Instituto Politécnico de Leiria
Escola Superior de Tecnologia e Gestão
Apontamentos Teóricos
de
Análise Matemática
Cálculo Integral em IR
Engenharia Eletrotécnica
Ano letivo 2011/2012
Pedro Matos
Alexandra Seco
Luís Cotrim
Departamento de Matemática
Outubro/2005
2
Nota sobre a actual versão
Devido à reestruturação dos cursos aquando da adaptação dos mesmos ao processo de
Bolonha, as Unidades Curriculares (UCs) da área de Matemática sofreram alterações, tendo
surgido novas UCs e consequentemente novos programas.
Com o objectivo de utilizar os apontamentos teóricos existentes na nova Unidade Curricular
de Análise Matemática, os apontamentos teóricos originais sofreram algumas alterações, tendo
sido excluídos dos mesmos os conteúdos programáticos que foram retirados do programa.
Agradece-se aos autores do texto original a cedência do mesmo.
3
Cálculo Integral em R
1
1.1
Primitivas
De…nição 1.1 Seja f : ]a; b[ ! R. Uma função F , de…nida em ]a; b[, diz-se uma primitiva de f se a derivada
de F for igual a f :
F é primitiva de f se e só se F 0 = f:
Z
Z
Escrever-se-á F = P (f ) ou F = f (x) dx, ou ainda F = f .
Nota: O que se primitiva é a função f e não o número real f (x), tal como quando se deriva, deriva-se uma
0
função e não a sua imagem. Mas como escrevemos (x) = 1, com o signi…cado de a derivada da função de…nida
Z
por f (x) = x é a função de…nida por g(x) = 1, escrevemos também 1 dx = x ou P (1) = x, com o signi…cado
de que uma primitiva de função g é uma função f . (abusivamente escrevemos g(x) ou f (x) em vez de g e de f .)
Exemplo 1.1
0
Como (2x + 2) = 2
; tem-se
0
Como (sen x) = cos x ; tem-se
Z
Z
2 dx = 2x + 2:
cos x dx = sen x:
Teorema 1.1 Se uma função f possui uma primitiva F em ]a; b[, então F + c, sendo c uma função constante
arbitrária de…nida em ]a; b[, é uma primitiva de f .
Demonstração:
Se F é uma primitiva de f , então F 0 = f . Mas,
0
(F + c) = F 0 + c0 = F 0 = f
logo F + c é uma primitiva de f .
Nota: Mais uma vez, para simpli…car, se tivermos a função x 7! c em ]a; b[ ; a letra c designará tanto a
constante real como a função constante.
Exemplo 1.2 Tem-se
Z
2
2x dx = x + c;
Z
onde c é uma constante arbitrária.
4
cos x dx = sen x + c;
Será que existem outras funções que são primitivas de f além de F + c?
Por exemplo, além da função de…nida em R por sen x + c; será que existem outras funções G tais que
G0 (x) = cos x ? A resposta é dada pelo teorema seguinte.
Teorema 1.2 Se F é uma primitiva de f em ]a; b[ então o conjunto de todas as primitivas de f é constituído
pelas funções F + c onde c é uma função constante arbitrária de…nida em ]a; b[ :
Exercício 1.1 Recorrendo à de…nição de primitiva, prove que
Z
1.1.1
ex (arctan(sen(3x)) +
3 cos(3x)
= ex arctan(sin(3x)) + c:
1 + sen2 (3x)
Primitivas Imediatas
Que regras poderemos usar para primitivar funções? Em primeiro lugar podemos inverter uma tabela de
derivadas. Por exemplo,
0
0
(cos f ) =
f sin f
Z
logo
( f 0 sin f ) = cos f + c:
As primitivas que aparecem numa tabela obtida a partir de uma tabela de derivadas dizem-se primitivas
imediatas.
Teorema 1.3 Sejam f e g duas funções de…nidas em ]a; b[ com primitivas neste intervalo e
um número real.
