PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática
Estruturas Algébricas
Lista 4: Indução Matemática
1) Desenvolva os somatórios abaixo:
6
(a)
∑i
2
n
+i
(b)
i =0
∑ (2i − 3)
2
i =1
2) Escreva na forma de somatório:
(a) 14 + 24 + 34 + 44
(b) 1 + p2 + p4 +...+ p2n
3) Use a indução matemática para demonstrar que os resultados são válidos para qualquer inteiro positivo n.
(a) 2 + 4 + 6 +...+ 2n = n(n+1)
(b) 1 + 5 + 9 +...+ (4n-3) = n(2n-1)
(c) 1 + 3 + 6 +...+
n(n + 1)(n + 2)
n(n + 1)
=
6
2
(d) 4 + 10 + 16 +...+ (6n-2) = n(3n+1)
5n(n + 1)
2
(e) 5 + 10 + 15 +...+ 5n =
(f) 12 + 22 +...+ n2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
(g) 1 + a + a2 +...+ a n-1 =
(h)
(i)
an − 1
para a≠0, a≠1
a −1
1
1
n
1
+
+ ... +
=
1 .2 2 .3
n(n + 1) n + 1
1
1
n
1
+
+ ... +
=
1.3 3.5
(2n − 1)(2n + 1) 2n + 1
(j) 1.1! + 2.2! + 3.3! +...+ n.n! = (n+1)! – 1
4) Prove que:
(a) n2 > n+1 para n≥2.
(b) 2n > n2 para n≥5.
(c) n! > n2 para n≥4,
(d) 2 3 n − 1 é divisível por 7
(e) 3 2 n + 7 é divisível por 8
(f) 7 n − 2 n é divisível por 5
(g) 13 n − 6n é divisível por 7
Fonte: GERSTING, J.L. Fundamentos matemáticos para a ciência da computação. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC,
1995.
[email protected], [email protected], [email protected]