Turma:
MA 620 Geometria
Segundo Semestre de 2007
Segunda Prova
Nome:
RA:
Questões Pontos
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
Total
Justifique cuidadosamente todas as suas respostas.
Os axiomas da geometria projetiva plana
Axioma I: Quaisquer duas retas são incidentes com pelo menos um ponto.
Axioma II: Existem quatro pontos, tais que quaisquer três deles são não colineares.
Axioma III: Dois pontos distintos são incidentes com exatamente uma reta.
Axioma IV: Três pontos diagonais de um quadrângulo completo nunca são colineares.
Axioma V: Se uma projetividade deixa invariante cada um de três pontos distintos de
uma reta, então ela deixa invariantes todos os pontos da reta.
Axioma VI: Se dois triângulos são perspectivos por um ponto, então eles são perspectivos por uma reta.
Ou equivalentemente: Sejam ABC e A0 B 0 C 0 dois triângulos em um mesmo plano, tais
que as linhas AA0 , BB 0 e CC 0 são incidentes em um mesmo ponto O. Seja P o ponto
de interseção de BC com B 0 C 0 , Q o ponto de interseção de CA com C 0 A0 , e R o ponto
de interseção de AB com A0 B 0 . Então P , Q e R são colineares.
Questão 1 (1 ponto cada item)
Utilizando os axiomas acima, mostre que
(a) toda reta projetiva é incidente com pelo menos três pontos projetivos distintos;
(b) por todo ponto projetivo passam pelo menos três retas projetivas distintas.
Solução:
(a) Pelo Axioma III, uma reta é definida por dois pontos distintos; tome dois pontos A e
B distintos, definindo uma reta que denotamos por AB. Agora pelo Axioma II, podemos
tomar quatro pontos P , Q, R e S tais que quaisquer três deles são não colineares; estes
pontos definem seis retas distintas: P Q, P R, P S, QR, QS e RS. Temos as seguintes
possibilidades:
• A, B, P , Q, R e S são todos distintos;
• A ou B coincidem com um dos pontos P , Q, R e S;
• A e B coincidem com dois dos pontos P , Q, R e S.
Em todos os casos, a reta AB será distinta de pelo menos uma das seis retas definidas
por P , Q, R e S. O ponto de interseção destas duas retas será o terceiro ponto da reta
AB.
(b) Seja A um ponto, e sejam P , Q, R e S quatro pontos distintos tais que quaisquer
três deles são não colineares. Temos as seguintes possibilidades:
• A coincide com um dos pontos P , Q, R e S;
• A, P , Q, R e S são todos distintos.
Em ambos os casos, podemos definir três retas passando por A. No primeiro caso,
suponha, sem perda de generalidade, que A = P ; temos então três retas AQ, AR e
AS, distintas e incidentes a A. No segundo caso, A pode ser ou não ser colinear a
dois dos pontos P , Q, R e S. Primeiramente, suponha, sem perda de generalidade que
A é colinear a P Q; então P Q, AR e AS seriam três retas distintas e incidentes a A.
Finalmente, suponha que A não pertence a nenhuma das seis retas definidas por P , Q,
R e S; de novo, AQ, AR e AS seriam três retas distintas e incidentes a A.
Questão 2 (2 pontos)
Enuncie e demonstre o dual do Axioma II.
Solução:
O enunciado dual ao Axioma II é o seguinte: Existem quatro retas, tais que quaisquer
três delas não são concorrentes em um mesmo ponto.
Sejam P , Q, R e S quatro pontos distintos tais que quaisquer três deles são não colineares; eles definem seis retas distintas: P Q, P R, P S, QR, QS e RS. Mostraremos que
as retas P R, P Q, RS e QS não são concorrentes em um mesmo ponto.
De fato, tome as retas P R, P Q e RS. Seja D1 o ponto diagonal dado pela interseção
das retas P Q e RS. Se as retas P R, P Q e RS são concorrentes em um mesmo ponto,
então D1 é colinear a P e R, portanto as retas D1 R, P R, RS e D1 S são todas iguais, e
segue que P , R e S são colineares. Mas isto contradiz o fato de P , Q, R e S formarem
um quadrângulo.
Da mesma forma, concluı́mos que as retas P R, P Q e QS, as retas P R, RS e QS, e as
retas P Q, RS e QS não são concorrentes em um mesmo ponto.
Questão 3 (1 ponto cada item)
(a) Os pontos projetivos [2 : 4 : 3], [3 : 6 : 7] e [2 : 4 : 2] são colineares?
(b) Calcule o ponto projetivo dado pela interseção das seguintes retas projetivas:
{1 : 6 : −5} e {1 : −2 : 1} .
Solução:
(a) Basta calcular o determinante da matriz
dos pontos projetivos:

2 3

det 4 6
3 7
cujas colunas são dadas pelas coordenadas

2
4 =0
2
pois a segunda linha é multiplo da primeira. Portanto, os três pontos dados são colineares.
(b) Basta encontrar uma solução do seguinte sistema com duas equações em três incógnitas:
x + 6y − 5z = 0
x − 2y + z = 0
Tomando a primeira equação menos a segunda obtemos 8y − 6z = 0, portanto 4y = 3z
e x = 2y − z = z/2. Fazendo z = 4, obtemos o ponto projetivo [2 : 3 : 4].
Questão 4 (1 ponto cada item)
Verdadeiro ou falso? Justifique a sua resposta.
(a) Sejam A, B e C pontos colineares distintos e D um ponto exterior a reta ABC.
Sejam P , Q, R e S os vértices de um quadrângulo. Existe uma projetividade que
leva ABCD em P QRS, respectivamente.
(b) A projetividade associada à matriz


2 1 −1


A= 0 1 1 
0 0 3
tem três pontos fixos distintos.
Solução:
(a) FALSO. Projetividades preservam colinearidade, portanto a imagem dos pontos A,
B e C deve necessariamente ser três pontos colineares; mas P , Q e R não o são.
(b) VERDADEIRO. É facil de ver que a matriz A possui três autovalores distintos, a
saber 2, 1 e 3. Portanto a matriz A possui três autovetores linearmente independentes,
e cada autovetor dá um ponto fixo distinto da projetividade associada.
Questão 5 (2 pontos)
Qual é a matriz associada à projetividade que leva o quadrângulo de referência
[1 : 0 : 0] , [0 : 1 : 0] , [0 : 0 : 1] , [1 : 1 : 1]
no quadrângulo
[1 : −1 : 2] , [1 : −2 : 1] , [5 : −1 : 2] , [1 : 0 : 1] ,
respectivamente?
Solução:
Primeiramente, vamos calcular que projetividades levam os pontos projetivos [1 : 0 : 0],
[0 : 1 : 0] e [0 : 0 : 1] em [1 : −1 : 2], [1 : −2 : 1] e [5 : −1 : 2], respectivamente. Tais
projetividades serão dadas pelas matrizes A satisfazendo a seguinte equação matricial:

 

1 0 0
u
v
5w
A ·  0 1 0  =  −u −2v −w  .
0 0 1
2u
v
2w
Segue que:


u
v
5w
A =  −u −2v −w  ,
2u
v
2w
para quaisquer u, v e w.
Finalmente, para determinar os valores de u, v e w, resolvemos a equação:

   
u
v
5w
1
1
 −u −2v −w   1  =  0  ,
2u
v
2w
1
1
que é a mesma coisa que o sistema de três equações a três incógnitas:
u + v + 5w = 1
−u − 2v − w = 0
2u + v + 2w = 1
.
A solução é u = 1/2, v = −1/3, w = 1/6. Desta forma, a projetividade desejada é
aquela associada a matriz


1/2 −1/3 5/6
 −1/2 2/3 −1/6  .
1
−1/3 1/3