Então,
(i) f + g tem uma primitiva em ]a; b[ e
(ii) f tem uma primitiva em ]a; b[ e
R
Z
(f + g) =
( f) =
Z
Z
f+
Z
g + c,
f + c:
Demonstração:
Suponhamos que F =
Z
f e que G =
Z
0
g, ou seja F 0 = f e G0 = g. Como (F + G) = F 0 + G0 vem
Z
(F 0 + G0 ) = F + G + c
5
ou seja
Z
0
(f + g) =
Além disso, com ( F ) = F 0 vem
Z
ou seja,
Z
Z
f+
Z
g + c:
( F 0) = F + c
Z
( f) =
f +c
Exemplo 1.3
Z
1)
x3 + 2x2
=
Z
=
x4
x3
+2
4
3
2)
Z
3
x
3x + 1 dx =
Z
dx + 2
x
1 + x2
3
2
x
3)
3x
1
2
dx =
e
e
3x
dx
x2
+ x + c:
2
Z
2x
1 + x2
dx + c
1
ln 1 + x2 + c
2
=
Z
Z
Z
3 (x) dx + (1) + c
dx =
=
1
3
Z
3x
3e
1 3x 1
e + e
3
3
1
dx +
3
3x
Z
3e
3x
dx + c
+ c:
Exercício 1.2 Calcule as primitivas das seguintes funções:
a)
x2
x2
b) p
4
x3
x2
x3 + 1
e)
arctan(2x)
1 + 4x2
h)
p
3
d) p
4
g)
c) sin x cos3 x
ln3 x
x
f)
x
2
(arcsin x2 )
p
1
x4
i)
1
p
cos2 (3x) 4 tg5 (3x)
1
x ln3 x
6
j)
2
x+1
x2
x3 + 1
m)
p)
k)
5tg x
cos2 x
s) sin(x2 + 1)x
v) p
1
p
x sec x
y) p
cos x
1 + sin x
o) ex x
q)
esin x
sec x
r) 4x
t)
sin(ln x)
x
u) x2 cos x3
cos x
)
4 + sin2 x
")
l)
3
x ln x ln(ln x)
z)
x2
7
n)
w) p
x
2
5
3x
1
p
x cos2 x
2
2
x)
+2x
(x + 1)
sin x
cos2 x
e2x + ex
1 e2x
)
1
1 + 2x2
x
arccos
2
) p
4 x2
x
) 2
cos ln(x2 + 2)
x +2
ln x
x ln2 x + 1
1.1.2
Primitivação por Partes
Sejam f e g de…nidas em ]a; b[ e suponhamos que F é uma primitiva de f . Então tem-se a seguinte regra,
dita de primitivação por partes:
onde c é uma função constante arbitrária.
Z
Z
fg = Fg
F g0 + c
Demonstração:
Sendo F =
Z
f , tem-se F 0 = f . Atendendo a que,
vem
e pelo teorema 1.3, (i);
0
(F g) = F 0 g + F g 0
Z
(F 0 g + F g 0 ) = F g + c
Z
F 0g +
Z
F g0 = F g + c
7
ou seja
Z
ou ainda
Z
Z
F 0g = F g
fg = Fg
Z
F g0 + c
F g0 + c
Esta regra só nos interessa se a primitiva do segundo membro for mais simples que a inicial. Por isso, sempre
que possível, deve começar-se a primitivar pela função que menos se simpli…ca por derivação.
ExemploZ 1.4
x sin x dx
a)
=
cos x:x
Z
=
x cos x +
Z
=
x cos x + sin x + c:
cos x:1 dx + c
cos x dx + c
Note-se que primitivando em primeiro lugar a função quadrática viria
Z
x sin xdx =
x2
sin x
2
Z
x2
cos xdx + c
2
e a segunda primitiva é mais difícil do que a primeira, pelo que este não é o caminho correcto.
b) Por vezes o método de primitivação por partes tem de ser usado mais de uma vez.
