Turma: MA 620 Geometria Segundo Semestre de 2007 Segunda Prova Nome: RA: Questões Pontos Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Total Justifique cuidadosamente todas as suas respostas. Os axiomas da geometria projetiva plana Axioma I: Quaisquer duas retas são incidentes com pelo menos um ponto. Axioma II: Existem quatro pontos, tais que quaisquer três deles são não colineares. Axioma III: Dois pontos distintos são incidentes com exatamente uma reta. Axioma IV: Três pontos diagonais de um quadrângulo completo nunca são colineares. Axioma V: Se uma projetividade deixa invariante cada um de três pontos distintos de uma reta, então ela deixa invariantes todos os pontos da reta. Axioma VI: Se dois triângulos são perspectivos por um ponto, então eles são perspectivos por uma reta. Ou equivalentemente: Sejam ABC e A0 B 0 C 0 dois triângulos em um mesmo plano, tais que as linhas AA0 , BB 0 e CC 0 são incidentes em um mesmo ponto O. Seja P o ponto de interseção de BC com B 0 C 0 , Q o ponto de interseção de CA com C 0 A0 , e R o ponto de interseção de AB com A0 B 0 . Então P , Q e R são colineares. Questão 1 (1 ponto cada item) Utilizando os axiomas acima, mostre que (a) toda reta projetiva é incidente com pelo menos três pontos projetivos distintos; (b) por todo ponto projetivo passam pelo menos três retas projetivas distintas. Solução: (a) Pelo Axioma III, uma reta é definida por dois pontos distintos; tome dois pontos A e B distintos, definindo uma reta que denotamos por AB. Agora pelo Axioma II, podemos tomar quatro pontos P , Q, R e S tais que quaisquer três deles são não colineares; estes pontos definem seis retas distintas: P Q, P R, P S, QR, QS e RS. Temos as seguintes possibilidades: • A, B, P , Q, R e S são todos distintos; • A ou B coincidem com um dos pontos P , Q, R e S; • A e B coincidem com dois dos pontos P , Q, R e S. Em todos os casos, a reta AB será distinta de pelo menos uma das seis retas definidas por P , Q, R e S. O ponto de interseção destas duas retas será o terceiro ponto da reta AB. (b) Seja A um ponto, e sejam P , Q, R e S quatro pontos distintos tais que quaisquer três deles são não colineares. Temos as seguintes possibilidades: • A coincide com um dos pontos P , Q, R e S; • A, P , Q, R e S são todos distintos. Em ambos os casos, podemos definir três retas passando por A. No primeiro caso, suponha, sem perda de generalidade, que A = P ; temos então três retas AQ, AR e AS, distintas e incidentes a A. No segundo caso, A pode ser ou não ser colinear a dois dos pontos P , Q, R e S. Primeiramente, suponha, sem perda de generalidade que A é colinear a P Q; então P Q, AR e AS seriam três retas distintas e incidentes a A. Finalmente, suponha que A não pertence a nenhuma das seis retas definidas por P , Q, R e S; de novo, AQ, AR e AS seriam três retas distintas e incidentes a A. Questão 2 (2 pontos) Enuncie e demonstre o dual do Axioma II. Solução: O enunciado dual ao Axioma II é o seguinte: Existem quatro retas, tais que quaisquer três delas não são concorrentes em um mesmo ponto. Sejam P , Q, R e S quatro pontos distintos tais que quaisquer três deles são não colineares; eles definem seis retas distintas: P Q, P R, P S, QR, QS e RS. Mostraremos que as retas P R, P Q, RS e QS não são concorrentes em um mesmo ponto. De fato, tome as retas P R, P Q e RS. Seja D1 o ponto diagonal dado pela interseção das retas P Q e RS. Se as retas P R, P Q e RS são concorrentes em um mesmo ponto, então D1 é colinear a P e R, portanto as retas D1 R, P R, RS e D1 S são todas iguais, e segue que P , R e S são colineares. Mas isto contradiz o fato de P , Q, R e S formarem um quadrângulo. Da mesma forma, concluı́mos que as retas P R, P Q e QS, as retas P R, RS e QS, e as retas P Q, RS e QS não são concorrentes em um mesmo ponto. Questão 3 (1 ponto cada item) (a) Os pontos projetivos [2 : 4 : 3], [3 : 6 : 7] e [2 : 4 : 2] são colineares? (b) Calcule o ponto projetivo dado pela interseção das seguintes retas projetivas: {1 : 6 : −5} e {1 : −2 : 1} . Solução: (a) Basta calcular o determinante da matriz dos pontos projetivos: 2 3 det 4 6 3 7 cujas colunas são dadas pelas coordenadas 2 4 =0 2 pois a segunda linha é multiplo da primeira. Portanto, os três pontos dados são colineares. (b) Basta encontrar uma solução do seguinte sistema com duas equações em três incógnitas: x + 6y − 5z = 0 x − 2y + z = 0 Tomando a primeira equação menos a segunda obtemos 8y − 6z = 0, portanto 4y = 3z e x = 2y − z = z/2. Fazendo z = 4, obtemos o ponto projetivo [2 : 3 : 4]. Questão 4 (1 ponto cada item) Verdadeiro ou falso? Justifique a sua resposta. (a) Sejam A, B e C pontos colineares distintos e D um ponto exterior a reta ABC. Sejam P , Q, R e S os vértices de um quadrângulo. Existe uma projetividade que leva ABCD em P QRS, respectivamente. (b) A projetividade associada à matriz 2 1 −1 A= 0 1 1 0 0 3 tem três pontos fixos distintos. Solução: (a) FALSO. Projetividades preservam colinearidade, portanto a imagem dos pontos A, B e C deve necessariamente ser três pontos colineares; mas P , Q e R não o são. (b) VERDADEIRO. É facil de ver que a matriz A possui três autovalores distintos, a saber 2, 1 e 3. Portanto a matriz A possui três autovetores linearmente independentes, e cada autovetor dá um ponto fixo distinto da projetividade associada. Questão 5 (2 pontos) Qual é a matriz associada à projetividade que leva o quadrângulo de referência [1 : 0 : 0] , [0 : 1 : 0] , [0 : 0 : 1] , [1 : 1 : 1] no quadrângulo [1 : −1 : 2] , [1 : −2 : 1] , [5 : −1 : 2] , [1 : 0 : 1] , respectivamente? Solução: Primeiramente, vamos calcular que projetividades levam os pontos projetivos [1 : 0 : 0], [0 : 1 : 0] e [0 : 0 : 1] em [1 : −1 : 2], [1 : −2 : 1] e [5 : −1 : 2], respectivamente. Tais projetividades serão dadas pelas matrizes A satisfazendo a seguinte equação matricial: 1 0 0 u v 5w A · 0 1 0 = −u −2v −w . 0 0 1 2u v 2w Segue que: u v 5w A = −u −2v −w , 2u v 2w para quaisquer u, v e w. Finalmente, para determinar os valores de u, v e w, resolvemos a equação: u v 5w 1 1 −u −2v −w 1 = 0 , 2u v 2w 1 1 que é a mesma coisa que o sistema de três equações a três incógnitas: u + v + 5w = 1 −u − 2v − w = 0 2u + v + 2w = 1 . A solução é u = 1/2, v = −1/3, w = 1/6. Desta forma, a projetividade desejada é aquela associada a matriz 1/2 −1/3 5/6 −1/2 2/3 −1/6 . 1 −1/3 1/3