PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
Faculdade de Matemática – Departamento de Matemática
CÁLCULO DIFERENCIAL INTEGRAL III
MARIA SALETT BIEMBENGUT
PORTO ALEGRE
2010
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1ª Parte: Funções de Várias Variáveis
A aparente complexidade da matemática deriva de idéias basicamente simples centradas na
comparação de grandezas e formas. É a linguagem, da descrição, do número e do tamanho. Contar e
comparar são atributos próprios do ser humano - são tão inatos quanto os dedos. O conceito de
número, por exemplo, foi objeto de um processo longo e gradual; acredita-se que tenha sua origem na
Antigüidade pré-histórica. As relações funcionais, em particular, ocorrem em todas as atividades desse
meio. São muitas as "leis físicas" onde podemos verificar como certas quantidades dependem de outras
na medida em que essas variem.
Muitas relações são de natureza qualitativa, porém, aquela na qual pode associar quantidades,
em geral, é possível estabelecer uma "lei" matemática ou modelo matemático que represente ou
descreva essa relação. Uma relação onde ocorre a "unicidade da associação em somente uma direção"
(Batschelet, 1978), em matemática é denominada de função. Pelo Dicionário da Língua Portuguesa,
função significa "ação natural e própria de qualquer coisa". Em matemática, significa uma "lei" que rege
a interdependência de quantidades variáveis. Observando as "leis" físicas é possível verificar o que a
"ação natural e própria" de certas situações acarreta em outra(s) que seja(m) dependente(s).
A idéia de função e a partir desta a idéia de limite, derivada e integral tem sido utilizada por
muitos cientistas há séculos. A história da Ciência testemunha. Segundo Boyer (1974), no século XIII
vários “filósofos escolásticos vinham discutindo a quantificação das „formas‟ variáveis, um conceito de
Aristóteles, aproximadamente, equivalente a qualidades. Entre tais formas havia coisas como a
velocidade de um objeto móvel e a variação de temperatura, de ponto para ponto, num objeto com
temperatura não-uniforme”.
Conhecedor
desses
resultados,
Nicole
Oresme
(1323-1382)
procurou
representar
graficamente, a relação “velocidade-tempo para um corpo que se move com aceleração constante”.
Embora a idéia de Oresme não fosse original, a forma como representou é considerada por Boyer como
a mais objetiva. A palavra função, porém, só foi utilizada por Leibniz (1646-1716) e a idéia de função,
como fórmula matemática que expressa a natureza exata da relação, pelos matemáticos do século
XVIII. Ao longo dos anos, a idéia de função, ampliou significativamente, sendo hoje de grande
importância em quase todas as áreas do conhecimento.
Vários fenômenos físicos envolvem várias variáveis. Por exemplo, a dosagem de medicamento
que uma pessoa pode ingerir quando possui alguma enfermidade depende da faixa etária, massa
corpórea, pressão sanguínea, grau de enfermidade, dentre outras variáveis. Estabelecer uma lei que
melhor represente estas relações e assim, avaliar possíveis resultados requer um conjunto de
ferramentas como: Limite, Diferenciação, Integral indefinida e definida. Iniciaremos discutindo funções
de duas variáveis, limites e derivadas para estudar planos tangentes, taxas de variação e problemas de
maximização e minimização e, em seguida, estender estes conceitos para funções de várias variáveis.
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1. FUNÇÃO DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Nos estudos preliminares sobre corrente elétrica temos, por exemplo:
a) “Num fio condutor a intensidade de corrente elétrica na seção 0 do condutor depende da quantidade
de carga no intervalo de tempo”.
q
i= t
(*)
b) “A potência elétrica é proporcional ao quadrado da tensão, quando R é constante”.
(**)
P=
U2
R
U2
Cons tan te
c) “A 1a Lei de Ohm afirma que a intensidade de corrente é proporcional a tensão U aplicada, desde
que a temperatura seja mantida constante”.
(***)
U=R.i
R = constante
Os três exemplos, acima, mostram que um determinado conjunto de outro (ou outros).
Esta “relação” onde um conjunto “A”, um conjunto “B” e uma regra onde cada elemento de
“A” está associado a, exatamente, um único elemento de “B” é denominado “função”.
No exemplo (*) acima pode-se dizer que a função é de duas variáveis e nos outros dois, de uma
variável.
1.1. Função real de uma variável
Uma função é uma regra f que a cada n x associa outro n real f(x).
f: A
R,
y = f(x)
Onde:
- conjunto A é chamado domínio de f.
- conjunto B = {y
R/
x
A, f(x) = y} é chamado imagem de A pela função f.
- gráfico de uma função é o conjunto de pares (x, y) do plano:
Graf (f) = {(x, y) R x R / y = f(x)} é uma imagem geométrica da função.
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As funções (de uma variável) elementares podem ser divididas em polinomiais e
transcendentes. Abaixo, os exemplos: 1) e 2) são polinomiais e os 3) 4) 5) são transcendentes.
1a) Função do 1o grau ou afim:
y = ax + b
2a) Função do 2o grau ou quadrática:
y = ax2 + bx + c
3a) Função exponencial:
y =a ex
4a) Função Logarítmica:
y = ln kx
5ª) Função Seno:
y = a sen(kx)
Onde a, b, c, k são constantes.