Z
x2 sin x dx
=
x2 cos x +
Z
2x cos x dx + c
=
x cos x + 2x sin x
Z
=
x2 cos x + 2x sin x
2 cos x + c
2
2 sin x dx + c
c) Quando se sabe primitivar apenas uma das funções deve começar-se por primitivar essa mesma função e a
outra …ca para derivar.
8
Z
x ln x dx
=
x2
ln x
2
Z
x2 1
: dx + c
2 x
=
x2
ln x
2
Z
x
dx + c
2
x2
ln x
2
=
x2
+ c:
4
d) Por vezes a introdução da função constante igual a 1 permite calcular uma primitiva que não se consegue
calcular de outro modo.
Z
ln x dx
=
Z
=
x ln x
=
1: ln x dx
Z
x ln x
x
1
dx + c
x
x+c
e) A aplicação do método de primitivação por partes várias vezes pode levar a que se obtenha no segundo membro
a primitiva pedida. Deve então proceder-se como no exemplo que se segue
Z
sin (ln x) dx
=
Z
=
x: sin (ln x)
=
x: sin (ln x)
=
passando a parcela
2
Z
Z
1: sin (ln x) dx
x: sin (ln x)
Z
x: cos (ln x) :
Z
x: cos (ln x)
x: cos (ln x)
Z
sin (ln x) dx = x: sin (ln x)
sin (ln x) dx =
x ( sin (ln x))
1
dx + c
x
sin (ln x) dx + c
sin (ln x) dx do segundo para o primeiro membro resulta
x: cos (ln x) + c
ou seja
Z
1
dx + c
x
1
[x: sin (ln x)
2
x: cos (ln x)] + c
9
Exercício 1.3 Calcule as primitivas das seguintes funções
a)
x cos x
(R : x sin x + cos x + c)
b)
sin2 x
R:
c)
arcsin x
R : x arcsin
d)
x ln2 (2x)
R:
1 2 2
x ln (2x)
2
e)
x:4x
R:
x x
4
ln 4
f)
(ln x)
2
1.1.3
1
( cos x: sin x + x) + c
2
R : x ln2 x
x p
+ 4
2
x2 + c
1 2
1
x ln 2x + x2
2
4
1
:4x + c
ln2 4
2x ln x + 2x + c
Primitivas de funções trignométricas
Algumas funções trigonométricas podem ser primitivadas como primitivas imediatas.
Exemplo 1.5 Calcule a primitiva da função cos x sin3 x:
Resolução:
Z
sin4 x
a) cos x sin3 x dx =
+ c:
4
No entanto, existem funções trigonométricas que têm que ser reescritas recorrendo a fórmulas trigonométricas
antes de serem primitivadas como primitivas imediatas. A tabela seguinte apresenta algumas das fórmulas
trigonométricas que podem ser utilizadas.
sin2 x + cos2 x = 1
sin2 x =
1
2
(1
cos(2x))
1 + tg2 x = sec2 x
cos2 x =
1
2
(1 + cos(2x))
1 + cotg2 x = cosec2 x
sin(2x) = 2 sin x cos x
Exemplo 1.6 Primitivar as funções de…nidas por:
a)
sin5 x
b)
sin2 x: cos3 x
c)
cos6 x
d)
sin2 x: cos2 x
e)
tg5 x
f)
cotg4 x
g)
sec6 x
h)
sec3 x
10
Resolução:
a) Quando a função a primitivar é uma potência ímpar da função seno ou da função co-seno (que não é uma
primitiva imediata), destaca-se uma unidade à potência ímpar e o factor resultante passa-se para a co-função
através da fórmula fundamental da trigonometria.
