CÁLCULO E ANÁLISE
VETORIAL E TENSORIAL
José Vasconcelos
Doutor em Ciências
Licenciado em Música
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Prefácio do Autor
O grande mérito do presente livro, acreditamos, está
em apresentar de maneira clara e direta os mais variados
teoremas da Física Matemática. Escrevemos este tratado
pensando no físico e no engenheiro. Não o escrevemos com
aquele rigor da linguagem dos  e dos  tão querida dos
matemáticos.
Sempre que definimos um novo conceito preocupamonos logo em seguida em apresentar um ou mais exemplos, a
fim de que a idéia exposta torne-se a mais clara possível. Por
seu caráter eminentemente didático este livro dispensaria o
instrutor. É um livro para o autodidata. Não obstante, pode
muito bem ser usado como livro texto nos cursos de Cálculo e
Análise Vetorial e Tensorial ou de Física Matemática.
Temos certeza que fazemos desaparecer aquela
auréola de inacessibilidade que reina em torno do conceito de
tensor. Mostramos que não se trata de um bicho papão como
correntemente se acredita. É tão somente um conveniente
prolongamento do conceito de vetor...
O cálculo e análise tensorial são ferramentas
indispensáveis para aquele que deseja penetrar no domínio da
Relatividade Geral.
Qualquer crítica ou comentário sobre a presente obra
será sempre muito bem aceita.
Fortaleza, agosto de 2013
[email protected]
3
Agradecimentos
Desejamos expressar nossos agradecimentos ao
Arquiteto e Músico César Augusto Soares Mamede pela
competente confecção dos desenhos da presente obra.
Não
podemos
também
de
registrar
esta
ocorrência.Temos o hábito de escrever ao mesmo tempo que
ouvimos música erudita. Desejamos, por isto, agradecer aqui
aos inumeráveis compositores de todas as épocas, que
legaram para a humanidade suas obras maravilhosas. Ouvi-las
minimiza nosso trabalho e fadiga de inúmeras revisões e
edição no computador.
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Dedicatória
À Maria Stella, minha esposa e nossas duas filhas
Eliana e Claudia com todo meu carinho e dedicação
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Índice
Capítulo Um
Calculo Vetorial
1.1 Escalares e Vetores./9
1.2 Sistema Ortogonal de Coordenadas./11
1.3 Operações Elementares com Vetores./15
1.4 Produto entre Vetores./18
1.4.1 Produto Escala.r/18
1.4.2 Produto Vetorial./21
1.4.3 Produto Misto./27
1.4.4 Produto Vetorial Múltiplo./30
1.5 Generalizações./33
1.5.1 Rotação de Sistemas de Coordenadas./33
1.5.2 Espaço Euclidiano a N Dimensões./35
1.5.3 Introdução ao Cálculo Matricial./40
1.6* Espaços Vetoriais./46
Problemas./49
Capítulo Dois
Análise Vetorial
2.1 Derivada de um Vetor./54
2.2 Operadores Vetoriais em Coordenadas Cartesianas./61
2.2.1 Operador Gradiente./61
2.2.2 Operador Divergente./66
2.2.3 Operador Rotacional./67
2.2.4 Uso Combinado do Operador Nabla./71
2.3 Integrais de Vetores./75
2.3.1 Integral Ordinária./75
2.3.2 Integral de Linha./77
2.3.3 Teoria do Potencial./80
6
2.3.4 Integral de Superfície e de Volume./86
2.4 Equação de Continuidade. Teorema de Gauss./90
2.5 Teorema de Green./95
2.6* Equação de Poisson./96
2.7 Teorema de Stokes./104
2.8 Teorema de Helmholtz./108
Problemas./110
Capítulo Três
Coordenadas Curvilíneas Ortogonais
3.1.Coordenadas Curvilíneas Ortogonais./116
3.2 Comprimento de Arco de Curva. Valor de uma
Superfície e de um Volume./121
3.3 Operadores Vetoriais Diferenciais em Coordenadas
Curvilíneas./124
3.3.1 Operador Gradiente./124
3.3.2 Operador Divergente./127
3.3.3 Operador Rotacional./129
3.3.4 Operador Laplaciano./132
3.4 Casos Particulares de Coordenadas Curvilíneas./132
3.4.1 Sistema de Coordenadas Cilíndricas./132
3.4.2 Sistema de Coordenadas Esféricas./136
3.4.3 Sistema de Coordenadas Parabólicas./138
3.5 Método de Separação de Variáveis./141
Problemas./142
Capítulo Quatro
Álgebra Tensorial
4.1 Componentes Covariantes e Contravariantes de
um Vetor./146.
4.2 Definição de Tensor./149
4.3 Tensor Métrico Fundamental./154
4.4 Álgebra Tensorial./157
7
4.4.1 Soma e Subtração de Tensores./157
4.4.2 Produto Tensorial./157
4.4.3 Contração de Índices (Produto Interno)./158
4.4.4 Regra do Quociente./159
4.4.5 Tensores Associados./161
4.5 Tensores Relativos e Tensores Absolutos./162
4.6 Alguns Tensores Usados na Física./164
4.6.1 Tensor de Inércia./164
4.6.2 Tensor de Tensão e Deformação./167
Problemas./169
Capítulo Cinco
Análise Tensorial
5.1 Derivada Ordinária de um Tensor./173
5.2 Símbolos de Christoffel./175
5.3 Segunda Lei de Newton em um Sistema Geral
de Coordenadas./181
5.4 Equação da Geodésica./182
5.5 Derivada Covariante de um Tensor./186
5.6 Deslocamento Paralelo de um Vetor./189
5.7 Tensor Campo Eletromagnético./191
Exercícios./195
5.8 Equações de Maxwell sob Forma Tensorial./195
Exercícios./197
5.9 Tensor Matéria-Energia./197
5.10 Tensor de Riemann-Christoffel./200
5.11* Equações de (Hilbert) Einstein para o Campo
Gravitatório./203
Problemas./205
Bibliografia./206
8
Capítulo Um
Cálculo Vetorial
9
1.1 Escalares e Vetores.
Existem grandezas físicas que para serem
completamente caracterizadas necessitam apenas de um
atributo algébrico, acompanhado freqüentemente de uma
unidade conveniente. Tais grandezas são chamadas de
escalares. Entre outros podemos citar como exemplo de
escalar: a massa de um corpo, a pressão que um fluido
isotrópico exerce sobre as paredes do recipiente que o
contém, a temperatura de um corpo, o volume, a carga
elétrica, a energia de um corpo.
Do ponto de vista matemático um escalar é
caracterizado apenas por um número do corpo dos racionais.
A diferença do ponto de vista da física é que geralmente
adotamos uma unidade. Por exemplo, a massa de um corpo
pode ser de 15 gramas.
Certas grandezas físicas para serem devidamente
caracterizadas necessitam além de um atributo aritmético um
outro atributo de natureza geométrica. Este atributo
geométrico caracteriza a direção e o sentido. Grandezas deste
tipo são chamadas de vetores. No decorrer de nosso estudo
especificaremos melhor este conceito. Normalmente
indicamos um vetor por meio de um segmento de reta
orientado. Comumente o comprimento deste segmento é
proporcional ao número aritmético que caracteriza a grandeza
do vetor. A este número, damos o nome de módulo do vetor.
Na fig.(1.1.1) indicamos diversos vetores por meio de
segmentos orientados.
10
fig.(1.1.1) Como se representam vetores num espaço a duas dimensões.
Normalmente representamos um vetor por meio de
uma pequena flecha colocada sobre uma determinada letra.

