Lista 1 Extra de Exercı́cios - Geometria Espacial
Observações: O objetivo desta lista será auxiliar e direcionar os estudos. Não creio serem suficientes para sua avaliação. Procure outros exercı́cios nas outras referências. Bom trabalho.
Os exercı́cios aqui apresentados são dos livros do PAFM (ainda em preparação) Geometria
Euclidiana Espacial de Manoel Azevedo
1 - Prove as afirmações abaixo:
(a) O espaço contém, pelo menos, seis retas e quatro planos.
(b) Por um ponto passam, no mı́nimo, três retas.
(c) Três pontos não colineares são distintos entre si.
(d) Dada uma reta, há, pelo menos, dois planos que a contêm.
(e) Um plano contém pelo menos três retas.
(f) Dados um plano α e um ponto pertencente a α, existem, no mı́nimo, duas retas contidas
em α passando por esse ponto.
2 - Vimos que três pontos não colineares no espaço determinam um único plano. Prove que
se os três pontos sao colineares, então existem infinitos planos que os contém.
3 - Seja M uma figura tal que quatro quaisquer de seus pontos sejam coplanares. Mostre
que M é plana, isto é, está contida num plano.
4 - Explique por que uma mesa com três pernas sempre fica firme sobre um piso plano e
uma de quatro pernas pode ficar em falso.
5 - Uma figura é formada por quatro pontos A, B, C e D e pelos segmentos AB, BC, CD e
DA. Ela é uma figura plana?
6 - Sejam A, B e C três pontos não colineares, e seja α o plano determinado por eles. Prove
que os lados do triângulo ∆ABC estão contidos em α.
7 - Três planos distintos têm em comum dois pontos. Mostre que existe uma reta comum
aos três planos.
8 - Seja t uma reta contida em dois planos distintos. Mostre que t e a intersecção desses dois
planos.
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9 - Dois triângulos ABC e DEF, situados em dois planos distintos, sao tais que as retas AB,
←
→ ←
→
←
→ ←
→ ←
→
AC e BC encontram as retas DE, DF e EF nos pontos M, N e P, respectivamente. Mostre
que M, N e P sao colineares.
10 - Sejam s uma reta e α um plano tais que s ∥ α. Demonstre que existe um único plano
paralelo a α (e distinto) contendo s.
11 - Mostre que se uma reta é paralela a dois planos concorrentes, então ela é paralela a reta
de intersecção dos dois planos.
12 - Suponha que três planos α, β e γ têm exatamente um ponto em comum. Mostre que não
existe nenhuma reta simultaneamente paralela a α, β e γ.
13 - Seja r uma reta secante a um plano α e P um ponto exterior a α. Mostre que existe uma
única reta que passa por P, encontra r e é paralela a α.
14 - Mostre que se um plano α é concorrente a um plano β, é também concorrente a qualquer
plano paralelo a β.
15 - Use o exercı́cio anterior para concluir que se dois planos paralelos sao cortados por
dois planos paralelos, concorrentes aos anteriores, então as intersecções serão quatro retas
paralelas.
16 - Considere duas retas paralelas secantes a dois planos paralelos. Mostre que os segmentos destas retas determinados pelos dois planos sao congruentes.
17 - Sejam A, B, C e D quatro pontos do espaço. Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Justifique cada resposta com uma demonstração ou um contraexemplo, e
faça um desenho para cada situação.
(a) Se AB e CD possuem um ponto em comum, então são coplanares.
(b) Se AB e CD não possuem pontos em comum então não são coplanares.
(c) Suponha que os pontos A, B e C não sejam colineares. Seja α o plano determinado por
estes pontos. Se D < α então os segmentos DA, DB e DC não interceptam nenhum dos
interiores dos lados do triângulo ∆ABC.
(d) Seja, como no item anterior, α o plano determinado pelos pontos não colineares A, B e
C. Se D ∈ α então pelo menos um dos segmentos DA, DB ou DC intercepta o interior
de algum lado de ∆ABC.
(e) Ainda nas condições do item anterior, se um dos segmentos DA, DB ou DC intercepta
o interior de algum lado de ∆ABC então DPα.
(f) Dados um plano α e um ponto pertencente a α, existem, no mı́nimo, duas retas contidas
em α passando por esse ponto.
18 - Dadas duas retas reversas r e s construa um par de planos paralelos α e β tais que r ⊂ α
e s ⊂ β. Mostre que esta é a única solução possı́vel.