UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO
ANDERSON ANTONIO DE ARAUJO
ABORDAGEM DE ALGUNS LUGARES GEOMÉTRICOS PLANOS
EM UM AMBIENTE DE GEOMETRIA DINÂMICA
SÃO PAULO
2011
UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
ANDERSON ANTONIO DE ARAUJO
ABORDAGEM DE ALGUNS LUGARES GEOMÉTRICOS PLANOS
EM UM AMBIENTE DE GEOMETRIA DINÂMICA
Dissertação submetida à banca examinadora da
Universidade Bandeirante de São Paulo, como
exigência parcial para a obtenção do título de Mestre
em Educação Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Luiz Gonzaga Xavier de Barros
SÃO PAULO
2011
Araujo, Anderson Antonio de
Abordagem de alguns lugares geométricos planos em um ambiente de
geometria dinâmica / Anderson Antonio de Araujo. São Paulo: [s.n.], 2011.
Dissertação de Mestrado para a obtenção do título de Mestre em
Educação Matemática. Programa de Pós Graduação em Educação
Matemática da Universidade Bandeirante de São Paulo.
Orientador: Prof. Dr. Luiz Gonzaga Xavier de Barros.
1. Educação matemática 2. Ensino e aprendizagem 3. Lugar geométrico 4.
Livros didáticos 5. História da Matemática. 6. Geometria Dinâmica.
I. Título
ANDERSON ANTONIO DE ARAUJO
ABORDAGEM DE ALGUNS LUGARES GEOMÉTRICOS PLANOS EM
UM AMBIENTE DE GEOMETRIA DINÂMICA
DISSERTAÇÃO APRESENTADA À UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO,
COMO EXIGÊNCIA DO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA,
PARA OBTENÇÃO DO TÍTULO DE MESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Presidente e Orientador
NOME:
Titulação:
Instituição
ASSINATURA: __________________________________________________
2ª Examinador
Nome:
Titulação:
Instituição:
ASSINATURA: __________________________________________________
3ª Examinador
Nome:
Titulação:
Instituição:
Assinatura: __________________________________________________
Biblioteca
Bibliotecário:
Assinatura:_________________________________________Data____/____/____
São Paulo,
de
de 2011
Autorizo exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou
parcial desta dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
i
Dedicatória
Dedico esse trabalho à minha mãe, Norma Dutra de Araujo, ao meu pai
Deusded Gomes de Araujo, ao meu tio Santinho ( Sebastião Dutra ) e aos amigos
Paulo Roberto Furtado Dias e Paulo Roberto Petrillo pois foram pessoas que sempre
acreditaram nos meus sonhos e permaneceram do meu lado, mesmo nos momentos
mais difíceis da minha vida . De coração, agradeço pela amizade de todos vocês e
sempre terei um lugar reservado dentro de mim para lembrar da importância do
amor e do carinho que sempre terei por vocês.
ii
Agradecimentos
Agradeço a Virgem Maria pela presença constante na minha vida e a sua
ajuda amorosa que fez com que eu me reerguesse e continuasse meu caminho me
fazendo enxergar que nenhuma situação triste e dolorosa dura para sempre.
Ao Prof. Dr. Luiz Gonzaga Xavier de Barros pela orientação competente e
pela sua incrível sensibilidade, aliada ao seu grande conhecimento, que tanto me
ajudou a encontrar os caminhos corretos no desenvolvimento do meu trabalho
.
Ao meu amigo Laerte, que esteve sempre presente do meu lado, me
apoiando em todos os momentos do meu trabalho. Ao Governo do Estado de São
Paulo pela bolsa concedida a minha pessoa e ao apoio incondicional da direção e
coordenação da FAFIT agradeço o apoio.
Agradeço também a Dona Arlete por ter me acolhido como um filho em sua
casa e a professora Josete Biral pela revisão competente da parte gramatical da
minha dissertação.
iii
Sucesso é, antes de tudo, a exata e intransferível sensação
de fazermos aquilo que gostamos. Não há nada mais
gratificante do que a realização de nossos sonhos!
Quando identificamos o que efetivamente nos motiva,
conseguimos entender e buscar a verdadeira razão de
nossa existência: O poder de sonhar e de realizar.
Karine Bighelini
iv
RESUMO
Este trabalho apresenta os resultados de uma pesquisa exploratória com seis
estudantes do 9º ano do Ensino Fundamental de uma escola estadual da cidade de
Itararé – SP sobre abordagem de alguns lugares geométricos em dois ambientes de
aprendizagem: um ambiente de papel & lápis e um ambiente de Geometria
Dinâmica. Para embasá-la foram tomados como referenciais a Engenharia Didática
de Michèle Artigue, a Teoria das Situações Adidáticas e o Contrato Didático da Guy
Brousseau. Como elemento motivador, o trabalho se apoiou nos aspectos históricos
de lugares geométricos e na análise de alguns livros didáticos utilizados nas últimas
décadas. Para o aspecto exploratório, foram elaboradas e aplicadas oito atividades
referentes a lugares geométricos a dois grupos de estudantes. Um dos grupos
trabalhou em um ambiente de papel & lápis, enquanto o outro grupo trabalhou num
ambiente de Geometria Dinâmica. Em seguida foram feitas análises das produções
discentes. A pesquisa chegou em dois resultados. O primeiro é que a noção de lugar
geométrico evoluiu ao longo do tempo, mas só recentemente tem sido abordada de
maneira mais qualificada nos livros didáticos. O segundo resultado do trabalho é que
o ambiente de Geometria Dinâmica favorece o processo de ensino e aprendizagem
de lugar geométrico, pois nele foi obtido um número bem maior de informações e de
maneira mais rápida que no ambiente de papel & lápis, facilitando, assim, a
formação do conceito de lugar geométrico.
Palavras chaves: Educação matemática, Ensino e aprendizagem. Lugar geométrico.
Livros didáticos. História da Matemática. Geometria Dinâmica.
v
ABSTRACT
This work presents the results of an exploratory research with Fundamental Teaching
9th grade students in a state school in Itararé – SP about the approach to some loci in
two learning environments: a paper & pencil environment and a Dynamic Geometry
environment. The Didactics Engineering by Michele Artigue and the Didactics
Situations Theory and Didactic Contract by Guy Brousseau are taken as referential.
The historical aspects of locus and the analysis of some didactical books which were
in use during the last decades support this work as a motivational element. Eight
activities related to focus were elaborated and applied to two groups of students. One
of the groups worked in a paper & pencil environment while the other group worked
in a Dynamics Geometry environment. After that it was made analysis of the student
productions. The research had two conclusions. The first is that the locus notion had
an evolution from the Antiquity but only recently this matter has been approached in
a better qualified way in the didactics books. The second conclusion of this work is
that the Dynamics Geometry helps the teaching and learning process of locus, since
in it a bigger number of data was obtained and in a quicker way than in the paper &
pencil environment, becoming easier the locus concept formation.
Key words: Mathematics education. Teaching and learning. Locus. Didactics books.
Mathematics History. Dynamics Geometry.
vi
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 : Situação de ação.......................................................................................12
Figura 2 : Situação de formulação.............................................................................13
Figura 3 : Situação de validação................................................................................14
Figura 4: Caderno do aluno 2a série..........................................................................21
Figura 5 : Caderno do aluno 6a série..........................................................................21
Figura 6 : duplicação do cubo...................................................................................23
Figura 7 : Trissecção do ângulo ABC ........................................................................25
Figura 8 : conchóide de Nicomedes...........................................................................28
Figura 9 : Trissecção do ângulo dado ABC ...............................................................29
Figura 10 : Demonstração da proposição XVIII ........................................................30
Figura 11 : Espiral de Arquimedes ............................................................................31
Figura 12 : Trissecção usando espiral Arquimedes...................................................32
Figura 13 : Quadratriz Hípias ...................................................................................33
Figura 14 : Cissóide Diocles .....................................................................................35
Figura 15 : Demonstração da equação cissóide ......................................................35
Figura 16 : trissecção de um ângulo usando uma hipérbole ....................................37
Figura 17 : Demonstração da trissecção de um ângulo usando uma hipérbole.......38
Figura 18 : capa do livro Geometria Elementar.........................................................41
Figura 19 : Indice do livro Geometria Elementar.......................................................41
Figura 20 : Explicação do conceito de mediatriz ......................................................42
Figura 21: Exercícios de bissetriz interna .................................................................42
Figura 22: Exercícios propostos sobre lugares geométricos ....................................43
Figura 23: Livro II : Circulo.........................................................................................44
Figura 24: Arco capaz................................................................................................44
Figura 25: Aplicação do conceito de arco capaz........................................................45
Figura 26: Problema do circulo de Apolônio...............................................................46
Figura 27: Definição de circunferência como limite de polígonos regulares..............47
Figura 28: Capa do livro Matemática: Curso Ginasial - 3a Série ..............................48
Figura 29: Índice do capítulo II PARTE I...................................................................49
Figura 30: Índice do capítulo 2 PARTE II..................................................................49
vii
Figura 31: Os instrumentos geométricos na construção de lugares geométricos....50
Figura 32: Definição de lugar geométrico.................................................................50
Figura 33: mediatriz e bissetriz interna como lugares geométricos..........................51
Figura 34: Circunferência como lugar geométrico....................................................51
Figura 35 : Construção da bissetriz interna..............................................................53
Figura 36 : Lugar geométrico dos pontos cuja razão das distâncias a dois pontos
fixos é constante PARTE I........................................................................................53
Figura 37 : Figura 36 : Lugar geométrico dos pontos cuja razão das distâncias a
dois pontos fixos é constante PARTE II....................................................................53
Figura 38 : Capa do livro Lugares Geométricos Planos............................................54
Figura 39 : Sistema de referência para se resolver problemas de lugares
geométricos...............................................................................................................55
Figura 40 : Histórico sobre origem do termo lugar geométrico.................................55
Figura 41 : Observações para se resolver problemas de lugares geométricos........56
Figura 42 : Lugar geométrico dos pontos cuja diferença dos quadrados das
distâncias a dois pontos fixos seja constante...........................................................57
Figura 43 : Lugar dos pontos cuja razão das distâncias a um ponto fixo e uma reta
fixa, ( que não se pertençam ) seja constante...........................................................58
Figura 44 : Elipse, hipérbole e parábola como lugares geométricos........................59
Figura 45 : O problema Delineano............................................................................60
Figura 46 : Solução de Menecmo para o problema da duplicação do cubo.............60
Figura 47 : Solução de Diocles para o problema da duplicação do cubo.................61
Figura 48 : Etimologia de alguns lugares geométricos.............................................61
Figura 49 : Capa do livro Matemática Ginasial 3a série de Roxo –Thiré – Melo e
Souza (Livraria Francisco Alves de 1948 – 3aedição)...............................................63
Figura 50 : Definição de lugar geométrico como trajetória de pontos........................63
Figura 51 : Exemplos de lugares geométricos definidos como trajetórias de
pontos........................................................................................................................64
Figura 52 : Definição de lugar geométrico como conjuntos de pontos......................64
Figura 53 : Definição de circulo como lugar geométrico............................................65
Figura 54 : Superfície esférica como lugar geométrico.......... ...................................65
Figura 55 : Critérios para se estabelecer um lugar geométrico..................................65
Figura 56 : Outra forma de se estabelecer um lugar geométrico ..............................66
viii
Figura 57 : A mediatriz como lugar geométrico.........................................................66
Figura 58 : A bissetriz como lugar geométrico..........................................................67
Figura 59 : Definição de problema gráfico e de problema quadrático.......................67
Figura 60 : Método dos lugares geométricos............................................................68
Figura 61 : Construções geométricas pelo método dos lugares geométricos..........68
Figura 62 : Definição de circulo como lugar geométrico...........................................68
Figura 63 : Diâmetro como lugar geométrico............................................................69
Figura 64 : ângulo sob o qual se vê um segmento de reta.......................................69
Figura 65 : Capa do livro Desenho Geométrico – Jose Carlos Putnoki ....................69
Figura 66 : O método dos lugares geométricos.........................................................71
Figura 67 : Circunferência como lugar geométrico.....................................................72
Figura 68 : Mediatriz como lugar geométrico.............................................................73
Figura 69 : Resolução de exercícios pelo uso do método do lugar geométrico.........74
Figura 70 : Retas paralelas e Bissetriz como lugares geométricos ...........................75
Figura 71 : Definindo um lugar geométrico................................................................78
Figura 72 : Construindo pontos com o LOCI..............................................................78
Figura 73 : Fazendo conjecturas com o LOCI............................................................79
Figura 74 : Atividade envolvendo uso do LOCI..........................................................79
Figura 75 : Análise do lugar geométrico................................................................79/80
Figura 76 : Solução de um aluno usando o LOCI......................................................81
Figura 77 : Lugar geométrico do simétrico de um ponto P.........................................83
Figura 78 : Solução do Cabri evidenciando uma parábola.......................................85
Figura 79 : Soluções do Cabri evidenciando uma hipérbole e uma elipse................85
Figura 80 : Limaçon de Pascal...................................................................................86
Figura 81 : Uso do wandering dragging ....................................................................90
Figura 82 : Uso do line dragging ...............................................................................91
Figura 83 : Uso do linked dragging ...........................................................................91
Figura 84 : Uso do dragging test ...............................................................................92
Figura 85 : Baricentro como lugar geométrico...........................................................95
Figura 86 : Uso das ferramentas lugar geométrico e rastro no Cabri-Géomètre II ...95
Figura 87 : Solução do problema do baricentro como lugar geométrico....................96
Figura 88 : Desenhos protótipos................................................................................98
Figura 89 : Variação da posição do ortocentro...........................................................98
Figura 90 : Ortocentro como lugar geométrico...........................................................99
ix
Figura 91 : Demonstração ortocentro como lugar geométrico ................................100
Figura 92 : Ângulos inscritos numa circunferência ...................................................103
Figura 93 : Construção usando lugar geométrico.....................................................104
Figura 94 : Passos de uma construção usando o método dos lugar geométricos...105
Figura 95 : construção mole divisão segmento em 3 partes iguais...........................106
Figura 96 : Divisão de um segmento em 3 partes iguais...........................................106
Figura 97 : Campo de futebol exemplificando um problema de lugar geométrico...110
Figura 98 : Solução do problema 1............................................................................111
Figura 99 : Solução do problema 2............................................................................113
Figura 100 : Atividade 1.............................................................................................117
Figura 101 : Resolução da atividade 1 do GRUPO I.................................................118
Figura 102 : Resolução da atividade 1 do GRUPO II................................................120
Figura 103 : Atividade 2............................................................................................123
Figura 104 : Resolução da atividade 2 do GRUPO I................................................126
Figura 105 : Resolução da atividade 2 do GRUPO II..............................................126
Figura 106 : Atividade 3............................................................................................127
Figura 107 : Resolução da atividade 3 do GRUPO I................................................129
Figura 108 : Resolução da atividade 3 do GRUPO II..............................................131
Figura 109 : Atividade 4............................................................................................132
Figura 110 : Resolução da atividade 4 do GRUPO I................................................134
Figura 111 : Resolução da atividade 4 do GRUPO II...............................................136
Figura 112 : Atividade 5............................................................................................138
Figura 113 : Resolução da atividade 5 do GRUPO I................................................140
Figura 114 : Resolução da atividade 5 do GRUPO II...............................................142
Figura 115 : Atividade 6............................................................................................143
Figura 116 : Resolução da atividade 6 do GRUPO I................................................145
Figura 117 : Resolução da atividade 6 do GRUPO II...............................................148
Figura 118 : Atividade 7............................................................................................149
Figura 119 : Resolução da atividade 7 do GRUPO I................................................150
Figura 120 : Resolução da atividade 7 do GRUPO II...............................................152
Figura 121 : Atividade 8............................................................................................154
Figura 122 : Resolução da atividade 8 do GRUPO I................................................156
Figura 123 : Resolução da atividade 8 do GRUPO II..............................................158
x
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 - Atividade 1 GRUPO I.....................................118/119
Quadro 2 - Atividade 1 GRUPO II...........................................121
Quadro 3 - Atividade 2 GRUPO I............................................124
Quadro 4 - Atividade 2 GRUPO II...........................................126
Quadro 5 - Atividade 3 GRUPO I............................................129
Quadro 6 - Atividade 3 GRUPO II...........................................131
Quadro 7 - Atividade 4 GRUPO I............................................134
Quadro 8 - Atividade 4 GRUPO II...........................................137
Quadro 9 - Atividade 5 GRUPO I.....................................140/141
Quadro 10 - Atividade 5 GRUPO II..................................142/143
Quadro 11 - Atividade 6 GRUPO I..........................................146
Quadro 12 - Atividade 6 GRUPO II..................................148/149
Quadro 13 - Atividade 7 GRUPO I..........................................151
Quadro 14 - Atividade 7 GRUPO II.........................................153
Quadro 15 - Atividade 8 GRUPO I..........................................156
Quadro 16 - Atividade 8 GRUPO II.........................................158
xi
SUMÁRIO
CAPÍTULO I
FUNDAMENTOS METODOLÓGICOS
1.1 Introdução ................................................................................................................. 1
1.2 O conceito de Engenharia Didática .......................................................................... 4
1.3 A noção de Contrato Didático .................................................................................... 8
1.4 A Teoria das Situações Didáticas..............................................................................10
CAPÍTULO II
ASPECTOS HISTÓRICOS DO CONCEITO DE LUGAR GEOMÉTRICO
2.1 Introdução ............................................................................................................... 16
2.2 A importância da História da Matemática no processo de ensino aprendizagem ... 18
2.3 Os Cadernos da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo........................19
2.4 Os três problemas clássicos da Antiguidade ........................................................... 21
2.4.1 O problema da trissecção de um ângulo ......................................................... 22
2.4.2 O problema da duplicação do cubo ................................................................. 23
2.4.3 O problema da quadratura do circulo .............................................................. 24
2.5 A construção por nêusis e o uso de lugares geométricos na solução dos três
problemas clássicos da antiguidade grega ....................................................................24
2.6 Nicomedes e sua solução para o problema da trissecção de um ângulo ................ 27
2.7 A espiral de Arquimedes e sua solução para o problema da trissecção de um
ângulo.............................................................................................................................29
2.8 A quadratriz de Hípias e o seu uso na solução do problema da trissecção
de um ângulo e na quadratura do circulo....................................................................... 33
2.9 A cissóide de Diocles e sua solução para o problema da duplicação do cubo........ 34
2.10 Papus de Alexandria e a solução do problema da trissecção usando uma
hipérbole........................................................................................................................ 36
xii
CAPÍTULO III
O CONCEITO DE LUGAR GEOMÉTRICO EM ALGUNS LIVROS DIDÁTICOS
3.1 Introdução.................................................................................................................40
3.2 Livro: Geometria Elementar..................................................................................... 41
3.3 Livro: Matemática: Curso Ginasial ........................................................................... 48
3.4 Livro: Lugares Geométricos Planos......................................................................... 54
3.5 Livro : Matemática Ginasial......................................................................................63
3.6 Livro: Desenho Geométrico......................................................................................70
CAPÍTULO IV
O
PAPEL
DA
GEOMETRIA
DINÂMICA
NO
PROCESSO
DE
ENSINO-
APRENDIZAGEM DO CONCEITO DE LUGAR GEOMÉTRICO
4.1 Introdução ............................................................................................................... 76
4.2 O software Loci ....................................................................................................... 77
4.3 O software Cabri – Géomètre II e lugares geométricos........................................... 82
4.4 Tipos de deslocamento ........................................................................................... 87
4.4.1 Um exemplo de aplicação do conceito de deslocamento na solução de um
problema de lugar geométrico ....................................................................................... 90
4.5 As conjecturas e a demonstração matemática no ambiente de geometria dinâmica
........................................................................................................................................94
4.6....... As construções moles e robustas e o papel de cada uma delas no ensino da
Geometria e dos lugares geométricos......................................................................101
4.6.1 A construção robusta .................................................................................... 102
4.6.2 A construção mole ........................................................................................ 105
4.7 O uso dos problemas abertos e a Geometria Dinâmica ........................................ 107
4.7.1 Análise e discussão dos problemas abertos ................................................... 111
xiii
CAPÍTULO V
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS E ANÁLISE DAS ATIVIDADES
5.1 Experimento de ensino...........................................................................................115
5.2 Sujeitos da pesquisa...............................................................................................115
5.3 Procedimento experimental....................................................................................116
5.4 Atividades propostas..............................................................................................116
5.4.1 Análise a priori e a posteriori da atividade 1.................................................116
5.4.2 Análise a priori e a posteriori da atividade 2.................................................122
5.4.3 Análise a priori e a posteriori da atividade 3.................................................127
5.4.4 Análise a priori e a posteriori da atividade 4.................................................132
5.4.5 Análise a priori e a posteriori da atividade 5.................................................138
5.4.6 Análise a priori e a posteriori da atividade 6 .................................................143
5.4.7 Análise a priori e a posteriori da atividade 7.................................................149
5.4.8 Análise a priori e a posteriori da atividade 8.................................................153
5.5 Considerações sobre as atividades.......................................................................159
Considerações finais....................................................................................................161
Referencias bibliográficas............................................................................................164
1
CAPÍTULO I – FUNDAMENTOS METODOLÓGICOS
1.1 Introdução
Desde a adolescência, o estudo da Geometria foi algo que me cativou
bastante. Busquei com o passar do tempo, pesquisar diversas obras, no intuito de
conseguir aprender de forma mais simples este conteúdo. Alguns autores eram bem
metódicos colocando cada tema de forma bem ordenada e fazendo inúmeras
demonstrações.
Outros autores buscavam um diálogo mais aberto com os leitores, explicando
a teoria envolvendo algumas situações diárias que pudesse ficar evidenciada a
utilidade da Geometria. Desta forma, percebi que muitos assuntos eram vistos com
um enfoque bem grande, como, por exemplo, a semelhança de triângulos e indo
num caminho contrário notei que um assunto sempre era colocado de forma
simplória no final de alguns livros. Muitas das vezes era exposto no final da obra
como uma observação ou se um capítulo era dedicado a este assunto,
pouquíssimas páginas eram escritas. Falo do conceito de lugar geométrico exposto
nos livros didáticos.
Com o passar do tempo, ingressei no curso de licenciatura em Matemática na
Universidade Federal de São Carlos, onde tive contato com uma disciplina chamada
História da Matemática. Este curso me ajudou a pensar e procurar respostas para
diversas questões relativas ao ensino do conceito de lugar geométrico exposto nos
livros didáticos. Percebi que nenhum enfoque histórico era dado e me deparei com
diversas dúvidas e a principal foi: Será que o enfoque abordado em relação ao
conceito de lugar geométrico sempre foi visto desta maneira? Existiu alguma época
no qual um enfoque diferenciado foi dado a este tema?
Analisando obras da Federal de São Carlos relativas à História da Matemática
percebi que o conceito de lugar geométrico era algo muito mais profundo pois estava
envolvido na solução de diversos problemas históricos, dando desta forma uma
grande contribuição para a evolução da Matemática. Desta forma, surgiu na minha
mente a necessidade de procurar associar a História da Matemática com o conceito
de lugar geométrico.
2
De fato, estudando os livros didáticos atuais percebi um único enfoque
voltado somente para alguns lugares geométricos, como a circunferência e a
mediatriz de um segmento, e colocando desta forma o conceito de lugar geométrico
como algo superficial desprovido de qualquer associação histórica. O aspecto
histórico é primoroso no ensino da Matemática. Este tipo de enfoque potencializa em
muito a aprendizagem de um aluno e esta visão não é usada de forma continua em
diversos livros didáticos atuais. Gomes (2005, p.58 apud VIANNA, 1995, P.4) nos
fala a respeito disso.
A análise dos livros didáticos revelou-me que os usos didáticos da
História da Matemática têm estado limitados às questões de
motivação e/ou simples informações adicionais, raramente
incorporando-se o conhecimento histórico na elaboração de novas
sequências ou estratégias didáticas. (VIANNA, 1995: 4)
Levando em consideração a importância que creditamos ao uso da História
da Matemática como algo tangível, que visa melhorar a compreensão do aluno,
tornando-o um sujeito crítico com relação aos conceitos matemáticos ao seu redor,
foi criado um capítulo que visa dar suporte a este aspecto, relacionando - o ao
conceito de lugar geométrico. Tivemos este intuito no sentido de desmitificar o
aspecto puramente formal de um lugar geométrico dado nos livros didáticos atuais,
desligando-o de qualquer prática histórica, deixando assim de mostrar o seu uso na
solução de problemas importantíssimos que serviram de base para o aprimoramento
de muitos conceitos matemáticos.
Tendo em mente este tipo de metodologia, foi feita uma análise de 4 livros
didáticos existentes em épocas distintas e foram estudadas as metodologias
estabelecidas por cada um destes com relação ao conceito de lugar geométrico.
Esta análise foi feita buscando responder a uma primeira questão: Como o
conceito de lugar geométrico tem sido tratado nos livros didáticos ao longo
das últimas décadas?
Outro ponto da pesquisa surgiu quando tive a oportunidade, no curso de
Desenho Geométrico na Federal de São Carlos, de conhecer o software CabriGéomètre. Este software abriu caminho para que eu pudesse refletir sobre o uso das
suas ferramentas no ensino da Geometria e buscar respostas visando um melhor
uso do conceito de lugar geométrico. Esta idéia ficou adormecida na minha mente.
3
Anos depois, quando me tornei professor da rede pública do Estado de São
Paulo, este software foi distribuído pelo Governo para as escolas estaduais no intuito
de ajudar alunos e professores a desenvolver questões e trabalhos em conjunto.
Com a vinda deste software, o Governo buscou mudar a visão de muitos docentes
com relação ao ensino da geometria plana em sala de aula.
Pela minha prática e vivência como professor no Estado de São Paulo percebi
que este software deixou de ser usado, tanto pelos professores, quanto pelos alunos
e não houve nenhum curso envolvendo docentes com a intenção de capacitá-los no
sentido de torná-los sujeitos fluentes no uso deste programa de Geometria
Dinâmica.
Estudando de forma mais profunda este software e lendo artigos referentes as
suas potencialidades como as ferramentas rastro, lugar geométrico, o uso do mouse
para movimentarmos uma figura em diversas posições testando nossas conjecturas
de forma bem rápida e dinâmica, somando a isto a possibilidade de escondermos
partes da construção que não nos interessa, percebi a utilidade bem nítida de se
usar o Cabri-Géomètre como uma ferramenta facilitadora para resolvermos diversos
problemas geométricos, fazendo-se uso de um lugar geométrico, e a partir disto
fazer a junção com temas relacionados a História da Matemática, como por exemplo
o problema da trissecção de um ângulo fazendo-se uso de uma nêusis.
Assim, uma segunda questão de pesquisa é colocada: O uso de um
software de Geometria Dinâmica amplia as possibilidades de ação, formulação
e validação em uma situação a-didática do estudo de lugares geométricos
planos?
Desta forma, ao longo do trabalho, foram colocados diversos tópicos
relacionados ao uso da Geometria Dinâmica envolvendo o tema lugar geométrico,
procurando fazer uso deste na sala de aula no intuito de mudar o paradigma
encontrado em diversos livros didáticos.
Terminando o estudo referente ao conceito de lugar geométrico, foi proposta
uma Engenharia Didática baseada nos trabalhos de Michele Artigue, tendo como
pressuposto metodológico os trabalhos de Guy Brousseau relativos às metodologias
das Situações adidáticas e do Contrato Didático.
4
1.2 O conceito de Engenharia Didática
O conceito de Engenharia Didática surgiu em meados da década de 1980
com as pesquisas de Michele Artigue. Esta metodologia faz analogia com o trabalho
de um engenheiro que usa seus conhecimentos teóricos de forma prática. No meio
acadêmico isto se faz através da pesquisa e da vivencia educativa.
Desta forma, da mesma maneira que um prédio para poder se erguer precisa
passar por todas as etapas, desde a construção do alicerce, no processo de ensino
ocorrerá algo análogo pois o trabalho realizado pelo professor terá de seguir todas
as etapas, desde a elaboração das atividades iniciais até a execução destas de
forma prática. Carneiro (2005) fortalece o que foi dito acima :
A origem desta teoria está na preocupação com uma certa “ideologia
de inovação” presente no domínio educativo, que abre caminho para
qualquer tipo de experiência na sala de aula, descolada de
fundamentação científica. Ao mesmo tempo, está relacionada com o
movimento de valorização do saber prático do professor, com a
consciência de que as teorias desenvolvidas fora da sala de aula são
insuficientes para captar a complexidade do sistema e para, de
alguma forma, influir na transformação das tradições de ensino. Nesta
perspectiva, a questão consiste em afirmar a possibilidade de agir de
forma racional, com base em conhecimentos matemáticos e didáticos,
destacando a importância da realização didática na sala de aula como
prática de investigação. (CARNEIRO, 2005, pg. 89-90)
A engenharia didática permite ao pesquisador, elaborar estratégias visando
uma melhor abordagem metodológica na sala de aula. Pode-se compreender essa
como uma prática investigativa. O conteúdo, explicado pelo docente, é discutido de
forma plena entre os alunos. Trocas constantes de opiniões são feitas no ambiente
escolar.
Esse mecanismo, muda a visão com relação a visão de um professor como
um sujeito detentor de todo conhecimento e o aluno como alguém estático, receptor
das idéias transmitidas, onde não cabe a esse fazer qualquer tipo de
questionamento. Dessa forma, passa a existir, de modo bem coerente a relação
entre o saber teórico e o saber prático. Artigue (2002) coloca a sua concepção a
respeito do que seja uma Engenharia Didática
5
Considera-se um ponto do sistema didático cujo funcionamento
parece, por razões de naturezas diversas, pouco satisfatório. Analisase esse ponto de funcionamento e as condições que tendem a
encontrar um novo ponto de equilíbrio e, depois, trabalhando com
essas condições, busca-se determinar condições de existência de um
modo de funcionamento mais satisfatório. (ARTIGUE, 2002)
Para que a metodologia da Engenharia Didática seja realizada de forma plena
é preciso que diversas fases sejam seguidas criteriosamente numa determinada
ordem, visando assim uma melhor abordagem desta metodologia. Temos então as
seguintes fases:
Análise preliminar: Aqui é feito um levantamento geral dos principais aspectos que
fundamentarão a pesquisa. Pode-se considerar por exemplo os aspectos didáticos,
psicológicos e cognitivos. Isto é feito para que se possa ter uma idéia das variáveis
que estarão presentes no ambiente de pesquisa que poderão ou não, interferir de
forma positiva em cada caso analisado. De uma maneira geral, pode-se resumir o
que foi dito através de Santana et al. (2004):
Algumas pessoas podem confundir este processo com o levantamento
bibliográfico, no entanto, a engenharia didática é uma tentativa de
análise de todas as situações didáticas que podem ocorrer ao se
ensinar um conteúdo específico. Em outras palavras o que é proposto
aqui é uma tentativa de se evitar a “reinvenção da roda”.
De acordo com Almouloud (2008), pode-se resumir essa primeira fase, levando
em consideração os seguintes critérios:

A epistemologia que será usada com relação aos conteúdos que serão
ensinados pelo professor

A prática da metodologia do ensino que será visado e as características de
seus efeitos

Análise das dificuldades oriundas dos alunos, e o que esses fatores poderão
dizer a respeito da evolução destes no experimento de ensino.

