Lista 5 Cálculo Diferencial e Integral I
Professora: Ivanete Zuchi Siple
1. Nos exercícios de 1 a 32 determine y ′ = f ′ (x), com as simplicações possíveis, sendo y = f (x) a
expressão dada.
( x
)
(1) y = (4x3 − 5x2 + 2x + 1)3
e +1
(15) y = y = ln x
e −1
(2) y = eln x
(16) x ln y − y ln x = 1
(3) y = ln((2 − 3x)5 )
(17) exy − x3 + 3y 2 = 11
3
2
(4) y = ln (5x + 1)
(18) 8x2 + y 2 = 10
3
(5) y = tg(x − 2x)
(19) y = x sin y
(
)4
1
2
( )
(6) y =
+x
1
x2
(20) x = sin
y
4
(7) y = 8
3
5
10
(x − x + 6)
(21) y = 3arcsin(x )
( )
1
1
+ ln
ln x
x
( 2
)3
x − 2x
(9) y =
3 − 4x3
√
x2 − 1
(10) y = ln 3 2
x +1
(23) cos2 (3yx) − ln(xy) = 0
(11) y = ln(ln(sec(2x)))
(25) y = ln(arctan(x2 ))
(12) y = (sin(5x) − cos(5x))5
(26) y 2 = e−3x tg x
(8) y =
(13) y =
(22) (y 2 − 9)4 = (4x2 + 3x − 1)2
(24) y = (1 + arccos(3x))3
(27) y = arctan(3x − 5)
cossec(3x)
x3
+1
√
(14) y = tan(x ) cos(x )
2
√
2
(28) y = arcsin( x)
2. Seja x2 + xy + y 2 = 3 uma curva, se existir determine a(s) equação(s) da(s) reta(s) tangente(s) a
esta curva e que seja(m) paralela(s) a reta(s) r : x + y = 1.
3. Se existir, escreva a equação da reta normal a curva (x2 + 4) y = 4x − x3 e que passe pela origem
do sistema cartesiano.
4. Mostre que as retas tangentes às curvas 4y 3 − x2 y − x + 5y = 0 e x4 − 4y 3 + 5x + y = 0, na origem,
são perpendiculares.
5. A reta x = a intercepta a curva y = x3 + 4x + 3 num ponto P e a curva y = 2x2 + x num
ponto Q. Para que valor(es) de a as retas tangentes a essas curvas são paralelas? Encontre a(s)
equação(ões) da(s) referida(s) reta(s).
3
1
6. Determine a equação da reta normal à curva C : xy 2 +y 3 = 2x − 2y +2 no ponto em que a abscissa
e a ordenada tem o mesmo valor.
7. Seja P o ponto de interseção das curvas C1 : 2x2 + 3y 2 = 5 e C1 : y 2 = x3 . Mostre que as retas
tangentes às curvas C1 e C2 são perpendiculares no ponto P .
1
x
8. Se f (x) = , obtenha uma fórmula para f (n) (x) onde n é um inteiro positivo. Quanto é f (n) (1)?
9. Determine a expressão da derivada n-ésima em cada caso:
(a) f (x) = eax , com a ∈ R∗ .
(b) f (x) = (a + bx)m , com a, b ∈ R∗ e m ∈ N∗
x
x+1
(d) f (x) = ln(2x − 3)
(c) f (x) =
10. Sejam f : R → R uma função diferenciável duas vezes e g : R → R dada por g(x) = f (x +
2 cos(3x)).
(a) Determine g ′′ (x).
(b) Se f ′ (2) = 1 e f ′′ (2) = 8, calcule g ′′ (0).
11. Considere a função g (x) = cos x. [f (x)]2 ,, onde f : R → R é duas vezes diferenciável. Se
f (0) = −1 e f ′ (0) = f ” (0) = 2, determine g ′′ (0) .
12. Determine:
(
(a) f ′ (0) sabendo que f sin x −
√ )
3
2
= f (3x − π) + 3x − π.
(b) a função g sabendo que (f ◦ g)′ (x) = 24x + 34, f (x) = 3x2 − x − 1 e g ′ (x) = 2.
(c) (g ◦ f ◦ h)′ (2) , sabendo que f (0) = 1, h (2) = 0, g ′ (1) = 5 e f ′ (0) = h′ (2) = 2.
13. Determine a constante k para que y(x) = k cotgh(x)sech(x) seja solução da equação diferencial
yy ′ + cotgh(x)cossech2 (x) = 0.
14. Determine o valor das constantes A e B para que a função y = A sin(2x) + B cos(2x) seja solução
da equação diferencial y ′′ + y ′ − 2y = sin(2x).
