Lista 03: Combinatória.
1) De quantas formas é possível formar uma senha de três dígitos usando os algarismos 0, 2,
3 , 4, 5 e 6? E se não puder repetir nenhum número?
2) Com os algarismos de 0 a 9, quantos números de três algarismos podem-se formar se:
a) os algarismos puderem se repetir? Quantos desses números são pares?
b) os algarismos não puderem se repetir? Quantos desses números são pares?
3) Faça o mesmo que o exercício 2, mas agora com os algarismo de 0 a 4.
4) Cento e vinte atletas estão participando de uma corrida, mas sabemos que apenas dez
deles podem figurar entre os primeiros. Levando-se em conta apenas esses dez atletas, de
quantas formas podem ser distribuídas as medalhas de ouro, prata e bronze?
5) Com os números 1, 2, 3, 4 e 5 podemos escrever 60 números de três algarismos distintos.
Colocando todos esses números em ordem crescente, qual é a posição ocupada pelo
número 352?
6) Dispomos de 5 cores distintas. De quantos modos podemos colorir os quatro quadrantes
de um círculo, cada quadrante de uma só cor, se quadrantes cuja fronteira é uma linha não
podem receber a mesma cor?
7) Uma pessoa dispõe de 6 cores distintas para pintar as bandeiras abaixo, sendo que
regiões adjacentes devem ser pintadas de cores diferentes.
a) Qual é o número mínimo de cores a serem usadas para pintar cada uma das bandeiras?
b) De quantos modos as bandeiras podem ser pintadas?
8) Quantos são os gabaritos possíveis de um teste de 10 questões de múltipla escolha, com
5 alternativas por questão? Em quantos a letra A não aparece?
9) (FUVEST) O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam por
vogal é:
a) 24
b) 48
c) 96
d) 120
e) 144
10) (FGV) Quantos anagramas da palavra SUCESSO começam por S e terminam por O?
a) 7!
b) 5!
c) 30
d) 60
e) 90
11) Quantos anagramas têm a palavra PALAVRA que começam com vogal e terminam com
consoante.
a) 240
b) 300 c) 320 d) 330 e) 360
12) Considere todos os anagramas da palavra PILOTO.
a) Quantos começam pela letra O?
b) Quantos começam e terminam por vogal?
c) Quantos começam com vogal e terminam com consoante?
d) Quantos têm a palavra OTO juntas e nessa ordem?
13) (ITA) O número de soluções inteiras, maiores ou iguais a zero, da equação
x+ y+ z+w=5
14) Determine o número de soluções naturais das equações abaixo:
a) x + y + z = 5
b) x + y = 6
c) x + y + z + w = 4
15) Uma pastelaria vende pastéis de queijo, carne, palmito e pizza. De quantas maneiras
uma pessoa pode escolher 5 pastéis nessa pastelaria?
16) Problema do menino guloso. Um menino encontra-se em uma sorveteria que oferece 7
opções diferentes de sabores. Ele tem dinheiro para comprar 4 sorvetes. Nessas condições,
quantos pedidos ele pode fazer?
17) No desenho a seguir, as linhas horizontais e verticais representam ruas, e os quadrados
representam quarteirões. A quantidade de trajetos de comprimento mínimo ligando A e B que
passam por C é
a) 12
b) 13
c) 15
d) 24
e) 30
18) (Fuvest 93) A figura a seguir representa parte do mapa de uma cidade onde estão
assinalados as casas de João(A), de Maria(B), a escola(C) e um possível caminho que João
percorre para, passando pela casa de Maria, chegar à escola. Qual o número total de
caminhos distintos que João poderá percorrer, caminhando somente para o Norte ou Leste,
para ir de sua casa à escola, passando pela casa de Maria?
19) A figura a seguir representa parte do mapa de uma cidade onde estão assinalados as
casas de André(A), de Beatriz (B), e a escola(C). Qual o número total de caminhos distintos
que André poderá percorrer, caminhando somente para o Norte ou Leste, para ir de sua casa
à escola, sem passar pela casa de Beatriz?
a) 300
b) 420
c) 320
d) 200
e) 312
20) (Ufmg 95) Formam-se comissões de três professores escolhidos entre os sete de uma
escola.
