por 2
Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.
Repete-se o processo com este último número.
Exemplos: O número 5634 é divisível por 2, pois o seu último algarismo é 4, mas
135 não é divisível por 2, pois é um número terminado com o algarismo 5 que não
é par.
• Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3.
A última diferença é 34 que não é divisível por 7, logo o número 4261 dado
inicialmente não é divisível por 7.
Exemplos: 18 é divisível por 3 pois 1+8=9 que é divisível por 3, 576 é divisível por
3 pois: 5+7+6=18 que é divisível por 3, mas 134 não é divisível por 3, pois 1+3+4=8
que não é divisível por 3.
• Divisibilidade por 8
Um número é divisível por 8 se termina em 000 ou se o número formado pelos seus
três últimos algarismos é divisível por 8.
• Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 se termina em 00 ou se o número formado pelos seus
dois últimos algarismos é divisível por 4.
Exemplos: 45128 é divisível por 8 pois 128 dividido por 8 fornece 16, mas 45321
não é divisível por 8 pois 321 não é divisível por 8.
Exemplos: 4312 é divisível por 4, pois 12 é divisível por 4, mas 1635 não é divisível
por 4 pois 35 não é divisível por 4.
• Divisibilidade por 9
Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é um número divisível
por 9.
• Divisibilidade por 5
Um número é divisível por 5 se o seu último algarismo é 0 (zero) ou 5.
Exemplos: 1935 é divisível por 9 pois: 1+9+3+5=18 que é divisível por 9, mas 5381
não é divisível por 9 pois: 5+3+8+1=17 que não é divisível por 9.
Exemplos: 75 é divisível por 5 pois termina com o algarismo 5, mas 107 não é
divisível por 5 pois o seu último algarismo não é 0 (zero) nem 5.
3
Sabendo-se que a tela retangular de um computador, em determinada resolução,
possui um total de 480 000 pixels e que uma das suas dimensões mede x pixels e
a outra (x + 200) pixels, podemos afirmar corretamente que as dimensões dessa
tela são, em pixels,
a) 480 e 680. b) 600 e 800. c) 824 e 1 024.
d) 1 056 e 1 256. e) 1 166 e 1 366. • Divisibilidade por 10
Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero).
Exemplos: 5420 é divisível por 10 pois termina em 0 (zero), mas 6342 não termina
em 0 (zero).
• EXERCÍCIOS •
1. (UERJ) Para saber o dia da semana em que uma pessoa nasceu, podem-se
utilizar os procedimentos a seguir.
4. (ENEM) O dono de uma empresa produtora de água mineral explora uma fonte
de onde extrai 20 000 litros diários, os quais são armazenados em um reservatório
com volume interno de 30 m3, para serem colocados, ao final do dia, em garrafas
plásticas. Para aumentar a produção, o empresário decide explorar também uma
fonte vizinha, de onde passa a extrair outros 25 000 litros. O reservatório que se
encontra em uso possui uma capacidade ociosa que deve ser aproveitada.
Avaliando a capacidade do reservatório existente e o novo volume de água
extraído, qual o volume interno mínimo de um novo reservatório que o empresário
deve adquirir?
a) 15,0 m3
b) 25,0 m3
c) 37,5 m3
d) 45,0 m3
e) 57,5 m3
1. Identifique, na data de nascimento, o dia D e o mês M, cada um com dois
algarismos, e o ano A, com quatro algarismos.
2. Determine o número N de dias decorridos de 1º de janeiro até D/M.
3. Calcule Y, que representa o maior valor inteiro que não supera
4. Calcule a soma S = A + N + Y.
5. Obtenha X, que corresponde ao resto da divisão de S por 7.
6. Conhecendo X, consulte a tabela:
5. (ENEM) Todos os anos, a Receita Federal alerta os contribuintes para não
deixarem o envio de seus dados para o último dia do prazo de entrega, pois, após
esse prazo, terá que pagar uma multa. Em certo ano, a quatro dias do prazo final,
contabilizou-se o recebimento de 16,2 milhões de declarações, o equivalente a
cerca de 60% do total estimado pela Receita Federal. Nesse mesmo momento, foi
observado que a média de entrada era de aproximadamente 90 000 declarações
por hora.
Disponível em: www.folha.uol.com.br. Acesso em: 30 maio 2010 (adaptado).
O dia da semana referente a um nascimento ocorrido em 16/05/1963 é:
a) domingo
b) segunda-feira
c) quarta-feira
d) quinta-feira
2. (UFG) Uma pessoa fez uma compra em um supermercado no valor de R$
77,00. Ao efetuar o pagamento com uma nota de R$ 100,00, o operador de caixa
informou-lhe que dispunha apenas de notas de R$ 10,00 para o troco. O cliente
verificou que ainda tinha em sua carteira R$ 73,00, sendo três notas de R$ 10,00,
oito notas de R$ 5,00 e três moedas de R$ 1,00.
O menor valor que o cliente deve repassar ao operador de caixa, para facilitar o
troco, considerando-se o dinheiro que tinha em sua carteira, é:
a) R$ 103,00
b) R$ 107,00
c) R$ 113,00
d) R$ 117,00
e) R$ 123,00
Considerando o total estimado para entrega e permanecendo nesses últimos dias
a mesma média por hora de recebimentos das declarações, qual a quantidade
aproximada de pessoas que terão que pagar multa por atraso, sabendo que a
Receita Federal recebe declarações 24 horas por dia?
a) 2,16 milhões b) 4,05 milhões
c) 6,21 milhões d) 7,65 milhões e) 8,64 milhões 6. (UERJ) Em uma atividade escolar, qualquer número X, inteiro e positivo, é
submetido aos procedimentos matemáticos descritos abaixo, quantas vezes forem
necessárias, até que se obtenha como resultado final o número 1.
3. (UFMT ) Leia o texto sobre a resolução da tela de um computador.
O termo resolução refere-se ao número de pixels. Os pixels são minúsculos
quadradinhos com uma cor específica atribuída a cada um deles e, quando
exibidos em conjunto, formam a imagem.
(http://www.trt4.jus.br/content-portlet/download/72/resolucao.pdf Acesso em:
03.11.2013. Adaptado)
Se X é múltiplo de 3, deve-se dividi-lo por 3.
Se X não é divisível por 3, deve-se calcular X - 1.
A partir de X = 11, por exemplo, os procedimentos são aplicados quatro vezes. Veja
a sequência dos resultados obtidos:
Iniciando-se com X = 43, o número de vezes que os procedimentos são utilizados
é igual a:
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
4
7. (PUCRJ) O valor de
a) 3
b) 6 c) 9
d) –6 e) –9
é:
8. (UFES) O valor numérico da expressão
intervalo
a) [30,40[
b) [40,50[
c) [50,60[ d) [60,70[ 9. (UFRGS) O quadrado do número
a) 4.
b) 5.
c) 6. d) 7.
e) 8.
10. (PUC) O valor de
a) 0,222...
b) 0,2
c) 0,333...
d) 0,555
e) 0,666...
está compreendido no
é
é:
5
CAPÍTULO
02
Múltiplos e divisores
Grandezas direta e inversamente
proporcionais
• 1) MULTIPLOS E DIVISORES •
Determinação dos divisores de um número
Forma explícita utilizada para escrever o conjunto de todos os
múltiplos de um número natural n.
Na prática determinamos todos os divisores de um número utilizando
os seus fatores primos. Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90:
1º) decompomos o número em fatores primos;
2º) traçamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque ele é divisor de qualquer
número;
O conjunto dos números naturais é N={0,1,2,3,4,5,...}. Se n é um
número para o qual queremos obter os múltiplos, então a multiplicação de n por
cada elemento de N será: M(n)={0,n,2n,3n,4n,...}.
Para obter os divisores de um número natural "a", basta saber quais os
elementos que, multiplicados entre si, têm por resultado o número "a".
O elemento do conjunto dos números naturais que é divisor de todos
os números é o número 1.
Em termos matemáticos, se um número natural tem apenas 2 divisores
distintos, então ele será chamado número primo.
Colocando os números primos por ordem crescente temos que os
primeiros elementos são:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83,
89, 97...
3º) multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e
escrevemos esses produtos ao lado de cada fator primo;
• 2) DECOMPOSIÇÃO EM FATORES
PRIMOS •
Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto
de dois ou mais fatores.
Decomposição do número 24 num produto:
24 = 4 x 6
24 = 2 x 2 x 6
24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3
No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos.
Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 num produto de
fatores primos. Então a fatoração de 24 é 23 x 3.
De um modo geral, chamamos de fatoração de um número natural,
maior que 1, a sua decomposição num produto de fatores primos.
4º) os divisores já obtidos não precisam ser repetidos.
Portanto os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.
Nota: Se um número natural N pode ser decomposto em fatores primos na forma
N = ab.cd.ef , então o número de divisores positivos de N é dado por (b+1)(d+1)(f+1)
Abaixo estão listados alguns números primos; encontram-se destacados os
chamados “primos gêmeos” , que têm diferença igual a 2 :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89,
97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179,
181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271,
277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379,
383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479,
487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 2.1 Regra prática para a fatoração
Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no
exemplo, os passos para montar esse dispositivo:
1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo;
2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente
e assim sucessivamente até obter o quociente 1.
A figura abaixo mostra a fatoração do número 630.
Nota:
• Número composto é aquele que tem mais de 2 divisores
• Número perfeito é todo aquele igual à soma dos seus divisores, exceto o próprio.
Exemplo:
28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1.
Os quatro primeiros perfeitos: 6, 28, 496, 8128, 33550336
São bastante raros. O décimo perfeito tem mais de 50 dígitos! Todos terminam
em 6 ou 8.
Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7.
630 = 2 x 32 x 5 x 7.
6
• MMC E MDC
MÈTODO ALTERNATIVO •
Para se obter o mmc ou o mdc de números inteiros, procede-se,
inicialmente, a sua decomposição em fatores primos.
O mmc ( mínimo múltiplo comum) é obtido pelo produto dos FATORES
COMUNS E NÃO COMUNS, elevados aos MAIORES EXPOENTES.
O mdc (máximo divisor comum) é obtido pelo produto dos FATORES
COMUNS elevados aos MENORES EXPOENTES.
A solução é A=50/69, B=250/69 e C=40/69.
• 8) REGRA DE TRÊS
COMPOSTA •
Regra de três composta é um processo de relacionamento de
grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou uma mistura
dessas situações.
O método funcional para resolver um problema dessa ordem é montar uma tabela
com duas linhas, sendo que a primeira linha indica as grandezas relativas à
primeira situação enquanto que a segunda linha indica os valores conhecidos da
segunda situação.
Se A1, B1, C1, D1, E1, ... são os valores associados às grandezas
para uma primeira situação e A2, B2, C2, D2, E2, ... são os valores associados às
grandezas para uma segunda situação, montamos a tabela abaixo lembrando que
estamos interessados em obter o valor numérico para uma das grandezas, digamos
Z2 se conhecemos o correspondente valor numérico Z1 e todas as medidas das
outras grandezas.
Exemplo :
A = 23.34.5.72
B = 25.52
C = 2.32
mmc (A,B,C) = 25.34.52.72
mdc (A,B,C) = 2
• 6) PRIMOS ENTRE SI •
Dois números naturais são primos entre si quando o MDC entre eles é
igual a 1. Por exemplo, 16 não é um número primo, 21 também não é um número
primo mas 16 e 21 são primos entre si pois MDC(16,21)=1.
• 7) DIVISÃO EM N PARTES DIRETA E
INVERSAMENTE PROPORCIONAIS •
Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza
Z, resolvemos a proporção:
Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente
proporcionais a p1, p2, ..., pn e inversamente proporcionais a q1, q2, ..., qn, basta
decompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1/
q1, p2/q2, ..., pn/qn.
A montagem do sistema com n equações e n incógnitas exige que
X1+X2+...+Xn=M e além disso
Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza
Z, exceto a segunda grandeza (com a letra B, por exemplo) que é inversamente
proporcional à grandeza Z, resolvemos a proporção com B1 trocada de posição
com B2:
A solução segue das propriedades das proporções:
As grandezas que forem diretamente proporcionais à grandeza Z
são indicadas na mesma ordem (direta) que aparecem na tabela enquanto que
as grandezas que forem inversamente proporcionais à grandeza Z aparecerão na
ordem inversa daquela que apareceram na tabela.
Por exemplo, se temos cinco grandezas envolvidas: A, B, C, D e Z,
sendo a primeira A e a terceira C diretamente proporcionais à grandeza Z e as
outras duas B e D inversamente proporcionais à grandeza Z, deveremos resolver a
proporção:
Exemplo:
Para decompor o número 115 em três partes A, B e C diretamente
proporcionais a 1, 2 e 3 e inversamente proporcionais a 4, 5 e 6, deve-se montar
um sistema com 3 equações e 3 incógnitas de forma de A+B+C=115 e tal que:
• EXERCÍCIOS •
1. (UFGO) Um viveiro tem quatro canários.
O amarelo canta a cada hora, o branco a cada 2 horas, o laranja a cada 3 horas e
o cinza canta a cada 5 horas.
Todos os canários cantaram, simultaneamente, a zero hora do dia 10 de outubro
de 2005.Com base nos dados descritos, podemos concluir que os quatro pássaros
cantarão juntos, pela primeira vez:
a) no dia 10/10/05 – 20 horas
b) no dia 10/10/05 – 22 horas
c) no dia 11/10/05 – 6 horas
logo
A=(1/4)100=25, B=(2/5)100=40 e C=(3/6)100=50.
Exemplo:
Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 1, 10 e 2 e inversamente
proporcionais a 2, 4 e 5, de modo que 2A+3B-4C=10.
A montagem do problema fica na forma:
7
d) no dia 11/10/05 – 18 horas
e) no dia 11/10/05 – 22 horas
b) 22
c) 23
d) 24
e) 25
2. (FCC) Uma empresa deseja iniciar a coleta seletiva de resíduos em todas as
suas unidades e, para tanto, encomendou a uma gráfica a impressão de 140 000
folhetos explicativos.
A metade desses folhetos foi impressa em 3 dias por duas máquinas de mesmo
rendimento, funcionando 3 horas por dia. Devido a uma avaria em uma delas, a
outra deve imprimir os folhetos que faltam em 2 dias. Para tanto, deve funcionar
diariamente por um período de:
a) 9 horas e meia.
b) 9 horas.
c) 8 horas e meia.
d) 8 horas.
e) 7 horas e meia.
6. (FCC) Em uma repartição pública, o número de funcionários do setor
administrativo é o triplo do número de funcionários do setor de informática.
Na mesma repartição, para cada quatro funcionários do setor de informática,
existem cinco funcionários na contabilidade. Denotando por A. I e C o total de
funcionários dos setores administrativo, de informática e contábil, respectivamente,
é correto afirmar que
a) 3C = 2A
b) 4C = 15A
c) 5C = 15 A
d) 12C = 5A
e) 15C = 4A
3. (CESGRANRIO) Certo mês, o dono de uma empresa concedeu a dois de seus
funcionários uma gratificação no valor de R$500,00. Essa quantia foi dividida entre
eles, em partes que eram diretamente proporcionais aos respectivos números
de horas de plantões que cumpriran no mês e, ao mesmo tempo, inversamente
proporcionais às suas respectivas idades. Se um dos funcionários tinha 36 anos e
cumpriu 24 horas de plantões e, o outro, de 45 anos, cumpriu 18 horas, coube ao
mais jovem receber?
a) R$302,50
b) R$310,00
c) R$ 312,50
d) R$ 325,00
e) R$ 342,50
7. (UFES) No almoxarifado de uma Unidade do HCVV há disponíveis:
- 11 caixas de lápis, cada qual com 12 unidades;
- 9 caixas de borrachas, cada qual com 8 unidades;
- 8 caixas de réguas, cada qual com 15 unidades.
Sabe-se que:
- todos os objetos contidos nas caixas acima relacionadas deverão ser divididos em
pacotes e encaminhados a diferentes setores dessa Unidade;
- todos os pacotes deverão conter a mesma quantidade de objetos;
- cada pacote deverá conter um único tipo de objeto.
Nessas condições, a menor quantidade de pacotes a serem distribuídos é um
número compreendido entre:
a) 10 e 20
b) 20 e 30
c) 30 e 40
d) 40 e 50
e) 50 e 60
8. (NCE) A pintura de uma loja será executada por 13 pintores ( de mesma
capacidade de trabalho ) trabalhando durante 11 dias com jornada de trabalho de
6 horas por dia.
Decorridos 8 dias do início da obra 3 pintores se afastam e a obra deverá ser
concluída pelos pintores restantes no prazo estabelecido anteriormente.
Qual deverá ser a jornada diária de trabalho dos operários restantes nos dias que
faltam para a conclusão da obra no prazo previsto ?
a) 7 horas e 42 minutos
b) 7 horas e 44 minutos
c) 7 horas e 46 minutos
d) 7 horas e 48 minutos
e) 7 horas e 50 minutos
4. (UNB) Fortes chuvas provocaram uma enchente que isolou completamente
uma pequena comunidade. A falta de água potável e o risco de contaminação
fizeram com que as autoridades providenciassem o resgate das pessoas dessa
comunidade.
Helicópteros foram acionados. Em 5 horas, 3 helicópteros transportaram 3/5 das
pessoas da comunidade.
Considerando que cada helicóptero transporta o mesmo número de pessoas e
gasta o mesmo tempo para fazer esse transporte, julgue os itens subseqüentes.
Considere o texto acima e as seguintes afirmações :
I - Se a frota for acrescida de mais um helicóptero do mesmo tipo, então serão
necessárias mais 2 h e 50 min para completar o resgate.
II - Para completar o resgate em mais 2 horas de trabalho, utilizando helicópteros do
mesmo tipo, a frota deveria ser acrescida de mais 2 desses helicópteros.
Os respectivos valores lógicos das afirmações I e II são :
a) VV
b) VF
c) FV
d) FF
e) Os dados são inconsistentes
9. (ENEM) Uma indústria tem um reservatório de água com capacidade para 900
m3. Quando há necessidade de limpeza do reservatório, toda a água precisa ser
escoada. O escoamento da água é feito por seis ralos, e dura 6 horas quando
o reservatório está cheio. Esta indústria construirá um novo reservatório, com
capacidade de 500 m3, cujo escoamento da água deverá ser realizado em 4
horas, quando o reservatório estiver cheio. Os ralos utilizados no novo reservatório
deverão ser idênticos aos do já existente.
A quantidade de ralos do novo reservatório deverá ser igual a
a) 2.
b) 4.
c) 5.
d) 8.
e) 9.
5. (UNIRIO) Quantos divisores de 360 não são primos ?
a) 21
8
10. (ENEM) A resistência mecânica S do uma viga de madeira, em forma de
um paralelepípedo retângulo, é diretamente proporcional à sua largura (b) e ao
quadrado de sua altura (d) e inversamente proporcional ao quadrado da distância
entre os suportes da viga, que coincide com o seu comprimento (x), conforme ilustra
a figura. A constante de proporcionalidade k e chamada de resistência da viga.
A
expressão
resistência
S
madeira é
que traduz a
dessa viga de
9
CAPÍTULO
03
Porcentagem
De uma forma geral, o termo porcentagem indica uma fração cujo
denominador é 100.
Assim, quando escrevemos 35%, estamos indicando a fração 35/100.
Calcular, então, 40% de 200 é o mesmo que efetuarmos a operação
novo capital (montante), obtido da aplicação da taxa até o período imediatamente
anterior.
Podem ser associados, por vezes, à progressões geométricas, com implicações
exponenciais e logarítmicas.
Exemplos:
27% de 120 =
Nota: Se um empréstimo de R$ 100,00 for tomado a uma taxa de 10% com
capitalização mensal, indica que, ao final do primeiro mês, a dívida será de 100 x
1,1, se não houver pagamentos.
Esta dívida, sem qualquer amortização, daqui há 3 meses será igual a 100 x 1,1 x
1,1 x 1,1 = 100 x (1,1)3
Suponha uma pensão alimentícia de R$500,00; assim, 18,5% da pensão
alimentícia equivale a
• EXERCÍCIOS •
1. (UNICAMP) A figura abaixo exibe, em porcentagem, a previsão da oferta de
energia no Brasil em 2030, segundo o Plano Nacional de Energia.
Suponha um salário mínimo regional de R$ 280,00; 120% do SMR,
desta forma, equivaleria a
Se um agricultor colhe 42 t de soja, 51,3% da sua produção é
Se precisarmos AUMENTAR um certo valor P em 20% do seu valor, devemos
executar as seguintes operações:
Segundo o plano, em 2030, a oferta total de energia do país irá atingir 557 milhões
de tep (toneladas equivalentes de petróleo). Nesse caso, podemos prever que a
parcela oriunda de fontes renováveis, indicada em cinza na figura, equivalerá a
a) 178,240 milhões de tep.
b) 297,995 milhões de tep.
c) 353,138 milhões de tep.
d) 259,562 milhões de tep. Simplificando, se precisarmos aumentar P em 30% do seu valor, basta multiplicar
P por 1,3;
Aumentar em 47% multiplicar por 1,47
Aumentar em 157% multiplicar por 2,57
Aumentar em 61,8% multiplicar por 1,618
Se precisarmos REDUZIR um certo valor P de 20% do seu valor,
devemos executar as seguintes operações:
Simplificando, se precisarmos reduzir P de 30% do seu valor, basta multiplicar P
por 0,7;
Reduzir de 47% multiplicar por 0,53
Reduzir de 98% multiplicar por 0,02
2. (UERJ) Considere uma mercadoria que teve seu preço elevado de reais
para reais. Para saber o percentual de aumento, um cliente dividiu por obtendo
quociente igual a 2,08 e resto igual a zero.
Em relação ao valor de o aumento percentual é equivalente a:
a) 10,8% b) 20,8% c) 108,0
d) 208,0% Devem ser observadas, com cuidado, as expressões “reduzir de” e
“reduzir para”; a última indica o cálculo simples do percentual.
Ou seja, reduzir 100 para 30% do seu valor, limita-se, para se obter o
novo valor, a calcular 30% de 100.
Juros simples indicam uma taxa, aplicada sobre o capital inicial, que
geram um valor único, somado àquele capital, durante o período determinado.
Podem ser associados, por vezes, à progressões aritméticas.
Juros compostos indicam uma taxa aplicada, a cada período, sobre o
3. (FUVEST) Um apostador ganhou um prêmio de na loteria e decidiu investir
parte do valor em caderneta de poupança, que rende 6% ao ano, e o restante em
um fundo de investimentos, que rende 7,5% ao ano. Apesar do rendimento mais
baixo, a caderneta de poupança oferece algumas vantagens e ele precisa decidir
como irá dividir o seu dinheiro entre as duas aplicações. Para garantir, após um
ano, um rendimento total de pelo menos a parte da quantia a ser aplicada na
poupança deve ser de, no máximo,
a) R$ 2000.000,00
10
7. (UERJ)
b) R$ 175.000,00
c) R$ 150.000,00
d) R$ 125.000,00
e) R$ 100.000,00
4. (UDESC) Em março de 2013 o Governo Federal anunciou a retirada dos
impostos federais que incidiam sobre todos os produtos da cesta básica. Alguns
itens, como leite, feijão, arroz e farinha, já não tinham nenhum desses impostos,
mas no sabonete, por exemplo, havia incidência de 12,5% de PIS-Cofins e de 5%
de IPI.
O personagem da tira diz que, quando ameaçado, o comprimento de seu peixe
aumenta 50 vezes, ou seja, 5000%.
Admita que, após uma ameaça, o comprimento desse peixe atinge 1,53 metros.
O comprimento original do peixe, em centímetros, corresponde a:
a) 2,50
b) 2,75
c) 3,00
d) 3,25
8. (FESO) Uma pessoa viajará para o exterior e levará dois mil dólares para suas
despesas.
No dia em que comprou essa quantia no banco, a cotação do dólar era de R$ 2,10.
Além de pagar pela compra de dólares, também pagou o Imposto sobre Operações
Financeiras (IOF), que corresponde a 0,38% do valor pago pela compra.
Assim sendo, para efetuar o total da compra, essa pessoa gastou
a) R$ 3.043,48.
b) R$ 3.546,54. c) R$ 4.035,42.
d) R$ 4.215,96. e) R$ 4.796,00. Após o anúncio, o supermercado X remarcou os preços dos seguintes produtos
da cesta básica: carnes, café, óleo, açúcar e creme dental. Os novos preços não
continham mais os impostos federais de acordo com a Tabela. Suponha que,
antes da remarcação, cinco quilos de açúcar custavam R$ 11,43, três litros de óleo
custavam R$ 12,02 e um creme dental custava R$ 8,10. Logo após a alteração de
preços, se você comprasse cinco quilos de açúcar, três litros de óleo e um creme
dental no supermercado X, você pagaria:
a) R$ 29,02
b) R$ 27,78
c) R$ 28,69 d) R$ 28,20
e) R$ 27,43
9. (UFSM) Uma empresa de cartão de crédito opera com juros compostos de 6%
ao mês. Um usuário dessa empresa contraiu uma dívida de R$ 2.000,00 e, durante
6 meses, não pôde efetuar o pagamento. Ao procurar a empresa para renegociar
a dívida, a empresa propôs que seja quitada em uma única parcela, com juros
simples de 5% ao mês, referente aos 6 meses de atraso.
Aceita a proposta, o total de juros pagos e o desconto obtido, em reais, são,
respectivamente, iguais a
Dado: (1,06)6 = 1,4185
a) 600,00 e 117,00. b) 600,00 e 120,00. c) 600,00 e 237,00 d) 720,00 e 117,00.
e) 720,00 e 120,00.
5. (UFRGS) Na compra de três unidades idênticas de uma mesma mercadoria,
o vendedor oferece um desconto de 10% no preço da segunda unidade e um
desconto de 20% no preço da terceira unidade. A primeira unidade não tem
desconto. Comprando três unidades dessa mercadoria, o desconto total é
a) 8%. b) 10%. c) 22%. d) 30%. e) 32%. 6. (UNEB) Gasolina vendida nos postos terá mais etanol a partir de hoje
A partir de hoje (01/05/2013), a gasolina vendida nos postos do país volta a ser
comercializada com 25% de etanol anidro, e não mais 20%, como estava em vigor
desde 2011. A medida foi adotada como um incentivo aos produtores de cana-deaçúcar e antecipada pelo governo para ajudar a reduzir o impacto do aumento do
preço da gasolina, registrado em janeiro deste ano.
(GASOLINA... 2013).
10. (UERJ) Uma concessionária anunciou um veículo no valor de R$30.000,00
à vista. Após negociação, um cliente adquiriu o veículo pagando R$20.000,00 de
entrada e R$11.200,00 após 30 dias. A taxa mensal de juros cobrada nessa venda
foi de
a) 4%. b) 6,6%. c) 11,2%. d) 12%.
Considere-se que o tanque de um carro com motor flex, com capacidade para
55 litros, estava com 10 litros de etanol quando foi abastecido, ao máximo, com
gasolina no dia 30 de abril de 2013.
Se o mesmo procedimento tivesse sido feito no dia 01 de maio de 2013, ao final do
abastecimento haveria, nesse dia, no tanque desse carro, o total de litros de etanol
a mais em relação ao dia 30 de abril de 2013, igual a
a) 2,05
b) 2,15
c) 2,25
d) 2,35
e) 2,45
11. (ESPM) Apenas dois candidatos se apresentaram para a eleição ao cargo de
prefeito de uma pequena cidade do interior. O candidato A recebeu 60% dos votos,
sendo 70% de mulheres. O candidato B recebeu 35% dos vo¬tos, sendo 60% de
homens. Sabendo-se que 620 pessoas votaram em branco ou anularam o voto,
podemos avaliar que o número de mulheres que votaram em A ou em B foi:
a) 7 816 b) 6 338 c) 8 116 d) 7 228
e) 6 944 11
CAPÍTULO
04
Complemento
• RACIOCÍNIO CRÍTICO •
• EXERCÍCIOS •
“Uma das características mais profundas do séc XXI é o acesso
que as pessoas comuns têm a quantidades infinitas de informações. No
passado, contávamos com as editoras e bibliotecas para filtrar informações,
mas com a internet, embora se trate de um recurso conveniente e repleto de
dados, precisamos de um olhar mais crítico.
O raciocínio crítico envolve a análise e o estudo das informações
e é composto por seis traços: interpretação, análise, capacidade de dedução,
avaliação, compromisso, e generalização. O raciocínio crítico é uma
capacidade importante...”
1. (UFRJ - Adaptada) Trinta e dois pequenos cães pesam tanto quanto o número
de pequenos cães que pesam 2 kg. Todos os pequenos cães têm o mesmo peso.
Cada pequeno cão pesa:
a) meio quilograma
b) duzentos e cinqüenta gramas
c) duzentos gramas
d) cem gramas
e) oitenta gramas
2. (UFGO) Dois relógios são acertados às 12 horas. Um relógio adianta exatamente
60 segundos por dia e outro atrasa exatamente 90 segundos por dia. Após 30 dias,
a diferença entre os horários marcados pelos dois relógios será de
a) 1h10min.
b) 1h15min.
c) 1h20min.
d) 1h25min.
e) 1h30min.
Essa unidade é, também, dedicada à análise de textos e interpretações
de dados nos enunciados das questões de matemática.
Em se tratando de um tema muito atual e incidente nos mais diversos
vestibulares e concursos contemporâneos, mostra uma inovação com a qual
precisamos nos habituar: não há, especificamente, uma teoria sobre o assunto.
Serão apresentadas diversas questões que exigirão apenas a
decodificação dos textos, a seleção das informações relevantes, o eventual
equacionamento dos dados e a formulação de um padrão de resposta.
Nunca esqueça: de nada adianta tentar procurar a resposta de uma
questão sobre a qual não se compreendeu a pergunta.
Na matemática atual, não há treinamento. Hoje, falamos em
capacitação.
Modelos muito conservadores, como decorar fórmulas, memorizar
músicas e poemas para “aprender” um assunto ou mesmo esperar que questões