Z
Z
sin5 x dx = sin4 x: sin x dx
=
Z
1
cos2 x
=
Z
1
2 cos2 x + cos4 x sin x dx
=
Z
=
2
sin x dx
Z
sin x dx + 2 cos2 x ( sin x) dx
cos x +
2
cos3 x
3
Z
cos4 x ( sin x) dx
1
cos5 x + c:
5
b)
Z
2
3
Z
sin2 x: cos2 x: cos x dx
=
Z
sin2 x 1
=
Z
sin2 x: cos x dx
=
sin3 x
3
sin x: cos x dx =
sin2 x : cos x dx
Z
sin4 x: cos x dx
sin5 x
+c
5
d) Quando a função a primitivar é formada apenas por potências pares da função seno e/ou da função co-seno
usamos uma das fórmulas trigonométricas seguintes:
sin2 x =
1
2
(1
cos2 x =
cos(2x))
1
2
(1 + cos(2x))
Neste caso, como a função em causa é a função co-seno usa-se a fórmula trignométrica cos2 x =
11
1
2
(1 + cos(2x)) :
Z
cos6 x dx =
=
1
8
Z
=
1
8
Z
=
1
8
3
(1 + cos (2x)) dx
1 + 3 cos (2x) + 3 cos2 (2x) + cos3 (2x) dx
Z
Z
Z
Z
1 + cos (4x)
dx + 3 cos (2x) dx + 3
dx + cos2 (2x) : cos (2x) dx
2
x
3
3
= +
sin (2x) +
8 16
16
=
Z
3
dx +
64
Z
5x
4
3
+
sin (2x) +
sin (4x)
8
16
64
1
4 cos (4x) dx +
8
Z
1
sin2 (2x) cos (2x) dx
1
sin3 (2x) + c:
48
e)
Z
sin2 x: cos2 x dx =
Z
1
(1
2
cos (2x))
1
(1 + cos (2x)) dx
2
=
1
4
Z
1
cos2 (2x) dx
=
1
4
Z
1
1
(1 + cos (4x)) dx
2
=
1
8
Z
dx
=
x
8
1
32
Z
cos (4x) dx
1
sin (4x) + c
32
f ) Para primitivar funções de…nidas por potências da função tangente ou da função co-tangente (que não sejam
primitivas imediatas), destaca-se tg2 x ou cotg 2 x e usa-se uma das seguintes fórmulas trigonométricas:
1 + tg2 x = sec2 x
1 + cotg2 x = cosec2 x
12
Neste caso, é conveniente usar-se a primeira fórmula.
Z
Z
Z
tg5 x dx =
tg2 x: tg3 x dx = tg3 x sec2 x 1 dx
=
Z
=
1 4
tg x
4
Z
=
1 4
tg x
4
Z
=
tg4 x
4
Z
=
tg4 x
4
tg2 x
2
tg3 x: sec2 x dx
Z
tg 3 x dx
tg x: tg2 x dx
tg x sec2 x
1 dx
tg x: sec2 x dx +
Z
tg x dx
ln jcos xj + c
g)
Z
cotg4 x dx =
Z
cotg2 x: cotg2 x dx
=
Z
cotg2 x: cosec2 x
=
Z
cotg2 x: cosec2 x dx
Z
1 dx
Z
cotg2 x dx
=
cotg3 x
3
=
cotg3 x
+ cotg x + x + c:
3
cosec2 x
1 dx
h) Para potências pares da função secante ou da função co-secante (que não sejam primitivas imediatas), destacase sec2 x ou cosec2 x e ao factor resultante aplica-se uma das fórmulas trigonométricas seguintes
1 + tg2 x = sec2 x
1 + cotg2 x = cosec2 x
13
Z
sec6 x dx =
Z
=
Z
1 + tg2 x
=
Z
1 + 2 tg2 x + tg4 x : sec2 x dx
=
Z
sec4 x: sec2 x dx
: sec2 x dx
Z
Z
2
2
sec x dx + 2 tg x sec x dx + tg4 x: sec2 x dx
2
= tg x + 2
1.1.4
2
tg3 x tg5 x
+
+ c:
3
5
Primitivas de funções representadas por fracções racionais
Como é sabido designa-se por fracção racional toda a fracção cujo numerador e denominador são constituídos
por polinómios. Uma fracção diz-se própria quando o grau do numerador é menor ou igual que o grau do
denominador.