Assim a , que se lê: vetor a. Existem outras diversas maneiras
de se representar um vetor. Por exemplo, podemos usar um
símbolo em negrito, a. O módulo de um vetor será indicado
pela letra que o designa, sem a flecha, ou sem o caractere
negrito, assim

a a
(1.1.1)
Observando a fig.(1.1.1) podemos ver que os segmentos de
 
retas que caracterizam os vetores a e b são paralelos.
 
Dizemos por isto, que a e b são vetores paralelos. Podemos

também observar que o sentido do vetor a é oposto ao

sentido do vetor b . (O sentido é dado pela orientação do
segmento de reta). Vetores que têm mesmo módulo, são
paralelos e têm sentidos contrários, são chamados de opostos.
Têm a mesma correspondência que os números algébricos a e
-a. A direção de um vetor é dada pela reta suporte que contém
o segmento orientado que caracteriza o vetor. Vetores
paralelos têm a mesma direção não importando se têm
sentidos opostos.
Observando ainda a fig.(1.1.1), podemos constatar


ainda que os vetores c e d são perpendiculares, pois as retas
 
suportes de c e d se encontram formando ângulos retos.
11
O espaço que usualmente adotado em nossas
experiências diárias é o espaço euclidiano, sem curvatura, a
três dimensões. Neste espaço podemos deslocar um vetor
paralelamente a si mesmo, de um ponto a outro, sem alterar
em nada todas as grandezas que caracterizam o vetor,
fig.(1.1.2). Este transporte paralelo de um vetor de um ponto
a outro do espaço é chamado de equipolência.