Colocar de forma bem nítida, os objetivos que o pesquisador pretende
alcançar no decorrer da pesquisa

A necessidade de se ensinar o conhecimento afim de modificá-lo, levando em
consideração o sistema educativo ao qual desejamos realizar o trabalho
6
Deve-se ressaltar que nada impede do pesquisador nas etapas subseqüentes
retornar essa parte do experimento. Na realidade, isso é algo lícito e muito
proveitoso, pois irá permitir ao pesquisador, analisar de forma contínua, processos
que necessitam de algum reajuste.
Análise a priori: Nesta fase, considerando os dados coletados na análise preliminar
é feita uma sequência didática no intuito de ter um controle nas experiências
realizadas. Artigue (1988) nos fala de dois tipos de variáveis fundamentais para a
realização de uma Engenharia Didática que são as variáveis macrodidáticas ou
globais e as variáveis microdidáticas ou locais.

Macro – didáticas: O pesquisador faz um levantamento global da sua
engenharia, levando em conta, aspectos como tipos de materiais a serem
usados, como será realizada a medição do conhecimento adquirido pelos
alunos.

Micro – didáticas: O pesquisador realiza e organiza a engenharia, levando
em consideração a organização de alguma sessão, tendo como variáveis o
meio em que a engenharia se estabelece .
Almouloud e Coutinho (2008) reforçam o que foi dito:
O objetivo de uma análise a priori é determinar como as escolhas
efetuadas ( as variáveis que queremos assumir como pertinentes )
permitem controlar os comportamentos dos alunos e explicar seu
sentido. Dessa forma, em uma análise a priori devemos:
 Descrever as escolhas das variáveis locais e as características da
situação adidática desenvolvida
 Analisar a importância dessa situação para o aluno e, em
particular, em função das possibilidades de ações e escolhas para
construção de estratégias, tomadas de decisões, controle e
validação que o aluno terá. As ações do aluno são vistas no
funcionamento quase isolado do professor, que, sendo o mediador
no processo, organiza a situação de aprendizagem de forma a
tornar o aluno responsável por sua aprendizagem.
 Prever comportamentos possíveis e tentar mostrar como a análise
feita permite controlar seu sentido, assegurando que os
comportamentos esperados, se e quando eles intervêm, resultam
do desenvolvimento do conhecimento visado pela aprendizagem.
7
Conforme foi dito, a análise a priori possui duas características que auto se
complementam. A parte da descrição e a parte da previsão. Levando em
consideração esses dois fatores, diversos questionamentos podem ser levantados
como: Qual o conhecimento necessário para o aluno compreender e resolver um
problema proposto? Até que ponto o aluno consegue ter controle sobre sua ação no
momento de realizar alguma atividade?
Logo, nesta etapa, as hipóteses levantadas, irão constituir um alicerce forte
para o desenvolvimento da nossa engenharia didática pois é a partir dessa etapa
que poderá ser analisado com uma profundidade maior, os resultados obtidos na
última etapa, mostrando ou não a validação dos resultados apresentados pelos
sujeitos da pesquisa.
Experimentação: Neste instante o pesquisador coloca em prática toda teoria
elaborada nas fases anteriores. Um fator importante, evidenciado nesta fase, é a
possibilidade de corrigir pontos da sequência didática quando o experimento
realizado nos mostra esta necessidade. O processo de experimentação pode ser
feito usando uma determinada quantidade de aulas e segundo Silva (2010) “essas
aulas devem passar por um planejamento e uma análise prévia apurada com o
intuito de observar situações de aprendizagem, envolvendo os conceitos previstos
na pesquisa didática”.
Análise a posteriori: Depois do processo de experimentação, o material é recolhido
e analisado pelo professor onde este verifica as principais intervenções que podem
ser feitas no intuito de melhorar de forma significativa o experimento. Dando
sequência a idéia exposta citamos novamente Almouloud e Coutinho (2008)
Assim, a análise a posteriori depende das ferramentas técnicas
(material didático, vídeo) ou teóricas (teoria das situações, contrato
didático...) utilizadas com as quais se coletam os dados que permitirão
a construção de protocolos de pesquisa. Esses protocolos serão
analisados profundamente pelo pesquisador e as informações daí
resultantes serão confrontadas com a análise a priori realizada. O
objetivo é relacionar as observações com os objetivos definidos a
priori e estimar a reprodutibilidade e a regularidade dos fenômenos
didáticos identificados.
8
Considerando o aspecto didático que deve ser escolhido no momento de
elaborar uma Engenharia Didática, optamos pelas Teorias das Situações Didáticas e
do Contrato Didático de Guy Brousseau, pois elas permitiram modelar de forma
coerente as atividades que foram elaboradas para o experimento. As próximas
seções tratam um pouco dessas teorias.
1.3 A noção de Contrato Didático
Lendo textos referentes à didática estabelecida na sala de aula, nos
deparamos com a importância de um plano de aula bem estruturado. Um fator
importante muita das vezes é deixado de lado e acaba não sendo percebido por
muitos professores. Neste sentido, a noção de Contrato Didático criado por
Brousseau nos auxilia como uma ferramenta facilitadora nesta relação dinâmica
entre professor e aluno dentro de uma sala de aula.
De forma geral, o Contrato Didático estabelece a relação entre professor e
aluno e os deveres que devem coexistir entre eles. Devemos focar aqui, que este
contrato pode se expandir para outros tipos de ambientes, não ficando
necessariamente dentro da instituição escolar.
Chama-se Contrato Didático o conjunto de comportamentos do
professor que são esperados pelos alunos e o conjunto de
comportamentos do aluno que são esperados pelo professor (...) Esse
contrato é o conjunto de regras que determinam, uma pequena parte
explicitamente, mas sobretudo implicitamente, o que cada parceiro da
relação didática deverá gerir e aquilo que, de uma maneira ou de
outra, ele terá de prestar conta perante o outro. (Brousseau, 1980,
pg.101 apud MORETI, 2009, p.116).
A origem deste termo esta relacionado ao contrato social de Rousseau, este
destacou a noção de contrato pedagógico, onde são estabelecidas e determinadas
as relações inerentes entre aluno, professor e sociedade. Devemos levar em conta
que este contrato pode parecer algo paradoxal e na realidade isto acaba por ser
verdade, vejamos as palavras de Brousseau:
Dei-me conta de que semelhante construção de modelos levava a
contradições, que se expressavam na realidade por meio de
paradoxos: o professor, por exemplo, não pode dizer explicitamente, e
9
de antemão, o que o aluno terá de fazer diante de um problema, sem
tirar-lhe, ao fazê-lo, a possibilidade de manifestar ou adquirir o
conhecimento correspondente. O professor não pode se comprometer
a “fazer o aluno entender” um conhecimento e, muito menos, fazer
com que este se produza: ninguém sabe como “se faz” uma
matemática nova e, menos ainda, como se pode “fazer com que seja
feita” de maneira acertada. De forma que a relação didática não pode
formalmente gerar um contrato. As cláusulas não podem ser escritas,
as sanções em caso de quebra não podem ser previstas. Contudo, a
ilusão de que existe um contrato é indispensável para que a relação
aconteça e seja, eventualmente,bem sucedida. (BROUSEAU, 2008,
p.73-74)
Do que foi dito até o momento percebemos que o Contrato Didático é algo
muito flexível e dinâmico. Além do mais, permite uma maior interação entre
professor e aluno. O docente deixa de ser detentor de todo conhecimento, o saber
não se torna algo pronto e acabado. Diversas mudanças podem ser feitas no
decorrer das atividades e poderemos chamar isso de ruptura do contrato que poderá
nos dar um retorno positivo ou negativo dependendo de cada situação analisada.
São apresentados em seguida os principais efeitos de um Contrato Didático
segundo Brousseau:
Efeito Topaze: Este efeito ocorre quando o professor procura, através de diversos
tipos de mecanismos, ajudar o aluno a obter a resposta de algum problema, tirando
deste a oportunidade de mostrar suas idéias com uma plenitude substancial
Efeito Jourdain: Neste caso, o professor procura evitar um debate com o aluno com
receio de diagnosticar algum fracasso deste. Assim, o professor admite um
conhecimento sábio no aluno, mesmo tendo plena convicção de que este não possui
uma idéia concreta e coerente. Na realidade, o efeito Jourdain é uma forma de efeito
Topaze.
Uso abusivo de analogias: O uso excessivo de analogias pode gerar uma grande
produção de feitos Topazes. Quando o aluno não consegue resolver algum
problema o professor acaba criando um mecanismo para que o aluno decore a
solução deste, não conseguindo criar assim um conhecimento de forma plena. De
acordo com Brousseau (2008):
10
Se os alunos fracassam em seu processo de aprendizagem, devem
receber uma nova oportunidade no mesmo assunto. Eles sabem
disso. Ainda que o professor dissimule o fato de que o novo problema
se parece com o anterior; os alunos vão procurar – o que é legítimo –
a solução que já lhes foi dada. Essa resposta não significa que a
consideram adequada para a pergunta formulada, mas simplesmente
que reconheceram indícios, talvez totalmente exógenos e não
controlados, de que o professor queria que eles a produzissem.
Desta forma, obtêm a solução lendo as orientações didáticas, e não
graças a um compromisso com o problema. (BROUSEAU, 2008, p.84)
1.4 A Teoria das Situações Didáticas
Segundo Brousseau, o comportamento dos alunos no momento de
resolverem um problema revela o funcionamento deste meio. Desta forma, um
problema ou exercício não deve ser encarado como uma regra que visa somente
repetir o conhecimento transmitido pelo professor, mas sim um dispositivo que faça o
sujeito refletir de forma plena sobre a situação proposta. Isso pode ser feito através
de um jogo, um desafio, uma situação que gere um antagonismo, fazendo com que
o sujeito pense de tal modo a colocar suas próprias idéias, conservando ou
mudando-as de acordo com o meio em que interage.
Brousseau propõe desta forma, que o aluno se torne um pesquisador
colocando suas idéias, expondo suas opiniões, colocando suas conjecturas,
testando suas hipóteses e fazendo tudo isso em parceria com um meio, um conjunto
de colegas que socializem suas descobertas.
Pommer (2010, p.7 apud BROUSSEAU, 1996, p. 37-38) nos coloca essas
idéias:
O trabalho intelectual do aluno deve ser, por momentos, comparável a
esta atividade científica. Saber matemática não é apenas aprender
definições e teoremas, a fim de reconhecer as ocasiões que eles
podem ser utilizados e aplicados; sabemos perfeitamente que fazer
matemática implica resolver problemas. (...) Uma boa reprodução pelo
aluno de uma atividade científica exige que ele aja, formule, prove,
construa modelos, linguagens conceitos, teorias,os troque com
outros,reconheça aqueles que são conformes à cultura, retire destas
aquelas que lhe são úteis (...) (BROUSSEAU, 1996a, p. 37-38).
11
A esses tipos de situações, Brousseau chamou de situações adidáticas, que
podem ser descritas da seguinte maneira:
Situações de ação
Neste tipo de situação, o professor propõe um problema para um aluno ou
grupo de alunos com o intuito de criar um ambiente investigativo. Aqui o aspecto
experimental é predominante. Através de um jogo, uma situação instigante o
aprendiz vai fazendo suas conjecturas sem pensar de imediato numa teoria que
fundamente suas idéias. O processo continua, com trocas contínuas de informações
entre os aprendizes onde uma teoria poderá ser aceita ou não depois de diversos
diálogos e experimentações existentes no grupo de alunos.
Cabe ao professor fazer interações sem interferir de forma direta na solução
do problema. Este poderá através de análises contínuas ajustar as ações dos
alunos, verificando quais resultados serão pertinentes para a validação de uma idéia
proposta. Desta forma, usando este tipo de situação, o aprendiz se torna construtor
do seu próprio conhecimento, não recebendo informações prontas e acabadas,
conseguindo se tornar um sujeito ativo no processo de ensino aprendizagem.
Conforme nos fala Brousseau (2008) temos:
Para um sujeito, “atuar” consiste em escolher diretamente os estados
do meio antagonista em função de suas próprias motivações. Se o
meio reage com certa regularidade, o sujeito pode relacionar algumas
informações as suas decisões (feed-back), antecipar suas respostas e
considerá-las em suas futuras decisões. Os conhecimentos permitem
produzir e mudar essas “antecipações”. A aprendizagem é o processo
em que os conhecimentos são modificados. Podemos apresentar
esses conhecimentos por meio de descrições de táticas (ou
procedimentos) que o indivíduo parece seguir ou pelas declarações
daquilo que parece levar em consideração, mas tudo são só
projeções. A manifestação observável é um padrão de resposta
explicado por um modelo de ação implícito. (BROUSSEAU, 2008,
p.28)
Buscando colocar as palavras num esquema figurativo, poderemos entender
esta situação analisando a seguinte figura.
12
Figura 1 : Situação de ação Fonte : (Brousseau 2008 p.28)
Situações de formulação
Esta situação tem como característica principal a troca de conhecimento entre
o sujeito e os colegas que interagem com ele, existindo uma linguagem um pouco
mais formal sem a adoção de um critério matemático rigoroso.
Neste contexto, o uso de termos colocados pelos alunos que expressem suas
idéias fazendo-se uso de metáforas, de algum código simbólico é algo contínuo que
visa a compreensão entre os grupos procurando buscar um entendimento comum.
Citamos então Maioli (2004) que fortalece nossas colocações :
O objetivo das situações de formulação é a troca de informações: há
momentos em que um aluno quer agir, mas as informações que
detém são insuficientes, então ele consulta seus companheiros em
busca dos dados que lhe faltam. Com estas trocas, pode haver
julgamentos e questionamentos sobre validade, no entanto, esses
aspectos não são exigidos para caracterizar uma situação de
formulação. (MAIOLI, 2004, p.6)
Podemos exprimir a situação de formulação usando o seguinte quadro
esquemático:
13
Figura 2: Situação de formulação. Fonte : (Brousseau 2008 p.29)
Situações de validação
Nesta situação, o aprendiz procura usar uma linguagem matemática
apropriada ( demonstrações, provas ) Pomeer (2008). Temos aqui, a possibilidade
de corrigir qualquer equívoco de conceitos matemáticos. Nesta etapa, o aluno
consegue interagir com seus pares sem entrar em contradição, usando esquemas
de prova.
Brousseau (2008) nos fala deste tipo de situação:
Os alunos colaboram na busca da verdade, ou seja, no esforço de
vincular de forma segura um conhecimento a um campo de saberes já
consolidados, mas entram em confronto quando há dúvidas. Juntos
encarregam-se das relações formuladas entre um meio e um
conhecimento relativo a ele. Cada qual pode posicionar-se em relação
a um enunciado e, havendo desacordo, pedir uma demonstração ou
exigir que o outro aplique suas declarações na interação com o meio.
(BROUSSEAU, 2008, p.30)
Nesta situação temos a elaboração de algum tipo de prova que não foi
realizada e concretizada nas duas etapas anteriores. Cabe então, ao grupo de
alunos discutirem suas idéias fazendo uso de algum tipo de demonstração
fundamentada num aspecto lógico e formal. O quadro abaixo resume este tipo de
situação.
14
Figura 3: Situação de validação. Fonte: (Brousseau 2008 p.30)
As situações de ação, formulação e validação formam a tipologia das
situações a-didáticas onde o professor se torna o mediador, não revelando de forma
imediata as suas idéias na solução do problema. O aluno procura encontrar uma
resposta visando a situação colocada pelo professor, sem existir qualquer tipo de
raciocínio que busque uma mera reformulação de conceitos e fórmulas. Brousseau
acreditava que estas três situações bastavam para caracterizar de forma plena o
conhecimento adquirido pelo aluno, mas no decorrer de suas pesquisas este
observou uma lacuna:
No passado, acreditávamos que, ao considerarmos as situações de
ação, formulação e validação, dispúnhamos já de todos os tipos
possíveis de situação. Tínhamos situações de aprendizagem – no
sentido dos psicólogos – e se poderia pensar que havíamos reduzido
o ensino a sucessões de aprendizagem. Mas, no decorrer das
experiências desenvolvidas na escola Jules Michelet, vimos que os
professores, depois de certo tempo, precisavam ordenar um espaço.
Não queriam passar de uma lição a seguinte, queriam parar para
“rever o que já haviam feito”. Vimo-nos obrigados a perguntar a causa
dessa resistência dos professores a reduzir a aprendizagem aos
processos que havíamos concebido. (BROUSSEAU, 2008, p.31)
O fato de garantir a consistência do conjunto das modelagens,
eliminando as que são contraditórias, exige um trabalho teórico –
mostraram a necessidade de considerar as fases de
institucionalização que deram a determinados conhecimentos o staus
cultural indispensável de saber. (BROUSSEAU, 2008, p.31)
15
Situações de institucionalização
Nesta situação, o professor retorna sua posição inicial, ou seja, o sujeito que
transmite o conhecimento de forma a esclarecer as dúvidas oriundas do corpo
discente após a explanação de algum conteúdo. Aqui, cabe ao professor corrigir
conceitos, idéias ou generalizações colocadas pelos alunos de tal forma a construir
um saber formal que será compartilhado por todos.
Cabe ressaltar que esta etapa não se enquadra na tipologia das situações
a-didáticas pois conforme dito existe uma interferência direta do professor,
caracterizando assim uma situação didática. Desta forma, citamos Azevedo e
Pietrocola (2008) que ressaltam o que foi dito até o momento:
O papel do professor inclui, além de organizar a aprendizagem,
verificar o que os alunos fizeram ou não, o que eles aprenderam ou
ainda precisam aprender. Deste modo, há uma retomada das ações e
formulações realizadas que são incluídas no repertório dos alunos
para serem usados posteriormente. O conhecimento produzido
durante a sequência de atividades é discutido e resgatado de modo
que o aluno perceba tratar-se de um saber aceito pela comunidade
social e científica representada pelo professor. Esta situação não é
mais uma situação adidática: há explicitamente a intenção de incluir o
conhecimento gerado pelo aluno no estatuto do saber
institucionalizado. (AZEVEDO E PIETROCOLA, 2008, p.7)
16
CAPÍTULO II – ASPECTOS HISTÓRICOS DO CONCEITO DE
LUGAR GEOMÉTRICO
2.1 Introdução
Nos dias atuais, quando se faz referência a uma curva, podemos definir esta
como um lugar geométrico, ou seja, um conjunto de pontos o qual satisfaz
determinada propriedade. Essa visão conjuntista é algo criado de forma recente.
LIMA (2001) fala que a expressão “lugar geométrico” é anterior a teoria dos
conjuntos e permaneceu depois dela.
Ele não cita algum período onde essa expressão começou a ser usada. Numa
crítica a um livro sobre uma definição de lugar geométrico fala :
Na realidade, “conjunto” e “propriedade” são conceitos
intercambiáveis. Portanto, a definição acima simplesmente diz que
lugar geométrico é qualquer conjunto de pontos. Isto nos leva a
concluir que o conjunto dos pontos do plano que têm coordenadas
racionais é um lugar geométrico. (Seria mais adequado dizer que este
é um lugar algébrico.) Se é assim, então para que falar em lugar
geométrico, se já temos a consagrada palavra “conjunto” ? Uma saída
para os autores de livros didáticos seria dizer um lugar geométrico
(plano) é um subconjunto do plano definido por uma propriedade
geométrica. (LIMA, 2001, p.41)
Caso se olhe os originais gregos, não será encontrado o nome lugar
geométrico. Arquimedes, por exemplo, na sua obra “As espirais”, antes de colocar a
proposição 12, coloca sete definições explicando o que seja uma espiral e em
nenhuma dessas definições encontramos qualquer referência a um lugar
geométrico. Como exemplo, colocamos a primeira definição:
Se, uma linha reta for desenhada no plano e se, permanecendo fixa
uma das suas extremidades, ela girar com uma velocidade uniforme
um número qualquer de vezes até retornar da posição de que partiu, e
se, além disso, durante esta rotação da linha reta, um ponto se mover
sobre a reta com uma velocidade uniforme a partir da extremidade
fixa, o ponto descreverá uma espiral no plano
17
Assim, deixamos claro, que as definições usadas fazendo referência a essas
curvas como lugares geométricos estão associados a conceitos mais modernos,
mas de qualquer modo isso não nos impede de dar uma visão mais atual, sem faltar
de forma alguma com o rigor de qualquer definição ou demonstração matemática.
Na maioria dos livros didáticos atuais, o conceito de lugar geométrico é
apresentado sem nenhum enfoque histórico. Dessa forma, muitas vezes, o lugar
geométrico é colocado como algo pronto e acabado, desassociado completamente
das inúmeras aplicações que este conceito contém. Assim, o aluno é levado a deixar
de ter a possibilidade de redescobrir, através da história, o papel primoroso dos
lugares geométricos na matemática, e potencialmente pode se tornar um sujeito
estagnado, que aceita informações oriundas de várias fontes sem procurar
questionar o que está por de trás de diversos conceitos relacionados a matemática.
Outro ponto importante é a inter - relação entre a História da Matemática e as
demonstrações. Acreditamos que o uso da história da matemática pode ajudar no
entendimento de uma demonstração, colocando esta como algo associado a um
momento, a uma época. Isso torna o processo de ensino aprendizagem algo mais
prazeroso e faz com que o aluno possa compreender, de forma mais ampla, os
diversos meios que os matemáticos criaram para resolver um determinado
problema.
Levando em consideração essas colocações, neste capítulo estabelecemos
os três problemas clássicos da antiguidade grega e procuraremos explorar a relação
destes com o conceito de lugar geométrico. Vale ressaltar que nesta pesquisa foi
encontrada uma variedade enorme de problemas históricos envolvendo lugares
geométricos, mas escolhemos este tema por considerá-lo bem fecundo e propício.
18
2.2 A importância da História da Matemática no processo de ensino
aprendizagem
Muitos educadores matemáticos enfatizam a importância da História da
Matemática como uma ferramenta facilitadora na aprendizagem do aluno. Partindo
dessa premissa, temos a oportunidade de formar uma pessoa crítica que não aceita
uma idéia como algo imutável. Em Geometria, o uso de fatos históricos coloca o
aluno como um sujeito centrado nos aspectos investigativos, analisando as
características que levaram à descoberta de um modelo, de um padrão e de um
contexto cultural de certa época.
Neste sentido, temos o papel importante desempenhado pela demonstração
em Geometria. Alguns temas envolvendo fatos históricos, como por exemplo, “a
soma dos ângulos internos de um triangulo vale 1800”, ou a demonstração do
teorema de Pitágoras, são assuntos com uma fundamentação histórica riquíssima, e
a aprendizagem desses temas não se restringe somente a uma única demonstração
possibilitando diversos caminhos ao aluno, aumentando assim, o seu raciocínio
dedutivo e abrindo possibilidades para que este se torne um aprendiz no processo
de pesquisa.
Segundo Miguel, Carvalho, Brito e Mendes (2009), o papel da História da
Matemática já vem sendo discutido desde o século XVII, com Clairaut. Desde o
início do século XIX, essas idéias passaram a fazer parte de congressos
internacionais de ensino da matemática. Miguel et al.(2009, p.9 apud FAUVEL,
1991) fala da importância da história da matemática no auxilio do ensino da mesma :
1) A História da Matemática aumenta a motivação para a
aprendizagem da Matemática
2) Humaniza a Matemática
3) Mostra seu desenvolvimento histórico por meio da ordenação e
apresentação de tópicos no currículo
4) Os alunos compreendem como os conceitos se desenvolveram
5) Contribui para as mudanças de percepções dos alunos com
relação à matemática
6) Suscita oportunidades para a investigação em Matemática
(MIGUEL et al.2009, p.9 )
O professor não deve ficar estagnado com relação a sua prática docente, e
por isso deve buscar métodos inovadores, visando a melhorar o ensino da
Matemática na sala de aula. Neste contexto, a História da Matemática dá a sua
19
contribuição de forma bem plausível, pois o docente tem condição de estabelecer
múltiplas conexões, fazendo um elo com várias disciplinas. Desta forma, o aluno terá
uma variedade de possibilidades de vislumbrar o processo de ensino aprendizagem,
não se limitando ao uso e aplicações de fórmulas e aumentando sua percepção de
analisar fatos de forma mais metódica.
D’AMBRÓSIO (1999, p.97 apud VIANNA, 2008, p.4) nos relata e fortalece as
idéias comentadas acima:
Em Matemática é impossível discutir práticas educativas que se
fundam na cultura, em estilos de aprendizagem e nas tradições sem
recorrer à história, que compreende o registro desses fundamentos.
Desvincular a Matemática das outras atividades humanas é um dos
maiores erros que se pratica particularmente em Educação
Matemática (D´AMBRÓSIO, 1999, p.97)
2.3 Os Cadernos da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo
O currículo de Matemática das escolas públicas do Estado de São Paulo dá
um enfoque muito relevante aos aspectos históricos, tornando-os ferramentas
primorosas para o desenvolvimento de novas habilidades por parte dos alunos. Isso
quebra paradigmas dentro da sala de aula.
Fazendo uma análise do currículo proposto, podemos encontrar diversos
trechos que falam da importância de se usar e vivenciar os aspectos históricos com
os alunos:
Na construção dos significados, uma idéia norteadora é a de que as
narrativas são muito importantes, são verdadeiramente decisivas
na arquitetura de cada aula. É contando histórias que os significados
são construídos (SP: SEE, 2010, p.45)
Na verdade, não parece concebível ensinar qualquer disciplina sem
despertar o interesse em sua história – e na história em sentido
pleno. Ainda que possamos tentar ensinar os conceitos que nos
interessam, tais como eles nos são apresentados atualmente, os
significados são vivos, eles se transformam, eles tem uma história
(SP: SEE, 2010, p.45)
E é na história que buscamos não apenas uma compreensão mais
nítida dos significados dos conceitos fundamentais, mas
20
principalmente o significado das mudanças conceituais, ou seja, o
significado das mudanças de significado. (SP: SEE, 2010, p.45)
Para contar uma boa história, é necessário, no entanto, ganhar a
atenção dos alunos, é preciso criar centros de interesse. É
fundamental cultivar o bem mais valioso de que dispõe um professor
na sala de aula: o interesse dos alunos. (SP: SEE, 2010, p.46)
Nos Cadernos da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, existe
uma prioridade com relação ao desenvolvimento de conteúdos matemáticos,
levando em consideração aspectos históricos da Matemática. Procura-se assim,
formar jovens com uma consciência maior da importância do desenvolvimento desta
na vida de um sujeito como um todo. Isso fica evidenciado, por exemplo, no caderno
do aluno, volume 4, da oitava série, quando o aluno é convidado a fazer um estudo
do número PI.
Apresentar o numero PI somente a partir de sua definição formal
não é suficiente para garantir um significado amplo deste conceito. É
preciso ir além, trazendo para a sala de aula outras situações que
ampliem tal significado.
A história constitui um excelente recurso a favor da construção do
significado dos conceitos em qualquer área do conhecimento. Na
Matemática, particularmente, ela é de fundamental importância para
evitar visões cristalizadas ou excessivamente simplistas. Ainda que
alguns livros tratem a Matemática como um conhecimento pronto e
acabado, é importante que os alunos saibam que o que estudamos
hoje é fruto de muito trabalho e pesquisa de pessoas que lhe
dedicaram tempo e esforço no decorrer da história da humanidade.
Fonte: São Paulo ( 2009, 8asérie vol. 4 pg.12 )
De maneira geral, analisando esses Cadernos, sempre se encontra alguma
referência ao aspecto histórico da Matemática, incentivando o docente a fazer uso
deste na sua aula. Outro ponto positivo, ao fazer uso dessa metodologia, é
transformar a mentalidade do professor, incentivando-o a buscar respostas a fatos
que antes pareciam simples e pitorescos, fazendo sua visão em relação aos
aspectos históricos se tornar mais concreta e ampliando seus horizontes. Dessa
forma, o professor pode auxiliar o aluno de forma mais segura e ganha muito com
isso, pois se torna alguém com um saber mais consistente, analisando fatos de
forma bem mais profunda e segura.
Apresentamos, em seguida, dois exemplos do uso de fatos históricos
encontrados nos Cadernos, evidenciando mais uma vez o que foi dito acima. No
21
primeiro exemplo, é comentado o princípio de Cavalieri, e são citados os nomes de
outros matemáticos como Arquimedes e Galileu Galilei. No segundo exemplo, é
comentada a razão áurea e sua importância para os gregos nas construções de uma
forma geral.
Figura 4: Caderno do aluno 2a série. Fonte: São Paulo (2009, 2asérie, vol. 4 pg.10).
Figura 5: Caderno do aluno 6a série. Fonte: São Paulo (2009, 6asérie, vol. 3 pg. 35).
2.4 Os três problemas clássicos da Antiguidade
Os Elementos de Euclides, em seus três primeiros postulados, não fazem
qualquer referência ao uso de uma régua não graduada e de um compasso:
Postulado I: Pode-se desenhar uma linha reta de qualquer ponto para qualquer
ponto.
Postulado II: Uma linha reta determinada pode continuar sobre si mesma até onde
seja necessário.
Postulado III: Com centro qualquer e raio qualquer podemos descrever um circulo.
Descrevendo de forma mais prática esses três postulados, Eves (2007) fala
que, com uma régua, é permitido apenas traçar uma reta de comprimento infinito,
dados dois pontos não coincidentes, e que, com um compasso, é permitido traçar
22
uma circunferência de centro A passando por B. Por causa disso é comum chamar a
régua e o compasso de instrumentos euclidianos.
Ficam estabelecidas, então, de maneira informal, as regras para se fazer uso
desses dois instrumentos para resolver qualquer problema de construção
geométrica. Isso é algo importante, pois se fosse proposto um problema envolvendo
algum tipo de construção, com certeza, levaria vantagem aquele matemático que
pudesse fazer uso de uma régua graduada ou delimitada por um número condizente
de pontos.
Na geometria grega, resolver um problema de construção geométrica se
baseava nesses três postulados. Mas, com o passar do tempo, foram surgindo
alguns problemas que na realidade não podiam ser resolvidos usando as regras
citadas acima. Estes necessitavam de outros métodos para serem resolvidos e se
tornam então os três problemas clássicos da matemática grega. O problema da
trissecção de um ângulo, o problema da duplicação de um cubo e o problema da
quadratura de um círculo.
2.4.1 O problema da trissecção de um ângulo
Diversos autores acreditam que o problema da trissecção de um ângulo
surgiu de forma natural a partir de um problema mais simples, o de dividir um ângulo
qualquer em dois ângulos de mesma medida, ou seja traçar a bissetriz interna de um
ângulo dado.
Pode parecer à primeira vista um problema bem simples o de dividir um
ângulo dado em três partes de mesma medida, talvez pela facilidade de dividir um
ângulo de 90 em três partes iguais, assim como os múltiplos deste ângulo. Este
problema, ao contrário do que se pensava, abriu uma lacuna de milênios até a
definitiva prova da sua insolubilidade.
Contador (2006) diz que uma possibilidade da criação desse problema se
deve à construção de um polígono de nove lados, a qual, para ser realizada,
necessita da construção de um ângulo de 600 para obtermos um ângulo de 400 que
é, na realidade, a divisão de 3600 por 9.
23
Outra origem atribuída a esse problema é citado por Carvalho (2004), que diz
acreditar que Hípias de Elis foi um dos primeiros gregos a tentar encontrar uma
solução para esse problema.
2.4.2 O problema da duplicação do cubo
O problema da duplicação de um cubo ou, o problema deliano, teve uma de
suas origens numa lenda grega que diz respeito ao oráculo de Apolo. De acordo
com Netto (1956), essa versão se deve a Filopônio, que fala a respeito de uma
grande maldição que estava devastando a cidade de Atenas. O povo, em grande
desespero, procurou o oráculo de Delfos e perguntou o que poderia ser feito para
aplacar a ira dos Deuses, e Apolo respondeu que deveriam dobrar o tamanho do
altar de forma cúbica.
Dessa forma, de maneira errônea, foi construído um altar com o dobro da
aresta do altar anterior. Fazendo isso, ao invés de duplicarem o volume, acabaram
multiplicando o volume deste por 8, deixando assim os Deuses em cólera
aumentando o tamanho da peste.
Outra versão, segundo Eves (1994), é atribuída a Eutócio ( 560 d.C ), que
relata uma suposta carta escrita por Eratóstenes a Ptolomeu, referente ao rei Minos,
que teve o desejo de construir uma tumba em forma de cubo para seu filho. Mas,
este, descontente com o tamanho do monumento, ordenou que fosse dobrado,
pedindo que aumentassem duas vezes o tamanho da aresta. Intrigado, Eratóstenes
descobriu o erro e, a partir disso vários geômetras se dispuseram a resolver o
problema.
Figura 6 : duplicação do cubo. Fonte : Bossle e Gobbi 2004)
24
Usando os conceitos de nossos dias, o problema pode ser equacionado e
resolvido da seguinte forma:
Considerando um cubo de aresta a=1, queremos obter um novo cubo de
aresta
a
com
o
dobro
Vcubo aresta a = 2 V cubo aresta1
do
volume