15. Seja C uma√circunferência com centro na origem e raio igual a 2. Mostre que a tangente a C no
ponto P (1, 3) é ortogonal a reta r que passa pela origem e pelo ponto P.
16. Prove as seguintes fórmulas de derivadas usando regras de derivação já estudadas.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
y = sinh(u)
⇒
y ′ = u′ cosh(u);
y = cosh(u)
⇒
y ′ = u′ sinh(u);
y = tgh(u)
y = cotgh(u)
y = sech(u)
y ′ = u′ sech2 (u);
⇒
y ′ = −u′ cossech2 (u);
⇒
⇒
y = cossech(u)
y ′ = −u′ tgh(u)sech(u);
⇒
y ′ = −u′ cotgh(u)cossech(u);
17. Prove as seguintes fórmulas de derivadas usando derivação implícita.
2
u′
y′ = √
1 − u2
u′
= arccos(u) ⇒ y ′ = − √
1 − u2
′
u
= arctan(u) ⇒ y ′ =
1 + u2
u′
= arccotg(u) ⇒ y ′ = −
1 + u2
u′
= arc sec(u) ⇒ y ′ = √
|u| u2 − 1
u′
= arc cossec(u) ⇒ y ′ = − √
|u| u2 − 1
(a) y = arcsin(u)
(b) y
(c) y
(d) y
(e) y
(f) y
⇒
Respostas:
1. .
(1) y = 6(6x − 5x + 1)(4x − 5x + 2x + 1)
′
2
3
2
2
(2) y ′ = 1
(16) y ′
15
3x − 2
30x ln2 (5x2 + 1)
′
(4) y =
5x2 + 1
(17) y ′
(5) y ′ = (3x2 − 2)sec2 (x3 − 2x)
(19) y ′
(3) y ′ =
(18) y ′
8(x4 − 1)(x4 + 1)3
x9
−40x4 (8x3 − 5)
(7) y ′ = 8
(x − x5 + 6)11
1
1
(8) y ′ = −
−
2
x ln x x
6(x − 2)2 x2 (2x4 − 8x3 + 3x − 3)
(9) y ′ =
(3 − 4x3 )4
4x
(10) y ′ =
4
3(x − 1)
2 tan(2x)
(11) y ′ =
ln(sec(2x))
(20) y ′
(6) y ′ =
3
(21) y
′
(22) y ′
(23) y ′
(24) y ′
(25) y ′
(12) y ′ = 25(sin(5x) − cos(5x))4 (sin(5x) + cos(5x))
(13) y ′ = −
2ex
e2x − 1
y(y − x ln y)
=
x(x − y ln x)
3x2 − yexy
=
6y + xexy
8x
=−
y
sin y
=
1 − x cos y
( )
1
2
= −y sec
y
(15) y ′ = −
3cossec(3x)[cotg(3x)(x3 + 1) + x2 ]
(x3 + 1)2
(14) y ′ = 2x cos(x2 )
(26) y ′
(27) y ′
(28) y ′
2. y = −x − 2 e y = −x + 2
3
3x2 ln(3)3arcsin(x )
√
=
1 − x6
(4x2 + 3x − 1)(8x + 3)
=
4(y 2 − 9)3
y
=−
x
9(1 + arccos(3x))2
√
=−
1 − 9x2
2x
=
arctan(x2 )(1 + x4 )
√
√
√
e−3x [−6 x tan( x) + sec2 ( x)]
√
=
4y x
3
= 2
9x − 30x + 26
1
= √
2 x − x2
3. y = −x
4. m1 =
1
e m2 = −5
5
5. Para a = 1 : y = 5x +
7
e y = 5x − 2; para a = 3 : y = 13x − 5 e y = 13x − 18.
3
6. y = −7x + 8
7. m1 = ±
8. f
(n)
2
3
e m2 = ∓
3
2
(−1)n n!
e f (n) (1) = (−1)n n!
(x) =
n+1
x
9. .
(a) f (n) (x) = an eax
(b) f (n) (x) = m(m − 1)(m − 2) · · · (m − (n − 1))(a + bx)m−n bn , se n ≤ m e f (n) (x) = 0, se n > m
(c) f (n) (x) =
(d) f
(n)
(−1)n+1 n!
(x + 1)n+1
(−1)n−1 2n (n − 1)!
(x) =
(2x − 3)n
10. (a) g ′′ (x) = f ′′ (x + 2 cos(3x))(1 − 6 sin(3x))2 − 18 cos(3x)f ′ (x + 2 cos(3x)) (b) g ′′ (0) = −10
11. g ′′ (0) = 3
12. (a) f ′ (0) = −
6
5
(b) g(x) = 2x + 3 (c) 20
13. k = −1 ou k = 1.
3
1
e B=−
20
20
√
√
3
15. mt = −
e mr = 3.
3
14. A = −
4