Para primitivar uma função dada por uma fracção racional
A(x)
B(x)
onde A(x) e B(x) são polinómios em x, começa-se por efectuar a divisão caso a fracção não seja própria. Assim
A(x)
R(x)
= Q(x) +
B(x)
B(x)
e, que Q(x) é o quociente e R(x) é o resto da divisão, portanto com grau inferior ao de B(x). A fracção
R(x)
B(x)
é assim própria.
Exemplo 1.7 Decompor a fracção
x3 1
na soma de um polinómio com uma fracção própria.
x2 + 1
Resolução:
x3
x3
1
x
x
x2 + 1
x
1
x3 1
x 1
=x+ 2
2
x +1
x +1
14
P (x)
. Vamos decompor Q(x) em factores e em
Q(x)
Suponhamos agora que temos uma fracção racional própria
P (x)
numa soma de fracções mais simples, tendo em conta que:
Q(x)
(i) Se Q(x) possui uma raiz real simples , isto é, na sua decomposição aparece o factor (x
), então na
A
decomposição da fracção aparece a parcela
com A uma constante real.
x
(ii) Se Q(x) possui uma raiz real
com multiplicidade n, isto é, na sua decomposição aparece o factor
seguida
n
(x
) , então na decomposição da fracção aparece a soma
A1
n
(x
)
+
A2
+ ::: +
n 1
(x
)
An
(x
)
onde A1; A2 ; :::; An são constantes reais.
(iii) Se Q(x) possui as raizes complexas simples
da forma ax2 + bx + c com b2
i; isto é, na sua decomposição aparece um polinómio
4ac < 0, então na sua decomposição da fracção aparece a parcela
Ax + B
:
ax2 + bx + c
(iv) Se Q(x) possui as raizes complexas
um factor ax2 + bx + c
n
com b2
i com multiplicidade n, isto é, na sua decomposição aparece
4ac < 0, então na decomposição da fracção aparece a soma
A1 x + B1
A2 x + B2
n +
n
(ax2 + bx + c)
(ax2 + bx + c)
1
+ ::: +
An x + Bn
(ax2 + bx + c)
Exemplo 1.8 Decompor na soma de elementos simples as fracções
2x 1
x+3
a) 2
b) 2
x
3x + 2
(x
1) (x + 1)
d)
2x + 1
(x
2
e)
2
1) (x + 1)
c)
x+1
1) (x2 + 1)
(x
f)
x2 + 1
(x
x+1
(x
Resolução:
a)
x2
2x
x2
3x + 1
=
1
3x + 2
=
(x
1) (x
A
x
1
2)
B
+
x
2
b)
x2
1 (x + 1)
(x2
x+3
1) (x + 1)
2
= (x
=
1) (x + 1)
A
x
1
+
B
2
(x + 1)
+
C
(x + 1)
c)
x2 + 1
(x
3
1)
=
A
(x
3
1)
+
15
B
(x
2
1)
+
C
x
1
3
1)
2
1) (x2 + 1)
d)
2x + 1
(x
2
2
1) (x + 1)
A
=
2
(x
1)
+
B
x
1
+
C
2
(x + 1)
D
x+1
+
e)
x+1
A
Bx + C
=
+ 2
1) (x2 + 1)
x 1
x +1
(x
f)
x+1
(x
1) (x2
=
2
+ 1)
A
x
1
+
Bx + C
(x2
2
+ 1)
+
Dx + E
x2 + 1
Para calcular as constantes que …guram nos numeradores pode usar-se o método dos coe…cientes indeterminados ou a regra do ”tapa”. (ver exemplo).