a3 = 2
do

primeiro
cubo,
ou
seja,
a = 3 2 . Desta forma, um cubo
de aresta 3 2 tem o dobro do volume de um cubo de aresta igual a 1.
2.4.3 O problema da quadratura do circulo
Este problema se reduz a encontrar um quadrado que tenha área equivalente
a um circulo dado. Dos três problemas clássicos, este é, sem dúvida, o mais antigo,
pois, no papiro de Rhind, já se encontravam resultados da equivalência dessas duas
figuras.
Contador (2006) relata que esse problema pode ter surgido por mera
curiosidade, mas com o passar do tempo foi intrigando a mente de muitos
matemáticos e o primeiro matemático grego a estudar esse problema de forma
profunda foi Anaxágoras (440 a.C) e, apesar de estar preso por motivos políticos,
conseguiu alguns resultados, mas sem obter uma conclusão satisfatória.
Carvalho (2004) diz que o problema primitivo teve origem na quadratura do
retângulo e Aristóteles afirmava tudo se iniciou na tentativa de se obter a média
geométrica mas foi esquecido com o passar do tempo.
2.5 A construção por nêusis e o uso de lugares geométricos na solução dos
três problemas clássicos da antiguidade Grega
Muitas tentativas infrutíferas foram feitas no desejo de resolver os três
problemas clássicos, usando as regras dos instrumentos Euclidianos. Com o passar
do tempo, novas idéias foram surgindo e ao contrário de muitos, os gregos usavam
outros tipos de técnicas para resolverem problemas de construções geométricas.
Citamos então Carvalho (2004) que nos fala :
25
No entanto, é falsa a crença de que os gregos, na resolução de
problemas de construções geométricas, trabalhavam somente com
a régua e o compasso. Exatamente como os matemáticos de hoje,
para resolverem um problema eles usavam todas as ferramentas
disponíveis ou criavam novas ferramentas apropriadas. De suas
tentativas para achar soluções para os problemas clássicos,
surgiram várias curvas e métodos que enriqueceram a Matemática.
(CARVALHO, 2004, p.2)
Essas curvas descritas por Carvalho são na realidade lugares geométricos
criados para resolverem os referidos problemas. No decorrer dos séculos, outros
lugares geométricos foram encontrados e utilizados para resolverem problemas
clássicos, como foi o caso do problema da catenária e da braquistótona que aguçou
a mente de muitos matemáticos renomados.
Antes de apresentar qualquer solução a respeito do uso de lugares
geométricos na obtenção desses problemas, é de suma importância explicar o que
significa uma construção por nêusis e o papel desempenhado por esse tipo de
construção, pois é a partir disso que se pode evidenciar e compreender as novas
soluções apresentadas pelos matemáticos gregos, fazendo uso do conceito de lugar
geométrico.
Antes de uma definição formal, será usado o exemplo de Souza (2001), que
reduz o problema da triseccção de um ângulo dado a uma construção por nêusis
para poder explicar de forma prática o que significa esse tipo de construção.
Para isso, considere o ângulo ABC dado, conforme a figura a seguir.
A
E
D
B
F
Figura 7 : Trissecção do ângulo ABC
C
26
A partir do ponto A, são traçadas uma paralela e uma perpendicular em
relação ao segmento BC. O segmento DE é construído de tal forma que DE=2AB e
que o ponto E pertença à semi reta construída a partir do ponto A. Fazendo uso
desta construção, pode-se provar que o ângulo DBC é a terça parte do ângulo ABC.
A demonstração deste fato será feita no próximo tópico, mas, aceitando a
referida construção, pode-se citar Souza (2001) que nos diz :
O problema da trissecção dum ângulo agudo fica resolvido se
soubermos inserir o segmento DE (duplo de AB) entre as rectas FA e
AE e apontando para o ponto B. Assim, ao depararmo-nos com o
problema da trissecção de um ângulo, reduzimo-lo a um outro
problema, que os geômetras gregos designaram por problema de
construção por nêusis – a inserção dum segmento de recta de
comprimento pré-definido entre duas curvas, de modo a que um ponto
fixo se encontre ou nesse segmento ou no seu prolongamento.
(SOUZA, 2001, p.18)
A palavra nêusis, em grego, significa apontar. Na realidade, pode-se dizer
que é uma construção por ajustamento ou “a inserção dum segmento de recta prédefinido entre duas curvas, de modo a que um ponto fixo se encontre ou neste
segmento ou no seu prolongamento” (SOUZA, 2001, p.18).
De acordo com Pappus no seu livro “A coleção”, os gregos dividiram os
problemas geométricos em 3 classes:
1) Problemas geométricos planos : construções feitas usando somente régua e
compasso
2) Problemas geométricos sólidos : construções envolvendo o uso de elipses,
hipérboles, parábolas e diversas secções cônicas
3) problemas geométricos lineares : construções envolvendo o uso de nêusis com o
auxilio de diversas curvas como a espiral de Arquimedes, a conchóide de
Nicomedes, a cissóide.
O uso de construções por nêusis era aceitável desde que todas as tentativas
pelos dois primeiros métodos fossem esgotadas. Uma evidência desse fato pode ser
percebida quando é feita a leitura dos elementos de Euclides, onde não se encontra
qualquer referência a uma construção por nêusis. Existia também outro tipo de
construção, usando instrumentos mecânicos, segundo Sallum (2006)
27
A construção de máquinas para desenhar certos tipos de curvas,
como as cônicas , a cissóide e a conchóide, teve importância
fundamental
na
resolução alternativa de problemas
clássicos
insolúveis com régua e compasso tais como duplicação do cubo e
Trissecção de ângulo. (SALLUM,2006, p.1)
Como exemplo desses tipos de máquinas, podemos citar a máquina de
Platão, a máquina de Eratóstenes, mas esses tipos de mecanismos não eram
aceitos de forma plena, fugindo dos moldes das construções Euclidanas.
2.6 Nicomedes e sua solução para o problema da trissecção de um ângulo
De acordo com Galvão (2008), Nicomedes viveu na primeira metade do
século III a.c e inventou esta curva com a intenção de resolver o problema da
trisecção de um ângulo, sendo posteriormente usado na resolução do problema da
duplicação do cubo.
Uma definição da conchóide de Nicomedes é dada, baseado em Sallum
(2006):
Considere fixados um ponto O, uma reta r cuja distância a O é AO = a > 0 e
Para cada ponto X
b > 0.
 r considere os pontos P e P’ obtidos pela intersecção da reta
OX com a circunferência de centro X e raio b.
A conchóide é o lugar geométrico dos pontos P e P’ assim obtidos quando X
percorre a reta r
28
Figura 8 : conchóide de Nicomedes. Sallum (2006, p.20)
Pelo desenho, há três possibilidades distintas para obtermos o referido lugar
geométrico: a > b , a = b e a < b . Analisando esse problema do ponto de vista
teórico e histórico, uma demonstração será dada, baseada em Galvão (2008), mas
os mesmos comentários podem ser encontrados em Eves (2008).
Vamos supor que queremos dividir em três partes iguais um dado
ângulo ABˆ C . Com esse intuito, consideremos um retângulo BCAD de tal forma que o
referido ângulo esteja entre a diagonal AB e o lado BC. Toma-se, a partir do ponto B,
um segmento BF com F pertencente à semi-reta DA. O segmento BF encontra o
segmento AC em E de tal forma que EF = 2AB (por construção) . Com esses dados
ˆ  1 ABC
ˆ
vamos provar que EBC
3
Pela figura abaixo, temos AEF  CEB pelo caso AA, pois (ângulos retos)
EAˆ F  ECˆ B e AEˆ F  CEˆ B (ângulos opostos pelo vértice) logo AFˆE  CBˆ E .
Tomando um ponto G sobre EF de tal forma que G seja ponto médio deste
segmento, temos EG = GF. Considerando o triângulo retângulo AEF, AG será a
mediana da hipotenusa EF e, assim, teremos AG=EG=GF, pois a mediana relativa à
hipotenusa de um triângulo retângulo mede a metade da hipotenusa.
29
D
A
F
G
E
B
C
Figura 9 : Trissecção do ângulo dado ABC
Assim, o triângulo AGF é isósceles, e AFˆG  GAˆ F  CBˆ E . Considerando o
AGF , temos AGˆ B  2EBˆ C , pois AGˆ B é ângulo externo do AGF e, pela relação
acima teremos essa igualdade.
Do problema, temos que EF  2 AB , mas como G é ponto médio de EF vem:
EF  2 AB , EF  2 EG logo AB  EG . Dessa forma, como AG  EG , temos AB  AG .
Com isso, teremos ABG isósceles com ABˆ G  AGˆ B Sendo:
ABˆ G  AGˆ B  2 EBˆ C e ABˆ C  ABˆ G  EBˆ C vem:
EBˆ C  ABˆ C  AGˆ B
EBˆ C  ABˆ C  2 EBˆ C
ABˆ C
3EBˆ C  ABˆ C  EBˆ C 
3
2.7 A espiral de Arquimedes e sua solução para o problema da trissecção de
um ângulo
Arquimedes deu uma valorosa contribuição matemática ao tentar resolver o
problema da trissecção de um ângulo bem como o problema da duplicação do cubo.
Para esse fim ele usou uma construção por nêusis, criando um lugar geométrico
chamado de espiral de Arquimedes.
30
Esse lugar geométrico pode ser definido como o lugar dos pontos P que se
movem uniformemente ao longo de um raio que, por sua vez, gira uniformemente
num plano em torno de sua origem Eves (2008).
Essa curva, bem como diversas proposições relacionados a ela encontra-se
no trabalho “Sobre as Espirais” e no “Livro dos Lemas”. De acordo com Souza
(2001), em diversas proposições de “Sobre as Espirais”, são feitas referências a
construções por nêusis e, no “Livro dos Lemas” é encontrada uma proposição com
uma solução para o referido problema. Por exemplo :
Proposição XVIII : Se AB for qualquer corda num círculo de centro O, e se AB for
prolongado até C de modo que BC seja igual ao raio e se, por outro lado, CO
intersectar o círculo em D e for prolongado de modo a intersectar o circulo uma
segunda vez em E, o arco AE será igual a três vezes o arco BD.
A
B
E
O
D
C
Figura 10 : Demonstração da proposição XVIII
Demonstração :
ˆ   o ângulo que deve ser trissectado. Os triângulos AOB e OBC
Seja AOE
ˆ  BCO
ˆ   . O ângulo  é ângulo externo
ˆ  OBA
ˆ   e BOC
são isósceles, logo OAB
no
OBC ,
logo,
1
arcoBD  arcoAE .
3
  2
mas
    180  2   180



3
ou
seja,
31
A solução foi obtida. No entanto, pela construção realizada, não pode ser
resolvida sem o uso de uma régua graduada e compasso, recaindo então num
problema por nêusis. Arquimedes, então, na sua obra “Sobres as Espirais”
apresenta diversas definições sobre sua referida curva e apresenta uma proposição
que serve de base para a solução do problema da trissecção do ângulo :
Proposição XIV: Se, a partir da origem da espiral, se traçarem duas linhas retas até
encontrarem a primeira volta da espiral, e se se prolongarem até encontrar a circunferência
do primeiro circulo, as linhas traçadas até a espiral terão entre si a mesma razão que os
arcos da circunferência entre a extremidade da espiral e as extremidades das retas
prolongadas até encontrarem a circunferência, sendo os arcos medidos para a frente a partir
da extremidade da espiral.
Figura 11: Espiral de Arquimedes
Arquimedes, além de matemático, era engenheiro e, na solução de diversos
problemas, usou métodos experimentais, baseando-se em leis da Física. Para o
entendimento dessa proposição, é lícito dizer que ele usou algum método
experimental para descrever tal fato.
Com o objetivo de dar uma explicação, consideremos a espiral descrita acima
pelos pontos A,B,C,D,E e F bem como a circunferência que descreve essa espiral
que contém os pontos F,G,H e K. Vamos demonstrar que a seguinte proporção
abaixo é verdadeira:
AE EKG

AD FKH
32
Pela definição da espiral de Arquimedes como um lugar geométrico, o ponto
A percorre o segmento AF com velocidade constante, ocorrendo o mesmo com o
ponto F quando este percorre a circunferência dada. Baseado então nas leis da
Cinemática e levando em consideração a proporcionalidade entre os segmentos
considerados na espiral e os arcos descritos pelas mesmas de acordo com a
proposição XIV, temos a referida relação, que é o alicerce fundamental para a
solução do problema da trissecção de um ângulo dado.
Na realidade, Arquimedes simplificou o problema, pois, ao invés de usar arcos
na circunferência, ele reduziu o problema a segmentos de reta que determinam tais
arcos, sendo um segmento sempre comum, aquele que é o que dá origem à espiral.
Levando em consideração isso, a compreensão da solução deste problema, usando
este lugar geométrico, se torna evidente. Para isso, consideremos a figura abaixo.
Figura 12 : Trissecção usando espiral Arquimedes – Fonte Boyer 2009 p. 88
Seja
AOˆ P o ângulo que se deseja trissectar. Fazendo coincidir o vértice O
com a origem da espiral e da semi-reta AO, o segmento OP é dividido em três partes
de mesma medida, obtendo assim os pontos R e S. A partir de O são traçadas
circunferências de raios OR e OS. Esses círculos cortam a espiral nos pontos U e V
e desta forma tem-se as retas OU e OV trissectando o ângulo dado.
33
2.8 A quadratriz de Hípias e o seu uso na solução do problema da trissecção
de um ângulo e na quadratura do circulo
Hípias de Elide nasceu aproximadamente em 425 A.C. Souza(2001) diz que
este lugar geométrico descreve uma das mais antigas curvas da matemática e que
foi inventada com a intenção de resolver o problema da trissecção de um ângulo,
sendo usada posteriormente por Dinóstrato para realizar a quadratura do círculo.
Uma das vantagens do uso dessa curva é a possibilidade de dividir um ângulo em n
partes iguais e não ficando apenas em três partes iguais.
Para exemplificar como a quadratriz de Hípias irá trissectar um ângulo dado,
primeiramente mostraremos como este lugar geométrico é gerado, e a partir disto
faremos uma demonstração baseada nas idéias de Contador (2006), Carvalho
(2004) e Souza (2001).
Considerando o quadrado ABCD da figura I, o lado AD irá se deslocar para
baixo e no mesmo intervalo de tempo o lado AB irá e deslocar no sentido horário,
gerando o arco AC, com centro em B e raio AB. Quando esse movimento é realizado
na sua totalidade, irá gerar a curva AE, descrita pela figura II. Então pode-se definir
a quadratriz como : O lugar geométrico gerado pela intersecção desses dois lados
móveis.
Figura 13 : Quadratriz Hípias - Fonte Contador 2006 p.240
Sendo P um ponto pertencente à quadratriz, quer-se trissectar o ângulo PBC.
Para isso, observando a figura III, basta traçar uma paralela ao segmento BC
passando por P, obtendo assim o ponto S, pertencente ao segmento AB. Com isso,
deve-se dividir o segmento BS em três partes de mesma medida.
34
A quadratriz segue o mesmo modelo cinemático descrito pela espiral de
Arquimedes e por esse fato existe uma proporção entre a distância percorrida pelo
lado AD e o arco AC. Dessa forma pode-se escrever :
AB AC

BS A´C
Sento T e U as projeções ortogonais de P´ e P´´ sobre o segmento AB, A´ o
ponto de intersecção do arco AC com a semi reta BP e A´´ o ponto de intersecção
do arco AC com a semi reta BP´´ vem :
BS
A´C
PBC


BU A´´C P´´BC
O segmento BU é a terça parte do segmento BS. Pela proporcionalidade
descrita pela quadratriz de Hípias, esse problema se resume em encontrar os
segmentos descritos acima, transformando a trissecção de um ângulo qualquer em
uma tarefa bem mais cômoda.
2.9 A cissóide de Diócles e sua solução para o problema da duplicação do
cubo
Diócles viveu aproximadamente em 180 a.C e inventou esta curva com a
intenção de resolver o problema da duplicação de um cubo. No intuito de mostrar a
sua solução, nos basearemos na demonstração dada por Carvalho (2004) e Frensel
(2002), que usaram os conceitos de Geometria Analítica, dando assim um enfoque
mais moderno na solução do problema.
Considerando um sistema de eixos coordenados e uma circunferência com
centro A(a,0) e diâmetro igual a 2a, considere os pontos B(2a,0) e C(0,4a).Traça-se
uma reta perpendicular ao eixo dos x, passando pelo ponto B. Sendo P um ponto
pertencente à circunferência a semireta OP encontrará esta reta perpendicular no
ponto D. Tomando um ponto E sobre o segmento OD de tal forma que OP=DE,
pode-se definir a cissóide como :
O lugar geométrico do ponto E quando o ponto P percorre a circunferência
35
Figura 14: cissóide Diocles
Vamos fazer a dedução da equação da cissóide em coordenadas polares.
Para isso, considerando a figura abaixo:
Figura 15: Demonstração da equação cissóide
Seja a circunferência de diâmetro AO, AB um segmento tangente ao círculo
no ponto A e C o ponto de intersecção entre o segmento OB e o
círculo.Considerando o ponto P sobre o segmento OB de tal forma que OP=BC.
36
AOˆ C  BAˆ C . Chamando de  estes ângulos e pelo triângulo
Pela figura, temos
retângulo AOB, vem AB=2a.tg  . Sendo
 =OP=CB
e considerando o triângulo
retângulo ABC, tem-se CB=AB.sen , dessas duas igualdades, podemos escrever
 =2a.tg 
sen  (*)
Passando para coordenadas cartesianas e fazendo uso das fórmulas de
transformação

x2  y 2 ,
sen 
y
2
x y
x 2  y 2  2a
y
x
2
, tg 
y
e substituindo em (*) vem :
x
2
y
x2  y
 x2  y 2  2ay  x3  y 2 (2a  x) ,
2
x
que é a equação da cissóide em coordenadas cartesianas. Neste caso a=1/2 e
dessa forma, a equação da cissóide se torna
x3  y 2 (1  x) .
Obtendo a equação da reta BC, temos:
mBC  4a  0  mBC  2
2a  0
y  0  2( x  2a )  y  2 x  4a  y  2 x  2
Fazendo a intersecção da reta BC com a cissóide, encontramos o ponto F
dado por:
x3  y 2 (1 x)
y  2(1 x)