1.2. Função de duas variáveis
Retratando o exemplo: Num fio condutor a intensidade de corrente elétrica na seção 0 do
condutor depende da quantidade de carga no intervalo de tempo.
i =
q
t ou seja, a intensidade (i) média de corrente elétrica é função da quantidade (q) de
carga no intervalo de tempo (t)
Poderíamos denotar por: i = i (t, q) =
q
t
que é uma função de duas variáveis.
As funções de duas variáveis em matemática, usualmente, são denotadas por:
z = f(x,y)
Definição: Seja D um conjunto de pares ordenados de nos Reais. Uma função f que a cada par (x, y) de
D associa um único no relacionado, denotado por f(x, y), é uma função de duas variáveis. D é o domínio
de f. O contradomínio de f consiste de todos os nos reais f(x, y) com (x, y)
D.
Representação Gráfica: O gráfico das funções de duas variáveis no espaço (x, y z) é uma superfície.
No estudo da geometria analítica espacial encontramos funções dessa superfície. Por exemplos:
a) Plano:
ax + by + cz +d
ou
z = a‟x + b‟y + d‟
b) Cilindros
O gráfico de uma equação f(x, y) = 0 é usualmente uma curva do plano xy. Os cilindros são
superfícies seguintes aos planos em ordem de complexidade. Para compreender o que são essas
superfícies, consideremos uma curva plana C e uma reta l, não paralela ao plano C.
l
Cilindro é uma figura geométrica do espaço
c
gerada
por
uma
reta
que
se
paralelamente a l com pontos em C.
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move
Supondo que a curva dada C seja a curva f(x, y) = 0
do plano xy e seja a geratriz (reta
móvel) paralela ao eixo z.
z
Observe que o valor de Z não influi no fato
de P = (x, y, z) estar ou não no cilindro.
y
x
c) Superfície Quadrática
Vimos que o gráfico de uma equação do 2o grau nas variáveis x e y é sempre uma secção
cônica - uma parábola, uma elipse, uma hipérbole ou talvez alguma forma degenerada de uma dessas
curvas.
No espaço tridimensional, a equação mais geral do 2o grau é:
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxz + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0
O gráfico de tal equação se chama Superfície Quadrática. Por meio de rotações e translações
convenientes dos eixos coordenados, simplificamos qualquer equação do tipo (1) e podemos mostrar
que há exatamente 06 (seis) tipos distintos de superfícies quadráticas não degeneradas:
Elipsóide
Hiperbolóide de uma folha
Hiperbolóide de duas folhas
Cone elíptico
Parabolóide elíptico
Parabolóide hiperbólico
z
Exemplos:
1) Elipsóide
x2
a2
y2
b2
z2
c2
1
y
x
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x2
a2
2) Hiperbolóide de uma folha
y2
b2
z2
c2
1
z
y
y
x
x
z
x2
a2
3) Hiperbolóide de duas folhas
y2
b2
z2
c2
1
y
x
z
4) Cone elíptico
x2
a2
y2
b2
z2
c2
y
5) Parabolóide elíptico: z = ax2 + by2
x
z
y
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x
z = by2 - ax2
6) Parabolóide hiperbólico
1.3. Função de várias variáveis
Rn, uma função definida em D (domínio da função) com valores reais, denotada
Definição: Seja D
por f: D
R é uma lei que associa a cada dupla (x1, x2, ..., xn)
D um único valor real. O conjunto de
valores reais que f pode assumir é chamada imagem de D pela f, ou f(D).
Gráfico de f: Se f: D
Rn
R, definimos gráfico de f por
{(x1, x2, ..., xn)
Rn + 1 : z = f(x1,..., xn)}
Observação.: O traço de uma superfície sobre um plano arbitrário é a intersecção da superfície com o
plano. Para determinar a forma da superfície a partir de sua equação, costuma-se utilizar traços em
planos paralelos aos planos coordenados. Outro método gráfico útil para descrever o comportamento de
uma função f de duas variáveis, consiste em esboçar no plano xy, os gráficos das equações f(x, y) = k,
para vários valores de k. Os gráficos assim obtidos chamam-se Curvas de Nível.
Z = k1
Z = k2
Z = k2
Z = k3
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EXERCÍCIOS
A) Determine o domínio de f e o valor de f nos pontos indicados:
1) f(x, y) = 2x - y2
2) f(x, y) =
y
(-2, 5), (5, -2), (0, 2)
2
(3, 1),
x
(1, 3), (2, 0)
B) Descreva o gráfico de f:
1) f(x, y) =
1 x2
y2
2) f(x, y) = 6 - 2x - 3y
C) Esboce algumas curvas de nível associada a f:
1) f(x, y) = y2 -x2
2) f(x, y) = y - sen x
D) Determine o domínio da função dada:
1) f(x, y) =
xy
y - 2x
2) f(x, t) = 1 x
1
y
3) f(x, y) = xy
E) Esboce o gráfico e algumas curvas de nível:
1)
Z = 2x2 + y2
2)
Z = x2 –y2
3)
f(x, y) = 2
4)
f(x, y) = 1- 3x – 2y
F) O potencial elétrico em um ponto (x, y) do plano xy é V volta e V = 4 9 - x2 - y2. Trace as curvas
equipotenciais para V = 16, 12, 4, 1.
G) A temperatura em um ponto (x, y) de uma placa de metal plana é t graus e t = 4x2 + 2y2. Trace as
isotermas para t = 0, 1, 8, 12.
H) Encontre três exemplos na área específica de estude:
1) Determine o domínio e imagem
2) Esboce o gráfico no R3
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