muito “parecidas” voltem a surgir, deram lugar a um panorama muito mais analítico
e intelectual.
Exige-se avaliação do texto, leitura de gráficos e tabelas. Orientação
espacial/temporal/geométrica e a famosa lógica crítica.
Somos levados a crer que a matemática muito (e apenas) técnica
engessava o raciocínio.
Os grandes centros de ensino do país vem optando, acertadamente, pela
substituição das questões nascidas em padrões meramente numéricos por uma
nova versão, onde os aspectos conceituais surgem ao lado da análise de uma
situação proposta, da formulação de uma estratégia e da tomada de uma decisão.
Os aspectos teóricos da matemática sempre serão fundamentais para
a formação do cidadão, até mesmo pela sua ampla utilização nas demais ciências
estudadas em todas as fases do ensino (química, biologia, física, geografia, dentre
outras).
No entanto, para aplicar certa teoria, é básico tê-la compreendido,
assimilado e aprendido onde e para quê usa-la.
Esse é o grande salto da matemática moderna, ainda que numa fase
inicial.
Investir nessa nova fase é adiantar o futuro.
3. (UNIFESP) Certo dia um professor de matemática desafiou seus alunos a
descobrirem as idades x, y, z, em anos, de seus três filhos, dizendo ser o produto
delas igual a 40.
De pronto, os alunos protestaram: a informação "x . y . z = 40" era insuficiente
para uma resposta correta, em vista de terem encontrado 6 ternas de fatores do
número 40 cujo produto é 40. O professor concordou e disse, apontando para um
dos alunos, que a soma x + y + z das idades (em anos) era igual ao número que se
podia ver estampado na camisa que ele estava usando. Minutos depois os alunos
disseram continuar impossível responder com segurança, mesmo sabendo que
a soma era um número conhecido, o que levou o professor a perceber que eles
raciocinavam corretamente (chegando a um impasse, provocado por duas ternas).
Satisfeito, o professor acrescentou então duas informações definitivas: seus três
filhos haviam nascido no mesmo mês e, naquele exato dia, o caçula estava fazendo
aniversário. Neste caso a resposta correta é:
a) 1, 5, 8
b) 1, 2, 20
c) 1, 4, 10
d) 1, 1, 40
e) 2, 4, 5
4. (UERJ) Rafael comprou quatro passagens aéreas para dar uma de presente
para cada um de seus quatro netos. Para definir a época em que irão viajar, Rafael
pediu para cada um dizer uma frase. Se a frase fosse verdadeira, o neto viajaria
imediatamente, se fosse falsa, o neto só viajaria no final do ano.
O quadro abaixo apresenta as frases que cada neto falou:
NETO
O autor
12
FRASE
I
Viajarei para a Europa
II
Meu vôo será noturno
III
Viajarei no final do ano
IV
O Flamengo é o melhor time do Brasil
6. (FCM) Mensalmente, um técnico administrativo elabora relatórios estatísticos
referentes à expedição de correspondências internas e externas.
Analisando os relatórios por ele elaborados ao final dos meses de setembro,
outubro e novembro de 2006, foi observado que: - o total de correspondência em
setembro, 20% eram de âmbito interno;
- em cada um dos meses seguintes, número de correspondências internas
expedidas aumentou 10% em relação às internas expedidas no mês anterior,
enquanto que para as externas, o aumento foi de 20%, em relação às externas.
Comparando-se os dados do mês de novembro com os de setembro, é correto
afirmar que o aumento das correspondências expedidas:
a) no total foi de 39,4%
b) internamente foi de 42,2%
c) externamente foi de 34,6%
d) internamente foi de 20%
e) externamente foi de 40%
e) 41
10. (FUVEST) Um país contraiu, em 1829, um empréstimo de 1 milhão de dólares,
para pagar em cem anos, à taxa de juros de 9% ao ano.
Por problemas de balança comercial, no entanto, nada foi pago até hoje, e a dívida
foi sendo “rolada”, com capitalização anual dos juros.
Qual era aproximadamente o valor da dívida em 1989 ?
Para os cálculos, adote
a) 1 bilhão de dólares
b) 1,5 bilhão de dólares
c) 2 bilhões de dólares
d) 1 trilhão de dólares
• ANOTAÇÕES •
7. (ENEM) Um comerciante contratou um novo funcionário para cuidar das vendas.
Combinou pagar a essa pessoa R$120,00 por semana, desde que as vendas se
mantivessem em torno dos R$600,00 semanais e, como um estímulo, também
propôs que na semana na qual ele vendesse R$1200,00, ele receberia R$200,00,
em vez de R$120,00.
Ao término da primeira semana, esse novo funcionário conseguiu aumentar as
vendas para R$990,00 e foi pedir ao seu patrão um aumento proporcional ao
que conseguiu aumentar nas vendas. O patrão concordou e, após fazer algumas
contas, pagou ao funcionário a quantia de:
a) R$160,00
b) R$165,00
c) R$172,00
d) R$180,00
e) R$198,00
8. (FCM) Certo dia, Alan, chefe de seção de uma empresa, deu certa quantia em
dinheiro a dois funcionários − Josemir e
Neuza − solicitando que fossem lhe comprar um lanche e ressaltando que poderiam
ficar com o troco. Sabe-se que, na compra do lanche eles gastaram 75% da quantia
dada pelo chefe e que, do troco recebido, Josemir ficou com 40%, enquanto que
Neuza ficou com os R$ 3,75 restantes.
Nessas condições, o valor pago pelo lanche comprado foi:
a) R$ 15,00.
b) R$ 15,75.
c) R$ 18,50.
d) R$ 18,75
e) R$ 25,00.
9. (UFF) Através dos séculos as mulheres têm sido desencorajadas a estudar
matemática. Apesar das dificuldades, houve diversas que se sobressaíram em
seus campos. A informática tem a "sua" mulher: Lady Ada, filha do poeta Byron.
Trabalhando anos a fio com Charles Babbage, Ada escreveu o que viriam a ser os
primeiros programas de computador da história. Isso em pleno século XIX, muito
tempo antes de existir o primeiro computador. Hoje ela é homenageada com a
linguagem ADA, em uso pelo Dod americano, entre outros.
Mas o assunto aqui é Mlle Sophie Germain (1776-1831) , uma francesa, matemática
da pesada, a quem se deve um importante trabalho na área da teoria de números.
Há até uma família de números primos “p” chamados Primos de Germain, se 2p+1
também é primo. Na área da física, Germain desenvolveu a teoria da elasticidade
dos materiais.
Leia atentamente o texto acima e assinale a única opção que indica um número
primo de Germain.
a) 7
b) 17
c) 18
d) 19
13
CAPÍTULO
05
Médias e Análise Gráfica
• 1) MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES •
É o resultado da divisão da soma de n valores por n. Por exemplo, a
média entre 5, 10 e 6 será:
• 2) MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA •
Neste tipo de média aritmética, cada número que fará parte da média
terá um peso. Este peso será multiplicado pelo número, que serão somados e
dividos depois pela soma dos pesos.
Exemplo:
Com as válvulas (V) fechadas, cada reservatório contém água até o nível (h)
indicado na figura. Todas as válvulas são, então, abertas, o que permite a passagem
livre da água entre os reservatórios, até que se estabeleça o equilíbrio hidrostático.
Nesta situação final, o nível da água, em dm, será igual a
a) 6,0 nos reservatórios de A a E e 3,0 no reservatório F. b) 5,5 nos reservatórios de A a E e 3,0 no reservatório F.
c) 6,0 em todos os reservatórios. d) 5,5 em todos os reservatórios.
e) 5,0 nos reservatórios de A a E e 3,0 no reservatório F.
• 3) MÉDIA GEOMÉTRICA •
2. (UNIGRANRIO) Para fazer parte do time de basquete de uma escola, é
necessário ter, no mínimo, 11 anos. A média das idades dos cinco jogadores
titulares desse time é 13 anos, sendo que o mais velho deles tem 17 anos. Dessa
forma, o segundo mais velho do time titular pode ter, no máximo,
a) 17 anos.
b) 16 anos. c) 15 anos.
d) 14 anos.
e) 13 anos.
Entre n valores, é a raiz de índice n do produto desses valores. Veja no
exemplo, a média geométrica entre 1, 2 e 4:
• 4) MÉDIA HARMÔNICA •
3. (ENEM) Ao final de uma competição de ciências em uma escola, restaram
apenas três candidatos. De acordo com as regras, o vencedor será o candidato que
obtiver a maior média ponderada entre as notas das provas finais nas disciplinas
química e física, considerando, respectivamente, os pesos 4 e 6 para elas. As notas
são sempre números inteiros. Por questões médicas, o candidato II ainda não fez
a prova final de química. No dia em que sua avaliação for aplicada, as notas dos
outros dois candidatos, em ambas as disciplinas, já terão sido divulgadas.
O quadro apresenta as notas obtidas pelos finalistas nas provas finais.
A média harmônica equivale ao inverso da média aritmética dos
inversos de n valores. Parece complicado, mas é bastante simples, veja o exemplo:
Média harmônica entre 2, 6 e 8. Primeiramente é necessário calcular a média
aritmética dos inversos dos valores dados:
Depois, faz-se o inverso do resultado, tendo finalmente a média
harmônica de 2, 6 e 8:
Candidato
I
II
III
Em todas as médias o resultado estará entre o maior e o menor número
dado.
Para os mesmos valores, a média aritmética terá o maior valor, seguida
da média geométrica e depois a média harmônica.
Química
Física
20
X
21
23
25
18
A menor nota que o candidato II deverá obter na prova final de química para vencer
a competição é
a) 18
b) 19
c) 22
d) 25
e) 26
• EXERCÍCIOS •
1. (UNESP) Seis reservatórios cilíndricos, superiormente abertos e idênticos (A,
B, C, D, E e F) estão apoiados sobre uma superfície horizontal plana e ligados por
válvulas (V) nas posições indicadas na figura.
14
4. (UEL) A média aritmética dos números a e b é (a + b)/2 e a média geométrica
de a e b é (a.b) . Dois números têm média aritmética 4,1 e média geométrica 4.
A alternativa correta que apresenta o maior deles é:
a) 1
b) 4
c) 2
d) 8,2
e) 5
e)
7. (ENEM) Um cientista trabalha com as espécies l e II de bactérias em um
ambiente de cultura. Inicialmente, existem 350 bactérias da espécie l e 1.200
bactérias da espécie II. O gráfico representa as quantidades de bactérias de cada
espécie, em função do dia, durante uma semana.
5. (UERJ) Às vésperas das eleições, verificou-se que todos os dois mil eleitores
pesquisados tinham pelo menos dois nomes em quem, com certeza, iriam votar.
Nos quatro gráficos abaixo, o número de candidatos que cada eleitor já escolheu
está indicado no eixo horizontal e cada “carinha” representa 100 eleitores.
Em que dia dessa semana a quantidade total de bactérias nesse ambiente de
cultura foi máxima?
a) Terça-feira.
b) Quarta-feira.
c) Quinta-feira.
d) Sexta-feira.
e) Domingo.
O gráfico que está de acordo com os dados da pesquisa é o de número:
a) I.
b) II
c) III
d) IV
8. (UFPR) O gráfico abaixo representa a quantidade aproximada de animais
adotados ao longo de cinco anos em uma determinada cidade.
6. (ENEM) O quadro apresenta a produção de algodão de uma cooperativa de
agricultores entre 1995 e 1999.
O gráfico que melhor representa a área plantada (AP) no período considerado é:
Safra
1995
1996
1997
1998
1999
Produção
(em mil toneladas)
30
40
50
60
80
Produtividade
(em kg/hectare)
1.500
2.500
2.500
2.500
4.000
Qual foi a média anual de animais adotados, ao longo dos cinco anos nessa cidade?
a) 350.
b) 380.
c) 390.
d) 410.
e) 440.
a)
b)
9. (UPE) Leia o trecho do artigo publicado no Diário de Pernambuco em 21/11/2012.
A Copa do Mundo é do Nordeste - A Fifa anunciou a distribuição geográfica do
Mundial em 2014, e o Nordeste é a região do país que mais receberá jogos.
Impulsionados pelo crescimento econômico e pelo potencial turístico, Recife, Natal,
c)
Fortaleza e Salvador vão sediar
1
3
da competição – incluindo dois ou três jogos da
seleção brasileira – que, no entanto, não atuará em Pernambuco [...].
d)
De acordo com os dados da reportagem, a distribuição dos 64 jogos da Copa do
Mundo pode ser representada pelo gráfico abaixo:
15
Com base nas informações, analise as seguintes afirmativas:
I. O número de jogos da região Nordeste supera o das regiões Norte, Sul e CentroOeste juntas.
II. O número de jogos da região Centro-Oeste corresponde, aproximadamente, a
6,3% do total de jogos da Copa do Mundo.
III. A região Nordeste vai sediar, aproximadamente, 91% de jogos a mais que a
região Centro-Oeste.
Está CORRETO o que se afirma, apenas, em
a) II.
b) III.
c) I e II.
d) I e III.
e) II e III.
10. (UFRGS) O gráfico abaixo mostra o registro das temperaturas máximas e
mínimas em uma cidade, nos primeiros 21 dias do mês de setembro de 2013.
Assinale a alternativa correta com base nos dados apresentados no gráfico.
a) No dia 13, foi registrada a menor temperatura mínima do período.
b) Entre os dias 3 e 7, as temperaturas máximas foram aumentando dia a dia.
c) Entre os dias 13 e 19, as temperaturas mínimas diminuíram dia a dia.
d) No dia 19, foi registrada a menor temperatura máxima do período.
e) No dia 19, foi registrada a menor temperatura do período.
• ANOTAÇÕES •
16
CAPÍTULO
06
Matrizes e Determinantes
• 1) ASPECTOS CONCEITUAIS •
As pessoas, no cotidiano, lidam com frequência com elementos dispostos em linhas
(filas horizontais) e colunas (filas verticais) , formando uma tabela retangular como
sugerido ao lado. Essas tabelas são denominadas matrizes.
Verifique que, numa tabela em que o número de variáveis e de
observações é muito grande, a disposição ordenada dos dados em forma de matriz
torna-se absolutamente fundamental.
Os elementos de uma matriz podem ser números (reais ou complexos),
funções ou ainda outras matrizes.
Na grande parte dos casos, no entanto, as matrizes são integradas por
números reais; assim:
Dados dois números m e n, naturais e não nulos , denomina-se matriz
real m por n ( indica-se m x n ) uma tabela retangular formada por m.n números
reais dispostos em m linhas e n colunas.
A matriz é indicada, usualmente, por uma letra maiúscula; seus
elementos são organizados entre parênteses, colchetes ou barras duplas verticais.
O tipo ou dimensão da matriz é indicado pela notação m x n ( o primeiro
representa o número de linhas e o segundo o número de colunas).
Exemplos:
conhecido por análise matricial ; normalmente é observado em questões que
exigem apenas o conhecimento da definição de matriz e uma detalhada avaliação
de enunciados (interpretação). Ver nas questões deste capítulo.
• 2) MATRIZES ESPECIAIS •
Algumas matrizes têm propriedades que as diferenciam das demais,
seja pela quantidade de linhas ou colunas, ou pela natureza dos seus elementos;
