Escola Secundária de Santa Maria Maior
Ficha de Actividades – Posição relativa de 3 planos – 11º Ano
Para estudar a posição relativa de 3 planos, convém, inicialmente, averiguar se
alguns dos planos são paralelos ou coincidentes, estudando os seus vectores
normais e a equivalência (ou não) das equações.
1º Caso: Os 3 planos são coincidentes (as três equações são equivalentes)
Exemplo:
⎧α : x − 2 y + z = 1
⎪
⎨β : 2 x − 4 y + 2 z = 2
⎪γ : −3x + 6 y − 3z = −3
⎩
α com β :
β com γ :
α com γ :
do sistema obtemos os vectores normais:
⎧nα = (1,−2,1)
⎪⎪
⎨n β = (2,−4,2 )
⎪
⎪⎩nγ = (− 3,6,−3)
1 −2 1 1
=
= = as equações são equivalentes, logo os planos são coincidentes
2 −4 2 2
−4
2
2
2
as equações são equivalentes, logo os planos são coincidentes
=
=
=
−3
6
−3 −3
1
−2
1
1
as equações são equivalentes, logo os planos são coincidentes
=
=
=
−3
6
−3 −3
Então,
os três planos são coincidentes a sua intersecção é o próprio plano α.
2º Caso: Dois dos planos são coincidentes e o terceiro é estritamente
paralelo.
Exemplo:
⎧α : x − 2 y + z = 1
⎪
⎨β : 2 x − 4 y + 2 z = 2
⎪γ : −3x + 6 y − 3z = 0
⎩
α com β :
1 −2 1 1
= =
=
2 −4 2 2
β com γ :
=
=
=
α com γ :
=
=
=
do sistema obtemos os vectores normais:
as equações são equivalentes, logo os planos são coincidentes
Então,
Luís Cavalheiro
⎧nα = (1,−2,1)
⎪⎪
⎨n β = (2,−4,2 )
⎪
⎪⎩nγ = (− 3,6,−3)
Página 1 de 4
3º Caso: Os três planos são paralelos (os vectores normais são
colineares mas as equações não são equivalentes)
Exemplo:
⎧α : x − 2 y + z = 1
⎪
⎨β : 2 x − 4 y + 2 z = −2
⎪γ : −3x + 6 y − 3z = −4
⎩
α com β :
1 −2 1
1
=
= ≠
2 −4 2 −2
β com γ :
=
=
=
α com γ :
=
=
=
do sistema obtemos os vectores normais:
⎧n = (1,−2,1)
⎪ α
⎪
⎨nβ = (2,−4,2 )
⎪
⎪⎩nγ = (− 3,6,−3)
os planos são estritamente paralelos.
Então,
4º Caso: Dois planos são paralelos e um terceiro intersecta-os.
Exemplo:
⎧α : x − 2 y + z = 1
⎪
⎨β : 2 x − 4 y + 2 z = −2
⎪γ : x + y − z = 3
⎩
α com β :
=
=
=
β com γ :
=
=
=
α com γ :
=
=
=
do sistema obtemos os vectores normais:
Então,
Luís Cavalheiro
Página 2 de 4
⎧nα = (1,−2,1)
⎪⎪
⎨n β = (2,−4,2 )
⎪
⎪⎩nγ = (1,1,−1)
5º Caso: Os planos são oblíquos entre si e intersectam-se dois a dois.
Exemplo:
⎧α : x + y + z = −6
⎪
⎨β : 2 x − y + 1 = 0
⎪γ : 3 x + z = −2
⎩
α com β :
=
=
=
β com γ :
=
=
=
α com γ :
=
=
=
do sistema obtemos os vectores normais:
⎧nα = (1,1,1)
⎪⎪
⎨n β = (2,−1,0 )
⎪
⎪⎩nγ = (3,0,1)
Resolvendo o sistema:
Então,
6º Caso: Os três planos intersectam-se segundo uma recta.
Exemplo:
⎧α : x + 2 y − 3 z = −6
⎪
⎨β : 2 x − y − z = 3
⎪γ : x + y − 2 z = −3
⎩
Luís Cavalheiro
do sistema obtemos os vectores normais:
Página 3 de 4
⎧nα = (__, __, __ )
⎪⎪
⎨n β = (__, __, __ )
⎪
⎪⎩nγ = (__, __, __ )
α com β :
=
=
=
β com γ :
=
=
=
α com γ :
=
=
=
Resolvendo o sistema:
Então,
7º Caso: Os três planos intersectam-se num ponto.
Exemplo:
⎧α : x − y + z = 2
⎪
⎨β : x + 2 y − z = 6
⎪γ : 2 x + y − 2 z = 6
⎩
α com β :
=
=
=
β com γ :
=
=
=
α com γ :
=
=
=
do sistema obtemos os vectores normais:
Resolvendo o sistema:
Então,
Luís Cavalheiro
Página 4 de 4
⎧nα = (__, __, __ )
⎪⎪
⎨n β = (__, __, __ )
⎪
⎪⎩nγ = (__, __, __ )