O número de comissões distintas que podem, assim, ser formadas é
a) 35
b) 45
c) 210
d) 73
e) 7!
21) Em uma circunferência são marcados 6 pontos distintos. O número de quadriláteros que
podemos formar com vértices nos pontos marcados é:
a) 15
b) 20
c) 25
d) 30
e) 35
22) (Unirio 2003) O bufê de saladas de um restaurante apresenta alface, tomate, agrião,
cebola, pepino, beterraba e cenoura.
Quantos tipos de saladas diferentes podem ser preparados com cinco desses ingredientes,
de modo que todas as saladas contenham alface, tomate e cebola?
a) 4
b) 12
c) 8
d) 3
e) 6
23) (Unifesp 2002) Em um edifício residencial de São Paulo, os moradores foram
convocados para uma reunião, com a finalidade de escolher um síndico e quatro membros do
conselho fiscal, sendo proibida a acumulação de cargos. A escolha deverá ser feita entre dez
moradores.
De quantas maneiras diferentes será possível fazer estas escolhas?
a) 64.
b) 126.
c) 252.
d) 640.
e) 1260.
24) (Mackenzie 98) A partir de um grupo de 12 professores, quer se formar uma comissão
com um presidente, um relator e cinco outros membros. O número de formas de se compor a
comissão é:
a) 12.772
b) 13.024
c) 25.940
d) 33.264
e) 27.764
25) (Ufmg 2006) A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se formar uma comissão
constituída de quatro integrantes. Nesse grupo, incluem-se Gustavo e Danilo, que, sabe-se,
não se relacionam um com o outro. Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses
dois, juntos, não deveriam participar da comissão a ser formada.
Nessas condições, de quantas maneiras distintas se pode formar essa comissão?
a) 70 b) 35
c) 45
d) 55
26) (Fuvest 2007) Em uma classe de 9 alunos, todos se dão bem, com exceção de Andréia,
que vive brigando com Manoel e Alberto.
Nessa classe, será constituída uma comissão de cinco alunos, com a exigência de que cada
membro se relacione bem com todos os outros.
Quantas comissões podem ser formadas?
a) 71
b) 75
c) 80
d) 83
e) 87
27) (Puccamp 2005) O cientista John Dalton é bastante conhecido pelas suas contribuições
para a Química e a Física. Descreveu a forma e o uso de vários instrumentos de
meteorologia, fazendo considerações sobre a variação da altura barométrica. Além disso,
Dalton descreveu uma doença hereditária que o impossibilitava de distinguir a cor verde da
vermelha. Essa doença hereditária, causada por um alelo recessivo ligado ao cromossomo X,
recebeu o nome de daltonismo.
Dois daltônicos fazem parte de um grupo de 10 pessoas. De quantas maneiras distintas
pode-se selecionar 4 pessoas desse grupo, de maneira que haja pelo menos um daltônico
entre os escolhidos?
a) 140
b) 240
c) 285
d) 336
e) 392
28) De quantas formas 6 alunos podem ser colocados em 2 classes A e B, ficando 3 alunos
por classe?
29) De quantas formas podemos dividir 6 pessoas em três grupos de duas pessoas cada?
30) (Mackenzie 96) Num grupo de 10 pessoas temos somente 2 homens. O número de
comissões de 5 pessoas que podemos formar com 1 homem e 4 mulheres é:
a) 70.
b) 84.
c) 140.
d) 210.
e) 252.
Gabarito:
1) 216 senhas. 120 senhas. 2) a) 900 números. 450 números. b) 648 números. 328 pares.
3) a) 100 números. 60 pares.
b) 48 números. 30 pares.
4) 720.
5) Trigésimo quinto.
6) 260.
7) a) 3 cores em ambas.
7) b) bandeira A de 480 modos. Bandeira B de 1560 modos.
8) 510 modos. 410 modos.
9) B
10) D
11) A
12) a) 120
b) 72 c) 108 d) 24
13) 56
14) a) 21
b) 7 c) 35
15) 56
16) 210
17) E
18) 150
19) E
20) A 21) A 22) E 23) E 24) D 25) D 26) A 27) A
28) 20
29) 15
30) C