essas matrizes recebem denominações especiais, até pelo fato de aparecerem
frequentemente na prática.
Observe as mais importantes, considerando uma matriz genérica
A = (aij)m x n :
2.1 Matriz quadrada - O número de linhas é igual ao número de colunas (m=n).
Uma matriz quadrada com m linhas e m colunas, é denominada matriz quadrada
de ordem m .
Nas matrizes quadradas, destacam-se os elementos das diagonais:
Os elementos tais i = j constituem a diagonal principal de A; Os
elementos tais que i + j = m + 1 constituem a diagonal secundária de A.
O exemplo ao lado indica uma matriz quadrada de ordem 3, destacando
os elementos das suas diagonais.
A matriz A tem dimensão 3 X 2
2.2 Matriz nula - É aquela em que aij = 0 , para todo i e j .
2.3 Matriz coluna - Possui uma única coluna ( n = 1 )
2.4 Matriz linha - Possui uma única linha ( m = 1 ).
A matriz C tem dimensão 3 X 3
Em uma matriz, um determinado elemento é indicado por uma letra
minúscula e dois índices, na forma aij ; o índice i indica a linha e o índice j a coluna
às quais o elemento pertence; convenciona-se que as linhas sejam numeradas de
cima para baixo (de 1 até m ) e as colunas, da esquerda para a direita (de 1 até n).
Assim, uma matriz M do tipo m x n pode ser indicada por: A = (aij)mxn,
com i {1,2,3,...,m} e j {1,2,3,...,n} ou simplesmente A = (aij)mxn.
Para representar, portanto, uma matriz genérica A = (aij)mxn pode-se
recorrer às reticências:
2.5 Matriz diagonal - É uma matriz quadrada na qual aij = 0, sempre que i≠j, ou
seja, os elementos que não pertencem à diagonal principal são nulos.
2.6 Matriz identidade (ou unidade) - É a matriz diagonal na qual aij = 1, sempre
que i = j. As matrizes identidade têm importante atuação no produto de matrizes
e na obtenção da inversa de matriz, assuntos a serem tratados a seguir. Alguns
exemplos:
2.7 Matriz triangular - É a matriz quadrada onde se observa m = n e aij = 0 para i >
j (matriz triangular superior) ou para i < j (matriz triangular inferior).
2.8 Matriz simétrica - É a matriz na qual se observa m = n e aij = aji.
Observações:
• Há casos em que a matriz pode ser “construída” a partir dos seguintes
dados : a dimensão e um conjunto de propriedades que associem i e j ;
• Existe, atualmente, um importante enfoque dado às matrizes,
• 3) IGUALDADE DE MATRIZES •
Duas matrizes A e B são iguais quando são do mesmo tipo m x n e
apresentam os elementos respectivamente iguais; ou seja, elementos de mesmo
17
índice são iguais. Se A = (aij)mxn e B = (bij)mxn temos: A = B
aij = bij
ie
j.
Posicionadas corretamente as matrizes “pré” e “pós”, inicia-se o processo
(ordenadamente) multiplicando-se os elementos da primeira linha (matriz pré)
pelos correspondentes da primeira coluna (matriz pós), obtendo-se, pela soma
dos resultados, o elemento que ocupará a posição C11 da matriz resultado (este
método será chamado de associação); o processo se repete com a associação dos
elementos da primeira linha (matriz pré) e da segunda coluna (matriz pós); é obtido,
então, o elemento C12
O método prossegue, de forma análoga, até que a primeira linha
(matriz pré) seja associada à última coluna da matriz pós; é obtido o elemento que
ocupa a posição c1p.
Retoma-se o método associando a 2ª linha da matriz pré com as
colunas da matriz pós.
O produto A.B estará concluído, quando a m-ésima linha da matriz A
for associada à p-ésima coluna da matriz B, obtendo o elemento Cmp.
• 4) MATRIZ TRANSPOSTA •
Considerada uma matriz A do tipo m x n , denomina-se matriz transposta de A
(representa-se At ) a matriz do tipo n x m cujas colunas coincidam ordenadamente
com as linhas de A. Se A = (aij)mxn então A’ = (bij)mxn, em que bij = aij, i e j.
Observação: Uma matriz A é dita simétrica ( ver item 4) se A = At.
• 5) OPERAÇÕES COM MATRIZES •
É importante ratificar que matrizes são tabelas e, quando operadas entre si ou
com escalares, nem sempre apresentam as mesmas propriedades e técnicas
operacionais observadas nos números reais.
5.1 Adição de matrizes
A soma de duas matrizes de mesma dimensão A = (aij)mxn e B = (bij)mxn é uma
matriz com dimensão m x n , que indicaremos por C = (cij)mxn cujos elementos
são somas dos elementos correspondentes de A e B. Ou seja, (cij) = (aij) + (bij), 1
≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
Observaçôes:
A multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, se A e B são
duas matrizes, é falso afirmar que AB = BA , necessariamente.
Se A e B forem matrizes quadradas de mesma ordem, e AB = BA,
então diz-se que A e B comutam.
5.3.1 Propriedades do Produto de Matrizes:
5.1.1 Propriedades da Adição de Matrizes:
• Comutativa A + B = B + A
• Associativa A + (B + C) = (A + B) + C
• Existência do Elemento Neutro (*) ----> A+0 = 0 + A = A
• Existência do Oposto (**) A + (-A) = 0
• (A+B)t = At + Bt
(*) O símbolo “0” indica a matriz nula de mesma dimensão de A.
(**) Denomina-se oposta da matriz A (indica-se -A ) a matriz A’ tal que A + A’ = 0 .
Uma matriz A é dita anti-simétrica quando At = - A .
• Associativa A(BC) = (AB)C
• Distributiva, à esquerda, em relação à adição A(B+C) = AB + AC
• Distributiva, à direita, em relação à adição (A+B)C = AC + BC
• a (AB) = (aA)B = A(aB), a R
• (AB)t = Bt . At
• 6) MATRIZ INVERSA •
5.2 Multiplicação de uma matriz por um número real
Considerada uma matriz A com dimensão m x n e um número real α, o produto α.A
é a matriz com dimensão m x n obtida pela multiplicação de todos os elementos de
A por α. Ou seja, se A = (aij) e R
.A = (.aij), i e j.
Propriedades da Multiplicação de uma Matriz por um Número Real
Sejam A e B matrizes de mesma dimensão e a e b números reais.
• a(b. A) = (ab).A
• a(A + B) = aA + aB
• (a + b).A = aA + bA
• (a.A)t = a.At
• 1.A = A
Considerada uma matriz A , quadrada de ordem m, define-se a matriz
inversa de A, se existir, pela matriz A-1, quadrada de ordem m , tal que: A.A-1 = A-1.A
= Im
Observações:
• Se a matriz A-1 existir, a matriz A é dita inversível ou invertível , caso contrário, A
é chamada matriz singular .
• A matriz A-1, se existir, é única.
• Nenhuma matriz nula é inversível.
• Toda matriz identidade é inversível e igual a sua inversa.
• Se uma matriz A, quadrada de ordem m é inversível, o método para se obter A-1
não é prático, uma vez envolver a solução de m sistemas com m equações a m
incógnitas.
No unidade seguintes - Determinantes - será, então, abordada: a forma de se
verificar a existência, ou não, de A-1; Uma técnica objetiva para se obter, se existir,
a inversa de uma matriz quadrada de ordem 2.
5.3 Multiplicação de matrizes
Sejam as matrizes A = (aij) de dimensão m x n e B = (bjk) de dimensão n x p.
O produto de A por B (representar A.B ou AB ) é a matriz C = (cik) de dimensão
m x p , onde todo e qualquer elemento cik é a soma dos produtos dos elementos
da i-ésima linha de A pelos correspondentes elementos da k-ésima coluna de B.
cik = ai1.b1k + ai2.b2k + ai3.b3k + ... + aim.bnk
• 7) DETERMINANTES -ASSOCIADOS À
MATRIZES (*)
QUADRADAS DE ORDEM 1, 2 E 3 •
A multiplicação de matrizes passa por duas fases obrigatórias. Nessa
ordem: No produto A.B, a matriz A é chamada matriz que pré multiplica e a matriz
B é dita matriz que pós multiplica. Essa ordem não pode ser alterada!
O produto A.B é verificado somente se o número de colunas da matriz que pré
multiplica for igual ao número de linhas da matriz que pós multiplica.
Determinante é um número real (único) associado à uma matriz
quadrada.
O determinante de uma matriz quadrada é obtido por operações
realizadas com os elementos dessa matriz.
Consideramos, por exemplo, a matriz
, o determinante associado à
matriz A pode ser representado por det A ou pela substituição dos parênteses por
A próxima fase trata da técnica operacional. Sugere-se, inicialmente,
que seja montado o “quadro” da matriz resultado com todas as posições indicadas.
barras verticais, na forma
18
.
7.1 Técnicas de obtenção
7.2.6 Se duas filas paralelas de A forem integradas por elementos respectivamente
proporcionais, então det A = 0.
• Determinante associado à uma matriz de tipo 1 x 1
O determinante associado à uma matriz de dimensão 1 x 1 é igual ao único
elemento da matriz. Se A=(a11) det M = |a11| = a11
7.2.7 Teorema de Jacobi adicionando à uma fila de A uma outra fila paralela
(previamente multiplicada por k R), obter-se-á uma matriz B, tal que det B = det A.
• Determinante associado à uma matriz de tipo 2 x 2
O determinante associado à uma matriz quadrada de ordem 2 é igual
ao produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da
diagonal secundária.
7.2.8 Teorema de Binet det (A.B) = (det A).(det B)
Assim, se
7.2.10 Se uma fila de A é a combinação linear de outras filas paralelas, então det
A = 0.
Exemplo:
7.2.9 Se A é uma matriz triangular (ver item 2.7), então det A é igual ao produto dos
elementos da diagonal principal de A.
, então det A= ad - bc. Indica-se o uso do seguinte dispositivo:
Observar que am2 = 2.(am1) + (-1)
(am3) , ou seja, diz-se que a 2ª coluna é a combinação linear da 1ª e da 3ª colunas.
7.2.11 Se a matriz A é inversível, então detA-1 = 1/detA, com detA≠0.
Sobre Matriz Inversa
• Determinante associado à uma matriz de tipo 3 x 3
O determinante associado à uma matriz quadrada de ordem 3 é obtido
através da seguinte sequência operacional:
Conforme foi observdao no item 6 da unidade sobre matrizes, a forma de se obter,
se existir, a inversa de uma matriz envolve um processo pouco prático.
No entanto, se uma matriz é inversível de ordem 2 , pode-se recorrer à uma técnica
alternativa para obtenção de A-1, que envolve a chamada matriz adjunta de A.
Indica-se, para simplificar o processo, a utilização do dispositivo de Sarrus , que
consiste na repetição ordenada das duas primeiras colunas após a barra vertical
direita e nas multiplicações (3, precedidas do sinal + ) dos 3 elementos situados
na direção da diagonal principal e (3 multiplicações, precedidas do sinal - ) dos 3
elementos situados na direção da diagonal secundária.
Se A é uma matriz quadrada de ordem m, existirá A-1 se, e somente se, detA≠0.
(*) Nota à ainda que não integre os editais (2014/2015) da UERJ e ENEM, o
estudo dos determinantes será apresentado para melhor fundamentar a
avaliação das matrizes inversas, para contemplar vestibulares de instituições
particulares ou militares e para eventual complemento de estudos.
• EXERCÍCIOS •
7.2 Propriedades dos determinantes
1.(UFRJ - Adaptada)
Sejam três ônibus, 1, 2 e 3.
O cálculo do determinante associado à uma matriz pode ser
simplificado através de certas propriedades. A seguir serão descritas algumas
dessas propriedades e, para tal, deve-se considerar:
A e B matrizes quadradas de ordem m≥2; e
Uma fila como sendo uma linha ou uma coluna.
Em cada um deles há um determinado número de passageiros, sempre maior ou
igual a 20 passageiros.
São realizadas, então, nove operações, cada uma das quais que consiste em retirar
n passageiros de um ônibus e transferi-los, todos, para outro.
O resumo dessas operações está tabulado na matriz A = (aij) abaixo indicada, na
qual cada elemento aij representa o número de passageiros retirados do ônibus i e
transferidos para o ônibus j.
7.2.1 O determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua transposta det
A = det (At).
7.2.2 Se todos os elementos de uma fila de A forem nulos, então det A = 0.
7.2.3 Se duas filas paralelas de A forem trocadas de posição, será obtida uma
matriz B, tal que det B = - (det A).
7.2.4 Se todos os elementos de uma fila de A forem multiplicados por um número
real k , obter-se-á uma matriz B, tal que det B = k.(det A), k R.
Terminadas as operações, o ônibus no qual o número inicial e final de passageiros
poderiam ser, ambos, múltiplos de 3 é :
a) 1
b) 2
c) 3
d) 1 e 3
7.2.5 Se duas filas paralelas de A forem integradas por elementos respectivamente
iguais, então det A = 0.
19
2.(UERJ) Observe a matriz a seguir.
d)
e)
6.(ENEM) Um aluno registrou as notas bimestrais de algumas de suas disciplinas
numa tabela. Ele observou que as entradas numéricas da tabela formavam uma
matriz 4x4, e que poderia calcular as medias anuais dessas disciplinas usando
produto de matrizes. Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele
conseguiu é mostrada a seguir.
1º
2º
3º
4º
bimestre bimestre
bimestre
bimestre
Matemática
5,9
6,2
4,5
5,5
Português
6,6
7,1
6,5
8,4
Geografia
8,6
6,8
7,8
9,0
História
6,2
5,6
5,9
7,7
Resolvendo seu determinante, será obtido o seguinte resultado:
a) 1
b) sen x
c) sen2 x
d) sen3 x
3.(UDESC) Sejam A = (aij) e B = (bij) matrizes quadradas de ordem 3 de tal forma
que:
• aij = i + j
• bij = j e os elementos de cada coluna, de cima para baixo, formam uma progressão
geométrica de razão 2.
Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela por
a)
Analise as proposições abaixo:
( ) A = At
( ) Os elementos de cada uma das linhas da matriz B estão em progressão
aritmética.
( ) Os elementos de cada uma das linhas e de cada uma das colunas da matriz
AB estão em progressão aritmética.
( ) Existe a matriz inversa da matriz C = A − B .
b)
c)
O número de proposição(ões) verdadeira(s) é:
a) 0
b) 3
c) 1
d) 2
e) 4
4.(UFF) Toda matriz de ordem 2 x 2, que é igual a sua transposta, possui:
a) pelo menos dois elementos iguais.
b) os elementos da diagonal principal iguais a zero.
c) determinante nulo.
d) linhas proporcionais.
e) todos os elementos iguais a zero.
d)
5.(UFF) A transmissão de mensagens codificadas em tempos de conflitos militares
é crucial. Um dos métodos de criptografia mais antigos consiste em permutar os
símbolos das mensagens. Se os símbolos são números, uma permutação pode ser
efetuada usando-se multiplicações por matrizes de permutação, que são matrizes
quadradas que satisfazem as seguintes condições:
cada coluna possui um único elemento igual a 1 (um) e todos os demais elementos
são iguais a zero;
cada linha possui um único elemento igual a 1 (um) e todos os demais elementos
são iguais a zero.
Por exemplo, a matriz
a)
A,
quadrada e de ordem três.
 0,3 0,47 0,6 


A =  0,47 0,6
x 
 0,6
x
0,77 

Considere que cada elemento
de (i + j).
O valor de x é igual a:
a) 0,50
b) 0,70
c) 0,77
d) 0,87
pois P = M . Q. Pode-se afirmar que
transformando-a em
b)
7. (UERJ) Observe a matriz
permuta os elementos da matriz coluna
transformando-a na matriz
a matriz que permuta
e)
é
a ij
dessa matriz é o valor do logaritmo decimal
8. (UFG) Um modelo matemático usado para a ampliação de uma imagem consiste
c)
20
em considerar uma transformação linear dada pela multiplicação de uma matriz
escala Es por uma matriz coluna A, composta pelas coordenadas do ponto P,
que forma a imagem que será ampliada. Considerando as matrizes A e Es dadas
por
x
A= 
y
E x
Es = 
0
e
Quantos miligramas do nutriente 2 estão presentes em um quilograma da mistura
de rações?
a) 389 mg.
b) 330 mg.
c) 280 mg.
d) 210 mg.
e) 190 mg.
0
,
E y 
em que E x e E y são fatores multiplicativos que indicam a mudança da escala,
então a matriz Q que indica as novas coordenadas do ponto P, obtidas pela
multiplicação das matrizes Es e A, é:
a)
 xE x 
 yE 
 y
b)
E x + x 
E + y 
 y

c)
 yE x 
 xE 
 y
d)
 xE x
 0

e)
E x
y

• ANOTAÇÕES •
0 
yE y 
x
E y 
9. (UNIFOA) Três amigos foram a uma papelaria para comprar material escolar.
As quantidades adquiridas de cada produto e o total pago por cada um deles são
mostrados na tabela.
Amigo
Quantidades compradas de
Total pago (R$)
cadernos
canetas
lápis
Júlia
5
5
3
96,00
Bruno
6
3
3
105,00
Felipe
4
5
2
79,00
Os preços unitários, em reais, de um caderno, de uma caneta e de um lápis, são,
respectivamente, x, y e z. Dessa forma, das igualdades envolvendo matrizes
fornecidas a seguir, a única que relaciona corretamente esses preços unitários com
os dados da tabela é
5 5 3 
a) [ x y z ] ⋅  6 3 3  =

