Clube da Matemática – 2º teste do 1º período – 12º ano
ESCOLA SECUNDÁRIA DE CAMILO CASTELO BRANCO
2º Teste de Matemática - 12º Ano – DEZEMBRO
GRUPO I
•
•
•
As sete questões deste grupo são de escolha múltipla.
•
Se apresentares mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a
letra transcrita for ilegível.
Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.
Escreve na tua folha de resposta a letra correspondente à alternativa que seleccionares para
cada questão.
1.
Considera as seguintes igualdades:
(I)
ln a + ln b = ln ( a + b )
( III )
a = ln ( a )
ln
( II )
0,5
( IV )
ln a – ln b = ln ( a b
ln ( a
2
– 1
)
) = ln a + ln a
Quanto à sua veracidade, para todo o a > 0 e b > 0:
(A) Só as igualdades (I) , (II) e (IV) são verdadeiras
(C) Só as igualdades (I) e (II) são verdadeiras
2.
(B) São todas verdadeiras
(D) Só as igualdades (II) e (IV) são verdadeiras
Na figura junta está a representação gráfica
de uma função h e de uma recta t, tangente ao
gráfico de h no ponto de abcissa a.
A recta t passa pela origem do referencial e pelo
ponto de coordenadas (6,3).
O valor de h´(a) é:
(A)
3.
1
2
(B)
(C)
a
h
1
3
-
(D)
1
2
Se ln a = 1 + ln b , ( a > 0, b > 0 ), então:
(A) a = 1 + b
4.
2
t
3
(B) a = e + b
(C)
a=eb
(D)
a=b
4
Seja f a função definida em R + por f ( x ) = log 3 (27 • x ).
Indica qual das expressões seguintes também pode definir a função f:
(A) 27 + log 3 (
(C)
4
12 + log 3 x
4
x)
(B)
(D)
27 log 3
4
3 + log 3 x
4
x
6
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5.
Se f for uma função definida por f ( x ) = 4 x – 1 ,
(A) f – 1 ( x ) = 1 – 4 x
(C) f – 1 ( x ) =
6.
f
– 1
( x ) pode ser definida por:
(B) f – 1 ( x ) = ( 4 x – 1 ) – 1
x -1
4
(D) f – 1 ( x ) =
Seja h a função definida em Ρ por
h ( x ) = 2
– 2 x + 2
x +1
4
– 4 .
O Teorema de Bolzano permite-nos afirmar que a equação h ( x ) = 20 tem pelo menos uma solução
no intervalo:
( A )
]–1,0[
( B )
]–2 ,-1[
( C ) ]0,1[
( D ) ]1,2[
7.
Seja f uma função de domínio R. Sabe-se que a primeira e a segunda derivadas de f são
negativas em R.
Em qual das figuras seguintes pode estar representada parte do gráfico da função f?
(A)
(B)
(C)
(D)
y
x
GRUPO II
•
Nas questões deste grupo, apresenta o teu raciocínio de forma clara, indicando todos os
cálculos que tiveres de efectuar e todas as justificações necessárias.
•
Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se
sempre o valor exacto.
1.
x3
Considera a função f ( x ) = - 4 x2–7x+1
3
1.1.
1.2.
Determina a equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 1.
1.3.
Estuda analiticamente, o sentido da a concavidade e determina, se existirem, os
pontos de inflexão do gráfico da função f.
Estuda analiticamente a monotonia da função e determina os extremos relativos,
caso existam.
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2.
Dadas as funções reais de variável real, assim definidas:
f ( x ) = ln ( x
2
+ x + 1 );
h ( x ) = - 4 + 2 • 8
2 x – 1
g ( x ) = - 3 + 2 log
;
i ( x ) = ln ( 2 x )
3
( - 2 x + 6 );
e
j ( x ) = e
3x
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
Determina o domínio e o contradomínio da função f.
2.5.
2.6.
Prova que a função i o j ( x ) é definida pela expressão i o j( x ) = 3 x + ln 2 , em R.
3.1.
Caracteriza a função g
– 1
( x ).
Resolve a inequação g ( x ) ≤ 2.
Determina a abcissa do ponto de intersecção do gráfico de h com a recta de equação
y = 12.
+
Prova que a função j o i ( x ) é definida pela expressão j o i ( x ) = 8 x 3 , em R .
Numa determinada pastelaria a temperatura ambiente é mantida constante por um
aparelho de ar condicionado. Um estudo realizado nesta pastelaria permitiu concluir que a
temperatura do café (em graus centígrados) t minutos após ter sido colocado na chávena é dado
pela expressão:
A ( t ) = 21 + 50 e
– 0,04 t
, com t ≥ 0. ( onde e designa o número de Neper)
3.1.1. Determina a que temperatura o café é colocado na chávena.
3.1.2. Com o decorrer do tempo, a temperatura do café tende a
ambiente. Indica, justificando, qual a temperatura ambiente.
igualar a temperatura
3.1.3. Ao
fim de 5 minutos a que temperatura está o café? (valor aproximado às
centésimas).
3.1.4. Quanto tempo decorre desde que o café é colocado na chávena até que atinja os 50
graus centígrados? Apresenta o resultado em minutos e segundos.
3.1.5. Recorrendo ao Teorema de Bolzano, prova que na primeira hora houve um instante
em que o café esteve a 26 graus centígrados.
3.2.
Considera agora a função f ( x ) = 21 + 50 e
Caracteriza a função inversa de f.
– 0,04 x
, de domínio R.
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COTAÇÕES
Grupo I ......... .................................................................................................................
56
Cada resposta certa ............................................................... 8
Grupo II ..... ..................................................................................................................... 144
1. ...........................................................................................................
1.1.
1.2.
1.3.
...........................................................................................
...........................................................................................
...........................................................................................
37
9
14
14
2. ...........................................................................................................
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
..............................................................................................
...............................................................................................
..............................................................................................
................................................................................................
.............................................................................................
...............................................................................................
64
18 (9+9)
10
8
8
10
10
3. ...............................................................................................................
3.1.1. .............................................................................................
3.1.2. ..............................................................................................
3.1.3. ..............................................................................................
3.1.4. ................................................................................................
3.1.5. ................................................................................................
3.2. ................................................................................................
7
7
5
7
7
10
43