x3 = y
y2 2

y3  2 x3

y  3 2x
Que é uma reta de coeficiente angular 3 2 . Fazendo a intersecção desta reta com a
reta x=1 obtemos o ponto G dado por (0, 3 2 ) que é na realidade a solução do
problema.
2.10 Papus de Alexandria e a solução do problema da trissecção usando uma
hipérbole
Papus de Alexandria viveu em torno do final do século III d.C. e escreveu uma
obra chamada de “Coleção”, composta por 8 livros, que desempenhou um papel
importante no estudo da matemática grega, pois este se preocupou em fazer um
37
registro histórico de muitos teoremas e proposições de matemáticos que viveram em
épocas anteriores. Segundo (Boyer p. 129) :
“A coleção de Papus é o último tratado matemático antigo realmente
significativo, pois a tentativa do autor de ressuscitar a geometria não
teve sucesso. Obras matemáticas continuaram a ser escritas em
grego por mais de mil anos, continuando uma influencia com início
quase um milênio antes, mas os autores que vieram depois de
Papus nunca mais chegaram ao seu nível. Suas obras tem quase
exclusivamente a forma de comentários sobre tratados anteriores. O
próprio Papus é em parte responsável pelos comentários que
surgiram em seguida de todos os lados, pois ele escreveu
comentários sobre Os elementos de Euclides e o Almagesto de
Ptolomeu, entre outros, dos quais só restam fragmentos.”
Segundo Souza (2001), Papus usou a seguinte construção para trissectar um
ângulo dado ABC:
1) Construir uma circunferência de centro B e intersectando os lados do ângulo
dado nos pontos A e C sendo AC seu arco
2) Seja a corda AC dividida em H de modo que AH = 2HC
3) Construímos uma hipérbole com AH como eixo transverso e
3 AH como eixo
não transverso
4) Um dos ramos desta hipérbole vai intersectar a circunferência num ponto que
vamos designar por P
Figura 16: Trissecção de um ângulo usando uma hipérbole
Com
essa
construção,
teremos
ˆ  1 ABC
ˆ
PBC
3
e
para
primeiramente vamos aceitar como verdadeira a seguinte relação:
provar
isso
38
PB 2  3
AB.BH
Consideremos a figura a seguir:
Figura 17 : Demonstração da trissecção de um ângulo usando uma hipérbole
Considerando a segunda figura, é marcado um ponto C no prolongamento da
semi-reta AH de tal forma que AH=2HC. Da mesma forma, são marcados os pontos
E e Z para que se tenha BC=BE=EZ. Da figura AC=AH+HC e como AH=2HC, vem
AC=3HC. Da mesma forma se chega a conclusão que CZ=3BC. Da mesma figura
temos CH=BC+BH  BH=CH – BC. Multiplicando ambos os lados por 3, vem
3BH=3(CH – BC)  3BH = 3CH – 3BC  3BH = AC – CZ  3BH = AZ
Pelo que foi provado, pode-se escrever a relação:
EP 2  EZ 2  EP 2  BE 2
EP 2  EZ 2  BP 2
Teorema de Pitágoras no PBE
EP2  EZ 2  3BH . AB
Relação demonstrada
Pois EZ=BE por construção
EP2  EZ 2  AZ .AB
EP2  EZ 2  ( AE  EZ ).( AE  BE )
Como BE=EZ vem :
EP2  EZ 2  ( AE  EZ ).( AE  EZ )
EP 2  EZ 2  AE 2  EZ 2
39
Desta última relação, vem EP=AE
ˆ  PAE
ˆ sendo o ângulo PEC
ˆ , ângulo
Assim, o AEP é isósceles com APE
externo do
ˆ  PEC
ˆ . Do CEP , o ponto B é
ˆ  APE
ˆ  PAE
ˆ  2 PAE
AEP , vem PEC
ponto médio do segmento CE e, como o ponto P é perpendicular a este segmento, o
ˆ  PEC
ˆ e, como PEC
ˆ  2PAE
ˆ , vem PCE
ˆ  2 PAE
ˆ .
triângulo será isósceles, com PCE
ˆ  PAC
ˆ e PCE
ˆ  PCA
ˆ logo PCA
ˆ  2PAC
ˆ .
Da figura temos PAE
ˆ é ângulo central correspondendo ao arco
Da primeira figura, o ângulo PBA
ˆ , sendo ângulo inscrito do arco AP , vem
ˆ  AP . O ângulo PCA
AP , logo PBA
ˆ  AP
PCA
2
ˆ e da mesma forma vem PBC
ˆ , e com isso:
ˆ  2PCA
ˆ  2 PAC
 PBA
ˆ  2 PAC
ˆ  PCA
ˆ  1 PBA
ˆ  PBA
ˆ  2 PBC
ˆ
PBC
2
ˆ  ABP
ˆ  PBC
ˆ e da última relação concluímos
Da primeira figura, sabemos que ABC
ˆ  1 ABC
ˆ .
que PBC
3
40
CAPÍTULO III - O CONCEITO DE LUGAR GEOMÉTRICO EM
ALGUNS LIVROS DIDÁTICOS
3.1 Introdução
Neste capítulo, a intenção é mostrar como o conceito de lugar geométrico é
colocado em algumas obras clássicas de matemática escolar. Iremos adotar os
critérios estabelecidos por Alves (2009, p.3 apud CHOPIN, 2002, p.3) que fala como
definir uma determinada amostra para escolha de livros a serem analisados.
De acordo com Alves (2009), são quatro os fatores adotados por Chopin
(op.cit., p.20) para verificar se um livro terá uma grande difusão de publicação:
A duração da vida editorial ( diferença entre as datas da última e da
primeira edição); o número de edições declaradas (mas a estratégia
dos diferentes editores não é idêntica e a realidade das edições
anteriores não é sempre assegurada); o número das edições
indicadas pelas biliografias;e, por fim, o número de exemplares
conservados
(ALVES, 2009, p.3)
Os livros analisados foram:
1) Geometria Elementar – Companhia Livraria Francisco Alves (1914)
2) Matemática: Curso Ginasial – Osvaldo Sangiorgi – Companhia Editora
Nacional (1961)
3) Lugares Geométricos Planos – F. A. Lacaz Neto – Livraria Nobel (1957)
4) Matemática Ginasial (1948) – Euclides Roxo, Julio Cesar de Mello e Cecil
Thiré – Livraria Francisco Alves (1948)
5) Desenho Geométrico – José Carlos Putnoki – Editora Scipione - (1991)
O intuito foi pesquisar os vários enfoques nos períodos diversos do ensino da
Matemática ao tema lugar geométrico e o destaque que foi dado por cada obra ao
lidar com esses conceitos. Tentamos observar a influência que cada um desses
livros exerceu nas obras de escritores posteriores, tentando entender a maneira
como o conceito de lugar geométrico é abordado em livros didáticos.
41
3.2 Livro: Geometria Elementar
Figura 18: Capa do livro Geometria Elementar (Companhia Livraria Francisco Alves - 1914)
O livro intitulado “Geometria Elementar” data do ano de 1914 e foi escrito por
um grupo de professores, os quais não são nomeados no livro. Conforme o índice
mostrado na Figura 19, no LIVRO I, os autores registram algumas definições, como
o conceito de linhas e ângulos para, depois, tratarem do estudo da congruência de
triângulos e dos polígonos regulares.
Figura 19 : Índice do livro Geometria Elementar
Nesta primeira parte, nenhuma referência ao conceito de lugar geométrico é
feita, nenhuma definição é dada. Não há preocupação em dar provas do tipo
42
hipótese - tese e por isso acreditamos que os autores resolveram omitir os conceitos
de alguns lugares geométricos importantes, como é o caso da mediatriz de um
segmento ou da bissetriz interna de um ângulo dado. No exemplo abaixo, estamos
falando da mediatriz de um segmento e é apresentada uma prova, mas, como
podemos perceber, não existe referência à mediatriz ou citação desta como um
lugar geométrico.
1
Figura 20: Explicação do conceito de mediatriz
Ao final desta primeira parte do livro, encontramos uma série de exercícios, e,
para que um aluno consiga resolver sem dificuldade cada um deles, é primordial que
tenha em mente o conceito envolvendo cada ente geométrico explorado em cada
problema proposto. Dessa forma, analisando os exercícios da lista abaixo,
verificamos que os autores acreditavam que os alunos já tinham em mente o
conceito de bissetriz interna como um lugar geométrico.
2
Figura 21: Exercícios de bissetriz interna
1
Figura 20– página 15 do livro Geometria Elementar
2
Figura 21– página 44 do livro Geometria Elementar
43
Observemos agora o problema 23: “As bissectrízes dos três ângulos de um
triângulo concorrem no mesmo ponto”. Aqui não ficou especificado que se tratava da
bissetriz interna, podendo gerar outra interpretação por parte do aluno. Não houve
sequer uma pequena explicação dizendo que o ponto de encontro dessas 3
bissetrizes internas se chama incentro, evidenciando mais uma vez a falta de
preocupação dos autores com relação a esse tema. Continuando com a lista, temos
os seguintes problemas:
3
Figura 22: Exercícios propostos sobre lugares geométricos
No problema 46, os autores propõem na realidade que o aluno seja capaz de
encontrar a mediatriz de um segmento AB e, mais uma vez, nada foi citado sobre
3
Figura 22– página 46 do livro Geometria Elementar
44
este lugar geométrico. Analisando os exercícios, percebemos uma falta de precisão
ao definirmos um lugar geométrico, pois há várias frases com o mesmo significado.
Seria lícito que os autores tivessem verificado essa analogia entre as frases
citadas acima, pois o estudante menos atento poderia pensar que cada situação
descrita seria bem diferente da outra, e na realidade não é. Da mesma forma, no
exercício 56, é pedido para provar que as três medianas de um triângulo concorrem
num mesmo ponto, e nada é dito a respeito deste lugar geométrico, o qual
chamamos de baricentro.
No LIVRO II são estudadas as propriedades da circunferência conforme é
mostrado na figura seguinte:
4
Figura 23: Livro II : Circulo
Na pagina 73 encontramos o seguinte problema “Sobre uma recta dada A’B’
como corda construir um segmento de circulo capaz de um ângulo dado A”
5
Figura 24: Arco capaz
4
Figura 23- Índice do livro Geometria Elementar
5
Figura 24 – página 73 do livro Geometria Elementar
45
Observemos que naquela época se usava a palavra “círculo” como sinônimo
de “circunferência”. Aqui, é ensinado a construir o arco capaz de um ângulo dado,
mas não há referência deste como um lugar geométrico, encontrando somente a
justificativa da construção.
Logo em seguida, é proposto o seguinte problema :
“Três pontos A, B e C, sendo situados num terreno horizontal e indicados num
mappa, determinar neste mappa o ponto M donde as distâncias AB e BC se
observam debaixo dos ângulos  e  que foram medidos.”
6
Figura 25: Aplicação do conceito de arco capaz
Conforme a figura retirada do livro, o ponto M será a solução, pois este se
acha sobre o segmento AB e é o arco capaz do ângulo  , e o ponto M irá satisfazer
as mesmas condições para o segmento BC, sendo arco capaz do ângulo  .
Chegamos então a uma observação dada pelos autores conforme a figura acima.
Pela explicação feita, percebemos que só no final desta é colocada uma
referência com relação ao arco AMC, dizendo que este é o conjunto de pontos que
satisfazem o problema. Mostra-se dessa forma, a pouca ênfase ao lidar com esse
assunto. Na página 103, encontramos, pela primeira vez, uma referência com
6
Figura 25– página 74 do livro Geometria Elementar
46
relação ao conceito de lugar geométrico. Não é usado este termo, mas sim “o lugar
dos pontos”. Temos o seguinte teorema:
“O lugar dos pontos taes que a razão de suas distâncias a dois pontos fixos A e B
seja constante, é uma circumferência.”
7
Figura 26: Problema do circulo de Apolônio
Comprovamos aqui, mais uma vez, a falta de estabelecimento de um critério
único ao definir um lugar geométrico. Um detalhe que podemos perceber nesta obra
é a inexistência de tentar relacionar um lugar geométrico a um fato histórico. No
caso acima, poderia ter sido dito algo a respeito do círculo de Apolônio, falar deste
problema histórico e relacionar a sua solução com o teorema proposto, que nada
mais é do que um lugar geométrico.
No LIVRO II, não existe enfoque algum ao definir a circunferência como um
lugar geométrico. Nesse sentido, no LIVRO III há uma definição bem diferente,
apresentando a circunferência como o limite de uma quantidade variável de
polígonos regulares inscritos numa circunferência. Seguem, abaixo, a explicação e a
respectiva definição dada neste capítulo:
7
Figura 26 – página 104 do livro Geometria Elementar
47
8
Figura 27: Definição de circunferência como limite de polígonos regulares inscritos nesta
Analisando as páginas seguintes referentes à parte da geometria plana, não
encontramos teorema ou qualquer observação a respeito de um lugar geométrico,
ficando evidente a falta de preocupação em colocar um capítulo sobre o tema.
Temos a impressão de que os autores acreditam firmemente que o aluno já tenha
pré estabelecidos, os conceitos relativos aos lugares geométricos mais comuns.
Mesmo assim, houve uma falta de sequência lógica ao lidar com o tema.
8
Figura 27 – página 125 do livro Geometria Elementar (companhia Livraria Francisco Alves - 1914)
48
3.3 Livro: Matemática: Curso Ginasial
Figura 28: Capa do livro Matemática: Curso Ginasial - 3a Série de Osvaldo Sangiorgi
(Companhia Editora Nacional – de 1961 – 57aedição)
O livro “Matemática, curso ginasial 3a série” de autoria do professor Osvaldo
Sangiorgi, foi escrito na década de 1950. Camilo (2007, p.28 apud MIORIM 2005,
p.3) fala sobre a atualização dos livros de Matemática desta época, segundo a
portaria ministerial no 966/1951. De acordo com Pinto (2009), os livros de
Matemática escritos de acordo com essa portaria eram metódicos, com uma linha
rígida de demonstrações, não tendo a preocupação de criar um diálogo mais aberto
entre o autor e o aluno.
“O uso do livro didático pelo aluno ginasial restringia-se à consulta das
definições, ao estudo das demonstrações e à cópia dos enunciados
dos exercícios nos cadernos. A maioria das aulas era expositiva,
centrada na ação do professor e na prática de exercícios, cujos
procedimentos eram passo a passo explicados pelo mestre. O livro
didático era, portanto, um material secundário para o aluno e que
perdia de longe para o caderno escolar. Para o professor, o livro era
um importante auxiliar para o cumprimento do programa oficial”
(PINTO, 2009, p.64)
Tendo em vista essa concepção, a parte relativa à Geometria Plana é tratada
a partir do capítulo II, conforme o índice abaixo:
49
9
Figura 29: Índice do capítulo II PARTE I
10
Figura 30: Índice do capítulo 2 PARTE II
9
Figura 29 – Páginas 10 e 11 do livro matemática curso ginasial 3o volume de Osvaldo Sangiorgi
10
Figura 30 – Páginas 12 e 13 do livro matemática curso ginasial 3 volume de Osvaldo Sangiorgi
o
50
É interessante notar a preocupação de Sangiorgi com a utilização de
construções geométricas como base para um melhor entendimento das suas
demonstrações e um estudo mais criterioso de diversos lugares geométricos.
11
Figura 31: Os instrumentos geométricos na construção de lugares geométricos
Posteriormente, poderemos perceber a ligação feita entre construções
geométricas e lugares geométricos, ao ficar evidenciada a construção da mediatriz
de um segmento AB ou a bissetriz interna de um ângulo dado AOB.
Pelo índice mostrado anteriormente, temos o capítulo 5 referente a
“Perpendiculares e oblíquas. Lugares Geométricos”. Analisando este capítulo, temos
uma definição do conceito de lugar geométrico.
12
Figura 32: Definição de lugar geométrico
Logo em seguida, são apresentadas a mediatriz e a bissetriz interna como
lugares geométricos. Uma demonstração criteriosa, usando o conceito de hipótesetese é feita por Sangiorgi, evidenciando, de fato, a característica das obras de
matemática desta época.
11
Figura 31 – Página 19 do livro matemática curso ginasial 3 volume de Osvaldo Sangiorgi
12
Figura 32– Página 147 do livro matemática curso ginasial 3 volume de Osvaldo Sangiorgi
o
o
51
13
Figura 33: mediatriz e bissetriz interna como lugares geométricos
Apesar do intuito do autor, de dedicar parte de um capítulo ao estudo dos
lugares geométricos, isso acabou sendo dado de forma pouco aprofundada, pois no
geral 3 páginas foram dedicadas a este tema. Não houve um aprofundamento, além
desses dois lugares geométricos, nenhum outro foi comentado. Dessa forma, um
leigo teria uma visão bem limitada, pois da quantidade de exercícios propostos
neste capítulo (10 no total) não encontramos um sequer que nos fale de um lugar
geométrico específico.
Assim, mesmo com todo rigor da obra do professor Osvaldo Sangiorgi, pouca
ênfase foi dada ao lidar com um lugar geométrico e, somente na página 196, temos
outra referência a um lugar geométrico, quando o autor nos dá a definição de uma
circunferência
como sendo “O lugar geométrico dos pontos de um plano
eqüidistantes de um ponto dado no mesmo plano”.
14
Figura 34: Circunferência como lugar geométrico
13
Figura – Páginas 148 e 149 do livro matemática curso ginasial 3 volume de Osvaldo Sangiorgi
14
Figura 34– Página 196 do livro matemática curso ginasial 3 volume de Osvaldo Sangiorgi
o
o
52
Na página 231, é apresentado o capítulo “Construções geométricas com
régua e compasso”, onde são explicadas, através de exemplos, as construções
geométricas básicas que servem de apoio para a solução de problemas mais
elaborados, envolvendo este mesmo assunto. No primeiro exemplo, é pedido que se
trace a mediatriz de um segmento. Aqui, novamente, é lembrada a definição de
mediatriz como um lugar geométrico e, com isso em mente, é apresentada a
construção passo a passo. Na página 233, temos como exemplo a construção da
bissetriz de um ângulo dado e não encontramos referência ao defini-la novamente
como um lugar geométrico.
15
Figura 35 : Construção da bissetriz interna
No capítulo III, na parte relativa a “linhas proporcionais no triângulo”
encontramos o círculo de Apolônio, discutido anteriormente, mas Sangiorgi o retrata
como “Lugar geométrico dos pontos cuja razão das distâncias a dois pontos fixos é
constante”
15
o
Figura 35 – Página 233 do livro matemática curso ginasial 3 volume de Osvaldo Sangiorgi
53
16
Figura 36 : Lugar geométrico dos pontos cuja razão das distâncias a dois pontos fixos é
constante PARTE I
17
Figura 37 : Lugar geométrico dos pontos cuja razão das distâncias a dois pontos fixos é
constante PARTE II
Ele faz uma demonstração bem detalhada ao provar que este lugar
geométrico é uma circunferência conforme visto nas páginas acima. É interessante
notar o processo de uma sequência lógica adotada no livro, pois Sangiorgi nos diz
16
17
Figura 36 – Páginas 256 e 257 do livro matemática curso ginasial 3o volume de Osvaldo Sangiorgi
o
Figura 37 – Página 258 do livro matemática curso ginasial 3 volume de Osvaldo Sangiorgi
54
“como aplicação das propriedades das bissetrizes de um triângulo
vamos
demonstrar o seguinte teorema” (SANGIORGI, 1961, p.256), ou seja, neste capítulo
ele coloca todas as propriedades relativas a bissetrizes internas de um triângulo, faz
as demonstrações e só depois ele nos apresenta esse lugar geométrico. Dessa
forma, o aluno não terá maiores problemas de compreensão se tiver total clareza
dos teoremas expostos .
Fica evidenciado o rigor nesta obra, assim como a demonstração criteriosa e
a sequência lógica seguida para poder compreender cada teorema. Mesmo agindo
dessa forma, o assunto lugar geométrico poderia ter sido tratado com ênfase bem
maior e não colocado somente em algumas páginas, sem nenhum exercício
proposto aos alunos, abrindo uma grande lacuna e impedindo que estes pudessem
tentar assimilar de forma mais primorosa o conceito de um lugar geométrico.
3.4 Livro: Lugares Geométricos Planos
Figura 38 : Capa do livro Lugares Geométricos Planos de F.A.Lacaz Netto (Livraria Nobel
S/A de 1957 – 2aedição)
55
Esse livro foi escrito na década de 1950 com o intuito de aprofundar os
conhecimentos dos alunos no entendimento e resolução de exercícios envolvendo
lugares geométricos. A obra trata somente deste tema, apresenta, assim, uma
análise profunda dos problemas propostos bem como notas históricas envolvendo
lugares geométricos específicos.
O caminho tomado por F. A. Lacaz Netto é bem diferente de outros autores
quando nos referimos ao método usado na solução de um problema. Na sua obra, é
empregado o método cartesiano na resolução de todos os problemas, mas este
deixa bem claro o uso de outros métodos, como, por exemplo, o vetorial, embora
nesta obra foi feita a opção pelo primeiro, conforme visto a seguir :
18
Figura 39 : Sistema de referência para se resolver problemas de lugares geométricos
O livro começa com uma nota histórica atribuindo a Platão a criação da teoria
dos lugares geométricos e os motivos que levaram ao desenvolvimento desta, que
serviu de base para a resolução de problemas históricos, como a duplicação do
cubo e da trissecção do ângulo conforme visto no capítulo I
19
Figura 40 : Histórico sobre origem do termo lugar geométrico
18
19
Figura 39 – pagina 6 do livro Lugares geométricos planos de F.A.Lacaz Netto
Figura 40 – pagina 7 do livro Lugares geométricos planos de F.A.Lacaz Netto
56
Lacaz faz uma observação importante com relação ao sistema de referência
adotado no momento de resolver um problema de lugar geométrico. Temos em
mente, analisando as obras atuais, um único sistema de referência. Aquele que tem
como origem a intersecção de duas retas que formam um ângulo de 900. No entanto,
apresenta diversas escolhas bem distintas, demonstrando, assim, a plenitude de
várias decisões cabíveis, aumentando de certa forma as possibilidades empregadas
na solução de um exercício.
20
Figura 41 : Observações para se resolver problemas de lugares geométricos
20
Figura 41 – pagina 8 do livro Lugares geométricos planos de F.A.Lacaz Netto
57
Levando em consideração o que foi dito acima, Lacaz apresenta diversos
problemas esmiuçados com todos os detalhes possíveis. Dessa forma, são citados a
seguir dois exemplos com suas respectivas soluções.
“11 – Exercício. Lugar geométrico dos pontos cuja diferença ( numa certa ordem )
dos quadrados das distâncias a dois pontos fixos seja constante. ”
21
Figura 42 : Lugar geométrico dos pontos cuja diferença dos quadrados das distâncias a
dois pontos fixos seja constante
Neste exemplo, Lacaz considera, no eixo dos x, o segmento de reta
determinado pelos pontos A e B constrói a mediatriz deste segmento ( item b) da
observação 4 ), obtendo o eixo y e tendo como origem a intersecção destes. Ao
tomar a decisão de escolher a mediatriz de AB como parte do sistema de referência,
Lacaz torna o problema mais simples, pois os pontos A e B serão simétricos em
21
Figura 42 – pagina 12 do livro Lugares geométricos planos de F.A.Lacaz Netto
58
relação ao eixo y, facilitando em muito as manipulações algébricas no momento de
resolver a equação e obter a solução mostrada acima.
20 – Exercício : Lugar dos pontos cuja razão das distâncias a um ponto fixo e uma
reta fixa, ( que não se pertençam ) seja constante
É colocado um sistema de referência que realmente facilita a solução
conforme citado abaixo :
22
Figura 43 : Lugar dos pontos cuja razão das distâncias a um ponto fixo e uma reta fixa,
( que não se pertençam ) seja constante
É feito o cálculo da projeção ortogonal do ponto P sobre a reta d=y e obtida
uma curva a partir do qual tem início uma discussão para verificar se a elipse,
parábola ou uma hipérbole.
22
Figura 43 – pagina 23 do livro Lugares geométricos planos de F.A.Lacaz Netto
59
23
Figura 44 : Elipse, hipérbole e parábola como lugares geométricos
E com essa discussão vem a conclusão do autor : teremos uma elipse caso a
constante seja menor que um, uma hipérbole, se a constante for maior do que um e
uma parábola caso seja igual a um.
Existe uma preocupação em evidenciar fatos históricos, colocando a
importância do estudo dos lugares geométricos na solução dos problemas da
antiguidade clássica, conforme foi visto no capítulo I. Aqui é mostrado o problema
delineano e colocadas duas origens para o referido problema, uma atribuída a
Filopônio e a outra a Erastótenes
23
Figura 44 – pagina 23 do livro Lugares geométricos planos de F.A.Lacaz Netto
60
24
Figura 45 : O problema Delineano
É colocada uma solução atribuída a Menecmo e outra a Diocles. A primeira
faz uso da intersecção de duas parábolas, e a segunda faz uso de uma cissóide e
de um círculo com diâmetro tomado igual a unidade.
25
Figura 46 : Solução de Menecmo para o problema da duplicação do cubo
24
Figura 45 – pagina 97 do livro Lugares geométricos planos de F.A.Lacaz Netto
25
Figura 46 – pagina 97 do livro Lugares geométricos planos de F.A.Lacaz Netto
61
26
Figura 47 : Solução de Diocles para o problema da duplicação do cubo
No final do livro, como curiosidade, é dada a etimologia de alguns lugares
geométricos como a cissóide e a conchóide
27
Figura 48 : Etimologia de alguns lugares geométricos
Dos livros analisados, este representa uma obra muito aprofundada, fazendo
um estudo metódico de diversos lugares geométricos, partindo de conceitos simples,
a partir dos quais são apontados outros lugares geométricos. Para um entendimento
plausível é necessário um conhecimento algébrico e geométrico profundo e, junto
com as definições e inúmeros exercícios resolvidos, o livro traz uma quantidade
26
Figura 47 – pagina 98 e 99 do livro Lugares geométricos planos de F.A.Lacaz Netto
27
Figura 48 – pagina 121 do livro Lugares geométricos planos de F.A.Lacaz Netto
62
enorme de exercícios. Isso mostra a preocupação do autor com o aluno, com o fato
de exercitar o que foi ensinado, não ficando somente numa teoria vaga e pouco
profunda.
63
3.5 Livro: Matemática Ginasial 3a série
Figura 49 : Capa do livro Matemática Ginasial 3a série de Roxo –Thiré – Melo e Souza
(Livraria Francisco Alves de 1948 – 3aedição)
Este livro data do ano de 1948 e foi escrito em conjunto pelos professores
Euclides Roxo, Julio César de Mello e Cecil Thiré. Dos livros analisados, este é o
único que apresentou duas definições distintas do conceito de lugar geométrico.
Primeiro, os autores definem um lugar geométrico como uma trajetória :
28
Figura 50 : Definição de lugar geométrico como trajetória de pontos
28
a
Figura 50 – pagina 144 do livro Matemática ginasial 3 série de Roxo –Thiré – Melo e Souza
64
Existe uma preocupação em dar exemplos, não ficando um texto pautado
somente na teoria. É dado então um exemplo histórico de um lugar geométrico que
é a ciclóide e outro bem prático, mostrando o lugar geométrico como um curva :
29
Figura 51 : Exemplos de lugares geométricos definidos como trajetórias de pontos
Logo em seguida, os autores falam a respeito do conceito de lugar geométrico
como um conjunto de pontos, mas antes de qualquer definição formal, um exemplo
minucioso é dado. Existe uma preocupação em estabelecer um diálogo com o leitor
e, bem depois disso, o formalismo em questão é apresentado :
30
Figura 52 : Definição de lugar geométrico como conjuntos de pontos
29
30
a
Figura 51 : Páginas 144 e 145 do livro Matemática ginasial 3 série de Roxo –Thiré – Melo e Souza
a
Figura 52 : Página 145 do livro Matemática ginasial 3 série de Roxo –Thiré – Melo e Souza
65
31
Figura 53 : Definição de circulo como lugar geométrico
Interessante é a observação registrada no final do capítulo, onde é
estabelecida a relação entre superfície esférica e lugar geométrico e, após isso, a
definição de lugar geométrico como uma linha ou superfície.
32
Figura 54 : Superfície esférica como lugar geometrico
Na página 185, são explicados os critérios para se estabelecer um lugar
geométrico, critérios usados nos livros didáticos atuais.
33
Figura 55 : Critérios para se estabelecer um lugar geométrico
31
Figura 53 : Página 146 do livro Matemática ginasial 3 série de Roxo –Thiré – Melo e Souza
a
32
Figura 54 : Página 146 do livro Matemática ginasial 3 série de Roxo –Thiré – Melo e Souza
33
Figura 55 : Página 185 do livro Matemática ginasial 3 série de Roxo –Thiré – Melo e Souza
a
a
66
Os autores apresentam outra possibilidade: a negação do item (b) mostrando
então dois caminhos no estabelecimento de um lugar geométrico
34
Figura 56 : Outra forma de se estabelecer um lugar geométrico
Logo em seguida, são dadas a mediatriz e a bissetriz interna como lugares
geométricos. Uma demonstração rigorosa é feita seguindo a linha hipótese e tese.
Ao observar as obras do professor Euclides Roxo, percebe-se que é possível um
diálogo com o leitor, e escrever de forma acessível, sem deixar de lado o rigor
matemático.
35
Figura 57 : A mediatriz como lugar geométrico
a
34
Figura 56 : Página 186 do livro Matemática ginasial 3 série de Roxo –Thiré – Melo e Souza
35
Figura 57 : Páginas 186 e 187 do livro Matemática ginasial 3 série de Roxo –Thiré – Melo e Souza
a
67
36
Figura 58 : A bissetriz como lugar geométrico
Os autores apresentam um capítulo a respeito das construções geométricas e
falam a respeito do método euclidiano e das possíveis soluções através deste
método.
37
Figura 59 : Definição de problema gráfico e de problema quadrático
a
36
Figura 58 : Página 187 do livro Matemática ginasial 3 série de Roxo –Thiré – Melo e Souza
37
Figura 59 : Página 230 do livro Matemática ginasial 3 série de Roxo –Thiré – Melo e Souza
a
68
É estabelecido um método denominado pelos autores de método dos lugares
geométricos, fazendo mais uma vez referência a esse conceito e interligando
construção geométrica e lugar geométrico conforme visto abaixo:
38
Figura 60 : Método dos lugares geométricos
39
Figura 61 : Construções geométricas pelo método dos lugares geométricos
No capítulo referente ao estudo do círculo, este é definido como um lugar
geométrico de duas maneiras distintas, fato que revela mais uma vez a preocupação
dos autores em dar uma visão mais ampla do entendimento de qualquer conceito
envolvendo um lugar geométrico.
40
Figura 62 : Página 237 do livro Matemática Ginasial 3a série de Roxo –Thiré – Melo e
Souza (Livraria Francisco Alves de 1948 – 3aedição)
38
Figura 60 : Página 230 do livro Matemática ginasial 3a série de Roxo –Thiré – Melo e Souza
39
Figura 61 : Página 231 do livro Matemática ginasial 3 série de Roxo –Thiré – Melo e Souza
40
Figura 62 : Página 237 do livro Matemática ginasial 3 série de Roxo –Thiré – Melo e Souza
a
a
69
Nesta obra é encontrada uma definição distinta para o conceito de diâmetro
de uma circunferência. Os autores colocam o diâmetro como um lugar geométrico,
fato evidenciado somente neste livro.
41
Figura 63 : Diâmetro como lugar geométrico
Uma característica comum nas obras analisadas é o problema do círculo de
Apolônio, colocado também nesta obra conforme a figura a seguir :
42
Figura 64 : Ângulo sob o qual se vê um segmento de reta
Das obras analisadas, esta foi a que mais apresentou referências ao conceito
de lugar geométrico, fazendo elo entre lugar geométrico e desenho geométrico, por
meio de diversas definições. Não se limitou ao estudo deste tema somente em um
capítulo, mas distribuiu em várias partes da obra .
41
42
Figura 63 : Página 244 do livro Matemática ginasial 3a série de Roxo –Thiré – Melo e Souza
Figura 64 : Página 272 do livro Matemática ginasial 3a série de Roxo –Thiré – Melo e Souza
70
3.6 Livro: Desenho Geométrico
Figura 65 : Capa do livro Desenho Geométrico - José Carlos Putnoki (Editora Scipione 1991)
Este livro apresenta um modo de resolver problemas de desenho geométrico,
chamado de Método dos lugares geométricos, o qual será explicitado no capitulo
IV.
Putnoki explica o método dos lugares geométricos dando exemplos
preliminares, onde incita o aluno a pensar na resposta de algumas perguntas feitas
no livro. Após este fato é apresentado o conceito de lugar geométrico e um problema
preliminar é resolvido, procurando tirar dúvidas surgidas pelos leitores.
O autor coloca cinco lugares geométricos que ele considera como
fundamentais que são:

Lugar geométrico 1 : circunferência

Lugar geométrico 2 : mediatriz

Lugar geométrico 3 : Retas paralelas

Lugar geométrico 4 : Bissetriz

Lugar geométrico 5 : Arco capaz
71
Uma explicação do conceito de lugar geométrico é dada e ilustrando a
definição. O autor coloca um exemplo para um melhor entendimento do que foi
exposto.
43
Figura 66 : O método dos lugares geométricos
Com isso, Putnoki começa a resolver problemas fundamentais de construções
geométricas usando cada um dos seus lugares geométricos.
43
Figura 66 : Páginas 65 e 66 do livro Desenho Geométrico - José Carlos Putnoki
72
No inicio, conforme visto na figura 68 é apresentado o seguinte problema
“São dados dois pontos, A e B, e duas distâncias, m e n. Obtenha um ponto X que
diste m de A e n de B.”. Neste caso, é usada a intersecção de duas circunferências
na obtenção do ponto X caracterizando desta forma o uso do lugar geométrico 1.
44
Figura 67 : Circunferência como lugar geométrico
44
Figura 67 : Página 68 do livro Desenho Geométrico - José Carlos Putnoki
73
Seguindo as explicações, o autor apresenta o lugar geométrico 2 : mediatriz
de um segmento. Ele coloca de forma bem clara, um exemplo preliminar, e após
esse fato da definição de mediatriz como um lugar geométrico conforme visto na
figura 69.
45
Figura 68 : Mediatriz como lugar geométrico
Dois exemplos são apresentados. No primeiro, pede que se construa um
triângulo isósceles, dados dois pontos e uma circunferência e no segundo uma
construção clássica que é a de se construir uma circunferência dados 3 pontos não
colineares.
Considerando o problema resolvido, Putnoki obtém as intersecções dos
lugares geométricos e dessa forma obtém a solução de cada um deles conforme
visto na figura 70.
45
Figura 68 : Página 71 do livro Desenho Geométrico - José Carlos Putnoki
74
46
Figura 69 : Resolução de exercícios pelo uso do método dos lugares geométricos
Seguindo a mesma linha de raciocínio, são apresentados de forma seqüencial
os outros lugares geométricos, seguidos de diversos exemplos conforme pode ser
visto na figura 71.
46
Figura 69 : Páginas 73 e 74 do livro Desenho Geométrico - José Carlos Putnoki
75
47
Figura 70 : Retas paralelas e Bissetriz como lugares geométricos
Esta obra apresenta de forma bem clara um método que faz uso dos lugares
geométricos para se resolver diversos problemas de construções geométricas. Um
livro de geometria pode fazer associação com fatos envolvendo construções
geométricas e a partir disso, trabalhar de forma bem mais ampla e criteriosa,
exercícios e problemas de geometria.
47
Figura 70 : Páginas 79 e 80 do livro Desenho Geométrico - José Carlos Putnoki
76
CAPÍTULO IV - O PAPEL DA GEOMETRIA DINÂMICA NO
PROCESSO DE ENSINO-APRENDIZAGEM DO CONCEITO
DE LUGAR GEOMÉTRICO
4.1 Introdução
Neste capitulo será discutido o papel da geometria dinâmica no processo de
ensino-aprendizagem de Geometria Plana, dando ênfase ao seu uso no estudo de
lugares geométricos. No início apresentaremos um software chamado Loci, que teve
o intuito de facilitar o estudo de lugares geométricos, ajudando o aluno a criar suas
próprias conjecturas.
Em seguida, apresentaremos o Cabri-Géomètre II, o software usado na
pesquisa em foco. No início, será dada uma visão geral das funcionalidades deste
software e a seguir serão discutidas duas ferramentas primordiais no estudo de um
lugar geométrico, a ferramenta lugar geométrico e a ferramenta rastro. Concluindo
esta parte, mostraremos a facilidade do uso deste software no momento de
realizarmos construções geométricas envolvendo lugares geométricos.
Terminando o capítulo, será feita uma análise dos problemas abertos e como
poderemos usá-los para dar um enfoque diferenciado no estudo de lugares
geométricos. Uma discussão a respeito do uso do deslocamento no ambiente de
geometria dinâmica e das construções moles e robustas será enfatizada e veremos
como esses dois fatores poderão auxiliar o aluno a desenvolver novos conceitos,
fazendo uso do aspecto experimental e investigativo que um software de geometria
dinâmica pode oferecer.
77
4.2 O software Loci
No boletim GEPEM, encontramos um artigo escrito por Hershkowitz,
Friedlander e Dreyfus (1994), chamado “Loci e Pensamento Visual”, no qual os
autores descrevem um software chamado Loci, que tem como finalidade permitir aos
estudantes construírem uma imagem bem global do conceito de lugar geométrico.
No artigo, encontramos uma crítica ao processo estereotipado dado ao estudo
de um lugar geométrico evidenciando a visão algébrica de muitos autores ao lidarem
com este tema :
O processo requisitado do aluno consiste na análise de uma situação
que geralmente é apresentada verbalmente, traduzi-la para uma
linguagem algébrica e então executar computações de acordo com
regras formalizadas. Os processos de intuir, visualizar, explorar,
conjecturar, definir, construir e dinamicamente transformar, que são
tão importantes na matemática não encontram seu lugar neste tipo de
atividade.
(HERSHKOWITZ et al., 1994, p.77)
Usando o Loci, tem-se a possibilidade de escolher quatro tipos de ação:

Definir lugar geométrico

Construir pontos do lugar geométrico definido

Fazer conjecturas sobre sua forma

Transformar o lugar geométrico modificando os dados em sua definição
A seguir o funcionamento de cada ação é detalhado:

Definir um lugar geométrico : O usuário escolhe e fixa dois elementos,
como por exemplo duas retas ou um ponto e uma reta. Desse modo o lugar
geométrico será decidido pela soma, diferença ou razão entre os elementos
escolhidos. Assim, pode-se obter por exemplo uma elipse, escolhendo dois
pontos fixos e informando para o Loci esta distância, pois :
Elipse é o conjunto de pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos
fixos do plano é constante
78
Na realidade, um número enorme de possibilidades pode ser criada e
evidenciada fazendo uso do Loci
Figura 71 : Definindo um lugar geométrico (Hershkowitz et al., 1994, p.78)

Construir pontos do lugar geométrico definido : Depois de definir o lugar
geométrico o aluno terá a possibilidade de verificar se um determinado ponto
pertence ou não a tal conjunto de pontos. Para isso, ele poderá escolher
circunferências de raios pré-definidos ao redor de um determinado ponto e
traçar paralelas verificando as intersecções entre estas duas .
Figura 72 : Construindo pontos com o Loci (Hershkowitz et al., 1994, p.79)

Fazer conjecturas : No Loci, fica evidenciado o papel importante do aluno de
fazer conjecturas pois este software possibilita uma lista de 22 escolhas
possíveis para o lugar geométrico. Logo temos a oportunidade de quebrar
este paradigma de problemas de construções prontas e acabadas mudando a
visão dos alunos. Abaixo citamos um exemplo dado pelos autores :
Em nosso exemplo, o lugar geométrico consiste de dois segmentos de
parábolas (figura 3). Em qualquer momento, o usuário pode escolher
construir mais pontos para fazer novas conjecturas. Se um número
suficiente de construções já tiver sido realizado – 6 construções, no
mínimo – também é possível obter o lugar geométrico sobre a tela
sem ser necessário fazer uma conjectura correta sobre sua forma.
(HERSHKOWITZ et al., 1994, p.79)
79
Figura 73 : Fazendo conjecturas com o Loci (Hershkowitz et al., 1994, p.79)
Feito estas operações, se a hipótese do aluno estiver em acordo com o lugar
geométrico pedido este será desenhado na tela do computador e este irá descrevêlo de forma verbal.

Transformar locus: Nesta situação, temos a possibilidade de fazer
transformações no lugar geométrico construído. No caso da elipse, podemos
aumentar ou diminuir a distância entre os dois pontos fixos. Se esta distância
for reduzida de forma significativa num determinado momento o lugar
geométrico irá se tornar vazio e o Loci irá evidenciar isso para nós.
Os autores propõem uma atividade descrita abaixo onde nos falam a respeito de
dois tipos de raciocínio, o local e o global. “Dados uma reta b e um ponto A. Decida
para cada um dos seguintes desenhos se ele é ( ou não é ) o lugar geométrico dos
pontos com a soma das distâncias ao ponto A e a reta b é fixa”
(HERSHKOWITZ et al., 1994, p.81)
Figura 74 : Atividade envolvendo uso do Loci (Hershkowitz et al., 1994, p.81)
Fazendo uso do Loci ou verificando de forma algébrica as distâncias pedidas
tem-se como resposta correta os itens ii) e iv).
80
Pode-se combinar o uso do Loci com outro software denominado Geogebra. Este
é um software livre que possui uma ferramenta para somar medidas de segmentos e
verificar se esta soma é constante. Isso facilita a visualização e ajuda na
confirmação de conjecturas. A Figura 76 mostra os resultados obtidos com esse
software.
81
Figura 75 : Análise do lugar geométrico com soma constante
Analisando as respostas de alguns alunos ficou evidenciado o

Raciocínio local : neste caso, temos uma análise superficial da situação
descrita pois o aluno escolhe um número muito reduzido de pontos para
tomar uma decisão. Citamos como exemplo o raciocínio de um aluno no caso
ii) que nos diz
“ A circunferência A não é o lugar geométrico, pois as distâncias do ponto E e O ao
ponto A são r, mas a distancia do ponto O a reta b é maior do que a distancia do
ponto E a reta b. ” (HERSHKOWITZ et al., 1994, p.83)
Figura 76 : Solução de um aluno usando o Loci (Hershkowitz et al., 1994, p.83)

Raciocínio global : neste caso, a visão do aluno sobre o lugar geométrico
pedido é mais profunda. Ele tem um foco bem aguçado de um lugar
geométrico como um conjunto de pontos satisfazendo uma certa propriedade.
O número de pontos considerados na solução do problema também é maior e
citamos como exemplo o raciocínio do aluno Amir que fez seu comentário
sobre o caso i
82
“Não a
parábola não é o lugar geométrico porque conforme nós
caminhamos pela parábola, as distâncias tanto ao ponto A quando a
reta b são aumentadas. ” (HERSHKOWITZ et al., 1994, p.84)
Pelo que foi apresentado acima, o Loci foi um software criado para evidenciar
e aprimorar o tratamento dado no estudo de um lugar geométrico, e segundo a
pesquisa dos autores um software de Geometria Dinâmica pode ajudar em muito na
mudança de um raciocínio local para um raciocínio global.
Tivemos o intuito de focar neste software, pois ele trabalha diretamente com o
nosso tema de pesquisa e nos abre caminho para falar do Cabri-Géomètre que será
usado na nossa atividade de pesquisa.
4.3 O software Cabri Géomètre II e lugares geométricos
O uso dos instrumentos euclidianos na elaboração de construções
geométricas via papel e lápis sofre muitos empecilhos quando comparado às
construções feitas fazendo uso de um software de Geometria Dinâmica. Gravina
(1996) afirma que um dos fatores desfavoráveis quanto ao uso do primeiro meio é a
impossibilidade de variarmos a posição da figura. Não existi assim, formas viáveis de
fazer novas conjecturas.
No caso de construções envolvendo lugares geométricos, este fator se torna
preponderante, pois muitas vezes a construção será feita usando uma nêusis como
no caso da trissecção de um ângulo usando a conchóide de Nicomedes. O ajuste da
figura será feito de forma bem mais fácil, usando o ambiente de Geometria
Dinâmica.
Fica evidenciado então o papel das ferramentas rastro e lugar geométrico, no
Cabri Géomètre II, como facilitadoras na construção de lugares geométricos. Isso é
verdadeiro, pois no ambiente papel e lápis, a precisão no momento de estabelecer
um lugar geométrico fica a mercê de diversos fatores.
Segundo Araujo (2010, p.29 apud KING E SCHATTSCHNEIDER, 1997), é
difícil imaginar um conjunto de pontos se movendo na tela do computador
respeitando determinada característica e, a partir disso, conceber o lugar geométrico
determinado por estes pontos.
83
Citando exemplos, podemos relatar a precisão imposta pela pessoa que irá
realizar a construção. Os mecanismos usados devem estar em condições
apropriadas, sem levar em consideração que estabelecer uma grande quantidade de
pontos para determinar o lugar geométrico poderá ser uma tarefa árdua, gerando a
possibilidade de diversos tipos de erros.
Como primeiro exemplo, iremos nos basear na construção abaixo :
a) Construa duas retas r e s concorrentes não formando ângulo reto.
b) Construa uma circunferência num dos quadrantes determinados pelas duas retas.
c) Considere um ponto P sobre a circunferência
d) Conduzir uma paralela a s por P e achar o ponto de intersecção dessa reta com a
reta r .Nomeie este ponto de Q.
e) Obtenha o simétrico de P em relação ao ponto Q. Nomeie este ponto de P’
f) Qual é o lugar geométrico de P’ quando P se movimenta sobre a circunferência?
r
P´
Q
P
s
Figura 77 : Lugar geométrico do simétrico de um ponto P
No ambiente papel-lápis, esta construção poderia ter o empecilho de ter uma
grande quantidade de pontos do simétrico de P em relação ao ponto Q. Isso poderia
ser feito, usando uma régua graduada ou fazendo transporte de segmento com um
compasso.
Por outro lado, fazendo uso do Cabri-Géomètre, o aluno poderá usar por
exemplo a ferramenta rastro, conseguindo uma visualização mais rápida do referido
84
lugar geométrico não entrando em possíveis erros acarretados por um mau uso da
régua graduada ou por qualquer instrumento de desenho.
Vejamos agora esse segundo exemplo: Considere um circulo de centro O e
raio d uma reta r que não se interceptam, ambos contidos no plano. Determine o
lugar geométrico dos centros dos círculos que são tangentes ao círculo dado
(exteriormente) e à reta dada.
Pela definição de parábola, temos: Uma parábola é o conjunto de pontos do
plano equidistantes de um ponto fixo e de uma reta que não contém o ponto. Dessa
forma, o lugar geométrico pedido será uma parábola cujo foco será O e cuja diretriz
é uma reta paralela, a uma distância d da reta dada, não passando pelo ponto O.
Levando em consideração a falta de conhecimento da definição de parábola
como lugar geométrico, o aluno, fazendo uso da ferramenta circunferência no CabriGéomètre II, poderá através do método de tentativas e erros, criar circunferências
que sejam tangentes aos objetos dados. No entanto, diferentemente do primeiro
caso, encontrar um conjunto de pontos que mostrem uma visão geral do lugar
geométrico se tornará mais difícil, pois, conforme foi dito no primeiro caso, a simetria
da figura era bem mais simples de se obter, mas neste segundo exemplo, caso o
sujeito desconheça a parábola como lugar geométrico não ficará evidenciado
qualquer simetria de forma clara e nítida.
Dessa forma, obter o lugar geométrico via papel e lápis se tornará uma árdua
tarefa. No ambiente de geometria dinâmica, este empecilho poderá ser minimizado,
pois caso o centro da circunferência não satisfaça a condição dada, este poderá ser
apagado de forma rápida, e logo em seguida, uma nova tentativa poderá ser feita.
Além do mais, as circunferências desenhadas que satisfizeram a condição
poderão ser escondidas, deixando somente o ponto considerado, fazendo com que
a construção fique livre de objetos construídos que poderiam dificultar a visão do
sujeito no momento de buscar uma generalização.
Caso exista o conhecimento de que uma cônica é dada a partir de 5 pontos
poderá ser feita uma escolha minuciosa de 5 pontos e, com isso, usando a
ferramenta cônica, obter o lugar geométrico desejado, conforme visto na figura
abaixo.
85
O
O
Figura 78 : Solução do Cabri evidenciando uma parábola
Se a precisão estabelecida no momento de determinar os pontos não for
adequada, o software poderá dar como resposta lugares geométricos diferentes do
correto, conforme podemos verificar na figura abaixo onde temos o traçado de uma
hipérbole e de uma elipse, levando neste caso o aluno ao erro.
O
O
Figura 79 : soluções do Cabri evidenciando uma hipérbole e uma elipse
Uma característica positiva dos lugares geométricos é o seu uso na resolução
de problemas envolvendo construções geométricas, bem como na associação e
confirmação de um lugar geométrico como uma curva algébrica Araujo (2010). Como
exemplo, consideremos a seguinte curva chamada de Limaçon de Pascal, dada pela
seguinte equação cartesiana (x2 + y2 - 2ax)2 = b2(x2 + y2). Plotando pontos num
86
sistema de eixos cartesianos, a tarefa se tornará árdua e muita vezes o número de
pontos obtidos não será suficiente para caracterizar de forma concreta a curva em
questão.
Mudando o foco e considerando esta curva como um lugar geométrico, podese realizar a seguinte sequência e obtermos a sua construção :
a) Construa uma circunferência de centro O.
b) Obtenha um ponto P sobre a circunferência.
c) Crie o segmento OP.
d) Construa uma reta r pelo ponto P perpendicular ao segmento OP.
e) Considere um ponto fixo A externo à circunferência e à reta r.
f ) Obtenha a projeção ortogonal de A sobre a reta r. Nomeie esta projeção de X.
g) Agora movimente o ponto P sobre a circunferência e tente imaginar a curva
descrita pelo ponto X
Desta forma podemos defini-la como: O lugar geométrico dos pontos M e N
quando B se desloca sobre a circunferência
Figura 80 : Limaçon de Pascal
Logo, mudando o enfoque algébrico da referida curva e colocando-a como
associada a um lugar geométrico a tarefa de obter seu traço num plano cartesiano
ficará bem mais fácil. Assim, o Cabri Géomètre, com suas ferramentas rastro, lugar
geométrico, cônica e tantas outras, torna a visualização e construção de curvas
associadas a um lugar geométrico algo mais simples, possibilitando uma acuidade
visual bem mais primorosa se comparada a um ambiente estático.
87
4.4 Tipos de deslocamento
A visualização desempenha um papel importante no aprendizado da
Geometria. Deslumbrar uma figura num ambiente computacional permite ao aluno
formar uma imagem mental de alguma característica desta que ainda não se tornou
evidente para ele. Por isso relatamos o uso do deslocamento como uma ferramenta
auxiliadora na aprendizagem da Geometria Dinâmica. Essa função tão benéfica,
pode ser usada fazendo uso do mouse ou das propriedades características do
software o qual queremos usar.
Segundo Silva e Penteado (2009, p.1069 apud GOLDENBERG, SCHER E
FEURZEING, 2008) temos que
o arrastar permite ao usuário mover livremente certos elementos de
um desenho e observar outros elementos que correspondem às
condições alteradas. Dessa forma a tela fornece a impressão de que
o desenho está sendo deformado continuamente em todo o
processo de arrastar, enquanto mantém as relações que foram
especificadas como essenciais da construção original. Isso permite
agilidade na investigação, pois figuras que demorariam muito tempo
para serem construídas no papel são criadas em segundos na tela
do computador. (GOLDENBERG, SCHER E FEURZEING, 2008)
Logo, a oportunidade de usarmos o mouse para arrastarmos um ponto sobre
algum objeto ou de efetuarmos operações mais complexas, envolvendo conceitos
mais elaborados, torna-se algo mais simples e eficiente quando realizamos nossas
atividades fazendo bom uso do deslocamento. Com essa opção, podemos obter e
determinar o movimento de vários objetos, usando caminhos bem diferentes. Frank
e Mariotti (2009) registram dois tipos de movimentos : o movimento direto e o
movimento indireto .
No primeiro caso, citamos como exemplo o arrastar do vértice de um
triângulo, caracterizando assim o aumento ou a diminuição de seu perímetro. ou
seja, teremos a variação deste elemento (o vértice) com relação ao ambiente
geométrico (o plano).
No segundo caso, temos algo bem mais elaborado, este tipo de movimento
ficará bem determinado quando realizamos uma construção geométrica e esta no
final do processo fica bem sucedida. Neste caso, o deslocamento permitirá uma
88
visão mais global das características da figura construída, auxiliando a enxergar
particularidades que não seriam vistas num ambiente estático.
Citamos Silva (2010) que nos diz
Por tanto, é observado que, contrariamente aos desenhos feitos
com régua e compasso no “mundo real”, as construções
geométricas virtuais produzidas com o software Régua e Compasso
são dinâmicas: elas se movem sobre o comando do aluno, além
disso, os pontos geométricos iniciais de uma construção podem ser
arrastados com o mouse mantendo-se as relações matemáticas que
vigoram entre eles e os demais objetos. Com isso, é permitido o
estudo de uma construção sob diferentes configurações de pontos,
sem que seja necessário realizar uma nova construção. Esse é um
dos pontos fortes dos programas de Geometria Dinâmica.
(SILVA, 2010, p.5)
Dessa forma, o deslocamento acaba se tornando uma grande chave no
entendimento e desenvolvimento de conjecturas, pois permite visualizar as relações
das propriedades geométricas contidas numa figura com relação à imagem desta na
tela do computador. Falando de uma outra maneira, o deslocamento permite a
realização de testes para verificar a validade de uma construção quando vários
elementos da figura são modificados, tornado-se assim uma ferramenta para
acentuar a percepção dos alunos ao analisarem novas propriedades do objeto
geométrico em questão .
Arzarello, Oliveiro, Paola e Robutti (2002) apontam diversos tipos de
deslocamentos e do papel de cada um na aprendizagem dos estudantes. Realizam
uma análise do movimento do mouse enquanto os alunos resolvem um determinado
problema proposto pelo professor. Nesta pesquisa foi possível identificar as
seguintes modalidades :

Wandering dragging : modalidade em que o aluno arrasta move pontos e
objetos sobre a tela, de forma aleatória, com a intenção de encontrar certas
regularidades no desenvolver do deslocamento desses entes geométricos.

Bound dragging : modalidade em que o aluno arrasta um objeto, mas este
fica ligado diretamente à figura e não é possível o deslocamento deste sem
deixar de estar interligado com a figura em questão.
89

Guided dragging : nesta modalidade deslocamos os elementos da figura a
fim de obtermos uma forma determinada. Um exemplo bem simples é quando
arrastamos os vértices de um retângulo a fim de obter um quadrado.

Dummy locus dragging : neste caso movemos pontos de uma figura com
uma característica ou propriedade que permanece escondida.

Line dragging : o aluno desenha novos pontos para “marcar um caminho” a
fim de perceber algum tipo de regularidade ou padrão, descobrindo assim um
possível lugar geométrico não evidenciado anteriormente.

Linked dragging : aqui o aluno tem a opção de deixar um rastro na tela
quando move um objeto, permitindo uma visão de um lugar geométrico por
meio deste rastro.

Dragging test : Temos a possibilidade de mover uma figura e verificar até
que momento esta guarda uma propriedade inicial. Se isso for verdadeiro,
nosso teste foi validado, caso isso seja falso, a construção estará incorreta e
terá de ser refeita.
Cada modalidade citada ajuda a entender alguma característica de uma
figura, de um lugar geométrico que não ficou evidenciado num determinado
momento. Azarello et al. (2002) afirmam :
Nós temos observado que estudantes exploram essas diferentes
modalidades de arrasto para testar diferentes afirmações como
exploração, conjectura, validação e justificação. Por exemplo,
wandering e guided dragging são geralmente usados na descoberta
de alguma característica da figura e dummy locus e dragging test
são usados principalmente para testar uma conjectura (AZARELLO
et al., 2010, p.3)
Tomando como base o que foi dito até o momento, percebemos a importância
de verificarmos estas modalidades de deslocamento para um melhor entendimento
da aprendizagem de cada aluno. Auxiliando assim, em um processo de
compreensão das etapas que cada sujeito segue de forma individual e diferenciada.
90
4.4.1 Um exemplo de aplicação do conceito de deslocamento na solução de um
problema de lugar geométrico
Vamos dar um exemplo de como podemos usar esses modelos no momento
de resolvermos um problema de lugar geométrico, fazendo o uso de um software de
Geometria Dinâmica, e como isso poderá ajudar a estabelecer critérios de
raciocínios dedutivos por parte dos alunos.
Problema: Achar o lugar geométrico dos pontos extremos de todas as secantes a
uma circunferência traçados de um ponto A desta circunferência e tal que a parte
interna de cada secante tenha o mesmo comprimento da parte externa
No começo, num intuito dedutivo, o aluno poderá marcar de forma aleatória
pontos no plano de tal modo que o ponto considerado em cada situação tenha o
mesmo comprimento da secante interna, caracterizando assim o uso do wandering
dragging.
A
Figura 81 : Uso do wandering dragging
A seguir, poderá ser usada a ferramenta “simétrico de um ponto em relação a
outro ponto” que pode ser encontrada no Cabri Géomètre II, por exemplo. Marcando
mais alguns pontos e seus simétricos, o aluno poderá evidenciar alguma
regularidade, mostrando assim o uso do line dragging.
91
C´
B´
C
B
D´
D
A
E
G
F
E´
G´
F´
Figura 82 : Uso do line dragging
Usando a opção rastro do software de Geometria Dinâmica e deslocando o
ponto A sobre a circunferência, o aluno poderá vislumbrar o lugar geométrico pedido
e, dessa forma, teremos o linked dragging.
B
A
Figura 83 : Uso do linked dragging
Terminando, o aluno poderá mover a figura e perceber desse modo a
invariância desta com relação ao lugar geométrico pedido, ou seja, ele estará
fazendo uso do dragging test e, depois disso, através desses testes, uma
demonstração criteriosa poderá ser realizada
92
Demonstração : Construímos 3 pontos notáveis do lugar geométrico pedido : A, C e
outro ponto qualquer que chamaremos de E; em cada caso traçamos as secantes
ABC, ADE de tal modo que a parte exterior BC, DE seja igual a parte interior AB, AD
e com isso teremos
AB = BC e AD = DE; os três pontos A, C e E não estão em
linha reta e levando em conta o fato de AB = BC e AD = DE o lugar geométrico
pedido será uma circunferência. Para terminarmos a demonstração, vamos obter o
centro e o raio desta circunferência .
C
B
O
A
D
E
Figura 84 : Uso do dragging test
Demonstração : traçamos DB e CE, BD tem extremidades nos pontos médios de
dois lados do triângulo ACE, então BD será paralelo ao lado CE e, pelo teorema
fundamental da semelhança de triângulos, teremos ABD  ACE ; pelo fato do
ângulo ADˆ B ser reto por ser ângulo inscrito numa circunferência de diâmetro AB e
da semelhança de triângulos citada, temos ângulo AEˆ C reto também, e como B é o
ponto médio do segmento AC, o lugar geométrico pedido é a circunferência de
diâmetro AC e centro em B, como queríamos demonstrar.
Dessa forma, o uso do deslocamento permite avanços bem significativos na
aprendizagem da geometria. Evidenciamos abaixo alguns pontos positivos do seu
uso na sala de aula :
93

O fato de podermos mover a figura em diversas posições aumenta a
percepção do aluno, e com isso ele poderá antecipar, de forma mais eficiente
e precisa, alguma conjectura

A experimentação e a exploração aumentam, e esses diversos tipos de
deslocamentos evidenciam uma maior facilidade de sairmos de uma
conjectura e irmos para uma prova

A visualização para procedermos uma demonstração aumenta de forma
considerável, pois caso o aluno não tivesse a opção do deslocamento este
levaria um tempo bem maior até adquirir um amadurecimento para fazer uma
prova via papel e lápis

Esta hierarquia de deslocamentos permite compreender melhor o processo
de aprendizagem de cada aluno e o caminho evidenciado por cada um no
momento da realização de uma atividade.

Com o uso do deslocamento, temos a possibilidade de conseguir uma nova
abordagem aos problemas geométricos, dando um enfoque maior aos
problemas de construções geométricas e deixando de dar uma evidência tão
grande a problemas de pouca praticidade.

Movendo uma figura, temos a possibilidade de verificarmos suas invariantes,
adquirindo assim uma maior percepção de algum lugar geométrico ou
propriedade não evidenciada anteriormente.
Esclarecemos que um conhecimento teórico é importante para o aluno ter um
bom retorno do uso do deslocamento. Sem esse embasamento, fica difícil a
visualização de entes geométricos da figura em questão. Farias (2008) afirma :
A utilização do deslocamento como um instrumento exige do
utilizador conhecimentos geométricos precisos. É necessário ter
conhecimento suficiente para poder reconhecer as propriedades
geométricas da figura quando esta se desloca pois, o deslocamento
permite encontrar as primitivas geométricas da figura e contém, por
conseguinte, a idéia de propriedade válida subjacente a
demonstração. Essa pode ser a causa das dificuldades de
apropriação do deslocamento, especialmente dos alunos no início
do ensino fundamental II ( ginásio ) pois estes ainda não possuem
esta noção (FARIAS, 2008, p.8)
94
Dessa forma, a união deslocamento – conhecimento teórico deve sempre ser
enfatizada no momento de usarmos um software de Geometria Dinâmica, pois caso
isso não seja feito, o professor poderá entrar em erro e ter sua aula prejudicada,
deixando assim de aproveitar de forma satisfatória os recursos do deslocamento
neste ambiente dinâmico.
4.5 As conjecturas e a demonstração matemática no ambiente de geometria
dinâmica
No ramo da Matemática, tivemos a criação de diversos softwares
matemáticos servindo de apoio em disciplinas como a Geometria Plana e Espacial, o
Cálculo Diferencial e Integral, a Geometria Analítica e a Álgebra Linear. Esse tipo de
tecnologia é muito benéfica no ensino e aprendizagem da Matemática, mas o
professor deve ficar atento à maneira de inserir esta nova ferramenta, pois, sem um
embasamento teórico apropriado, sua validade pode ficar comprometida.
Um problema de Geometria Plana deve aguçar a mente do aluno para que
este consiga, através das diversas formas de manipulação das ferramentas do
software de Geometria Dinâmica, verificar as propriedades intrínsecas do objeto
geométrico, e a partir disso, fazer novas descobertas que servirão de apoio para seu
amadurecimento rumo a uma possível demonstração. Muitos podem pensar, de
forma errônea, que fazendo todas as manipulações possíveis na figura estaremos
comprovando uma tese, mas isso é uma falácia. Damos como exemplo o seguinte
problema :
Considere o triângulo ABC inscrito no círculo de centro O, seja G o baricentro deste
triângulo. Qual o lugar geométrico do ponto G quando o ponto A percorre toda a
circunferência ?
95
A
O
G
B
C
Figura 85 : Baricentro como lugar geométrico
Usando o cabri–Géomètre II, o aluno poderá girar o ponto A em torno da
circunferência e, através do deslocamento deste, evidenciar a circunferência
formada com o movimento do ponto G. Isso poderá ser feito usando também a
ferramenta lugar geométrico ou a ferramenta rastro.
A
A
O
O
G
G
B
C
B
C
Figura 86 : Uso das ferramentas lugar geométrico e rastro no Cabri-Géomètre II
Uma pessoa leiga poderia acreditar e afirmar que a demonstração foi feita. A
validade da nossa tese é correta, mas este não é o papel da Geometria Dinâmica.
Essa ferramenta facilitadora nos auxilia a testar conjecturas e não a validar uma
96
demonstração. Uma demonstração rigorosa deve ser dada, neste caso, fazendo uso
da geometria euclidiana conforme dados a seguir :
Demonstração : Seja M o ponto médio do segmento BC, sendo OM um
segmento que pertence ao raio da circunferência, e BC uma corda, então OM será
perpendicular a BC. Dividindo o segmento OM em 3 partes iguais e colocando um
1
ponto P pertencente a OM, pela figura, temos MP  MO . Sendo os pontos O e M
3
fixos, o ponto P também será fixo. A mediana AM que contém o baricentro (ponto G)
1
esta dividida em 3 partes de mesma medida, logo MG  MA . Pela construção
3
realizada e pelo teorema fundamental da semelhança de triângulos, temos
MGP  MAO com razão de semelhança 1/3. Sendo AO o raio da circunferência
circunscrita ao triângulo ABC, teremos PG igual a 1/3 de AO. Como P é um ponto
fixo e a distancia de P até G é um valor constante, então o ponto G só tem liberdade
de se movimentar numa circunferência de centro P e raio R/3, ou seja, PG 
OA R