 [96 105 79 ].
 4 5 2
 x  5 5 3   96 
105  .
b)  y  ⋅  6 3 3  =


 z   4 5 2  79 
5 5 3 
c)  6 3 3  ⋅ [ x
y z] =
[96 105 79].
 4 5 2
5 5 3   x   96 

   105  .
d)  6 3 3  ⋅  y  =


 4 5 2  z   79 
 x   96  5 5 3 
  
 6 3 3 .
e)  y  ⋅ 105  =


 z   79   4 5 2
10. (UFPR) Um criador de cães observou que as rações das marcas A, B, C e
D contêm diferentes quantidades de três nutrientes, medidos em miligramas por
quilograma, como indicado na primeira matriz abaixo. O criador decidiu misturar
os quatro tipos de ração para proporcionar um alimento adequado para seus cães.
A segunda matriz abaixo dá os percentuais de cada tipo de ração nessa mistura.
21
CAPÍTULO
07
Equacionamento
Muito se discute, já há algum tempo, sobre as novas tendências do
ensino da Matemática.
Ideias são apresentadas, modelos de livros ou apostilas são
aperfeiçoados e até os eixos principais da matéria têm sido reavaliados.
Uso de recursos audiovisuais, telas inteligentes, cristal líquido, aulas
teletransmitidas, ferramentas poderosas vinculadas à internet, dentre outros, são
assuntos que permeiam o meio acadêmico, com o objetivo de desmistificar, valorizar
e consolidar, ainda mais, o estudo e as inúmeras aplicações da Matemática.
Oriundas de milênios passados, as técnicas matemáticas continuam
a ser abordadas em sala de aula, de acordo com a LDB, com os PCN e com as
decorrências aplicáveis; no entanto, fica cada vez mais nítida a natural necessidade,
não só para a Matemática, da capacitação dos estudantes, em qualquer nível, na
área da interpretação dos enunciados e textos, na decodificação das informações
ofertadas e no equacionamento das situações propostas. Esse é o objetivo principal
desse capítulo.
O tema “Sistemas Lineares”, quer pelo seu significativo uso no
cotidiano, na formação do cidadão ou pela constante presença em vestibulares e
concursos públicos atuais, ganhou foco especial no material didático do Genius.
Operacionalmente simples mas de grande amplitude, o estudo dos
Sistemas foi dividido em 3 blocos : as técnicas de resolução, o equacionamento e,
concluindo, a ligação desses 2 segmentos.
Nas próximas questões, de uma forma geral, não serão exigidas
apenas as técnicas de solução, mas a idealização do sistema, a partir da leitura
criteriosa do texto e da organização dos dados.
É importante destacar, finalizando, que a magnitude desse projeto
indica que algumas questões, apenas, não solucionarão essa atual e preocupante
situação.
Ler, interpretar e raciocinar são hábitos saudáveis. E, para pratica-los,
é preciso disciplina e determinação.
Aproveite.
envio de uma mala direta normal é:
a) R$ 1,55
b) R$ 1,50
c) R$ 1,00
d) R$ 0,55
e) R$ 0,50
3
2x − y =
pode ser apresentado como
− x + 2y =4
3. (PUCRS) O sistema 
a)
 2 −1  x  3 
 −1 2   y  =  4 

   
b)
 −1 2   x  3 
 2 −1  y  =  4 

   
c)
 −1 2  x  3 
 −1 2  y  =  4 

   
d)
 −2 1   x  3 
 1 −2  y  =  4 

   
e)
 −2 1  x  3 
 −1 2  y  =  4 

   
4. (UFG) Em um determinado parque, existe um circuito de caminhada, como
mostra a figura a seguir.
• EXERCÍCIOS •
1. (UEA) Na era do real, o brasileiro nunca guardou tantos recursos na poupança
quanto no mês de junho de 2013. Nesse mês, a caderneta captou R$ 9,5 bilhões
líquidos (depósitos menos saques), um recorde mensal na série do Banco Central,
iniciada em 1995. Sabendo que, nesse mês, a metade do valor total depositado
mais 2 do valor total sacado foi igual a R$ 100,6 bilhões, pode-se concluir que
5
o valor total depositado na poupança em junho de 2013 foi, em bilhões de reais,
igual a
a) 112,5.
b) 108.
c) 106,5. d) 116. e) 98.
Um atleta, utilizando um podômetro, percorre em um dia a pista 1 duas vezes,
atravessa a ponte e percorre a pista 2 uma única vez, totalizando 1157 passos.
No dia seguinte, percorre a pista 1 uma única vez, atravessa a ponte e percorre a
pista 2, também uma única vez, totalizando 757 passos. Além disso, percebe que
o número de passos necessários para percorrer sete voltas na pista 1 equivale ao
número de passos para percorrer oito voltas na pista 2. Diante do exposto, concluise que o comprimento da ponte, em passos, é:
a) 5
2. (UEPA) Uma empresa utiliza o serviço de mala direta como meio de comunicação
com seus clientes. O setor financeiro da empresa efetuou levantamento, no mês de
agosto, sobre os custos com esse tipo de comunicação, e constatou um gasto de
R$ 254,50, com o envio de 300 malas diretas do tipo normal e 95 do tipo urgente.
No mês de setembro, a empresa enviou 300 malas diretas do tipo normal e apenas
40 do tipo urgente, totalizando um gasto de R$ 194,00. O custo correspondente ao
22
b) 6 c) 7
d) 8
e) 15
b) Sr. Luiz tem mais de 10 netos.
c) se um dos netos do Sr. Luiz não quiser o dinheiro, os demais receberão menos
de 45 reais cada um.
d) é possível que o Sr. Luiz divida a quantia x em partes iguais entre todos os seus
netos, de forma que não lhe sobre nenhum centavo.
5. (ENEM) Na aferição de um novo semáforo, os tempos são ajustados de modo
que, em cada ciclo completo (verde-amarelo-vermelho), a luz amarela permaneça
acesa por 5 segundos, e o tempo em que a luz verde permaneça acesa igual a 2
3
do tempo em que a luz vermelha fique acesa. A luz verde fica acesa, em cada ciclo,
durante X segundos e cada ciclo dura Y segundos.
9. (UDESC) Um Pet Shop tem cães, gatos e passarinhos à venda, totalizando 38
cabeças e 112 patas. Sabe-se que nenhum destes animais apresenta algum tipo de
deficiência física e que a metade do número de passarinhos mais o número de cães
supera em duas unidades o número de gatos. Se o preço de venda de cada cão,
gato e passarinho é, respectivamente, 500, 90 e 55 reais, então, ao vender todos
estes animais, o Pet Shop terá arrecadado:
a) 4770 reais
b) 3950 reais
c) 6515 reais d) 5250 reais
e) 5730 reais
Qual a expressão que representa a relação entre X e Y?
a) 5X – 3Y + 15 = 0
b) 5X – 2Y + 10 = 0
c) 3X – 3Y + 15 = 0
d) 3X – 2Y + 15 = 0
e) 3X – 2Y + 10 = 0
6. (UNICAMP) As companhias aéreas costumam estabelecer um limite de peso
para a bagagem de cada passageiro, cobrando uma taxa por quilograma de
excesso de peso. Quando dois passageiros compartilham a bagagem, seus limites
são considerados em conjunto. Em um determinado voo, tanto um casal como um
senhor que viajava sozinho transportaram 60 kg de bagagem e foram obrigados a
pagar pelo excesso de peso. O valor que o senhor pagou correspondeu a 3,5 vezes
o valor pago pelo casal.
Para determinar o peso excedente das bagagens do casal (x) e do senhor que
viajava sozinho (y), bem como o limite de peso que um passageiro pode transportar
sem pagar qualquer taxa (z), pode-se resolver o seguinte sistema linear:
10. (ESPM) Sendo x e y números reais e (3x + 2y)2 + (x – 2y + 8)2 = 0, o valor de
yx é:
1
a) 9
b)
c) –8
d) 9
+ 2z =
60
y + z =60
3,5x − y
=
0



1
8
x
a) 
e) 8
+z =
60
y +2z =
60
3,5x − y
=
0



x
b) 
• ANOTAÇÕES •
 x

+ 2z =
60
=
y +z
60
3,5x + y
=
0

c) 
+z =
60
 x

y +2z =
60

d) 
=
0
3,5x + y
7. (FUVEST) Em uma festa com n pessoas, em um dado instante, 31 mulheres
se retiraram e restaram convidados na razão de 2 homens para cada mulher.
Um pouco mais tarde, 55 homens se retiraram e restaram, a seguir, convidados
na razão de 3 mulheres para cada homem. O número n de pessoas presentes
inicialmente na festa era igual a
a) 100
b) 105
c) 115
d) 130
e) 135
8. (EPECAR) Sr. Luiz pretende dividir a quantia x reais entre seus netos.
Observou que se der 50 reais para cada um lhe faltarão 50 reais e se der 40
reais para cada um, lhe sobrarão 40 reais. Com base nisso, é correto afirmar que
a) Sr. Luiz possui menos de 500 reais para dividir entre seus netos.
23
CAPÍTULO
08
Sistemas lineares - Parte 1
• MÉTODOS DE RESOLUÇÃO •
Determinado - solução única
Sistema Linear(S) Possível (compatível) e Indeterminado - mais de 1 solução
Impossível (inconpativel) - não há solução
• 1) INTRODUÇÃO •
• 7) REPRESENTAÇÃO MATRICIAL DE
UM SISTEMA LINEAR •
Os sistemas lineares são, atualmente, uma eficaz fonte de questões
associadas ao cotidiano, na medida que possibilitam o equacionamento de uma
situação do dia a dia e sua posterior solução.
Há duas etapas claras a serem vencidas : a montagem do sistema e a
solução do sistema .
Este capítulo aborda as principais técnicas de solução de sistemas
lineares.
Considerado o sistema (S), são obtidas as seguintes matrizes:
• 2) EQUAÇÃO LINEAR •
Uma equação linear, nas incógnitas x1 , x2 , x3 , ... , xn é toda equação
do tipo A1X1 + A2X2 + A3X3 + ... + An . Xn = B (I).
Os números reais A1 , A2 , A3 , ... , An são chamados coeficientes e o
número real B é o termo independente da equação (I) .
É importante observar que uma equação que envolva, por exemplo,
termos como x2 , xy e
( x e y representando as incógnitas ) são classificadas
como equações não lineares.
O sistema (S) pode ser representado pela equação matricial AX = B
• 8) RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA
LINEAR •
• Sistemas lineares simples
Podem ser resolvidos por métodos convencionais, tais como adição, comparação e
substituição. A seguir são indicadas, no entanto, técnicas que auxiliam a resolução
de sistemas com características especiais.
• 3) SOLUÇÃO DE UMA
EQUAÇÃO LINEAR •
A ênupla real
(I)
• Teorema de Cramer
Considerado um sistema linear (S) em que o número de equações é igual ao
número de incógnitas, e a matriz A é quadrada, tem-se que:
Se detA≠0 o sistema será compatível e terá solução única, representada pela
ênupla real
, tal que
é solução da equação
é verdadeira.
• 4) SISTEMA LINEAR •
Um conjunto de m equações lineares simultâneas em x1 , x2 , x3 , ..., xn é
considerado um sistema linear de m equações nas incógnitas x1, x2, x3, ..., xn , e
pode, genericamente, ser representado da seguinte forma:
Di é o determinante da matriz obtida de A, substituindo-se a i-ésima coluna pelos
elementos da matriz B, ordenadamente.
Se V1 é o conjunto solução do sistema linear S1, e V2 é o conjunto solução do
sistema linear
 a1 x1 + a12 x 2 + a13 x 3 + ... + a1n x n = b1
 a x + a x + a x + ... + a x = b
21 1
2
2
23
3
2n n
2


( S )  a 31 x1 + a 32 x 2 + a 3 x 3 + ... + a 3n x n = b3
 ........................................................