Exemplo 1.9 Calcular as constantes que …guram nos numeradores das fracções do exemplo anterior.
a)
Método dos coe…cientes indeterminados
2x
1 = A(x
, 2x
2) + B(x
1 = (A + B)x
)
8
<
1) ,
2A
B)
A+B =2
:
2A
B=
,
1
8
< A= 1
,
: B=3
Regra do ”tapa”
A=
b)
A=
"
2x 1
x 2
x+3
2
(x + 1)
=
1
1
=
1 ;
B=
x=1
#
=
4
4
=1
;
x=1
B=
2x 1
x 2
x+3
x 1
=
=
x= 1
então
2
x + 3 = (x + 1)
(x
1) + C (x + 1) (x
16
3
1
=3
x=2
1)
2
2
=
1
ou seja
x/ + 3
=
x2 + x/ + 2 + Cx2
, 3
=
(1 + C) x2 + (2
C,
C) ,
8
< 1+C =0
,
,C=
: 2 C=3
c)
A=
x2 + 1
1
1
=2
x=1
então
x2 + 1
2
= 2 + B (x
1) + C (x
1)
Cx2 + (B
2C) x + 2
B+C
donde
x2 + 1
=
8
>
>
>
<
)
>
>
>
:
,
d)
A=
então
2x + 1
"
2x + 1
2
(x + 1)
#
x=1
3
=
4
;
C=1
B
2C = 0
2 B+C =1
8
< C=1
: B=2
C=
=
3
2
(x + 1) + B (x
4
1) (x + 1)
=
3
2
(x + 1) + B (x
4
1) (x + 1)
2
2
8
>
>
<
,
"
2x + 1
(x
2
1)
#
=
x= 1
1
(x
4
1) + +D (x + 1) (x
1
(x
4
1) + +D (x + 1) (x
2
1)
2
1)
B+D =0
>
>
: 3 +B 1 D =0
4
4
8
1
>
>
< B= 4
>
>
: D= 1
4
,
e)
A=
x+1
x2 + 1
17
=1
x=1
1
4
2
2
então
x+1
x2 + 1 + Bx2
=
8
<
)
:
,
f)
A=
"
C
B+1=0
B+C =1
8
< B= 1
: C=0
x+1
2
(x2
Bx + Cx
+ 1)
#
=
x=1
1
2
então
x+1
=
=
1 4
x + 2x2 + 1 + Bx2
2
1
1 4
x + x2 + + Bx2
2
2
Bx + Cx
)
,
8
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
:
C + (Dx + E) x3 + x
Bx + Cx
C + Dx4 + Dx2
Dx3
x2
Dx + Ex3 + Ex
1
+D =0
2
D+E =0
1+B+D
B+C
E=0
D+E =1
8
>
>
D=
>
>
>
>
>
>
>
>
< E=
1
2
1
2 :
>
>
>
B= 1
>
>
>
>
>
>
>
: C=0
Finalmente, determina-se as primitivas de cada função representada pelas fracções simples.
Exemplo 1.10 Determine as primitivas das fracções de…nidas no exemplo 1.9.
a)
Z
2x
x2
1
dx
3x + 2
=
Z
=
ln jx
=
ln jx
1
3
+
x+1 x 2
1j + 3 ln jx
1j
dx
2j + c
1
ln x2 + 1 + c:
2
18
1
Ex2
E
b)
Z
(x2
x+3
dx
1) (x + 1)
Z
=
x
1
ln jx
c)
Z
x2 + 1
(x
dx
3
1)
=
Z
d)
2x + 1
(x
2
2
1) (x + 1)
2
1)
(x
Z
Z
dx
(x
x+1
dx
1) (x2 + 1)
=
f)
Z
x+1
1) (x2
(x
2
+ 1)
dx
1
ln jx
1)
1
2
1j
Z
1j
1
ln jx
2
=
dx
1=4
2 + x+1
(x + 1)
1=4
!
dx
1
1
+ ln jx + 1j + c
4 (x + 1) 4
1j
dx
2x
dx
x2 + 1
1
ln x2 + 1 + c:
2
Z
1
ln jx
2
dx
1j + c
x
x2 + 1
1)
1j
1
1
ln jx
4
1
(x
x
!