3
3
A
O
G
P
B
M
C
Figura 87 : Solução do problema do baricentro como lugar geométrico
Logo, o lugar geométrico de G é a circunferência de centro P e raio R/3
No entanto, o fato de testarmos conjecturas é válido e desempenha um papel
importante na aprendizagem. A Geometria Dinâmica nos permite uma multiplicidade
de visão. Podemos enxergar uma construção geométrica sob vários focos,
auxiliando então a encontrar propriedades geométricas que não seriam vistas
97
usando somente a lousa com régua e compasso. Brandão e Isotani (2003) afirmam
:
Em resumo, como a Geometria Dinâmica possibilita visualizar uma
mesma construção de diversas formas, e assim facilitar a
compreensão do comportamento geométrico dos elementos
envolvidos, podemos utilizar um programa de Geometria Dinâmica
para revelar relações geométricas intrínsecas que poderiam passar
desapercebidas numa representação
estática. Com isso, o professor pode incentivar o espírito investigativo
do aluno, solicitando ao final uma justificativa para as relações
encontradas (rumo a uma a prova matemática), podendo ser mais
formal de acordo com o nível de aprendizagem do aluno. (BRANDÃO
E ISOTANI, 2003, p.4)
Outro ponto a ser analisado, que dificulta consideravelmente uma mudança
de pensamento geométrico por parte do aluno é o modo com que as construções
geométricas são vistas nos livros didáticos. Fazendo uma análise meticulosa dos
livros de Matemática adotados no Brasil, observa-se uma tendência muito forte a
demonstrações criteriosas, levando em consideração raciocínios sequenciais e
prontos. Gravina (1996) estuda este modelo estereotipado encontrado nos livros de
geometria :
Os livros escolares iniciam com definições, nem sempre claras,
acompanhadas de desenhos bem particulares, os ditos desenhos
prototípicos. Por exemplo, quadrados com lados paralelos às bordas
da folha de papel, retângulos sempre com dois lados diferentes,
alturas em triângulos sempre acutângulos, etc... Isto leva os alunos a
não reconhecerem desenhos destes mesmos objetos quando em
outra situação. E mais, para os alunos, a posição relativa do desenho
ou seu traçado particular, passam a fazer parte das características do
objeto, quer no aspecto conceitual ou quer no aspecto figural,
estabelecendo desequilibrios na formação dos conceitos como
veremos adiante. O aspecto de construção de objetos geométricos
raramente é abordado; dificilmente encontramos no livro escolar a
instrução “ construa ” , e no entanto esta é uma das atividades que
leva o aluno ao domínio de conceitos geométricos. Mais difícil ainda é
encontrar questões do tipo “ o que podemos dizer nesta situação ? ”
ou “ que regularidades percebemos ? ”, onde estratégias de
investigação devem ser estabelecidas (GRAVINA, 1996, p.2)
Essas configurações chamadas por Gravina (1996) de desenhos protótipos
acabam por exercer um obstáculo epistemológico no ensino de Geometria; como
exemplo, temos a configuração do seguinte triângulo retângulo.
98
Modelo I
Modelo II
Figura 88 : Desenhos protótipos
O primeiro modelo é encontrado em diversos livros de ensino fundamental e
serve como base para o entendimento do teorema de Pitágoras. Depois da fixação
desta imagem pelos alunos, uma outra configuração é ensinada em séries
posteriores ( Modelo II ).
Alunos acostumados com a imagem mental da primeira figura acabam por ter
dificuldades de assimilar a segunda configuração como um triângulo retângulo e
acabam por deixar de perceber que se trata do mesmo objeto geométrico. Levando
em consideração o que foi dito acima, citamos como exemplo o pensamento fixo de
que o ortocentro de um triângulo sempre está localizado no interior deste. Usando
um SGeometria Dinâmica, poderemos verificar de forma bem rápida a falsidade
desta conjectura.
A
A
A
B
H
C
H
B
B
C
H
C
Triângulo acutângulo
Triângulo retângulo
Triângulo obtusângulo
Figura 89 : Variação da posição do ortocentro
No primeiro caso, temos o ortocentro localizado no interior do triângulo
(triângulo acutângulo), no segundo caso, temos o ortocentro coincidindo com o
ângulo reto ( triângulo retângulo ) e, no terceiro caso temos o ortocentro fora do
triângulo ( triângulo obtusângulo).
99
Essas três configurações, juntamente com o auxilio da Geometria Dinâmica,
permitem elaborar o seguinte problema envolvendo o conceito de lugar geométrico,
que ajuda a compreender de forma mais clara e concisa a importância da variação
do ortocentro, que não é vista de maneira coerente nos livros didáticos :
Qual o lugar geométrico descrito pelo ortocentro de um triângulo ABC quando o
vértice C se desloca sobre uma reta paralela ao lado oposto AB ?
Fazendo o uso do Cabri – Géomètre II, podemos obter o ortocentro através
da ferramenta “reta perpendicular” passando por um ponto. Dessa forma, teremos o
ponto H. Arrastando o vértice C e observando a variação do ponto H, a suposição de
que o lugar geométrico é uma parábola ficará bem evidente. Usando a ferramenta
“lugar geométrico” ou “rastro”, uma possível confirmação da hipótese será
estabelecida e deste modo ficará mais fácil gerar uma demonstração baseada nas
suposições evidenciadas no SGeometria Dinâmica.
C
H
A
B
Figura 90 : Ortocentro como lugar geométrico
Demonstração : Sejam A(-d,0) , B(d,0) e C(xc,h) de tal forma que AB=2d
conforme a figura abaixo :
100
Figura 91 : Demonstração ortocentro como lugar geométrico
A equação do lado BC é
y
h (x  d )
xc  d
Com isso, a equação da altura do ponto A ortogonal ao lado BC será :
y
( xc  d ) ( x  d )
O ortocentro satisfaz esta relação com
h
x  xc
que é a equação da altura passando
pelo ponto C. Desta forma :
y
( xc  d ) ( x  d )  d 2  x2  y   x2  AB 2
h
h
h
4h
Esta equação corresponde a uma parábola com concavidade para baixo,
passando por A e B, simétrica com relação a mediatriz do lado AB.
Dessa forma, a posição evidenciada pelo ortocentro em cada configuração
pode ser colocada nos livros didáticos, fazendo uso de um problema de lugar
geométrico. Assim, teríamos uma aplicação da movimentação deste objeto
geométrico, enfatizando, então, a importância de se colocar problemas envolvendo
lugares geométricos para que se possa mudar o enfoque dado em diversos livros
didáticos.
Pelo que foi exposto, e levando em conta pesquisas realizadas neste tema
podemos dizer que a fisionomia estática do desenho desempenha um empecilho na
elaboração de conceitos, na generalização de padrões ou na validação de certas
conjeturas. Deste pressuposto, evidenciamos neste momento o papel dos softwares
101
de Geometria Dinâmica como ferramenta facilitadora na aprendizagem de
Geometria. Quadros (2007) nos fala do papel destes softwares
A Geometria Dinâmica pode ser entendida como a implementação da
geometria da “régua e compasso”. Uma vantagem importante da
Geometria Dinâmica é a necessidade de explicar as relações entre os
objetos geométricos (como pontos, retas ou circunferências). Outra
vantagem é sua interatividade: uma vez feita a construção pode-se
mover algum ponto inicial e o programa redesenha, de modo
aparentemente contínuo, todos os objetos da construção preservando
suas relações. Vem daí o termo dinâmica do nome Geometria
Dinâmica. (QUADROS, 2007, p.4)
Dessa maneira, conjecturas feitas pelos alunos podem ser testadas
rapidamente de modo eficiente, pois os softwares de Geometria Dinâmica fornecem
um retorno rápido a cada hipótese permitindo, assim, uma melhor visualização e
validação do seu raciocínio dedutivo. Contribui dessa forma, para uma possível
confirmação de uma demonstração matemática.
A demonstração de uma proposição adquire grande credibilidade
quando é apoiada em fatores visuais. Uma imagem ou uma seqüência
de imagens é capaz de convencer até mesmo observadores que não
têm grande habilidade em Matemática e pouca familiaridade com
artifícios e sutilezas de demonstrações formais. Entre aqueles que
possuem uma tendência para a Matemática, a observação de
imagens que sugerem resultados torna o trabalho muito mais
interessante e, em geral, incentiva o estudante para a realizações de
novas investigações As provas no sentido usual, necessárias em
muitos casos, em geral satisfazem os matemáticos – e são dirigidas
para eles - mas não convencem a maioria dos estudantes que, por
não entendê-las, passa a decorar a seqüência de palavras, traços e
argumentos, e daí a repulsa pela Matemática. (LOURENÇO, 2002,
p.88)
4.6 As construções moles e robustas e o papel de cada uma delas no ensino
da Geometria e dos lugares geométricos
A dualidade entre os termos variação e invariante desempenha um papel
importante na Geometria. Segundo Laborde (2005) a Geometria Dinâmica
exterioriza essa dualidade, pois, fazendo uso do deslocamento, podemos mover
102
uma figura e verificar se certas propriedades inerentes desta permanecem
inalteradas
Uma propriedade geométrica é uma invariante satisfazendo um objeto
variável bem como este objeto varia sobre um conjunto de objetos
satisfazendo alguma condição comum. A variabilidade de objetos
geométricos é geralmente invisível porque a formulação de uma
propriedade geométrica é na maioria das vezes expressa como sendo
ligada com um único objeto estático, as quantidades são implícitas,
especialmente na escala secundária. Isto acaba causando problemas
para os estudantes que não percebem a generalidade dos teoremas
ou propriedades (LABORDE, 2005, p.1)
Verificando a dificuldade dos estudantes de perceberem a generalidade de
objetos geométricos e de teoremas, o autor cita dois paradigmas no uso do
deslocamento : o paradigma da construção robusta e o paradigma da construção
mole.
Construções robustas são construções que preservam suas
propriedades quando usamos o modo de arrastar. Tais construções
devem ser feitas usando os objetos geométricos e as relações que
caracterizam a construção que queremos obter. Em tais construções a
variação é usada como um meio de verificação. Nas construções
moles, a variação é parte da construção em si e uma propriedade
somente se torna visível quando a outra esta satisfeita. (LABORDE,
2005, p.1)
4.6.1 A construção robusta : Para um melhor entendimento do que seja uma
construção robusta daremos um exemplo, considerando a circunferência de centro
O e marcar os pontos A, B, C e D pertencentes a ela; construindo os segmentos de
reta AD , AC , BC e BD , encontramos o ponto P, intersecção de AC e BD .
ˆ e CBD
ˆ obtendo o valor de
Usando o Cabri-Géomètre marcamos os ângulos CAD
cada um deles.
103
A
32,0 °
D
32,0 °
B
C
Figura 92 : Ângulos inscritos numa circunferência subentendidos por um mesmo arco
Arrastando o ponto A ou o ponto B sobre a circunferência, verificamos que
esses ângulos sempre irão possuir a mesma medida, o que comprova a sua
ˆ
invariância. De fato, como os ângulos CAD
ˆ são ângulos inscritos
e CBD
subtendendo o mesmo arco, eles terão o mesmo valor. Neste caso, estamos lidando
com uma construção robusta, ou seja, os pontos A e B pertencem à figura e, por
mais que o movimentemos, o valor dos ângulos citados permanece inalterado.
Usando o mouse e fazendo uso de uma construção robusta, os alunos podem
validar alguma propriedade do objeto em questão bem como desconsiderar alguma
conjectura que este tinha na mente como verdadeira. As construções robustas estão
relacionadas intimamente com as construções euclidianas, pois oferecem um
caminho seguro e firme no momento de resolver um problema de geometria fazendo
uso de uma régua não graduada e um compasso.
Levando em consideração o que foi dito, o uso de lugares geométricos surge
como uma ferramenta poderosa quando lidamos com uma construção robusta.
Wagner (2009) fala deste método que consiste basicamente no seguinte : encontrar
um ponto chave que dará a solução do problema e, a partir disso, obter a
intersecção de dois lugares geométricos que contenham o referido ponto.
Colocamos então o exemplo proposto por Wagner no intuito de deixar bem
elucidado esse método .
Problema : São dados uma circunferência de centro O, um ponto P e um segmento
a. Pede-se traçar por P uma reta que determine na circunferência uma corda de
comprimento a
104
Figura 93 : Construção usando lugar geométrico. Fonte : Wagner (2009) página 22
Wagner pede para imaginar o problema resolvido e expõe a configuração de
uma possível solução. A partir disso afirma :
Se M é o ponto médio da corda AB de comprimento a em qualquer
posição, então OM é constante pois AO e AM são constantes. Assim,
o lugar geométrico de M é uma circunferência de centro O. Por outro
lado, supondo o problema resolvido, a reta que passa por P e
determina na circunferência dada uma corda de comprimento a é tal
ˆ = 90 e, portanto, M também pertence a circunferência de
que PMO
diâmetro PO. (WAGNER, 2009, p.22)
0
Uma construção para a obtenção do problema é feita. Colocamos passo a
passo as etapas seguidas por Wagner (2009), usando o fato de podermos esconder
partes da construção que já não interessam, mostrando mais uma vez a eficiência
dos softwares de Geometria Dinâmica que possibilitam uma melhor visualização da
solução do problema.
1) Assinale um ponto X qualquer sobre a circunferência dada
2) Pegue com o compasso o segmento dado e determine, sobre a
circunferência um ponto Y tal que XY = a
3) Trace por O uma perpendicular a XY determinando o ponto Z
médio de XY
4) Trace a circunferência de centro O e raio OZ, que é um lugar
geométrico de M
5) Trace a mediatriz de PO determinando seu ponto médio C
6) Com centro em C trace a circunferência de diâmetro PO, que é
outro lugar geométrico de M
7) As duas circunferências se cortam em M e M´
8) As retas PM e PM´ são a solução do problema
(WAGNER, 2009, p.23)
105
X
X
Z
Z
X
O
O
Y
O
Y
Y
Passo 4
Passos 3
Passos 1 e 2
P
X
P
P
C
A
X
Z
M
B
C
O
Z
Y
A´
O
O
M´
Y
Passo 5
B´
Passo 6
Passos 7 e 8
Figura 94 : Passos de uma construção usando o método dos lugares geométricos. Fonte :
(WAGNER, 2009, p.23)
Pelo que foi exposto, há uma intima relação entre o uso de lugares
geométricos e a obtenção de uma construção robusta, sendo um método eficiente
para resolver problemas de construções geométricas e de geometria plana,
validando de forma concreta, através do arraste de pontos da figura, a solução de
um problema proposto.
4.6.2 A construção mole : Como um exemplo de construção mole, citamos o
seguinte problema : dividir um segmento AB dado em 3 partes de mesma medida.
Fazendo uso do Cabri –Géomètre II, um aluno pode criar dois pontos
arbitrários C e D sobre o segmento dado e, com isso, obter os segmentos AC, CD e
DB. Usando a ferramenta “distância ou comprimento”, poderá ser marcado o valor
de cada segmento. Usando o deslocamento nos pontos C e D, o aluno poderá obter
106
uma aproximação excelente para a solução do problema, mas esta estará
comprometida com qualquer deslocamento na construção, caracterizando assim a
construção mole.
A
C
D
2,95 cm
2,97 cm
B
3,08 cm
Figura 95 : construção mole divisão segmento em 3 partes iguais
De acordo com as idéias de Laborde (2009) e Healy (2000), a construção
mole serve como uma base, uma caminho para que se possa obter uma construção
robusta, na qual podemos movimentar a figura em qualquer posição sem que se
modifiquem os aspectos intrínsecos desta. Assim, o aluno poderá, a partir desta
construção inicial, realizar uma construção robusta, usando o método dos lugares
geométricos. Uma construção robusta pode ser feita usando os seguintes passos
1o Passo : Traça-se por A uma reta r auxiliar formando um ângulo
agudo com AB
2o Passo : Escolhe-se um segmento u qualquer e, a partir de A,
transporta-se u para a reta r, obtendo-se os pontos C, D e E
3o Passo : Traça-se EB e as paralelas a esse segmento passando por
D e C. Desta forma obtêm-se os pontos C´ e D´ que dividem AB em
três partes iguais.
A
B
A
A
B
B
C
C
D
D
E
E
PRIMEIRO
PASSO
D´
C´
u
TERCEIRO
PASSO
S EGUND O PAS SO
Figura 96 : Divisão de um segmento em 3 partes iguais
Outro aspecto importante da construção mole está relacionado com as
construções por nêusis. Realmente isso é algo verídico, pois nestas construções é
necesário um ajuste para obter a referida solução. Um exemplo foi dado no capítulo I
quando foi obtida a trissecção de um ângulo ABC, tomando como base um
segmento DE com o dobro do comprimento do segmento AB.
107
Obviamente o Cabri-Géomètre II ajuda a fazer esse ajuste, usando os
diversos tipos de ferramentas que contém, facilitando muito o trabalho no momento
de obter a construção por nêusis que acaba sendo caracterizada por uma
construção mole.
4.7 O uso dos problemas abertos e a Geometria Dinâmica
Com o uso da Geometria Dinâmica, damos início ao processo da
experimentação. Os alunos têm a devolução do computador a cada passo feito,
permitindo dessa maneira um aprimoramento e refinamento de suas idéias iniciais.
O aluno, então, entrará num processo mais sofisticado, obtendo argumentações
mais precisas para uma demonstração matemática. Logo, a Geometria Dinâmica
liberta do empecilho originado pelos desenhos estáticos, onde as verdadeiras
propriedades geométricas deixam de ser vistas. Chamamos esse aspecto de
invariante de uma determinada configuração.
No ambiente lousa-giz, esse número se torna muito pequeno, reduzindo,
então, as possibilidades de ensino do professor. No ambiente dinâmico, essas
invariantes aumentam e, dessa forma, com o movimento das figuras, podemos
analisar a solução do problema sob diversos pontos de vista. Citamos mais uma vez
Gravina (1996) que teoriza a respeito da geometria dinâmica e do papel dos
invariantes
Através de deslocamentos aplicados aos elementos que compõem o
desenho, este se transforma, mantendo as relações geométricas que
caracterizam a situação. Assim, para um dado objeto ou propriedade,
temos associada uma coleção de “ desenhos em movimento ”, e os
invariantes que ai aparecem correspondem as propriedades
geométricas intrínsecas ao problema. E este é o recurso didático
importante oferecido : a variedade de desenho estabelece harmonia
entre os aspectos conceituais e figurais; configurações geométricas
clássicas passam a ter multiplicidade de representações; propriedades
geométricas são descobertas a partir dos invariantes no movimento
108
O papel do professor sofre uma drástica mudança quando se faz uso de um
software de Geometria Dinâmica. Ele deixará de ser o detentor de todo
conhecimento, o saber passará a coexistir entre professor e aluno. Este último
poderá interagir com os outros colegas, verificando e discutindo suas formulações e
possíveis validações advindas do problema proposto pelo professor.
Um fator preponderante, que irá medir a eficácia da atividade proposta, é o
controle do professor no momento de lidar com situações inesperadas. Com o
auxilio de um software de Geometria Dinâmica, e com a proposta de testarmos
conjecturas para transformá-las num teorema, o docente terá pela frente o desafio
de lidar constantemente com perguntas inesperadas. O número de grandes
possibilidades existentes ao escolheremos um determinado comando levará o aluno
a ter diversas escolhas, aumentando assim a quantidade de novas situações. Desta
forma, este processo de ensino – aprendizagem ocorrerá em um tempo maior.
O docente deve tomar cuidado para não entrar numa situação de
acomodação quando fizer uso de um software de Geometria Dinâmica. Muitos irão
usar os mesmos passos aplicados em aulas anteriores, e isso será um empecilho no
ensino da geometria. Por isso, torna-se importante e evidente a elaboração de novos
problemas que instiguem e agucem o pensamento geométrico do aluno, libertando-o
de um ciclo formado por uma quantidade muito finita de caminhos, que poderia
impedir o aluno a elaborar uma conjectura ou uma possível demonstração. Silva e
Penteado (2009) afirmam :
Mesmo utilizando TIC em sua prática docente, alguns professores
acabam voltando à zona de conforto, conduzindo toda turma aos
mesmos “passos”, trabalhando, por exemplo, em forma de tutorial.
Valente (1993) destaca que esse método não é o que vai usufruir
vantagem educacional da TIC, pois é apenas uma versão
computadorizada do que já ocorre usualmente na escola. (SILVA E
PENTEADO, 2009, p.4)
Silva e Penteado também apontam os benefícios que a incerteza e a
imprevisibilidade podem trazer na aprendizagem dos alunos., Esses fatores também
podem servir de apoio para o professor alavancar novas estratégias. Fica evidente,
então, a união da Geometria Dinâmica com fatores de imprevisibilidade na
elaboração e validação de conjecturas.
109
Esse tipo de foco de ensino, o qual muitos pesquisadores chamam de
problemas abertos, traz uma nova maneira de construir o conhecimento matemático.
Realmente, o professor deve procurar mudar sua visão, deixando de lado os
problemas mecânicos, que não trazem um grande benefício nesta estratégia de
ensino da geometria. Medeiros (2004) trata dos benefícios do uso de problemas
abertos na sala de aula :
Os problemas abertos se caracterizam por não terem vínculo com os
últimos conteúdos estudados, evitando as regras de contrato didático
já arraigadas. Por estarem em um domínio conceitual familiar,
permitem que o aluno tenha condições de resolvê-los. E, sobretudo,
por possuírem enunciado curto, os problemas abertos podem permitir
ao aluno conquistar as primeiras idéias em um novo estudo. Isso pode
dar a impressão, bem vinda, de que o problema é de fácil solução,
fazendo com que o aluno se interesse em encontrá-la. Um problema
aberto também possui uma ou mais soluções. Além disso, ele pode
ser trabalhado em grupo, diminuindo o medo de não conseguir
resolver, aumentando a chance de produção de conjecturas num
intervalo de tempo razoável e possibilitando o surgimento de ricos
conflitos sócio cognitivos. (MEDEIROS, 2004, p.4)
Fazendo a junção entre Geometria Euclidiana e Geometria Dinâmica
podemos propor aos estudantes diversos problemas abertos, acerca dos quais terão
a oportunidade de fazer suas investigações e elaborar questionamentos. Dúvidas
emergentes dessas discussões serão bem vindas para um tratamento mais formal
do desafio proposto. Tentando esclarecer de forma mais objetiva o papel de um
problema aberto, colocamos como exemplo três enfoques distintos desse tipo de
situação e daremos a solução de dois deles com a intenção de mostrar os benefícios
desta metodologia quando bem aplicada pelo professor.
Problema 1 ) Por um ponto da base de um triângulo isósceles, traçam-se paralelas
aos lados iguais. Pergunta-se :
a) Qual o nome do quadrilátero obtido ?
b) O que podemos afirmar a respeito do perímetro do quadrilátero obtido ?
Problema 2 ) Numa região limitada por um quadrado, ache, justificando, o ponto tal
que a soma das distâncias aos quatro vértices do quadrado é a menor possível
110
Problema 3 ) O esquema da figura seguinte representa um campo de futebol. Supõe
que, num determinado momento de um jogo, João, Miguel e Francisco jogadores de
Os vencedores, se encontram, respectivamente, nas posições J, M e F. O arbitro
encontra-se a igual distância dos três jogadores. Assinale a lápis, na figura, com a
letra A o ponto onde esta o árbitro.
Figura 97 : Campo de futebol exemplificando um problema de lugar geométrico
Antes de realizar qualquer demonstração, é possível verificar nos enunciados
propostos a mudança de questionamento na elaboração de cada problema. Aqui o
esquema hipótese-tese deixa de existir. Experimentos terão de ser feitos pelos
alunos para que estes consigam formular idéias válidas na solução do problema. A
certeza que tínhamos quando era feita uma pergunta do tipo “demonstre que” não
tem espaço no momento de lidarmos com essa nova situação. Paterlini (2009)
afirma :
Para propiciar aos estudantes “fazer Matemática” sugere-se que o
professor trabalhe, em sala de aula, com atividades exploratórias e
investigativas. Dentre essas atividades destacamos, nesse trabalho,
os denominados problemas abertos. São questões com um enunciado
que delimitam um contexto, e o estudante é convidado a explorar
aquela situação. O problema aberto se contrapõe ao problema
fechado, e a diferença entre eles pode, de forma simples, ser
caracterizada pelo fato de que este último diz o que o estudante deve
demonstrar, enquanto o primeiro o deixa livre para perceber quaisquer
relações matemáticas naquele contexto. Naturalmente podem ser
utilizados problemas com enunciado intermediário, em que o trabalho
do estudante é parcialmente direcionado. (PATERLINI, 2009, p.2)
Os problemas abertos (quando) sugeridos em aula levam o aluno a
uma maior exploração das situações, a elaborar conjecturas, tirar
conclusões. O professor deve utilizá-los eventualmente, pensando na
111
melhor estratégia: introdução de um assunto? fechamento de um
assunto? (PATERLINI, 2009, p.6)
A união do software de Geometria Dinâmica com um embasamento de
Geometria euclidiana permite ao aluno obter as pistas necessárias para a validação
de suas idéias. Muitas soluções diferentes poderão ser apresentadas e isso servirá
de apoio para novas discussões, acrescentando dessa forma novos conhecimentos.
A dúvida, gerada pela incerteza, acaba se tornando um ponto positivo ao
nosso favor, aguçando a curiosidade de cada aluno, fazendo com que este procure
trabalhar em conjunto para que, assim, possa encontrar um caminho viável na
solução do problema proposto.
4.7.1 Análise e discussão dos problemas abertos
Solução do problema 1 :
Na solução deste problema, fizemos o uso do software Geogebra, obtendo a
figura abaixo:
Figura 98 : Solução do problema 1
Arrastando o ponto P sobre o lado AB do ABC e marcando os valores dos
segmentos EP , EC , CF e FP e dos ângulos assinalados iremos perceber a
invariância destes que permanecerão com a mesma medida. O software Geogebra
112
possui uma função que permite somar segmentos. Usando essa função,
descobriremos que EP + EC + CF + FP = 8, independente da posição de P quando
este percorre AB . O uso do deslocamento do ponto P ajudou a verificar nossas
hipóteses iniciais. Dessa forma, pelo uso do SGeometria Dinâmica, poderemos
acreditar na suposição da validade da congruência dos ângulos assinalados, mas a
prova só poderá ser contundente fazendo uso da geometria euclidiana.
De fato, as retas passando por EP e CF são paralelas e, usando as
transversais passando por
FP e EC , que também são duas retas paralelas,
teremos a confirmação. Depois de testar essas conjecturas, o aluno poderá passar
para uma demonstração rigorosa.
Na verdade, temos FP paralelo a EC , e da transversal CF teremos
ˆ  CFG
ˆ e, como EP é paralelo a CF , teremos CFG
ˆ  EPF
ˆ , por serem ângulos
ECF
ˆ  EPF
ˆ e,
correspondentes. Usando o conceito de transitividade encontraremos ECF
ˆ  PFC
ˆ . Falta mostrar que EP  CF e
com raciocínio análogo, teremos PEC
EC  PF . Como o aluno poderá chegar a esse fato fazendo uso do Geogebra ? Um
dos caminhos seria traçar o segmento CG paralelo ao segmento
AP , usando o
comando de marcar ângulos. Com isso o aluno iria verificar que AEP  GFC , pois
ˆ  APE
ˆ e GFC
ˆ  AEP
ˆ .
teríamos GCF
De forma rigorosa, poderiam ser usadas as paralelas passando por CG e AP
e usar as transversais passando por CF e EP para demonstrar a congruência
destes ângulos. Usando o mesmo raciocínio, conseguiremos provar que PF  EC .
Para provarmos a segunda parte do problema, o aluno poderá fazer uso da relação
EP + EC + CF + FP = perímetro. Da primeira parte, teremos EP = CF e EC = FP ,
logo 2 EP + 2 FP = perímetro. Pelo fato de FP ser paralela a EC e EP paralela a
CF , a proporcionalidade dos segmentos paralelos terá de ser mantida. Logo, o
perímetro terá de ser constante.
Indicamos, aqui, apenas um caminho que poderia ser tomado, fazendo
conjecturas com o uso do Geogebra. Conforme foi explicitado em parágrafos
anteriores, o enfoque que esse tipo de problema proporciona é enorme,
113
possibilitando, assim, diversos questionamentos produtivos, encorajando o grupo de
alunos a buscar novas idéias para uma solução mais simples e elegante.
Solução do problema 2 :
Construindo um quadrado ABCD com o auxilio do Geogebra, teremos a figura
abaixo onde colocamos o ponto de intersecção das duas diagonais na origem do
sistema de eixos coordenados; marcamos então as diagonais AC e BD . Tomando
um ponto P qualquer dentro do quadrado, unimos este aos vértices A, B, C e D,
obtendo os segmentos AP , BP , PC e PD ; como foi dito anteriormente, o Geogebra
permite arrastar o ponto P e obter a soma AP + BP + PC + PD quando P percorre
todo interior do quadrado. Fazendo isso, teremos a possibilidade de testar onde esta
distância será mínima.
Figura 99 : Solução do problema 2
Fazendo esse teste chegaremos à conclusão de que P deve estar no
encontro das diagonais AC e BD . Falta, agora, uma prova formal, por meio da qual
teremos a certeza e a confirmação da nossa dedução, realizada com o uso do
software de Geometria Dinâmica. Antes dessa prova, reforçamos nossas idéias com
Talavera (2004) que afirma :
114
Os softwares de geometria dinâmica unem a técnica ao raciocínio
dedutivo, valorizando o pensamento geométrico, permitindo realizar
ações independentes; o aluno se sente motivado, capaz de formular
argumentos informais e, em seguida, utilizar o pensamento dedutivo,
pelo fato de estar visualizando o que acontece com as figuras quando
as manipula na tela do computador. Neste nível, o aluno pode
compreender o significado da dedução como uma maneira de
estabelecer a teoria geométrica no contexto de um sistema
axiomático, ou seja, esses recursos permitem um pensamento mais
livre (TALAVERA, 2004, p.127)
Primeira demonstração :
Usando o sistema de eixos coordenados estabelecido temos P(a,b) , A(-x/2 , x/2)
B(x/2 , x/2) , C(x/2 , -x/2) e D(-x/2 , -x/2) . calculando as distâncias de P aos vértices
do quadrado temos :
2
x 
x

dPA   a     b  
2 
2

2
2
x 
x

dPC   a     b  
2 
2

2
2
2
2
x 
x

dPB   a     b  
2 
2

2
x 
x

dPD   a     b  
2 
2

A soma dessas distâncias tem de ser mínima, mas sendo esta a menor
possível, se elevarmos todos os membros ao quadrado, a invariância continuará a
mesma, logo :
2
2
2
x
x
x
x




