Professora: Ingrid Lemos
Aula 02
Matemática: Convênio
GEOMETRIA ANALÍTICA
RETA
Na Geometria Analítica, a reta é representada por uma
equação. Há diferentes formas para apresentar a equação da
mesma reta. Trabalharemos duas equações (Geral e
Reduzida) que estabelecem relações entre as coordenadas
dos pontos da reta.
Para determinar uma reta, é necessário satisfazer
umas das condições:
 Dois de seus pontos sejam conhecidos;
 Um ponto da reta e sua direção sejam conhecidos.
COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA
O coeficiente angular ou a declividade de uma reta r é
o numero real m que é expressa pela tangente do ângulo de
inclinação α, ou seja:
ESTUDO DA RETA
Chamando - a/b = m e - c/b = n obtemos:
Esta equação expressa claramente a coordenada y em
função de x. O valor de m é o coeficiente angular e o valor
de n é o coeficiente linear da reta e m, n ∈ IR.
Exemplos:
y=x–5
y = -2x – 12
y = 7x + 21
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO

Paralelas
Duas retas r e s são paralelas (r//s) se suas inclinações
são iguais (
), ou seja:
Ou,
Outra maneira de determinar o coeficiente angular de
uma reta é conhecendo as coordenadas de dois pontos
distintos A (x1 ; y1) e B (x2 ; y2) pertencentes a reta, calcula-se
o coeficiente angular fazendo a variação das coordenadas de
y sobre a variação das coordenadas x, ou seja:
Exemplo:
Calcular o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos
A (2 ; 3) e B (4 ; 7).
.
Uma maneira pratica de verificar o paralelismo entre retas
é comparar suas equações gerais.
Comparando a razão entre seus respectivos coeficientes,
temos:

EQUAÇÃO GERAL DA RETA
Podemos estabelecer a equação geral de uma reta a
partir da condição de alinhamento de três pontos.
Dada uma reta r, sendo A (xA , yA) e B (xB , yB) pontos
conhecidos e distintos de r e P(x , y) um ponto genérico,
também de r, estando A, B e P alinhados, podemos escrever:
Se
. Temos que as retas são paralelas
iguais ou coincidentes.

Se
.Temos que as retas são paralelas
distintas.