a m1 x1 + a m 2 x 2 + a m3 x 3 + ... + a mn x n = bm
S2 , S1 e equivalente a S2
V1 = V2.
• Sistemas Escalonados ( padrão do Método de Gauss-Jordan)
O Teorema de Cramer é pouco prático para sistemas lineares com um
grande número de equações e é aplicado apenas para detA≠0; o escalonamento
torna-se, portanto, um processo mais simples de resolução de um sistema,
possibilita a resolução de sistemas m por n , e auxilia na discussão de sistemas
com detA=0.
Num sistema linear possível e indeterminado, com m equações e n incógnitas, m
< n , chama-se grau de indeterminação o número de variáveis livres do sistema,
ou seja, n - m.
Um sistema linear está na forma escalonada quando, antes do primeiro coeficiente
não nulo, o número de coeficientes nulos aumenta de equação para equação.
O conjunto verdade de um sistema não se altera quando as seguintes
• 5) SOLUÇÃO DE UM
SISTEMA LINEAR •
A ênupla real
é solução dos sistema linear (S) se, e somente se,
é solução de todas as equações de (S).
• 6) CLASSIFICAÇÃO DE UM
SISTEMA LINEAR •
24
transformações são praticadas :
2. (UFRGS) Para os jogos da primeira fase da Copa do Mundo de 2014 na sede
de Porto Alegre, foram sorteados ingressos entre aqueles que se inscreveram
previamente. Esses ingressos foram divididos em 4 categorias, identificadas pelas
letras A, B, C e D. Cada pessoa podia solicitar, no máximo, quatro ingressos por
jogo. Os ingressos da categoria D foram vendidos somente para residentes no país
sede e custaram, cada um, 1 do valor unitário do ingresso da categoria C.
• Multiplicar uma equação por k≠0.
• Trocar entre si as posições de duas equações.
• Substituir uma equação pela soma com outra (s) multiplicada (s) por
3
k≠0
No quadro abaixo, estão representadas as quantidades de ingressos, por categoria,
solicitados por uma pessoa, para cada um dos jogos da primeira fase, e o valor
total a ser pago.
O escalonamento de um sistema ocorre através do cumprimento de
várias etapas, fundamentadas nas transformações indicadas acima, a saber:
• A 1ª equação é uma equação na qual o coefieciente da primeira incógnita é não
nulo, preferencialmente igual a 1;
Através das transformações citadas os coeficientes da primeira incógnita são
anulados nas demais equações, exceto na primeira;
Jogo
A
B
C
D
TOTAL (em R$)
1
2
0
2
0
1.060,00
2
1
3
0
0
1.160,00
3
0
1
3
0
810,00
• As duas etapas são, então, aplicadas nas demais equações, a exceção da
primeira;
• O processo se repete de forma análoga, até que o sistema esteja na forma
escalonada.
Se essa pessoa comprasse um ingresso de cada categoria para um dos jogos da
primeira fase, ela gastaria, em reais,
a) 860. b) 830.
c) 800.
d) 770.
e) 740.
• Se, no processo de escalonamento, ocorrer uma equação do tipo 0x1 + 0x2 + 0x3 +
... + 0xn = 0, deve-se suprimi-la do sistema.
• Se, no processo de escalonamento, ocorrer uma equação do tipo 0x1 + 0x2 + 0x3
+ ... + 0xn = B ,
, o sistema é impossível.
• As associações dos sistemas lineares à geometria analítica são, por vezes,
convenientes; um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas, por exemplo,
objetiva identificar, se existir (em), a(s) interseção (ões) de 3 planos.
3. (FGV) Três sócios A, B e C resolvem abrir uma sociedade com um capital de R$
1000.000,00 B entrou com uma quantia igual ao dobro da de A, e a diferença entre
a quantia de C e a de A foi R$ 60.000,00
O valor absoluto da diferença entre as quantias de A e B foi:
a) R$ 10 000,00
b) R$ 15 000,00
c) R$ 20 000,00
d) R$ 25 000,00
e) R$ 30 000,00
• 9) SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO •
É o sistema linear no qual todos os termos independentes são nulos.
Um sistema linear homogêneo é sempre possível e a ênupla (0,0,0,...,0)
é chamada solução trivial ou solução imprópria.
• EXERCÍCIOS •
4. (UPE) Em uma floricultura, é possível montar arranjos diferentes com rosas,
lírios e margaridas. Um arranjo com 4 margaridas, 2 lírios e 3 rosas custa 42 reais.
No entanto, se o arranjo tiver uma margarida, 2 lírios e uma rosa, ele custa 20 reais.
Entretanto, se o arranjo tiver 2 margaridas, 4 lírios e uma rosa, custará 32 reais.
Nessa floricultura, quanto custará um arranjo simples, com uma margarida, um lírio
e uma rosa?
a) 5 reais
b) 8 reais
c) 10 reais
d) 15 reais
e) 24 reais
1. (UEMG) Uma pequena empresa fabrica dois tipos de colchão: solteiro e casal.
A tabela a seguir refere-se ao faturamento da empresa nos meses de agosto e
setembro:
AGOSTO
SETEMBRO
Faturamento
mensal com
colchão de solteiro
Faturamento
mensal com
colchão de casal
TOTAL
(?)
(?)
R$ 8 320,00
Metade do valor
faturado em agosto
Um terço do
valor faturado em
agosto
R$ 3 200,00
5. (UFSM) Num determinado mês, em uma unidade de saúde, foram realizadas 58
hospitalizações para tratar pacientes com as doenças A, B e C. O custo total em
medicamentos para esses pacientes foi de R$39.200,00.
Sabe-se que, em média, o custo por paciente em medicamentos para a doença A é
R$450,00, para a doença B é R$800,00 e para a doença C é R$1.250,00. Observase também que o número de pacientes com a doença A é o triplo do número de
pacientes com a doença C. Se a, b e c representam, respectivamente, o número de
pacientes com as doenças A, B e C, então o valor de a - b - c é igual a
a) 14.
b) 24.
Cada colchão de solteiro custa R$ 320,00, e cada colchão de casal custa R$ 480,00.
A quantidade de colchões de solteiro vendidos em agosto corresponde a
a) 6. b) 8.
c) 10.
d) 11.
25
c) 26. d) 36. e) 58.
9. (UFPR) Uma bolsa contém 20 moedas, distribuídas entre as de 5, 10 e 25
centavos, totalizando R$ 3,25. Sabendo que a quantidade de moedas de 5
centavos é a mesma das moedas de 10 centavos, quantas moedas de 25 centavos
há nessa bolsa?
a) 6. b) 8.
c) 9.
d) 10.
e) 12.
6. (UFPE) A soma da minha idade, em fevereiro de 2011, com a idade do meu
filho, era 83 anos. Em fevereiro de 2012, eu terei o dobro da idade do meu filho,
menos dois anos. Sabendo que eu nasci em janeiro, assinale a alternativa que
corresponde ao ano em que eu nasci.
a) 1955
b) 1956 c) 1957
d) 1982
e) 1983
10. (UNIGRANRIO)
7. (UEBA) Para prevenir a anemia por deficiência de ferro, deve haver um
consumo equilibrado de alimentos ricos desse elemento químico. Observe a tabela
que apresenta a quantidade de ferro na composição de 100g de alimentos.
ALIMENTO (100 G)
FERRO (MG)
Espinafre cozido
3,6
Carne bovina assada
2,8
Um pai deixou de herança para seus filhos Aldo, Baldo e Caldo, mas determinou
que, distribuída a herança:
(http://www.ibge.gov.br/home/estatistica/populacao/condicaodevida/
pof/2008_2009_composicao_nutricional/graficos_dinamicos/pof2011.html Acesso
em: 21.08.2011. Adaptado)
- Aldo desse uma parte do que recebera a Baldo e a Caldo, de modo que os legados
de Baldo e Caldo dobrassem;
- Depois disso, Baldo desse uma parte do que recebera a Aldo e a Caldo, de modo
que os legados de Aldo e Caldo dobrassem;
- Finalmente, Caldo fizesse o mesmo, de modo que os legados de Aldo e Baldo
dobrassem.
Em uma refeição, Pedro consumiu 60 mg de ferro ao ingerir apenas espinafre
cozido e carne bovina assada. Sabendo que a quantidade de carne bovina ingerida
foi o dobro da quantidade de espinafre ingerida, conclui-se que a quantidade de
carne bovina ingerida foi, aproximadamente, em gramas,
a) 130.
b) 140.
c) 150.
d) 160. e) 170.
Cumpridas as determinações do pai, os filhos verificaram que cada um ficara com
160 mil reais. Qual é a soma dos algarismos do número que representa o que fora
o legado original de Aldo?
a) 5
b) 6 c) 7
d) 8
8. (UERJ) Uma família comprou água mineral em embalagens de 20 L, de 10 L e
de 2 L. Ao todo, foram comprados 94 L de água, com o custo total de R$ 65,00 .
Veja na tabela os preços da água por embalagem:
VOLUME DA EMBALAGEM
(L)
PREÇO
(R$)
20
10,00
10
6,00
2
3,00
• ANOTAÇÕES •
Nessa compra, o número de embalagens de 10 L corresponde ao dobro do número
de embalagens de 20 L, e a quantidade de embalagens de 2 L corresponde a n.
O valor de n é um divisor de:
a) 32
b) 65 c) 77
d) 81
26
CAPÍTULO
09
Sistemas lineares - parte 2
• MÉTODOS DE RESOLUÇÃO •
1.(AMAN) Para que o sistema linear
o valor de a+b é:
a) –1
b) 4
c) 9
d) 14
e) 19
2.(UDESC) O sistema
o valor de k for:
a) k≠3. b) k=5. c) =3.
d) k≠5. e) k=0.
a R$ 15,00. Considere um comerciante que tenha gastado R$ 440,00 na compra
de aves desses três tipos e que tenha comprado mais patos do que marrecos. O
número de patos que esse comerciante comprou foi igual a:
a) 25
b) 20
c) 12
d) 10
seja possível e indeterminado,
6. (UERJ) Um comerciante deseja totalizar a quantia de R$ 500,00 utilizando
cédulas de um, cinco e dez reais, num total de 92 cédulas, de modo que as
quantidades de cédulas de um e de dez reais sejam iguais.
Neste caso, a quantidade de cédulas de cinco reais de que o comerciante precisará
será igual a:
a) 12
b) 28
c) 40
d) 92
é possível e determinado, quando
7. (UERJ) Jorge quer distribuir entre seus filhos os ingressos ganhos para um show.
Se cada um de seus filhos ganhar 4 ingressos, sobrarão 5 ingressos; se cada um
ganhar 6 ingressos, ficarão faltando 5 ingressos. Podemos concluir que Jorge
ganhou o número total de ingressos correspondente a:
a) 15
b) 25
c) 29
d) 34
3.(FGV) O sistema linear abaixo, nas incógnitas x e y:
Será impossível quando:
a) Nunca
b) p ≠ –6 e m = 1 c) p ≠ –6 e m ≠ 1 d) p = –6 e m = 1 e) p = –6 e m ≠ 1 8. (UERJ) Uma indústria produz três tipos de correntes. A tabela a seguir indica os
preços praticados para uma produção total de 100m.
4. (UERJ) Um conjunto de 100 copos descartáveis,
dispostos em um suporte, será usado em uma festa.
Considere, agora, as seguintes informações:
– sempre se tenta retirar apenas 1 copo de cada vez desse
suporte;
– quando se tenta retirar 1 copo, e exatamente 2 saem
juntos, 1 deles é desperdiçado;
– quando se tenta retirar 1 copo, e exatamente 3 saem juntos, 2 deles são
desperdiçados;
– quando se tenta retirar 1 copo, nunca saem 4 ou mais de 4 juntos;
– foram retirados todos os copos desse suporte, havendo desperdício de 35%
deles.
– a razão entre o número de vezes em que foram retirados exatamente 2 copos
juntos e o número de vezes em que foram retirados exatamente 3 juntos foi de 3/2
O número de vezes em que apenas 1 copo foi retirado do suporte é igual a:
a) 30
b) 35
c) 40
d) 45
A quantidade z de metros produzidos da corrente do tipo III é um número inteiro. Se
5 < P ≤ 10 , os possíveis valores inteiros de P são :
2, 3, 4, 5 e 6
7, 8, 9
6, 7, 8 e 9
6, 7 e 8
9. (UFF) Lúcia resolve organizar uma festa de aniversário para seu filho e
encomenda, para servir aos convidados, 107 refrigerantes, 95 sanduíches, 113
salgadinhos e 151 doces. Servirá, a cada homem, 3 refrigerante, 3 sanduíche,
3 salgadinho e 3 doces; a mulher, 2 refrigerante, 2 sanduíche, 5 salgadinho e 4
doces; a cada criança , 2 refrigerante, 1 sanduiche e 4 doces. Para que não sobrem
nem faltem refrigerantes, sanduíches, salgadinhos e doces, o número de pessoas
5. (UERJ) Numa granja há patos, marrecos e galinhas num total de 50 aves. Os
patos são vendidos a R$ 12,00 a unidade, as galinhas a R$ 5,00 e os marrecos
27
que deve ser convidado é
a) 39
b) 40
c) 41
d) 42
e) 43
10. (CESPE) Em uma fiscalização, foi presa um quadrilha que transportava drogas
ilícitas.
Os presos foram levados para a cadeia mais próxima e constatou-se que : se
cada cela acomodasse um preso, um preso ficaria sem cela e que, se cada cela
acomodasse dois presos, uma cela ficaria sem presos. Nessa situação, a soma do
número de presos de quantidade de celas é igual a :
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
• ANOTAÇÕES •
28
CAPÍTULO
10
Espaços R2 e R3
• PRINCÍPIOS DA GEOMETRIA
ANALÍTICA •
perpendiculares. A perpendicularidade dessas duas retas forma um sistema
cartesiano ortogonal.
As duas retas são chamadas de eixos definido: Eixos das abscissas,
reta x; Eixo das coordenadas, reta y.
Onde as retas x e y se encontram é formado um ponto, chamado de
origem.
• 1) SISTEMA CARTESIANO DE
COORDENADAS •
O sistema cartesiano ortogonal é dividido em quatro partes e cada uma é um
quadrante.
Em matemática, a expressão geometria analítica possui dois
significados distintos. O significado moderno e avançado se refere à geometria das
variedades analíticas.
A geometria analítica, também chamada geometria de coordenadas
e de geometria cartesiana, é o estudo da geometria por meio de um sistema
de coordenadas e dos princípios da álgebra e da análise. Ela contrasta com a
abordagem sintética da geometria euclidiana, em que certas noções geométricas
são consideradas primitivas, e é utilizado o raciocínio dedutivo a partir de axiomas
e teoremas para obter proposições verdadeiras. A geometria anallitica é muito
utilizada na física e na engenharia, e é o fundamento das áreas mais modernas da
geometria, incluindo geometria algébrica, diferencial, discreta e computacional.
Em geral, o sistema de coordenadas cartesianas é usado para
manipular equações para planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas
dimensões, mas por vezes também em três ou mais dimensões. A geometria
analítica ensinada nos livros escolares pode ser explicada de uma forma mais
simples: ela diz respeito a definição e representação de formas geométricas de
modo numérico e a extração de informação numérica dessa representação. O
resultado numérico também pode, no entanto, ser um vetor ou uma forma.
A introdução da geometria analítica constituiu o início da matemática
moderna.
A geometria analítica é atribuída tradicionalmente a René Descartes,
que fez um progresso significante em seus métodos em um ensaio chamado
Geometria, que foi um dos anexos publicados no seu Discurso do Método, em 1637.
Este trabalho e os seus princípios filosóficos criaram as fundações para o cálculo
infinitesimal na Europa, que foi mais tarde desenvolvido independentemente por
Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz.
Abraham de Moivre também foi pioneiro no desenvolvimento da
geometria analítica.
Analise alguns conceitos normalmente praticados em vestibuilares.
Um ponto no sistema cartesiano ortogonal é formado por dois pontos,
um do eixo das abcissas e outro do eixo das ordenadas.
O ponto do sistema cartesiano ortogonal é chamado de par ordenado.
O ponto x possui um número x que é a abscissa do ponto P. O ponto
y possui um número y que é a ordenada do ponto P. (x, y) é chamado de par
ordenado do ponto P.
Portanto, para determinarmos um ponto P no sistema cartesiano
ortogonal é preciso que as abscissas e as ordenadas sejam dadas.
O espaço vetorial R2 (bidimensional) é um conjunto infinito de pontos, tais que
R2= {(x, y)|x R ^ y R}
• 3) O ESPAÇO VETORIAL R3 •
É o sistema fundamentado num triedro tri-retângulo, definido por 3
eixos reais (xOx’ , yOy’ e zOz’) que demarcam 3 planos ortogonais dois a dois (xOy,
zOy e xOz).
Cada ponto genérico P do R3 é associado a um terno ordenado (x,y,z)
: x (abcissa) é a distância de P ao plano zOy ; x (ordenada) é a distância de P ao
plano xOz e z (cota) é a distância de P ao plano xOz.
• 2) O ESPAÇO VETORIAL R² •
Se duas retas se cruzam e formam um ângulo de 90º elas são
29
• 5) PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO •
A forma para determinar o ponto médio de um segmento de reta num
plano, com os extremidades (x1, y1) e (x2, y2) é:
A demonstração dessa relação, por meio vetorial, ocorre de maneira
bastante simples
• 6) BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO •
Observando a figura, temos:
A = (2,0,0) – ponto no eixo dos x quando y = z = 0
B = (0,4,0) – ponto no eixo dos y quando x = z = 0
C = (0,0,3) – ponto no eixo dos z quando x = y = 0
D = (2,4,0) – ponto no plano xy quando z = 0
E = (0,4,3) – ponto no plano yz quando x = 0
F = (2,0,3) – ponto no plano zx quando y = 0
Da geometria plana, sabe-se que o baricentro G de um triângulo é o
encontro das três medianas e as divide numa razão de 2 para 1, sendo o segmento
maior o que possui extremidade no vértice do triângulo.
Neste artigo, será demonstrado que as coordenadas do baricentro de um triângulo,
representado num sistema de coordenadas retangulares, são dadas pelas fórmulas:
e
Seja o triângulo ABC, cujas coordenadas dos vértices são
respectivamente: A(xa , ya), B(xb , yb) e C(xc , yc). Seja o ponto médio referente
ao lado BC representado por D(xd , yd). Sejam as coordenadas do baricentro
representado por G(xg , yg).
O espaço vetorial R3 (tridimensional) é um conjunto infinito de pontos,
tais que R3= {(x;y;z)|x R ^ y R ^ z R}
Notas
Considere A = (xa ; ya) e B = (xb ; yb) ; se A = B , então xa= xb e ya = yb . Se A = (x;y)
e k real, então k.A = (kx ; ky)
• 4) DISTÂNCIA ENTRE 2 PONTOS •
Dado o plano cartesiano, vamos estabelecer a distância entre os pontos A e B.
O ponto médio de um segmento é dado pela semi-soma de suas
coordenadas. Assim, as coordenadas do ponto médio do segmento BC são dadas
por:
Podemos observar que os pontos possuem coordenadas, sendo o
ponto A (xa,ya) e B (xb,yb), note a formação do triângulo retângulo ABC, onde os
lados BC: cateto, AC: cateto e AB: hipotenusa.
Verificamos que a distância entre os pontos A e B é a hipotenusa do
triângulo retângulo, que pode ser calculada aplicando o Teorema de Pitágoras.
Com o auxílio da Álgebra e de conhecimentos geométricos podemos generalizar
e construir uma fórmula que determine a distância entre dois pontos no plano,
conhecendo suas coordenadas.
Como o ponto G divide uma mediana numa razão de 2:1, temos a relação referente
à mediana ao lado BC.
Abscissa
Considerando as abscissas dos pontos A, G e D e a relação (2), temos que:
Cateto BC: yb – ya
Cateto AC: xb – xa
Hipotenusa AB: distância (D)
Pelo Teorema de Pitágoras temos:
Substituindo a relação (1) em (3), obtemos:
30
Ordenada
Analogamente ao que fizemos para encontrar a coordenada da abscissa do
baricentro, fazemos para a ordenada:
Um pequeno helicóptero usado para reconhecimento sobrevoa a região a partir do
ponto X = (20; 60). O helicóptero segue o percurso:
0,8°L
0,5°N
0,2° O
0,1° S
0,4° N
0,3 °L
De acordo com as orientações, o helicóptero pousou em um local cuja altitude é
a) menor ou igual a 200 m.
b) maior que 200 m e menor ou igual a 400 m.
c) maior que 400 m e menor ou igual a 600 m. d) maior que 600 m e menor ou igual a 800 m. e) maior que 800 m.
02. (FGV) Em um paralelogramo, as coordenadas de três vértices consecutivos
são, respectivamente, (1, 4), (–2, 6) e (0, 8). A soma das coordenadas do quarto
vértice é:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
Substituindo a relação (1) em (4), obtemos:
03. (UNIOESTE) Dado o ponto A(–2, 4), determine as coordenadas de dois pontos
P e Q, situados, respectivamente, sobre as retas y=3x e y=-x de tal modo que A seja
o ponto médio do segmento PQ.
a) P(1,3) e Q(–5,5).
b) P(2,6) e Q(4,–4). c) P(0,0) e Q(–5,5).
d) P(1,3) e Q(4,–4).
e) P(2,6) e Q(0,0). • 7) ÁREAS DE POLÍGONOS
CONVEXOS NO R2 •
04.(FGV) No plano cartesiano, M(3, 3), N(7, 3) e P(4, 0) são os pontos médios
respectivamente dos lados
,
e
de um triângulo ABC. A abscissa do
vértice C é:
a) 6 b) 7
c) 8
d) 9
e) 0
Polígono qualquer – por exemplo um quadrilátero com vértices A (x1 ;
y1), B (x2;y2), C (x3;y3) e D (x4;y4)
A área é, numericamente, igual à metade do módulo do valor que se
obtém desenvolvendo o algoritmo mostrado
Triângulo – sendo um triângulo qualquer com vértices nos pontos A (xa ; ya) , B (xb
; yb) e C ( xc ; yc), a área desse polígono, com base no algoritmo mostrado em 7 é
dada pela metade do módulo do determinante:
5.(UNICAMP) A figura a seguir apresenta parte do mapa de uma cidade, no qual
estão identificadas a catedral, a prefeitura e a câmara de vereadores. Observe que
o quadriculado não representa os quarteirões da cidade, servindo apenas para
a localização dos pontos e retas no plano cartesiano. Nessa cidade, a Avenida
Brasil é formada pelos pontos equidistantes da catedral e da prefeitura, enquanto
a Avenida Juscelino Kubitschek (não mostrada no mapa) é formada pelos pontos
equidistantes da prefeitura e da câmara de vereadores.
• EXERCÍCIOS •
1. (ENEM) A figura a seguir é a representação de uma região por meio de curvas
de nível, que são curvas fechadas representando a altitude da região, com relação
ao nível do mar. As coordenadas estão expressas em graus de acordo com a
longitude, no eixo horizontal, e a latitude, no eixo vertical. A escala em tons de
cinza desenhada à direita está associada à altitude da região.
31
e) 5,3
11.(CESGRANRIO) A área do triângulo, cujos vértices são (1, 2), (3, 4) e (4, -1),
é igual a:
a) 6. b) 8.
c) 9.
d) 10.
e) 12.
• ANOTAÇÕES •
Sabendo que a distância real entre a catedral e a prefeitura é de 500 m, podemos
concluir que a distância real, em linha reta, entre a catedral e a câmara de
vereadores é de
a) 1500 m.
b) 500√5m. c) 1000√2m. d) 500 + 500√2m. 06.(PUCRJ) Se os pontos A = (–1, 0), B = (1, 0) e C = (x, y) são vértices de um
triângulo equilátero, então a distância entre A e C é
a) 1
b) 2
c) 4
d) √2 e) √3 07.(UFRGS) Sendo os pontos A = (- 1, 5) e B = (2, 1) vértices consecutivos de um
quadrado, o comprimento da diagonal desse quadrado é
a) 2.
b) 2√2. c) 3√2. d) 5.
e) 5√2. 08. (PUCRJ) O ponto B = (3, b) é equidistante dos pontos A = (6, 0) e C = (0, 6).
Logo o ponto B é:
a) (3, 1).
b) (3, 6). c) (3, 3).
d) (3, 2).
e) (3, 0).
9. (UNIFESP) Um ponto do plano cartesiano é representado pelas coordenadas
(x + 3y, - x - y) e também por (4 + y, 2x + y), em relação a um mesmo sistema de
coordenadas. Nestas condições, xy é igual a
a) -8.
b) -6. c) 1.
d) 8.
e) 9.
10.(PUCRJ) Os pontos (0,8), (3,1) e (1,y) do plano são colineares. O valor de y
é igual a:
a) 5
b) 6 c) 17/3
d) 11/2
32
1
1–D
2–B
3–B
4–A
5–A
6–A
7–E
8–D
9–C
10 – E
6
1–B
2–D
3–B
4–A
5–E
6–E
7–B
8–A
9–D
10 – A
2
1–C
2–B
3–C
4–C
5–A
6–D
7–B
8–D
9–C
10 – A
7
1–D
2–E
3–A
4–C
5–B
6–A
7–D
8–A
9–A
10 – A
3
1–D
2–C
3–A
4–D
5–B
6–C
7–C
8–D
9–C
10 – D
11 – E
8
1–B
2–A
3–A
4–D
5–A
6–B
7–A
8–C
9–D
10 – D
4
5
1–B
2–B
3–A
4–C
5–E
6–A
7–C
8–D
9–E
10 – D
1–A
2–C
3–A
4–E
5–A
6–A
7–A
8–D
9–B
10 – E
9
10
1–D
2–D
3–E
4–E
5–C
6–B
7–A
8–B
9–E
10 – B
1–A
2–B
3–A
4–C
5–B
6–B
7–E
8–C
9–A
10 – C