1=4
(x 1)
2
(x
1
+ ln jx
=
=
+
3=4
ln jx
=
2
!
ln jx + 1j + c:
1
1)
3
4 (x 1)
Z
=
x
(x
x
1)
=
e)
1
2
2
1)
2
+
3
(x
1
x+1
2
(x
1j +
1
=
Z
1
1
1
2
0
B
@
Z
1
2
(x
x
1)
(x2
2
x x +1
1j +
2
1
2 (x2 + 1)
2
+ 1)
dx
1
4
Z
1
1
1
x+
2
2C
A dx
x2 + 1
2x
dx
x2 + 1
1
ln x2 + 1
4
1
2
Z
1
arctg x + c
2
Exercício 1.4 Primitivar as funções de…nidas por
x
1
1
a)
R : ln jx 2j + ln j2x + 1j + c
2x2 3x 2
2
5
b)
1
x2 (x2
c)
x+2
x2 (x2 1)
d)
R:
1)
1
(x
2
1)
(x2
+ 4)
1
ln jx
2
1j
1
1
ln jx + 1j + + c
2
x
R:
3
5 (x + 1)
1
ln jx
25
R:
2
x
5
1
+ +
+ arctg x + c
3
2
3x
x 2 (x + 1) 2
19
1j +
1
ln x2 + 4
50
1
dx
x2 + 1
7
x
arctg + c
25
2
1.1.5
Primitivas por substituição de variável
Suponhamos que se pretende calcular
invertível. Então
Z
f (x) dx = F (x) e que se faz a mudança de variável x = g(t) com g
F [g(t)] =
Z
f (g(t)):g 0 (t) dt + c
Existe uma tabela que nos indica qual a substituição que devemos usar.
Exemplo 1.11 Primitivar a função de…nida por f (x) =
e3x
:
+1
e2x
Resolução:
Efectuando a substituição ex = t, isto é, x = ln t vem
dx
1
= :
dt
t
Assim
Z
e3x
dx =
2x
e +1
Z
t3
1
dt
+1
t
Z
t2
dt
=
t2 + 1
Z
1
dt
=
1
t2 + 1
Z
Z
1
=
1dt
dt
t2 + 1
= t
t2
arctg t + c
…nalmente, como t = ex resulta que
Z
e3x
dx = ex
e2x + 1
arctg ex + c:
Exercício 1.5 Determine as primitivas das funções de…nidas por
a)
ex + e2x
2ex 1
b)
1 x
p
x 4 x2
R:
1 x 3
e + ln (2ex
2
4
R:
p
1
2+ 4
ln
2
x
1) + c:
x2
!
x
arcsin + c:
2
20
1.2
1.2.1
Integral de…nido
De…nição
Para calcular a área da …gura, podemos ir inscrevendo rectângulos de largura cada vez menor. Claro que a
soma das áreas dos rectângulos nunca se ajusta completamente à …gura por mais rectângulos que se considerem.
3
3
2 .5
2 .5
2
2
1 .5
1 .5
1
1
0 .5
0 .5
0
0 .5
1
1 .5
x
2
2 .5
0
3
0 .5
1
1 .5
x
2
2 .5
3
De…nição 1.2 Uma partição de um intervalo [a; b] é qualquer subdivisão de [a; b] num número arbitrário de
subintervalos por meio dos pontos x0 ; x1 ; x2 ; :::; xn
1 ; xn
tais que
a = x0 < x1 < x2 < ::: < xn
1
< xn = b
Chamamos amplitude da partição à maior das amplitudes dos subintervalos obtidos, isto é, a
max
0 k n 1
a
x1
(xk+1
xk )
...x
xn-1
b
De…nição 1.3 Seja f uma função limitada no intervalo [a; b] e seja p uma partição de [a; b] : Uma soma de
Riemann de f em relação a p é qualquer expressão da forma
n
X1
f (yk ) (xk+1
k=0
onde yk 2 [xk ; xk+1 ] :
21
xk )
f(yk)
xk-1 yk xk+1
Caso f seja não negativa, f (yk ) (xk+1
x
xk ) é a área do rectângulo de altura f (yk ) e base (xk+1
xk ).