Concorrentes
A análise é semelhante ao das retas paralelas.
Fazendo yA - yB = a, xB - xA = b e xAyB - xByA = c, como
a e b não são simultaneamente nulos A ≠ B , temos:
Exemplos:
2x + 5y - 4 = 0 (a = 2, b = 5, c = -4)
3x - 4y = 10 (a = 3, b = -4, c = -10)
3y + 12 = 0 (a = 0, b = 3, c = 12)
7x + 14 = 0 (a = 7, b = 0, c = 14)
EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA
Dada a equação geral ax + by + c = 0. Para achar a
equação reduzida da reta, basta isolar o valor de y, ou seja: y
= (- a/b)x - c/b.
Se comparar as equações gerais, temos:
afirmar que as retas r e s são concorrentes.
, podemos
OBSERVAÇÃO:
Para determinar as coordenadas do ponto de interseção
pertencente as retas, basta resolver o sistema formado pela
equação das retas.
1
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GEOMETRIA ANALÍTICA
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
Aula 02
ESTUDO DA RETA
 QUESTÃO 02
Perpendiculares
Se os ângulos de inclinação
temos:
são perpendiculares,
(Uepa - 2012) O gráfico abaixo representa, dentro do sistema
de eixos cartesianos ortogonais, a trajetória de um táxi, de um
bairro A para um bairro B, passando pelos bairros X e Y nessa
ordem.
Podemos comparar se as retas são perpendiculares
por meio de suas equações gerais:
Se os pontos A, X, Y e B pertencem a reta de equação
e as distâncias entre os pontos A e X; X e
Y; Y e B são iguais entre si, então, nessas condições, as
coordenadas dos pontos A e B, são respectivamente:
Verifica se
perpendiculares.
a)
e
b)
e
c)
e
d)
e
e)
e
, se isso ocorrer, elas serão
DISTANCIA DE UM PONTO A UMA RETA
A distancia de um ponto a uma reta nada mais é que
uma distancia entre dois pontos: o ponto dado fora da reta até
um ponto pertencente a reta formando uma projeção
perpendicular.
De posse de um ponto P(
) e uma equação
, determinamos a distancia entre um ponto e
uma reta através da expressão:
 QUESTÃO 03
(Enem - 2011) Um bairro de uma cidade foi planejado em
uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares,
delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de
coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no
Exemplo.
Sejam P(2, 3) e r: 3x – 4y + 1 = 0 determine a distancia P, r.
TESTANDO O CONHECIMENTO
 QUESTÃO 01
(UNIRG-TO) Um produtor deseja plantar milho verde em sua
propriedade e está fazendo um levantamento de quantos
litros de água ele terá que utilizar para o seu plantio,
sabendo-se que são necessários 9 litros para cada m² de
terra plantada. Contudo, o produtor não quer utilizar toda a
sua área disponível, ele deseja apenas utilizar uma área
representada e delimitada pelas retas:
. Neste caso, quantos litros de
água o produtor terá que utilizar para seu plantio?
a) 216 litros
b) 214 litros
c) 212 litros
d) 210 litros
segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em
quilômetros. A reta de equação
representa o
planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que
atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto
, localiza-se um hospital público. A comunidade
solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma
estação de metrô de modo que sua distância ao hospital, em
linha reta, não fosse maior que 5 km. Atendendo ao pedido
da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso
seria automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a
construção de uma estação de metrô no ponto
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GEOMETRIA ANALÍTICA
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3x − 2y −1 = 0
3x − 2y +1 = 0
2x − 3y −1 = 0
c)
d)
e)
a)
b)
ESTUDO DA RETA
c)
d)
e)
 QUESTÃO 04
(Unama - AM) O período de incubação da cólera pode ser de
algumas horas a até 5 dias, porém sua disseminação ocorre
com mais facilidade onde as condições de higiene são
precárias. Analisando uma colônia de vírus da cólera, um
pesquisador
registrou
a
disseminação do
número
desses
vírus
durante
algumas horas e
verificou
um
crescimento linear
conforme
o
gráfico abaixo, o
qual
apresenta
duas dessas observações. Esse registro poderia também ser
feito através da equação dessa reta, que é:
 QUESTÃO 07
(FGV) No plano cartesiano, o ponto P que pertence à reta de
equação y = x e é eqüidistante dos pontos A(-1,3) e B(5,7) tem
abscissa igual a:
a)3,1
b)3,3 c)3,4 d)3,5 e)3,2
 QUESTÃO 08
(FGV-SP) No plano cartesiano, seja P o ponto situado no 1º
quadrante e pertencente à reta de equação y = 3x. Sabendo
que a distância de P à reta de equação 3x + 4y = 0 é igual a 3,
podemos afirmar que a soma das coordenadas de P vale:
a)5,6 b)5,2 c)4,8 d)4,0 e)4,4
 QUESTÃO 09
Uma barra de ferro com temperatura inicial de -10°C foi
aquecida até 30°C. O gráfico anterior representa a variação da
temperatura da barra em função do tempo gasto nessa
experiência. Calcule em quanto tempo, após o início da
experiência, a temperatura da barra atingiu 0°C.
a) N - T - 3 = 0
b) T + N - 3 = 0
c) N + 3T - 4 = 0
d) T - N + 2 = 0
e) 2T + N – 3 = 0
 QUESTÃO 05
(UNIMONTES-MG) Um raio luminoso, emitido por uma
lanterna localizada no ponto M(4,8), reflete-se em N(6,0). A
equação da semireta r, trajetória do raio refletido, é
a)
b)
c)
d)
y + 4x – 24 = 0
y – 4x – 24 = 0
y – 4x + 24 = 0
y + 4x + 24 = 0
M
a)1 min
b)1 min e 5 seg
c)1 min e 10 seg
d)1 min e 15 seg
e)1 min e 20 seg
P
8
GABARITO:
0
4
N
8
x
1
A
2
A
3
B
4
D
5
C
6
C
7
E
8
D
9
D
 QUESTÃO 06
(CEFET-PB) Suponha que, em determinado instante, no
futebol feminino, a jogadora Marta esteja com a bola no ponto
M(−1,−2) do sistema cartesiano xOy. Sabendo que duas
atletas adversárias estão localizadas nos pontos A(0, 1) e B(1,
0) e que Juliane, companheira de Marta, está em um ponto J
do primeiro quadrante, que dista 13 unidades de Marta e é
eqüidistante de A e de B, uma equação da reta que a bola
deve seguir rasteira, passando por Marta e por Juliane, pode
ser representada por: (despreze as dimensões da bola e das
atletas)
a) 3x + 2y = 0
b) 3x − 2y = 0
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