fig.(1.1.2) Operação de equipolência. O vetor a estava
inicialmente colocado no ponto A. Transportamos paralelamente
este vetor até o ponto B.
No Capítulo Quatro estudaremos um ente mais geral
do que um escalar ou um vetor o qual será chamado de
tensor. Lá também daremos algumas aplicações deste novo
ente na Física.
1.2 Sistema Ortogonal de Coordenadas.
Quando queremos localizar um ponto no espaço
euclidiano a três dimensões podemos proceder da seguinte
maneira: Elegemos um ponto arbitrário do espaço que
adotamos como sendo o ponto de interseção ortogonal de três
eixos orientados. A exigência de ortogonalidade é somente
para simplificar nossas considerações iniciais. Veremos em
outras ocasiões como trabalhar também com sistemas de
eixos não ortogonais. Normalmente convencionamos que o
ponto de encontro dos três eixos orientados seja a origem dos
12
mesmos. Isto é também uma norma simplificadora,
fig.(1.2.1).
fig.(1.2.1) Como localizar um ponto no espaço.
Tendo este sistema de eixos podemos projetar
ortogonalmente o ponto P sobre um dos planos coordenados
(no caso da fig.(1.2.1) o plano XY). Desta projeção traçam-se
retas paralelas a OX e OY. A interseção com o eixo OX
chamamos de x e a interseção com o eixo OY chamamos de y.
A altura do plano XY ao ponto P chamamos de z. Os três
números (x, y, z), conjuntamente, são chamados de
coordenadas do ponto P. Isoladamente cada um destes
números tem as seguintes denominações: x é a abscissa, y a
ordenada e z é a cota. Se for conhecida a posição do ponto P
pode-se conhecer univocamente três números x, y, z que são
as coordenadas do ponto P e se forem conhecidos estes três
números, pode-se determinar univocamente o ponto P no
espaço a três dimensões. Portanto a correspondência entre um
ponto no espaço a três dimensões e suas três coordenadas é
biunívoca.
Consideremos agora dois sistemas de coordenadas de
mesma origem, tendo um deles sofrido uma rotação com
relação ao outro, como mostrado na fig.(1.2.2). Por
simplicidade e clareza admitiremos um espaço a duas
dimensões.
13
fig.(1.2.2) Coordenadas de um ponto em dois sistemas de coordenadas .
Os triângulos OAB e ODC são semelhantes, dai tiramos as
seguintes relações:
AB
CD
x 
y
cos 
cos 
Por outro lado, observando a figura acima, podemos escrever:
AB  x  y  sen  e CD  y   x sen  isto é:
x  cos   x  y  sen 
y   y cos   x sen 
Usando a segunda destas equações para eliminar y' na
primeira e encontramos finalmente
x   x cos   y sen 
(1.2.1).
y    x sen   y cos 
Conhecendo-se as coordenadas de um ponto P num sistema
de coordenadas, pode-se determinar os valores das
coordenadas deste mesmo ponto em um outro sistema de
coordenadas que sofreu uma rotação de um ângulo  com
relação ao primeiro usando-se a eq.(1.2.1).
Vejamos agora como podemos projetar um vetor sobre
os três eixos ortogonais. Nosso procedimento agora é muito
semelhante ao caso anterior, só que teremos que projetar dois
pontos do segmento orientado que caracteriza o vetor.
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Comumente escolhemos os pontos extremos deste
segmento, fig.(1.2.3). Vamos escolher sobre cada eixo um
vetor de módulo unitário, isto é, um vetor cujo comprimento
do segmento orientado que o representa tem uma unidade de
comprimento. Vetores com esta característica são chamados
de versores.
fig.(1.2.3) Projeção de um vetor sobre os eixos coordenados.
  
Sejam i , j e k os versores segundo as direções OX, OY e OZ

 
respectivamente. Sejam a x , a y e a z os valores das projeções

orientadas de a sobre os eixos coordenados.
Usando a biunivocidade anteriormente citada podemos
escrever
   
a  a x  a y  az
(1.2.2)
Naturalmente podemos sempreescrever

ax  ax i


ay  ay j


az  az k
(1.2.3)
e portanto a eq.(1.2.2) se escreve




a  a x i  a y j  az k
(1.2.4)
15
Esta é a maneira de expressarmos um vetor segundo suas
componentes em um determinado sistema de coordenadas.
1.3 Operações Elementares com Vetores
Vejamos agora como podemos somar e subtrair
vetores. Naturalmente tendo o vetor um atributo geométrico,
não podemos somar vetores somando simplesmente seus
módulos. Somente quando os atributos geométricos são
idênticos em todos os vetores parcelas, indicando assim que
estes vetores são paralelos, é que podemos efetuar a soma dos
módulos destes vetores. Por exemplo, para somar dois ou
mais vetores paralelos, procedemos somando algebricamente
os módulos destes vetores e damos ao vetor soma, a direção
de uma das parcelas, fig.(1.3.1). O sentido será dado pelo
sentido do vetor de maior módulo.
fig.(1.3.1) Como somamos algebricamente dois vetores.
Ao efetuarmos a soma ou subtração acima descrita, fizemos
uso da operação de equipolência.
Vejamos agora como somamos ou subtraímos dois
 
vetores quaisquer. Dados dois vetores a e b , fig.(1.3.2),