Mínimo = 2  a    2  b    2  a    2  b  
2
2
2
2




2
Mínimo = 2( 2a2 + 2b2 + x2 )
Para que essa expressão seja mínima, teremos de ter a=b=0, ou seja ,P(0,0)
e, como colocamos nossa origem no ponto de encontro das duas diagonais, o ponto
P será mínimo quando estiver na intersecção das diagonais AC e BD .
Uma outra solução pode surgir se lembrarmos da desigualdade triangular.
Esta desigualdade pode ser verificada quando variamos P e este é diferente do
centro O; assim teremos as desigualdades PA  PC  AC
e
PB  PD  BD , logo
PA  PC  PB  PD > AC  BD no caso de termos P  O . Portanto, a soma das
distâncias de P aos vértices é a menor possível quando P = O
115
CAPÍTULO V - PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS DA PESQUISA
5.1 Experimento de ensino
Neste capítulo é apresentado o experimento que foi realizado com os alunos
do Ensino Fundamental. São relatadas as ações desenvolvidas e são apresentadas
e comparadas as análises a priori e a posteriori do experimento, completando assim
a última parte do desenvolvimento da Engenharia Didática deste trabalho.
O objetivo geral do experimento foi comparar as dificuldades oriundas de
problemas envolvendo conceitos relativos a lugares geométricos com relação aos
dois ambientes. O primeiro ambiente num espaço estático, fazendo uso de papel,
lápis e pelos instrumentos euclidianos usuais e o segundo num ambiente dinâmico
tendo como suporte o software de geometria dinâmica Cabri – Géomètre II.
No final, foi realizada uma comparação entre esses dois ambientes,
procurando caracterizar e evidenciar as facilidades que apareceram no ambiente
dinâmico, mostrando dessa forma, o seu potencial no momento de visualizar e
caracterizar algum lugar geométrico, o que sem dúvida favoreceu o processo de
ensino e aprendizagem dos alunos.
5.2 Sujeitos da pesquisa
Os sujeitos que participaram desta pesquisa são alunos da rede estadual de
ensino, situada na cidade de Itararé no Estado de São Paulo. Esses alunos
cursavam o nono ano do Ensino Fundamental no ano de 2011.Foi feito um convite
oral para as três classes dessa série existentes na escola sem nenhum tipo de
restrição. Um grupo de 35 alunos mostrou interesse em participar do experimento.
Não existiu nenhum tipo de empecilho com relação ao deslocamento dos alunos até
a escola fora do período escolar regular.
Outro fator importante na hora da seleção dos sujeitos foi escolher alunos que
não tinham tido contato algum com o software Cabri – Géomètre II e alunos que
desconhecessem qualquer tipo de construção no ambiente papel e lápis. Isso foi
importante, pois para se fazer tal tipo de comparação entre os trabalhos de cada
grupo foi fundamental que os sujeitos não tivessem fluência nesses dois ambientes.
116
5.3 Procedimento experimental
Os seis alunos escolhidos foram divididos em dois grupos. O primeiro grupo
realizou as atividades fazendo uso de papel, lápis, par de esquadros, transferidor e
compasso. O segundo grupo fez uso de um ambiente de Geometria Dinâmica, no
nosso caso, o software Cabri – Géométre II.
O experimento foi realizado em 3 sessões no período de primeiro de julho à 3
de julho. O GRUPO I realizou as atividades no período matutino e o GRUPO II no
período vespertino. O pesquisador tomou os devidos cuidados para que não
houvesse qualquer troca de informações entre os grupos pois caso isso ocorresse o
experimento poderia sair prejudicado.
As mesmas orientações foram passadas em ambos os grupos. Somente
intervenções bem superficiais foram dadas, ou seja, o pesquisador interveio de
forma bem sucinta no desenvolvimento de todas as atividades.
Fez–se o uso de um gravador de som para que o pesquisador pudesse
analisar as idéias dos alunos e, caso existisse alguma dúvida com relação a fala dos
sujeitos poderia ser feita uma volta as atividades retirando alguma suspeita sobre o
conteúdo exposto.
Com isso, fazendo o recolhimento das fichas de cada atividade proposta, foi
realizada uma análise dos dados que podem ser evidenciados nas atividades que se
seguem no próximo tópico.
5.4 Atividades propostas
Nesta seção é feita a apresentação das atividades, assim como, são feitas as
análises das produções discentes.
5.4.1 Análise a priori e a posteriori da atividade 1
117
Atividade 1
Dado um ponto A num plano e uma distância fixa d, obter o conjunto de
pontos do plano que estejam a uma distância d deste ponto dado.
A
Figura 100 : Atividade 1
Análise a priori
Nesta atividade a variável didática é o lugar geométrico chamado
circunferência. Deseja-se que os alunos sejam capazes de identificar este conjunto
de pontos, utilizando as ferramentas dadas. Não se espera uma dificuldade maior na
identificação deste lugar geométrico em ambos os ambientes.
GRUPO I
Análise a posteriori
No início, os alunos tiveram dificuldades em compreender o que o
pesquisador queria dizer com “obter um conjunto de pontos” . Os alunos, na primeira
tentativa, obtiveram apenas 3 pontos e, de forma apressada, desenharam um
triângulo como resposta.
Após uma intervenção, foi dada mais uma explicação, sugerindo um número
maior de pontos no papel. Depois disso, os alunos discutiram entre si, colocando
outras hipóteses, colocando, por exemplo, um quadrado ou uma circunferência.
O grupo levou um tempo considerável para obter a solução, prevalecendo o
aspecto da tentativa e erro. O professor, no decorrer da atividade, foi colocando
pontos a serem discutidos, incitando a troca de idéias até o surgimento de uma
118
hipótese consistente aceita por todos os elementos do grupo, determinando o lugar
geométrico pedido.
Figura b)
Figura a)
Figura 101 : Resolução da atividade 1 do GRUPO I
As etapas da atividade podem ser resumidas pelo uso do quadro abaixo :
Quadro 1 - Atividade 1 GRUPO I , análise a posteriori
Situação adidática
Atividade 1
Ação
O grupo lê o enunciado. Os sujeitos elaboram a
primeira interpretação. Em seguida, usando uma noção
bem intuitiva começam a discutir os possíveis pontos do
lugar geométrico.
Formulação
Os alunos discutem entre si, propondo algumas
soluções. Vão aumentando o número de pontos,
obtendo um triângulo, logo após, um quadrado e
começam a verificar uma associação entre um número
maior de pontos e o traçado de uma circunferência.
119
Validação
O grupo consegue ter uma postura mais firme ao
sugerir a circunferência como lugar geométrico dizendo
que qualquer distância pré estabelecida a priori do
ponto dado dará a referida solução. Para comprovar o
que foi dito, escolhem uma circunferência de raio igual a
5 cm e, com o compasso, desenham a figura, validando
a hipótese.
Institucionalização
Levando em consideração a discussão e as idéias
colocadas pelo grupo, o professor faz a concatenação
dos fatos levantados. Explica-se que o conjunto de
pontos que permanecem a uma distância fixa de um
ponto dado é uma circunferência de centro A e raio r.
GRUPO II
Análise a posteriori
O GRUPO II apresentou as mesmas dificuldades iniciais do GRUPO I,
colocando um número insuficiente de pontos e, a partir disso acabaram, tomando
decisões precipitadas, obtendo figuras que não iriam satisfazer a propriedade
requerida. Foi feita a mesma intervenção realizada no GRUPO I, onde o
pesquisador, de forma mais detalhista explicou o que significava a expressão
“conjunto de pontos”.
Após esse fato, colocando alguns pontos aleatórios, o grupo usou as
ferramentas “segmento” e “distância e comprimento”, tomando como medida um
segmento de comprimento 4.18 cm. Usando o mouse e arrastando os segmentos
obtidos, tiveram como resultado a figura a) onde imaginaram como solução uma
estrela.
Verificando esse fato, foi apresentada a ferramenta “Esconder/Mostrar” e,
fazendo uso desta, o grupo conseguiu obter uma construção “limpa”, deixando
somente os pontos pertencentes ao lugar geométrico ( figura b ). Assim, a
120
visualização ficou mais clara e com isso, usando a ferramenta circunferência
obtiveram o referido lugar geométrico ( figura c ).
Neste ambiente, pode-se notar um tempo menor para obter a resposta.
Mesmo em se tratando de uma construção mole, os alunos, com a ajuda do arrastar
do mouse, obtiveram os segmentos com o comprimento pré-determinado e,
escondendo os objetos auxiliares na construção, visualizaram, de forma mais nítida,
a solução da atividade proposta.
Figura a)
Figura b)
Figura 102 : Resolução da atividade 1 do GRUPO II
As etapas da atividade podem ser resumidas no quadro abaixo :
Figura c)
121
Quadro 2 - Atividade 1 GRUPO II, análise a posteriori
Situação adidática
Atividade 1
Ação
O grupo lê o enunciado. Os sujeitos elaboram a
primeira interpretação. Colocam pontos de forma
aleatória no Cabri, e manipulando-os, tentam obter
algum padrão.
Formulação
Usando as ferramentas “segmento” e “distância e
comprimento”,
medem
os
segmentos
obtidos,
conjecturando a forma de diversas figuras. Uma
discussão é feita, procurando limitar o número de
soluções, tentando encontrar algum padrão comum a
todos os pontos determinados.
Validação
Usando a ferramenta “Esconder/Mostrar”, o grupo
consegue deixar presente na tela somente os pontos
que estão satisfazendo o lugar geométrico pedido. Com
isso, conseguem obter rapidamente um número bem
maior de pontos e, assim, afirmam que o lugar
geométrico é uma circunferência e para validarem essa
hipótese usam a ferramenta “circunferência”, obtendo a
solução desejada
Institucionalização
Levando em consideração a discussão e as idéias
colocadas pelo grupo, o professor faz a concatenação
dos fatos levantados. Explica-se que o conjunto de
pontos que permanecem a uma distância fixa de um
ponto dado é uma circunferência de centro A e raio r.
122
5.4.2 Análise a priori e a posteriori da atividade 2
Atividade 2
Dado o segmento de reta AB abaixo, contido num plano  , obter o conjunto de
pontos do plano, pertencentes ou não a esse segmento de reta que estejam a
mesma distância dos pontos A e B
B
A
Figura 103 – Atividade 2
Análise a priori
Nesta atividade as variáveis didáticas estão relacionadas com o conceito da
obtenção da mediatriz de um segmento AB. Espera-se que os grupos consigam
perceber que o ponto médio do segmento AB é caracterizado por esta propriedade e
depois desta constatação, eles consigam obter pontos fora do segmento dado bem
como o ponto médio de AB obtendo assim, a mediatriz deste segmento.
GRUPO I
Análise a posteriori
O grupo continua a confundir o conceito de conjuntos de pontos, relacionando
este com alguma figura geométrica. Percebe-se que os traços deixados no papel
confundem o raciocínio do grupo . Na figura a), o grupo diz que o resultado será uma
123
circunferência. Na realidade, eles encontram o ponto médio de AB que satisfaz a
condição pedida e, a partir disso, desenham a circunferência, mas abandonam essa
idéia quando pegam um ponto pertencente a esta. Medindo com régua a distância
entre um ponto pertencente à circunferência e os vértices do segmento dado,
encontram valores discordantes, abandonando dessa forma esta primeira idéia.
Depois de uma breve explicação, o professor salienta que as figuras obtidas
funcionam como objetos auxiliares. Na figura a) é desenhado um triângulo isósceles,
onde o grupo liga o ponto médio de AB ao vértice C, podendo, dessa forma,
encontrar a solução. Mas nenhum aluno consegue visualizar este fato e, com o
decorrer do diálogo estabelecido, vão fazendo algumas medidas até chegarem na
figura b).
Na figura b), os alunos tiveram a idéia de dar como resposta diversos tipos de
losangos, demonstrando de certa forma uma percepção de simetria de ponto em
relação a uma reta, mas, conforme dito, após a intervenção do pesquisador, os
alunos mudaram a conjectura, dizendo que a resposta seria uma reta. Conforme
explicitado na resposta, vê-se uma insegurança “ dependendo do lugar onde se
ligam os pontos, o resultado vai ser uma reta”. Analisando os diálogos e as figuras
feitas, nota-se um obstáculo à compreensão do lugar geométrico de acordo com os
traços desenhados no papel.
Figura a)
Figura b)
Figura 104 : Resolução da atividade 2 do GRUPO I
124
As etapas da atividade podem ser resumidas no quadro abaixo :
Quadro 3 - Atividade 2 GRUPO I, análise a posteriori
Situação adidática
Atividade 2
Ação
O grupo procura encontrar algum ponto sobre o
segmento AB, satisfazendo a propriedade pedida.
Encontram o ponto médio de AB e, de forma
equivocada, procuram generalizar, dizendo que o a
solução será uma circunferência de diâmetro AB
Formulação
O grupo desenha um triângulo isósceles ABC, mas não
consegue perceber que a altura deste dará a resposta
requerida. Procuram algum tipo de padrão ou simetria,
e começam a tentar desenhar um quadrado no intuito
de obter outros pontos com a mesma propriedade.
Validação
Percebem uma simetria entre os pontos obtidos, pegam
a régua e medem as distâncias do ponto a cada vértice
do segmento AB. Verificando que o resultado é análogo
para os diversos pontos desenhados, o grupo traça uma
reta passando pelos pontos C e D, obtendo desta forma
o resultado desejado.
Institucionalização
Levando em consideração a discussão e as idéias
colocadas pelo grupo, o professor faz a concatenação
dos fatos levantados. Explica-se que a união dos pontos
obtidos forma um conjunto, que é uma reta, que passa
pelo ponto médio do segmento AB, formando com este
um ângulo de 90o
GRUPO II
Análise a posteriori
Usando as ferramentas mostradas pelo pesquisador na atividade 1, os alunos
conseguem, de forma mais rápida, obter o resultado desejado. No início não
125
compreendem claramente o que foi pedido. Eles medem o comprimento do
segmento AB, colocam um ponto aleatório e, unindo este aos vértices do segmento
dado. Usando o arrastar do mouse, procuram obter uma distância igual ao
comprimento de AB.
Percebendo isso, é feita uma intervenção, e o professor explica que as
distâncias pedidas não precisam ter necessariamente o comprimento de AB. Desse
modo, o grupo consegue obter um número maior de pontos. Nesta atividade é
apresentada a ferramenta “Fixo/Livre”, com a qual podem demarcar pontos e outros
objetos que necessitam estar fixos.
Os alunos observam que cada ponto obtido forma um triângulo isósceles com
o segmento AB. Usando a ferramenta “Esconder/Mostrar”, eles visualizam os pontos
obtidos, chegando à conclusão de que o lugar geométrico pedido é uma reta contida
nesse conjunto de pontos. É interessante notar que este grupo não considera o caso
de ter algum ponto pertencente ao segmento AB, preocupando-se somente com
pontos fora desse segmento.
Figura a)
Figura b)
Figura c)
126
Figura 105 : Resolução da atividade 2 do GRUPO II
As etapas da atividade podem ser resumidas no quadro abaixo :
Quadro 4 - Atividade 2 GRUPO II, análise a posteriori
Situação adidática
Atividade 2
Ação
O grupo marca um ponto qualquer não pertencente ao
segmento AB. Usando a ferramenta segmento, ligam
este ponto aos vértices e, com a ferramenta “distância e
comprimento”, procuram estabelecer um valor que
contenha a medida do segmento dado.
Formulação
Começa uma discussão e cada aluno procura colocar
seu ponto de vista. Percebe-se que o grupo, de forma
intuitiva, detém o conceito de simétrico de um ponto em
relação a uma reta e,assim obtém a figura b)
Validação
O grupo obtém outros pontos e, escondendo as
construções auxiliares, conseguem visualizar mais
nítidamente os pontos desejados. Fazem uma análise e
entram num acordo, dizendo que o resultado será uma
reta.
Institucionalização
Levando em consideração a discussão e as idéias
colocadas pelo grupo, o professor faz a concatenação
127
dos fatos levantados. Explica-se que a união do
conjunto de pontos obtidos passa pelo ponto médio do
segmento AB, formando com este um ângulo de 90o
5.4.3 Análise a priori e a posteriori da atividade 3
Atividade 3
Dados dois pontos A e B, obter o conjunto de pontos formado pelos centros
das circunferências que passam por A e B
A
B
Figura 106 – Atividade 3
Análise a priori
Nesta atividade o lugar geométrico circunferência será usado para evidenciar
mais uma vez o lugar geométrico mediatriz de um segmento. Espera-se que, no
desenrolar desta atividade, os alunos consigam fazer a associação entre as duas
atividades anteriores, conseguindo obter a solução requerida pelo pesquisador.
128
GRUPO I
Análise a posteriori
Os alunos começaram o debate, escolhendo o ponto médio de AB. O
pesquisador pergunta por que eles marcaram este ponto e os alunos dizem que este
ponto é bom, pois está a mesma distância do segmento AB. Aqui, sem usarem um
termo formal, conseguiram estabelecer o conceito de centro de uma circunferência,
dado o diâmetro AB. Fazendo uso do compasso, os alunos começam a tatear
pontos com a ponta seca do compasso tentando descobrir uma outra circunferência
passando pelos pontos A e B.
O grupo descobre mais alguns pontos e com isso marcam um segmento de
reta. Colocando a ponta seca do compasso sobre o segmento, verificam a hipótese,
dizendo que o lugar geométrico pedido é uma reta. Aqui, não existiu uma associação
com as atividades 1 e 2. O pesquisador tinha em mente que, com o desenrolar do
debate, essa associação fosse feita, mas isso não ocorreu .
Não houve uma dificuldade maior em obter o lugar geométrico pedido.
Analisando o procedimento dos alunos, percebeu-se que o uso do compasso ajudou
e muito no momento de encontrar o conjunto de pontos requerido. O grupo chegou a
algumas conclusões interessantes como, por exemplo, “A partir do momento em que
eu for aumentando a reta, a circunferência aumenta também”, ou seja, de forma
intuitiva, tiveram a noção da proporcionalidade entre diâmetro e comprimento da
circunferência.
129
Figura 107 : Resolução da atividade 3 do GRUPO I
As etapas da atividade podem ser resumidas no quadro abaixo :
Quadro 5 - Atividade 3 GRUPO I, análise a posteriori
Situação adidática
Atividade 3
Ação
Os alunos leem o enunciado. Com uma régua, marcam
o ponto médio do segmento AB. Entram em consenso,
dizendo que este ponto irá satisfazer a condição pedida.
Formulação
Com a ponta seca do compasso no ponto médio de AB,
os alunos determinam uma circunferência, satisfazendo
a condição dada. Tendo isso como pressuposto, pegam
o compasso e começam a procurar pontos com a
mesma propriedade.
Validação
Traçam uma reta passando por dois pontos obtidos,
satisfazendo a condição do problema. Com isso,
descrevem diversas circunferências com centro nesta
reta. Com essa experimentação, conseguem validar o
130
resultado obtido anteriormente.
Institucionalização
O professor explica que esta atividade está relacionada
com as duas atividades anteriores. Mostra que esta reta
passa pelo ponto médio do segmento AB e forma com
este um ângulo de 90o. Assim, o professor explica que
dado um segmento de reta de medida qualquer, esta
reta obtida chama-se mediatriz deste segmento.
GRUPO II
Análise a posteriori
Nesta atividade apresentou-se a ferramenta “circunferência”. Foi mostrado
como aumentar, diminuir e arrastar este ente geométrico. O grupo descreveu
algumas circunferências, realizando manipulações e, logo após foi explicado a
atividade proposta.
Fazendo-se uso desta ferramenta, o grupo realizou uma construção mole,
procurando ajustar a posição e o comprimento da circunferência aos dois pontos
dados. Gastaram um tempo bem menor do que o grupo 1 para realizar esta
atividade. Este grupo não se preocupou em obter o ponto médio de AB como uma
das soluções.
Analisando o desenvolvimento da atividade, notou-se uma grande facilidade
no momento de se ajustar a circunferência aos dois pontos considerados e, por este
fato, acredita-se que o grupo se deteve somente a pontos não pertencentes ao
segmento dado.
Este grupo não fez analogia com as duas atividades anteriores. Usando a
ferramenta “Esconder/Mostrar”, deixaram somente os pontos, satisfazendo a
propriedade pedida. Traçaram uma reta passando por dois pontos que obtiveram e
consideraram esta como o lugar geométrico requerido.
131
Figura 108 : Resolução da atividade 3 do GRUPO II
As etapas da atividade podem ser resumidas no quadro abaixo :
Quadro 6 - Atividade 3 GRUPO II, análise a posteriori
Situação adidática
Atividade 3
Ação
Os alunos descrevem algumas circunferências, usam a
nova ferramenta ensinada e, a partir disso, procuram
encontrar o primeiro ponto do lugar geométrico
Formulação
Marcam circunferências com centros aleatórios. O
grupo busca obter novos pontos, satisfazendo a
propriedade dada.
Validação
Descobrem um padrão, dizendo que o lugar geométrico
será uma reta. Constroem essa reta e, para validar o
resultado, marcam mais algumas circunferências com
centros na reta obtida anteriormente.
Institucionalização
O professor explica que esta atividade está relacionada
com as duas atividades anteriores. Mostra que esta reta
passa pelo ponto médio do segmento AB e forma com
este um ângulo de 90o. Assim, o professor explica que
132
dado um segmento de reta de medida qualquer, esta
reta obtida chama-se mediatriz deste segmento.
5.4.4 Análise a priori e a posteriori da atividade 4
Atividade 4
Dado o ângulo ABC abaixo, obter o conjunto de pontos que estejam à mesma
distância das semi retas BA e BC
A
B
C
Figura 109 – Atividade 4
Análise a priori
Nesta atividade as variáveis didáticas estão relacionadas com o conceito da
bissetriz interna de um determinado ângulo. Espera-se que os grupos consigam
estabelecer a distância apropriada entre os dois segmentos, fazendo uso do
conceito de distância entre ponto e reta. Foi colocada a figura, formando um ângulo
maior do que 900, sendo cada segmento não paralelo às bordas da folha para
verificar a noção de projeção ortogonal, sem levar em consideração um desenho
estereotipado.
133
GRUPO I
Análise a posteriori
O professor inicialmente explica o conceito de distância entre ponto e reta.
Antes da realização da atividade, foi ensinado como usar o par de esquadros para
marcar um ângulo de 900 e também como fazer uso do transferidor para conferir a
determinação do referido ângulo.
Logo após, foi explicada a experiência para o grupo de alunos. Eles
compreenderam bem o enunciado e começaram a procurar o primeiro ponto,
satisfazendo a propriedade pedida. O grupo sentiu uma dificuldade em marcar os
pontos, pois não conseguiram obter uma distância apropriada entre o ponto e as
duas retas, satisfazendo o enunciado. Isso acabou gerando uma insegurança no
momento de se obter o lugar geométrico. Analisando a figura a), percebe-se essa
dificuldade ”Estamos em dificuldades de achar os ângulos, cada ponto que a gente
coloca, nunca da certo a mesma distância dos pontos AB e BC” .
Depois de algum tempo, um elemento do grupo disse “primeiro a gente acha
o meio aqui” e pede para um colega medir o ângulo para verificar a validade da sua
hipótese. O teste é feito, e o aluno confirma dizendo, “aí professor, vai dar mesmo,
vai dar uma reta”. O grupo justifica essa afirmação, dizendo que no inicio foi formado
um losango e, achando o meio dessa figura geométrica, conseguiriam obter os
outros pontos.
Observando a figura b), nota-se que o grupo encontrou de certa forma a
solução do problema, pois o lugar geométrico pedido é a bissetriz interna do ângulo
dado, mas houve um erro, pois esta reta deveria ter origem no vértice B . Acreditase, então, que esse ambiente dificultou um pouco na visualização do conjunto de
pontos. Os alunos não conseguiram obter de forma mais precisa o conjunto de
pontos pedidos, sendo levados ao erro no momento de obterem este lugar
geométrico.
134
Figura a)
Figura b)
Figura 110 : Resolução da atividade 4 do GRUPO I
As etapas da atividade podem ser resumidas pelo uso do quadro abaixo :
Quadro 7 - Atividade 4 GRUPO I, análise a posteriori
Situação adidática
Atividade 4
Ação
O professor ensina o grupo a usar o par de esquadros e
o transferidor, explica o conceito de distância entre
ponto e reta. Os alunos começam a procurar o primeiro
ponto do lugar geométrico.
Formulação
O grupo obtém um ponto que esteja próximo à bissetriz
interna. Pegam o par de esquadros para obterem uma
projeção de 90o com um dos lados do ângulo dado.
Com o transferidor, conferem o valor determinado e
assim conseguem determinar o primeiro ponto. Com
isso, conjecturam que os
outros
pontos
devam
pertencer também à bissetriz interna do referido ângulo.
Validação
Traçam uma reta e validam o resultado, dizendo que o
conjunto de pontos determinará vários losangos e,
135
assim, qualquer ponto pertencente a diagonal destes
será a solução. Com isso, dizem que o lugar geométrico
pedido é uma reta.
Institucionalização
O professor explica o conceito de bissetriz interna de
um ângulo, dizendo que esta divide o ângulo em duas
partes de mesma medida e que a solução será uma
semi – reta com origem no vértice do ângulo dado.
GRUPO II
Análise a posteriori
O professor inicialmente explica o conceito de distância entre ponto e reta.
Apresenta ao grupo a ferramenta “reta perpendicular” e mostra a funcionalidade
dessa ferramenta. Os alunos descrevem uma reta na tela do Cabri – Géomètre,
marcam um ponto qualquer fora desta e traçam a perpendicular a esta reta
passando por este ponto.
Após este início de explicações, é apresentada a atividade. O grupo lê o
enunciado e, da mesma forma que ocorreu com o primeiro grupo, compreendem
bem o que foi pedido. Marcam um ponto interno ao ângulo dado e traçam uma
perpendicular aos segmentos AB e BC passando por este ponto. Com a ferramenta
“distância e comprimento”, movimentam o ponto até obter a mesma projeção
ortogonal aos segmentos AB e BC.
O procedimento é repetido mais duas vezes, e o grupo dialoga entre si,
dizendo que a resposta será uma reta. Eles escondem os objetos auxiliares e traçam
uma reta passando por dois pontos obtidos, que irá passar também pelo ponto B.
Neste caso, mesmo em se tratando de uma construção mole, o grupo obteve o
resultado da figura b), pois foi usada uma grande precisão no momento de arrastar
os pontos desejados.
Não foi usada uma construção robusta. Desse modo o grupo poderia recair no
mesmo erro do GRUPO I, que
acabou
traçando
uma
reta
sem
considerá-la
passando pelo ponto B. Um item favorável a este ambiente é realmente a facilidade
que oferece no momento de obter uma precisão bem melhor de algum resultado
envolvendo uma construção mole, se comparado ao ambiente papel e lápis.
136
Lendo a análise do grupo, percebe-se uma grande dificuldade em explanar o
resultado obtido. A reta (bissetriz interna) irá dividir o ângulo no meio, mas não
formará um ângulo de 900 com os dois segmentos de reta. Neste caso faltou ao
grupo um pouco de critério, pois foi observando somente a figura é que chegaram a
essa conclusão. Nesta atividade o grupo não havia tomado conhecimento da
ferramenta “ângulo”, que só foi apresentada na atividade 5 e, por este fato, acreditase que este erro possa ter acontecido.
Figura 111 : Resolução da atividade 4 do GRUPO II
137
As etapas da atividade podem ser resumidas pelo uso do quadro abaixo :
Quadro 8 - Atividade 4, GRUPO II análise a posteriori
Situação adidática
Atividade 4
Ação
O professor ensina o grupo a usar a ferramenta “reta
perpendicular”, explica o conceito de distância entre
ponto e reta. Os alunos começam a procurar o primeiro
ponto do lugar geométrico.
Formulação
Traçam as perpendiculares aos segmentos dados,
ajustam os pontos de forma a obterem a mesma
projeção ortogonal. Conjecturam que o lugar geométrico
será uma reta.
Validação
Apagam os objetos auxiliares, marcam mais alguns
pontos e validam o resultado, construindo uma reta
passando por dois destes pontos, dizendo que esta irá
dividir o ângulo em duas partes de mesma medida.
Institucionalização
O professor explica o conceito de bissetriz interna de
um ângulo, dizendo que esta divide o ângulo em duas
partes de mesma medida e que a solução será uma
semi – reta com origem no vértice do ângulo dado.
138
5.4.5 Análise a priori e a posteriori da atividade 5
Atividade 5
Dado segmento de reta AB, obter o conjunto de pontos que vêem esse
segmento sob um ângulo de 900
B
A
Figura 112 – Atividade 5
Análise a priori
Nesta atividade estaremos propondo a construção do lugar geométrico
circunferência. Espera-se que o aluno seja capaz de marcar ângulos com um
transferidor ou com as ferramentas do Cabri – Géomètre II a fim de descobrir que o
conjunto desses pontos dará um circunferência. Acredita-se que os alunos que
fizerem uso do ambiente de geometria dinâmica terão uma maior facilidade de obter
este referido lugar geométrico e conseguirão
uma visualização mais primorosa,
facilitando, assim, a visualização de possíveis características deste lugar geométrico.
GRUPO I
Análise a posteriori
O professor ensina o grupo a usar o transferidor. Os alunos realizam algumas
atividades preliminares, medindo alguns ângulos dados pelos pesquisador. Marcam
um primeiro ponto, que eles chamam de ponto C. Pela figura a) observa-se que eles
139
apenas deslocam o transferidor sobre o segmento de reta, obtendo pontos que
formam retas paralelas ao segmento dado.
Em determinado momento, o grupo entra num primeiro consenso, quando um
dos elementos diz “vai aumentando aqui,vai formando um retângulo que não fecha
em cima”. Um outro aluno questiona se é possível obter pontos abaixo do segmento
AB. O grupo abre uma discussão e todos concordam que é possível obter pontos
abaixo de AB.
Em seguida, o grupo decide que o lugar geométrico será formado por várias
retas que darão origem a diversas formas geométricas. O professor, observando os
resultados, para a atividade e explica novamente como se deve usar o transferidor,
pois percebe que o grupo não compreendeu bem o uso deste instrumento. Dessa
forma, a atividade é refeita.
Começam a usar novamente o transferidor e marcam, após diversas
tentativas, o primeiro ponto que chamam de c (figura b). Uma grande dificuldade é
encontrada para se obter pontos satisfazendo o lugar geométrico. O grupo não
consegue prosseguir de forma satisfatória. Usando o método da tentativa e erro, vão
marcando pontos e medindo o ângulo que cada um forma com o segmento dado.
Acabam se detendo na parte de cima do desenho e não observam que
poderia existir uma semicircunferência. Concluem a atividade, dizendo da dificuldade
que tiveram de obter os pontos. O grupo obtém o simétrico do ponto C, mas acaba
concluindo de forma errônea que este não seria um ponto pertencente ao lugar
geométrico.
140
Figura 113 : Resolução da atividade 5 do GRUPO I
Quadro 9 - Atividade 5 GRUPO I, análise a posteriori
Situação adidática
Atividade 5
Ação
O professor ensina para o grupo como usar o
transferidor. O grupo lê e interpreta o enunciado.
Marcam os primeiros pontos, fazendo uso deste
instrumento.
Formulação
Usam o transferidor e marcam pontos que irão formar
retas paralelas ao segmento dado. Dizem que o lugar
geométrico será o conjunto de várias retas que dará
origem a várias formas geométricas.
Validação
O pesquisador explica novamente o uso do transferidor
e o grupo marca novos pontos no papel. O grupo
obtém de forma coerente alguns pontos, mas não
141
consegue validar o resultado, não percebendo que
