Análise Matemática I - Engenharia Topográ…ca - 2009/2010
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26. Diga, justi…cando, se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes a…rmações:
(a) Se g (x) é uma primitiva de f (x), então g 0 (x) = f (x).
(b) Se g1 (x) e g2 (x) são primitivas da mesma função, então g1 (x) = g2 (x) :
(c) Uma função primitivável tem um número in…nito de primitivas.
(d) Uma função contínua num intervalo I é primitivável nesse intervalo.
(e) Duas primitivas de uma mesma função diferem por uma constante.
(f) Se g (x) é uma primitiva de f (x), então, para qualquer k 2 R; kg (x) é uma
primitiva de de kf (x).
(g) Se g1 (x) e g2 (x) são, respectivamente, primitivas de f1 (x) e f2 (x), então
(g1 + g2 ) (x) é primitiva de (f1 + f2 ) (x) :
(h) Se g1 (x) e g2 (x) são, respectivamente, primitivas de f1 (x) e f2 (x), então
(g1 g2 ) (x) é primitiva de (f1 f2 ) (x) :
(i) RSe g1 (x) e g2 (x) são, respectivamente,
primitivas de f1 (x) e f2 (x), então
R
(g1 f2 ) (x) dx = (g1 g2 ) (x)
(f1 g2 ) (x) dx:
Em todos os exercícios que se seguem, as funções consideram-se de…nidas
em intervalos reais nas quais sejam primitiváveis.
27. Para k 2 R:
R
(a) 1dx =
k
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
R
R
R
R
x+k
kx
xdx =
1
x2
2
x2 + k
x2
+k
2
sin xdx =
cos x + k
cos x + k
(sin x)2
2
x2
+k
2
t2 dt =
2t + k
t3 + k
t3
+k
3
3t + k
et dt =
t
e
R 1
dt =
t
1
+k
t2
R
x
et
+k
2
et + k
ln t + k
ln jtj + k
tet
1
+k
t
1
+k
1
dt =
1 + t2
arctan (1 + t)2 + k
1
+k
t+1
ln (1 + t2 ) + k
arctan t + k
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28. Encontre a expressão geral das primitivas de cada uma das seguintes funções:
(a) f (x) = 0
(b) f (x) = 3
(c) f (x) = a (a 2 R)
(d) f (x) = x
(e) f (x) = 9x
(f) f (x) = 9x + 4
(g) f (x) = ax + b (a; b 2 R)
(h) f (x) = x2
(i) f (x) = 7x2
(j) f (x) = ax2 + bx + c (a; b; c 2 R)
13x + 5
13
(k) f (x) = x13
(l) f (x) = x 17
(m) f (x) = 5x8
(n) f (x) = x5 + 2x4 + 3x3 + 4x2 + 5x + 6
1
x7
(o) f (x) =
1
2
3
4
5
+ 4 + 3 + 2 + +6
5
x
x
x
x
x
p
17
(r) f (x) = x13
(p) f (x) =
13
5
(q) f (x) = 7x
p
x3 + x2 + x
x5
2
x
(v) f (x) = 2
x +1
1
x+ p
x
1
(u) f (x) = 2
x +1
(s) f (x) =
(t) f (x) =
(w) f (x) = 3x
(y) f (x) = e
(x) 2 sin x
x
5
3 cos x
(z) f (x) = eax (a 2 R)
29. Em cada alínea, determine a primitiva da função f (x) = 2x:
(a) que para x =
1 toma o valor 4.
(b) cujo grá…co passa pelo ponto de coordenadas (0; 2)
Interprete geometricamente os resultados obtidos.
30. Em cada alínea determine a função f cuja derivada é f 0 e cujo grá…co passa no ponto
Q de…nido pelas suas coordenadas:
(a) f 0 (x) = 2 sin x
3 cos x; Q
3
;p .
4
2
1
; Q (5; 0) :
x
x2
(c) f 0 (x) = 2
; Q (0; 5) :
x +1
(d) f 0 (x) = 2x (x + 1) ; Q (2; 0) :
(b) f 0 (x) =
(e) f 0 (x) =
3 + x2 + x3 ; Q (1; 5) :
31. Determine a função f (x) tal que f 00 (x) = x
e
2x
; f 0 (0) =
1 e f (0) = 0: