UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
Aula04 - Modelagem da Histerese
Magnética
Jean Vianei Leite
Maio de 2010.
Modelo de Jiles-Atherton
Obtido a partir de considerações físicas;
Baseado em equações diferenciais;
 Baixo
esforço
implementação;
computacional
e
fácil
Conjunto de parâmetros relativamente baixo;
Pode ser diretamente empregado no MEF com
formulação em potencial vetor magnético.
Modelo de Jiles-Atherton
Laços medido e calculado
Modelo de Jiles-Atherton – Laços Menores
Laço experimental
Laço Calculado
Jiles-Atherton – Laços Internos
Laços Medidos e calculados
Modelo Escalar de Preisach
 Modelo proposto pelo físico alemão Frederick Preisach em
1935.
 Estabelece uma relação entre a magnetização M e o campo
H.
 Supõe que o material é composto por um número finito de
unidades elementares magnéticas biestáveis.
 A magnetização total é calculada pela soma das
contribuições elementares.
Modelo Escalar de Preisach
• Cada unidade elementar (histeron) possui uma forma
retangular cíclica, função do campo H
Campos de
chaveamentos a e b
Modelo Escalar de Preisach
 Se Hsat representa o campo magnético de saturação e Msat a
correspondente magnetização de saturação, quando
H>Hsat, todos os histerons estão positivos e a magnetização
é M=Msat.
 Por outro lado, se H<Hsat, todos os histerons estão
negativos e a magnetização é M = -Msat.
 Das considerações anteriores temos:
a  H sat
b  Hsat
Plano de Preisach ou Triângulo de Preisach
• Como a histerese é energeticamente dissipativa: a  b
•
Com as condições anteriores define-se o plano de
Preisach como:
Cada par (a,b), caracterizando um histeron deve pertencer a este
triângulo.
Plano de Preisach
• Um material ferromagnético é então determinado por uma
distribuição estatística p(a,b) dos campos de chaveamento (a,b)
pertencente ao triângulo.
• p(a,b) é também chamada de função de densidade de Preisach.
• A magnetização total é calculada por
M ( H )  M sat  p(a, b) a ,b dadb

Plano de Preisach
 O estado desmagnetizado é representado pela linha
b = - a.
 O triângulo fica dividido em duas superfícies iguais S+ e
S-.
 S+ é a região do plano onde os pares (a,b) tais que  a ,b  1
 S- é a região do plano onde os pares (a,b) tais que  a ,b  1
Modelo de Preisach
• Para qualquer estado magnético do sistema o triângulo é
dividido entre duas superfícies S+ e S- separadas por uma
linha descontínua.
A magnetização é dada pela integral sobre as duas superfícies S+ e S- .
M ( H )  M sat   p ( a, b)dadb   p (a, b)dadb 
 S 

S
Modelo de Preisach
• O estado magnético do sistema é completamente
caracterizado pela linha descontínua.
• A linha descontínua é chamada de vetor histórico, h, do
material e contém informações sobre a divisão do triângulo
e os pontos de inversão da excitação.
• O vetor histórico deve verificar as seguintes condições:
H0  0
h  H0 , H1, H2 , H3 , Hn 
( H i  H i 1 )(H i 1  H i )  0
for i  1, , n  1
 H i  H i 1  H i 1  H i
Modelo de Preisach – Exemplo de construção de h
• Considerando o material desmagnetizado, o vetor h possui
somente o ponto inicial H = 0.
h  0
Modelo de Preisach – Exemplo de construção de h
• Com o crescimento de H, os histerons possuindo a menor
do que H são chaveados para a posição +1. No plano de
Preisach isso é representado pelo crescimento da linha
vertical a = H1.
h  0, H1
Modelo de Preisach – Exemplo de construção de h
• Se o campo continua aumentando até H2 = Hsat todos os
histerons alcançam a e o triângulo de Preisach é totalmente
S+.
h  0, H 2 
Modelo de Preisach – Exemplo de construção de h
• Se o campo começa a decrescer, os histerons cujo b é
maior do que H chaveiam para o seu estado negativo.
• O processo é representado pelo crescimento da linha
horizontal b = H3.
h  0, H2 , H3
Modelo de Preisach – Exemplo de construção de h
• Se o campo atinge o valor de saturação negativo o plano de
Preisach é totalmente S-.
h  0, H2 , H5
Modelo de Preisach – Exemplo de construção de h
• Se o campo torna a crescer, os histerons tenderão a atingir
a saturação positiva novamente. A linha vertical a = H6
aparece no plano.
h  0, H2 , H5 , H6 
Modelo de Preisach – Exemplo de construção de h
• Se o campo decresce novamente antes de atingir a
saturação, um laço menor pode ser criado. No nosso
exemplo H6 varia até H7 (surgimento da linha b = H7)
h  0, H 2 , H5 , H6 , H7 
Modelo de Preisach – Exemplo de construção de h
• Se H retorna para H6 o laço menor é completo.
• Continuando a evolução de H, H6 desaparece de h. Esta é
a maneira que o modelo de Preisach consegue representar
os laços menores.
h  0, H2 , H5 , H7 
Note que somente os pontos de inversão são mantidos em h.
Modelo de Preisach – Caracterização de Materiais
• A condição para se modelar um material usando Preisach é
conhecer a função densidade do mesmo.
• Muitos métodos são propostos na literatura para a
identificação da mesma através de dados experimentais.
• Esses métodos requerem integrações e derivações o que
pode introduzir erros e instabilidade numérica na utilização
do modelo.
p  a, b  
2
1
2 
2

1 
 c 2 H 0   arctg  1   a  b  H 0   1   a  b  H 0  
c     H      H  
2
c 0 
c 0 
 
 

Modelo de Preisach – Caracterização de Materiais
• Outro método de caracterização é através da função de
Everett:
– A partir de um ciclo centrado medido de
amplitude Hm, para o braço descendente da
curva, a magnetização pode ser escrita como:
E  Hm , H  
M  Hm   M  H 
2
Ver obtenção da eq. anterior na minha tese
Modelo de Preisach – Caracterização de Materiais
• Para um conjunto de ciclos centrados, as curvas de Everret
podem ser obtidas para diversos níveis de indução ou
campo magnético.
• Usualmente são usadas entre 15 e 20 curvas medidas para
caracterizar o material.
• É necessário determinar a função de Everett para todos os
pares (H, Hm). Essa tarefa é realizada utilizando um
método de interpolação entre as curvas o qual deve
verificar a continuidade da função de Everett.
• Expressões para interpolação encontram-se detalhadas na
literatura.
Modelo de Preisach – Caracterização de Materiais
• Função de Everett para um material ferromagnético
projetada sobre o triângulo de Preisach.
Modelo de Preisach
• O modelo apresentado possui como variável independente o campo
magnético H. As mesmas considerações são válidas para o caso onde a
indução B é a variável independente.
• Com B como variável independente , a metodologia se mantém
inalterada, entretanto uma nova função de Everett deve ser obtida e o
método de interpolação também é outro para evitar instabilidade
numérica.
• A necessidade de funções de Everett diferentes para caracterização do
material a ser modelado com Preisach é um desvantagem do mesmo
em relação ao modelo de Jiles-Atherton onde um único conjunto de
parâmetros caracteriza o material independente da variável
independente considerada.
• Convém destacar que a função de Everett possibilita o cálculo da
magnetização total sem a necessidade de integração e derivação
numérica simplificando de maneira significativa a utilização do
modelo.
Atividade