poderia existir uma semi circunferência com o conjunto
de pontos obtidos.
Institucionalização
O professor explica o conceito de ângulo inscrito em
uma circunferência e sua relação com o arco que este
determina, e após isso fala a respeito do referido lugar
geométrico.
GRUPO II
Análise a posteriori
Foi apresentada ao grupo a ferramenta “ângulo” e como usá-la para conhecer
o valor de um ângulo determinado por 3 pontos. No caso em questão, para obter o
valor de um ângulo qualquer, só é necessário um ponto fora do segmento AB, pois
os pontos A e B são fixos. Tendo isso em mente, foi colocada a atividade para o
grupo.
Ao contrário do GRUPO I, que teve muitas dificuldades para obter algum
resultado significativo, este grupo determinou de forma mais clara a solução do
problema. Marcaram de início um ponto qualquer fora do segmento AB, criaram dois
segmentos e com isso usaram a ferramenta “ângulo” para obter o valor do ângulo
desejado.
Manuseando os pontos colocados, foram ajustando seus valores até
conseguirem obter ângulos de 900 e, com isso, obtiveram a figura a). Os alunos, no
decorrer da discussão, perceberam que diversos triângulos seriam formados. No
início, ficaram limitando os pontos somente na parte de cima da figura e com isso
concluíram que o resultado daria uma semi circunferência, mas no decorrer da
atividade pegaram pontos, considerando a figura como um todo. Assim, a hipótese
estipulada foi derrubada e o grupo chegou a um consenso de que o lugar geométrico
seria uma circunferência.
Escondendo os objetos auxiliares, o grupo deixou somente os pontos obtidos,
determinaram o ponto médio do segmento AB e, com a ferramenta circunferência,
validaram o resultado, obtendo então a figura b) .
142
Figura 114 : Resolução da atividade 5 do GRUPO II
Quadro 10 - Atividade 5 GRUPO II, análise a posteriori
Situação adidática
Atividade 5
Ação
O grupo lê e interpreta o enunciado. Escolhem um
ponto aleatório acima do segmento AB. Constroem dois
segmentos ligando o ponto aos vértices do segmento
AB. Deste modo usam a ferramenta “ângulo” e,
arrastando o ponto, obtém um ângulo de 900, fazendose uso de uma construção mole.
Formulação
Pegam mais alguns pontos e vão realizando o mesmo
procedimento. No primeiro momento se detém na parte
de cima da figura e concluem que o lugar geométrico
pedido será uma semicircunferência. Após este fato,
uma discussão é aberta e o grupo busca encontrar
143
pontos abaixo do segmento dado, satisfazendo a
propriedade requerida.
Validação
Observam, pela configuração dos pontos, que o lugar
geométrico
será
uma
circunferência.
Validam
o
resultado, construindo uma circunferência com centro
no ponto médio de AB, com diâmetro AB.
Institucionalização
O professor explica o conceito de ângulo inscrito em
uma circunferência e sua relação com o arco que este
determina, e após isso fala a respeito do referido lugar
geométrico.
5.4.6 Análise a priori e a posteriori da atividade 6
Atividade 6
Dado um ponto A pertencente à circunferência, obter o conjunto de pontos de
todas as secantes traçadas por A de tal modo que a parte interna de cada secante
tenha o mesmo comprimento da parte externa.
A
Figura 115 : Atividade 6
144
Análise a priori
Nesta atividade, o intuito é analisar o conceito de simetria axial para obter o
lugar geométrico desejado . Espera-se que o grupo que fará uso da régua e do
compasso no ambiente de papel e lápis use estes instrumentos para medir o
comprimento de cada secante e, com isso, obter o seu simétrico com relação ao
ponto pertencente à circunferência. Neste caso, por se tratar de uma simetria bem
simples, acredita-se que os estudantes não terão maiores problemas em obter o
referido lugar geométrico. No ambiente dinâmico, será apresentada a ferramenta
“compasso” para que os alunos possam fazer transportes de segmentos e, assim,
conseguir obter os pontos simétricos para a obtenção do lugar geométrico. Neste
sentido, depois de analisada esta hipótese, será apresentada a ferramenta “simetria
axial” e será verificada a diferença de metodologia usada pelos alunos.
GRUPO I
Análise a posteriori
O professor explica o conceito de secante e, em seguida, ensina como fazer
transporte de segmentos, usando o compasso, deixando bem claro que se pode
fazer uso da régua graduada caso sintam necessidade de medir qualquer segmento.
É feita a leitura da atividade para os alunos que conseguem compreender bem o
enunciado, e desta forma começam a realizar a tarefa. O grupo escolhe a régua
para medir os segmentos de cada secante.
Procuram de forma intuitiva encontrar o centro da circunferência. Feito isso,
traçam um diâmetro com vértice no ponto A e marcam o primeiro ponto sobre a
circunferência que pertence ao diâmetro citado acima. Determinam assim a primeira
secante interna. Chamam, na linguagem deles, de “ponto maior” (figura b) e com
isso medem o diâmetro obtido e marcam a secante externa.
Seguindo essa analogia, marcam outros pontos, concentrando-se na parte de
cima da figura e chegam a uma primeira conclusão, dizendo que o lugar geométrico
será uma semi circunferência. Um componente do grupo sugere marcar pontos ao
redor de toda circunferência e, dessa forma, aumentam o número de pontos. O
145
grupo acaba considerando que o resultado pode ser um conjunto de diversas
circunferências. Num determinado momento, um aluno coloca a ponta seca do
compasso sobre a circunferência no ponto pertencente ao diâmetro passando por A.
Com a outra ponta no vértice A, determina a circunferência que será o lugar
geométrico pedido.
O professor pergunta para o aluno por ele tomou essa decisão, e ele
responde “peguei esse ponto, pois ele é o meio da circunferência, ele é o maior
também ” . Na realidade, ele falou a respeito do diâmetro, não houve uma
justificativa fundamentada em termos mais concretos para ter uma aceitação
plausível desta resposta, mas, agindo dessa maneira, o grupo conseguiu obter o
lugar geométrico pedido. Houve uma demora muito grande para a validação do
resultado, o grupo discutiu diversas conjecturas até conseguir chegar ao resultado
desejado.
Figura a)
Figura b)
Figura 116 : Resolução da atividade 6 do GRUPO I
146
Quadro 11 - Atividade 6 GRUPO I, análise a posteriori
Situação adidática
Ação
Atividade 6
O
grupo
lê
o
enunciado
e
faz
as
primeiras
interpretações. De forma intuitiva, traçam o diâmetro da
circunferência passando pelo ponto A e, a partir disso
obtém o primeiro ponto da secante externa.
Formulação
Continuam o processo. Escolhem pontos pertencentes
somente a uma determinada parte da figura e com isso
concluem que o lugar geométrico será uma semi
circunferência.
Validação
Tomam pontos em partes distintas e observam que a
primeira hipótese não é coerente. De forma intuitiva,
colocam
a
ponta
seca
do
compasso
sobre
a
circunferência no diâmetro determinado pelo ponto A e,
com a outra ponta neste ponto, validam o resultado,
dizendo
que
o
lugar
geométrico
será
uma
circunferência.
Institucionalização
O professor explica que o lugar geométrico pedido será
uma circunferência de raio igual ao diâmetro da
circunferência dada e demonstra como obter esse
respectivo resultado.
GRUPO II
Análise a posteriori
Primeiramente é apresentada ao grupo a ferramenta “compasso” . Com isso,
o professor mostra como fazer o transporte de um segmento dado, e o grupo realiza
algumas atividades para se habituar com essa nova ferramenta.
Logo após é apresentada a atividade. Os alunos não se preocupam em
escolher o centro da circunferência para marcarem a primeira secante. Marcam um
ponto qualquer pertencente à circunferência traçam o segmento determinado por
este e o ponto A e, usando o compasso, encontram o primeiro ponto .
147
Analogamente repetem o processo, obtendo desta forma a figura a). O
pesquisador notou uma dificuldade dos alunos ao usarem o compasso após este
fato foi apresentada a ferramenta “simetria central”.
Novamente, uma atividade complementar foi dada, explicando essa
ferramenta antes de prosseguirem na atividade. Feito isso, o grupo marcou pontos
aleatórios pertencentes à circunferência e, fazendo o simétrico dos pontos em
relação ao ponto A, obtiveram o conjunto de pontos mostrados na figura b).
Fazendo uso da simetria central, os alunos obtiveram o conjunto de pontos de
forma bem simples, sem maiores problemas. Conseguiram visualizar de maneira
coerente, que a resposta seria uma circunferência mas, usando uma construção
mole, cometeram um equivoco no momento de validarem a resposta.
O grupo não percebeu que o centro da circunferência maior seria simétrico do
ponto A em relação ao cento da circunferência menor e, tomando um outro ponto da
circunferência menor, construíram a circunferência da figura b), dizendo que esta era
“ maior, mas não exata”.
Conversando com o grupo, percebe-se que este termo foi usado no sentido
de dizer que não conseguiram obter uma circunferência passando por todos os
pontos obtidos usando - se a simetria central.
Concluindo
esta
atividade,
percebeu-se
uma
dificuldade
em
usar
coerentemente o compasso, mas fazendo uso da simetria central, o grupo elaborou
de forma bem rápida a solução da atividade, vislumbrando mais nitidamente o lugar
geométrico pedido pelo professor. No momento final, quando validaram o resultado,
não perceberam o centro da circunferência maior, mas obtiveram de maneira
simples o resultado pedido.
148
Figura 117 : Resolução da atividade 6 do GRUPO II
Quadro 12 - Atividade 6 GRUPO II, análise a posteriori
Situação adidática
Ação
Atividade 6
O
grupo
lê
o
enunciado.
Fazem as
primeiras
interpretações. Com a ajuda do compasso, traçam as
primeiras
secantes,
procurando
buscar
o
lugar
geométrico pedido.
Formulação
Usam o compasso, procurando obter a solução.
Verificando uma demora no momento de realizar a
atividade, é apresentada ao grupo a ferramenta simetria
central. Fazendo uso desta, os alunos conjecturam que
149
o lugar geométrico será uma circunferência .
Validação
Observam pela
configuração
Géomètre
o
que
circunferência.
lugar
Validam,
dada
pelo
geométrico
fazendo
uma
cabri
será
-
uma
construção
robusta, escolhendo um centro qualquer com um ponto
pertencente à circunferência menor
Institucionalização
O professor explica que o lugar geométrico pedido será
uma circunferência de raio igual ao diâmetro da
circunferência dada e demonstra como obter esse
respectivo resultado.
5.4.7 Análise a priori e a posteriori da atividade 7
Atividade 7
Sejam as retas r e s formando um ângulo de 90o entre si. Dado o ponto P
pertencente a circunferência, seja P´ o simétrico de P em relação a reta r. Qual o
conjunto de pontos que P´ irá formar enquanto P percorre a circunferência ?
Figura 118 : Atividade 7
150
Análise a priori
Nesta atividade espera-se que cada grupo consiga, de forma bem simples
obter o lugar geométrico circunferência. Pela simetria da atividade acredita-se que
não ocorrerá maiores dificuldades para se obter a solução em ambos os grupos.
No GRUPO I poderá se fazer uso da régua ou do compasso para se fazer
transporte de segmento. Mesmo com alguma imprecisão de medida acredita-seque
não irá existir algum problema para validar o resultado.
No GRUPO II, após as primeiras tentativas, será apresentada a ferramenta
“rastro” , ferramenta esta que ajudará na validação do resultado final. Pelas
atividades anteriores, pode-se imaginar que o grupo marque pontos em torno de P´
para visualizarem de forma mais ampla o lugar geométrico pedido obtendo dessa
forma um resultado bastante significativo.
GRUPO I
Análise a posteriori
Figura 119 : Resolução da atividade 7 do GRUPO I
151
Quadro 13 - Atividade 7 GRUPO I, análise a posteriori
Situação adidática
Atividade 7
Ação
O grupo lê o enunciado. Procuram, usando os
instrumentos obter o primeiro ponto simétrico de P.
Formulação
Marcam mais alguns pontos sobre a circunferência
dada. Discutem entre si dizendo que o lugar geométrico
será um semi círculo
Validação
Após
uma
intervenção do
professor, os
alunos
procuram obter o simétrico do centro da circunferência
dada e com um compasso validam o resultado
descrevendo uma circunferência
Institucionalização
O professor explica o conceito de simétrico de um ponto
com relação a uma reta e diz que, neste caso, pela
configuração da atividade apresentada, o resultado será
a reflexão da circunferência.
GRUPO II
Análise a posteriori
O professor explica o enunciado para os alunos e estes, dizendo terem
entendido, arrastam o ponto P sobre a circunferência e, com isso começam a
discutir qual será o conjunto de pontos que dará origem ao Lugar geométrico. O
grupo observa o ponto Q pertencente à reta r bem como o segmento PQ’ e, no
primeiro momento, dizem que o Lugar geométrico será um retângulo. Analisando
essa primeira idéia do grupo, percebe-se que o deslocamento deste segmento
causou um problema na visualização do Lugar Geométrico no início da atividade.
Tendo isso em mente, o pesquisador explica novamente o enunciado e pede
que eles não se detenham ao movimento deste segmento. Dessa forma, o grupo
abre uma nova abordagem e começa e fixar a visão em P’ e, desse modo, dizem
que o resultado será uma circunferência. Um elemento do grupo questiona se
existiria algum modo de obter pontos para ter uma visualização mais concreta da
figura pedida, e um colega sugere arrastar o ponto P sobre a circunferência e, a
152
cada movimento correspondente de P’, pegar um ponto e demarcar este bem
próximo de P’. Com isso, o grupo forma a circunferência mostrada na figura a) e
dizem que o resultado será uma circunferência.
Após esses fatos, o professor apresenta a ferramenta “rastro”, procurando
responder ao questionamento do grupo com relação a uma melhor visualização da
figura formada. Dessa forma, escrevem as conclusões que podem ser lidas na figura
b). Observa-se, então, pelo desenrolar da atividade, uma dificuldade inicial de
entendimento, mas depois de uma breve intervenção, conseguiram visualizar de
forma clara o Lugar geométrico pedido, não apresentando maiores dúvidas no
momento de validar o resultado.
Figura 120 : Resolução da atividade 7 do GRUPO II
153
Quadro 14 - Atividade 7 GRUPO II, análise a posteriori
Situação adidática
Atividade 7
Ação
O grupo lê o enunciado e manipulam o ponto P sobre a
circunferência, procurando
observar
uma primeira
configuração dada pelo movimento do ponto P’.
Formulação
Dizem que o Lugar geométrico será um retângulo.
Acredita-se que essa primeira impressão se deu pelo
fato de os alunos deterem a visão no movimento do
segmento P’Q. Após isso, uma intervenção é feita e o
grupo começa a realizar uma nova discussão.
Validação
O grupo movimenta o ponto P sobre a circunferência
dada e observam que o Lugar Geométrico será uma
circunferência. Procuram validar o resultado, marcando
pontos sobre P’ conforme este se movimenta sobre a
circunferência. Usando a ferramenta “rastro”, confirmam
o resultado, dizendo que será uma circunferência .
Institucionalização
O professor explica o conceito de simétrico de um ponto
com relação a uma reta e diz que, neste caso, pela
configuração da atividade apresentada, o resultado será
a reflexão da circunferência.
5.4.8 Análise a priori e a posteriori da atividade 8
Antes de se propor a atividade 8 uma explicação será dada a respeito da
figura abaixo :
Dadas duas retas concorrentes r e s no plano e um ponto P fora delas,
traçamos por P uma reta paralela a s. Essa reta intercepta a reta r no ponto O.
Sobre essa reta construímos um ponto P´ tal que a distância de P´ a O é igual a
distância de P a O. O ponto P´ é chamado o simétrico de P em relação a r tomando
como direção a reta s. Levando em conta essa explicação temos a atividade 8
descrita abaixo :
154
Atividade 8
Se o ponto P percorre uma circunferência situada num quadrante
determinado por r e s, qual é o conjunto dos pontos P´ construídos conforme a
descrição acima?
Figura 121 : Atividade 8
Análise a priori
Nesta atividade estaremos lidando com o conceito de simetria axial para
obtermos o lugar geométrico pedido, que será uma elipse. Acreditamos que os
grupos de alunos que farão a atividade no ambiente papel e lápis terão dificuldades
em obter o referido lugar geométrico, pois a simetria aqui é mais elaborada e difícil
de ser visualizada neste ambiente.
No ambiente de geometria dinâmica a solução poderá ser vista e elaborada
de forma mais simples, pois o ponto P poderá ser deslocado ao redor da
circunferência e com isso os alunos terão uma imagem mental do referido lugar
geométrico, usando também a ferramenta rastro a visualização ficará muito nítida
nos mostrando desta forma a solução da atividade proposta.
155
GRUPO I
Análise a posteriori
Uma explicação do enunciado é feita pelo pesquisador. O pesquisador explica
novamente ao grupo a noção de simetria. O grupo começa a atividade marcando
alguns pontos. Percebe-se a incoerência da obtenção dos pontos simétricos
conforme fica explicitado na figura a).
Desta forma, uma nova explicação é dada. O professor tenta, sem intervir de
forma a passar alguma informação que invalide a atividade, a diferença entre esta
atividade e a anterior. Com isso, uma nova figura é obtida pelo grupo.
Eles ficam em dúvida se seria mais fácil obter os simétricos usando uma
régua ou um compasso e uma discussão é aberta. Os alunos optam por obter os
simétricos, fazendo uso do segundo instrumento, mas declinam dessa atitude
conforme pode ser visto na figura b).
Outro ponto a se considerar é o pensamento do grupo de não considerar
pontos na parte de baixo da circunferência. Eles concentram os pontos somente na
parte de cima e isso acaba prejudicando o raciocínio e a visão no momento de obter
o lugar geométrico.
Não querendo fazer um número muito grande de intervenções, para não
atrapalhar no resultado da atividade, é deixado que os alunos terminem a atividade e
coloquem os resultados. Não conseguiram obter nenhum resultado satisfatório. Uma
demora muito grande foi obtida para obter um número mínimo de pontos.
Todo momento que se cometia algum erro a figura era apagada. A indecisão
de se usar o compasso ou a régua para obter o simétrico gerou muita confusão e
perda de tempo. O ambiente estático formado por estes materiais não contribui de
forma satisfatória para o sucesso dos alunos nessa atividade.
156
Figura 122 : Resolução da atividade 8 do GRUPO I
Quadro 15 - Atividade 8 GRUPO I, análise a posteriori
Situação adidática
Atividade 8
Ação
O grupo lê o enunciado. Marcam os primeiros pontos
procurando obter alguma configuração plausível
Formulação
Com um conjunto de pontos estabelecido dizem que o
resultado
será
uma
linha
torta.
Após
algumas
discussões, aumentam os números de pontos, mas não
chegam a um acordo com relação a uma resposta
aceitável por todos.
Validação
O grupo não consegue validar o resultado. Obtém
somente, resultados inconclusivos, não podendo assim,
chegar a uma conclusão que mostre algum resultado
coerente.
Institucionalização
O professor explica para o grupo o conceito de simetria
axial e a diferença existente entre esta atividade e a
anterior. Desta forma é colocado o conceito de elipse
como um lugar geométrico.
157
GRUPO II
Análise a posteriori
O professor explica o enunciado para o grupo. Fazendo uma associação com
a atividade anterior o grupo arrasta o ponto P sobre a circunferência e analisa o
movimento de P´.
Dizem que o resultado será uma “boca de um buraco”, mas para terem
certeza, utilizam a estratégia de demarcar pontos conforme P´ vai se movimentando,
obtendo desta forma a figura a). Logo após, usam a ferramenta rastro e validam o
resultado figura b).
A execução da atividade foi bem rápida. Levando em conta a experiência
anterior, o grupo conseguiu fazer um elo bem forte descobrindo na sua maneira de
colocar os fatos que o lugar geométrico seria uma elipse.
Neste ambiente, a validação foi bem rápida e precisa. Não existiu empecilhos
que invalidassem as conclusões. O grupo conseguiu trabalhar de maneira bem
coerente com os objetos. O software ajudou de forma bem nítida, fazendo com que
o grupo encontrasse o resultado sugerido pelo professor.
O poder de visualização dos conjuntos de pontos dados pelo Cabri_Géomètre
quando P percorria a circunferência foi um fator preponderante, mostrando a
eficiência deste meio, ao lidarmos com lugares geométricos que exigem uma
acuidade visual maior por parte dos alunos.
158
Figura 123 : Resolução da atividade 8 do GRUPO II
Quadro 16 - Atividade 8 GRUPO II, análise a posteriori
Situação adidática
Atividade 8
Ação
O grupo lê o enunciado e manipulam o ponto P sobre a
circunferência, procurando
observar
uma primeira
configuração dada pelo movimento do ponto P’.
Formulação
Marcam pontos na tela do computador conforme P´ vai
se deslocando. dizem que o resultado será uma “boca
de buraco”.
Validação
Validam o resultado usando a ferramenta rastro, onde
conseguem obter de forma nítida o formato da figura,
uma elipse
Institucionalização
O professor explica para o grupo o conceito de simetria
axial e a diferença existente entre esta atividade e a
anterior. Desta forma é colocado o conceito de elipse
como um lugar geométrico.
159
5.5 Considerações sobre as atividades
As atividades propostas buscaram evidenciar o papel da Geometria Dinâmica
como ferramenta facilitadora na aprendizagem de conceitos relativos ao tema lugar
geométrico. O trabalho foi realizado levando em conta construções moles. Não se
teve o intuito de fazer com que os alunos fizessem construções robustas usando o
método dos lugares geométricos.
Fazendo as devidas comparações entre as análises a priori e a posteriori das
atividades propostas conseguiu-se notar de forma bem coerente um entendimento
bem maior do aspecto de lugar geométrico no ambiente de Geometria Dinâmica.
No início das atividades, notaram-se as mesmas dúvidas oriundas dos dois
grupos e as mesmas dificuldades no entendimento dos enunciados, mas com o
passar do tempo o grupo que realizou as atividades no ambiente dinâmico
conseguiu retornar devolutivas bem mais rápidas e mais precisas para o
pesquisador.
O grupo do ambiente papel & lápis demorou um tempo considerável, se
comparado ao outro, para obter um conjunto mínimo de pontos e dessa forma,
conseguir algum resultado satisfatório. Notou-se um empecilho ao colocar os pontos
nesse ambiente. A precisão no momento de realizar as atividades ficou
comprometida. O fato de ter de apagar a todo o momento algum ponto que por
ventura não tivesse satisfeito a referida propriedade dificultou o aprendizado das
atividades.
Outro ponto a ser considerado foi o manuseio dos instrumentos euclidianos.
Em algumas atividades o uso da régua no momento de marcar distâncias acabou
causando dificuldades. O uso do transferidor, mesmo depois de diversas
intervenções do pesquisador, acabou sendo comprometido, pois mesmo sabendo
fazer uso coerente desse instrumento, o método da tentativa e erro foi usado e
dessa forma não foi possível existir uma validação por parte dos alunos.
O ambiente dinâmico mostrou-se eficiente, pois no avançar das atividades o
grupo conseguiu gastar um tempo bem menor e deu ao pesquisador devolutivas
bem concretas na maior parte das tarefas propostas. O software Cabri-Géomètre II,
bem como as ferramentas fornecidas por ele, desempenhou um papel primoroso na
obtenção de diversos tipos de lugares geométricos.
160
A importância de se poder esconder objetos, apagar de forma simples pontos
que poderiam ser desconsiderados na construção, a facilidade de movimentação de
entes geométricos somados a ferramentas do tipo “simetria central”, “rastro”,
“distância ou comprimento”, “medida de angulo”, “Esconder/Mostrar” e tantas outras,
ajudaram a evidenciar a potencialidade deste meio em comparação ao ambiente
estático.
Logo, na obtenção de resultados relativos ao conceito de lugar geométrico
fazendo-se uso de construções moles o ambiente dinâmico teve um desempenho
bem melhor se comparado ao primeiro. Pelas análises a priori e a posteriori de todas
as atividades, pouquíssimas contradições foram obtidas. Os resultados previstos
pelo pesquisador foram satisfatórios, descrevendo, assim, as evidências favoráveis
ao uso deste meio na sala de aula no estudo de lugares geométricos.
161
Conclusões e Considerações Finais
Este trabalho se originou da tentativa de responder a duas questões ligadas a
lugares geométricos e que surgiram durante a vida de estudante e de professor do
autor.
Primeira questão: Como o conceito de lugar geométrico tem sido tratado nos
livros didáticos ao longo das últimas décadas?
Segunda questão: O uso de um software de Geometria Dinâmica amplia as
possibilidades de ação, formulação e validação em uma situação a-didática do
estudo de lugares geométricos planos?
Para tentar obter respostas para essas duas questões, o autor procurou um
embasamento teórico e metodológico na Teoria da Engenharia Didática, na Teoria
das Situações Didáticas e na Teoria do Contrato Didático. Para entender a formação
do conceito de lugar geométrico, o autor procurou as origens históricas dos temas
ligados ao lugar geométrico e levantou as construções das curvas clássicas da
Geometria.
Para a primeira questão, além de procurar apoio na História da Matemática
para entender o conceito, foram analisados cinco livros didáticos que procuraram
contemplar cinco períodos diferentes no século XX. A conclusão a que se chegou é
que o conceito de lugar geométrico só foi formalizado pelos matemáticos no último
século, embora desde a Antiguidade o assunto já fosse abordado, e isso se refletiu
também nos livros didáticos do século XX. Os livros do início daquele século
tratavam os problemas de lugares geométricos como problemas de geometria em
geral. Da metade do século XX para frente é que o assunto passou a ter um
destaque sendo abordado como um assunto quase que autônomo dentro da
geometria. Os livros mais recentes já formalizam esse conceito, inclusive adotando
métodos geométricos baseados em lugares geométricos.
Para a segunda questão, além de desenvolver um capítulo referente ao
software Cabri-Géomètre e sua relação com o conceito de lugar geométrico, foram
elaboradas e aplicadas oito atividades exploratórias depois de uma análise a priori,
como preconiza a Teoria da Engenharia Didática. As atividades foram aplicadas a
162
dois grupos distintos de estudantes. Um dos grupos trabalhou num ambiente
estático de papel & e lápis e o outro grupo trabalhou num ambiente dinâmico
apoiado pelo software Cabri-Géomètre.
Foi de grande importância o papel do trabalho colaborativo vivenciado pelos
dois grupos, caracterizado pelas situações a-didáticas. As situações de ação, onde o
pesquisador colocava o problema e o grupo discutia as primeiras idéias, seguida
pela etapa de validação onde cada elemento colocava a sua opinião, muitas das
vezes em dissonância com o restante do grupo acabou se tornando algo muito
benéfico. Diversos questionamentos foram levantados e a partir disso foi possível se
caracterizar de forma plena a etapa da validação, onde o grupo consegue discutir de
forma mais fluente a caracterização dos aspectos matemáticos envolvidos na
atividade, procurando dessa forma, dar uma resposta coerente ao problema
proposto.
Com
isso,
foi
possível
ao
pesquisador,
colocar
a
etapa
da
institucionalização, desmitificando qualquer dúvida oriunda dos componentes de
cada grupo.
Dificuldades surgiram no decorrer do experimento. O pesquisador teve de
fazer algumas interferências no decorrer das diversas atividades, visando auxiliar,
sem dar qualquer tipo de “dica” ou resposta a cada um dos alunos, evitando dessa
forma um efeito Topaze. Deve-se levar em consideração também, a falta de costume
dos alunos na realização desse tipo de atividade, pois esta metodologia é pouco
utilizada nas escolas brasileiras.
Em todas as oito atividades ficaram evidenciadas as vantagens do ambiente
dinâmico em relação ao ambiente estático, destacando três delas:
1) A quantidade de informação obtida no ambiente dinâmico é muito maior do
que a obtida no ambiente estático.
2) A qualidade da informação obtida no ambiente dinâmico é muito melhor do
que a obtida no ambiente estático.
3) O tempo de compreensão do problema e de institucionalização da
resolução atividade é muito menor no ambiente dinâmico do que no
ambiente estático.
e isso responde à segunda questão.
163
Obviamente, as conclusões obtidas neste trabalho são parciais e incompletas,
apenas apontando para conclusões já obtidas em outros trabalhos. Portanto não
esgotam o assunto. Outros experimentos com outras atividades com outros sujeitos
em situações distintas da situação descrita aqui deverão ser feitos para consolidar a
impressão apontada neste experimento.
Mais que a obtenção de respostas às duas questões, os resultados mais
importantes para o autor foram o amadurecimento das ideias relativas ao conceito
de lugar geométrico, a imersão na História da Matemática e no conhecimento de
livros didáticos, às vezes, quase centenários, o desenvolvimento de um modo
disciplinado de trabalho para atingir um objetivo e a alegria do trabalho em ambiente
de Geometria Dinâmica com adolescentes interessados em aprender e progredir.
164
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170
ANEXOS
Ficha de atividades
Atividade 1
Dado um ponto A num plano e uma distância fixa d, obter o conjunto de
pontos do plano que estejam a uma distância d deste ponto dado.
A
Atividade 2
Dado o segmento de reta AB abaixo, contido num plano  , obter o conjunto de
pontos do plano, pertencentes ou não a esse segmento de reta que estejam a
mesma distância dos pontos A e B
B
A
171
Atividade 3
Dados dois pontos A e B, obter o conjunto de pontos formado pelos centros
das circunferências que passam por A e B
A
B
Atividade 4
Dado o ângulo ABC abaixo, obter o conjunto de pontos que estejam à mesma
distância das semi retas BA e BC
A
B
C
172
Atividade 5
Dado segmento de reta AB, obter o conjunto de pontos que vêem esse
segmento sob um ângulo de 900
B
A
Atividade 6
Dado um ponto A pertencente à circunferência, obter o conjunto de pontos de
todas as secantes traçadas por A de tal modo que a parte interna de cada secante
tenha o mesmo comprimento da parte externa.
A
173
Atividade 7
Sejam as retas r e s formando um ângulo de 90o entre si. Dado o ponto P
pertencente a circunferência, seja P´ o simétrico de P em relação a reta r. Qual o
conjunto de pontos que P´ irá formar enquanto P percorre a circunferência ?
Atividade 8
Se o ponto P pertencente uma circunferência, qual é o conjunto dos pontos P´
construídos conforme a descrição acima ?
174
Ficha de respostas dos alunos
Atividade 1 GRUPO I
Atividade 1 GRUPO II
175
Figura a)
Atividade 2 GRUPO I
Atividade 2 GRUPO II
Figura b)
Figura c)
176
Figura a)
Atividade 3 GRUPO I
Figura b)
Figura c)
177
Atividade 3 GRUPO II
178
Atividade 4 GRUPO I
Figura a)
Atividade 4 GRUPO II
Figura b)
179
Atividade 5 GRUPO I
Atividade 5 GRUPO II
180
181
Atividade 6 GRUPO I
Figura a)
Figura b)
Atividade 6 GRUPO II
182
Atividade 7 GRUPO I
Atividade 7 GRUPO II
183
Atividade 8 GRUPO I
Atividade 8 GRUPO II