De…nição 1.4 A função f diz-se integrável em [a; b] se as somas de Riemann de f tiverem um limite I quando
a amplitude da partição tender para zero:
I=
n
X1
lim
max(xk+1 xk )!0
f (yk ) (xk+1
xk )
k=0
para todos os yk possíveis. I chama-se integral de…nido ou integral de Riemann de f em [a; b] e representa-se
por
I=
Z
b
f (x) dx
a
designando-se f por função integranda e [a; b] por intervalo de integração.
Exemplo 1.12
a) suponhamos que f :
[a; b] !
x
Mostre que
Z
R
7! M
(constante)
b
f (x) dx = M (b
a) :
a
b) Consideremos a função de Dirichlet de…nida por
8
< 1 se x é racional
f (x) =
:
: 0 se x é irracional
Determinar
Z
4
f (x) dx:
0
Resolução:
22
a) Qualquer que seja a partição considerada, as somas de Riemann são
n
X1
f (yk ) (xk+1
xk )
n
X1
=
k=0
M (xk+1
k=0
n
X1
M
=
xk )
(xk+1
xk )
k=0
=
M [(x1
x0 ) + (x2
=
M (xn
x0 )
=
M (b
x1 ) + ::: + (xn
xn
1 )]
a) :
Portanto todas as somas de Riemann têm o mesmo valor e o integral de…nido existe e é igual a M (b
a) : Em
particular
(i) Se f for a função identicamente nula (M = 0)
Z b
f (x) dx = 0
a
(ii) Se M > 0, o integral representa a área de um rectângulo de altura M e base (b
a).
b) Consideremos uma partição do intervalo [0; 4] por meio dos pontos
0 = x0 ; x1 ; x2 ; :::; xn
1 ; xn
=4
Para esta partição vamos determinar duas somas de Riemann particulares. Considerando yk 2 Q, f (yk ) = 1
pelo que obtemos a soma de Riemann
Sr =
n
X1
1: (xk+1
xk ) = xn
x0 = 4:
k=0
Considerando yk 2
= Q, (em qualquer intervalo de números reais há sempre pelo menos um irracional), f (yk ) = 0
pelo que obtemos a soma de Riemann
Si =
n
X1
0: (xk+1
xk ) = 0:
k=0
É evidente que as somas de Riemann para a função f não têm limite quando a amplitude da partição tende para
zero, pelo que não existe integral de…nido para f em [0; 4].
No exemplo anterior, vimos que havia funções limitadas que não eram integráveis em [a; b]. Quando é que
temos a garantia que uma função é integrável?
Teorema 1.4 Seja f uma função contínua no intervalo [a; b]. Então existe e é único o número real
Z b
I=
f (x) dx:
a
23
Note-se que não se exige que f seja limitada pois se f é contínua num intervalo fechado, é limitada nesse
intervalo.
Corolário 1.1 Seja f uma função contínua e positiva em [a; b]. A área da …gura limitada pelo grá…co da função
f , pelas rectas verticais x = a e x = b e pelo eixo dos xx é igual a
A=
Z
b
f (x) dx:
a
Propriedades do integral
Propriedade 1:
O integral depende da função integranda e do intervalo de integração, mas não tem nada a haver com a
variável de integração, isto é,
Z
b
f (x) dx =
a
Z
b
f (t) dt
a
Propriedade 2:
Sejam f integrável em [a; b] e c 2 ]a; b[. Então f é integrável em [a; c] e [c; b] e tem-se
Z b
Z c
Z b
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx:
a
a
c
Propriedade 3: (Aditividade)
Sejam f e g duas funções integráveis em [a; b]. Então f + g é integrável em [a; b] e tem-se
Z b
Z b
Z b
[f (x) + g(x)] dx =
f (x) dx +
g(x) dx:
a
a
a
Propriedade 4: (Homogeneidade)
Seja f integrável em [a; b]. Seja k uma constante real. Então kf é integrável em [a; b] e tem-se
Z b
Z b
[kf (x)] dx = k f (x) dx
a
a
24
Propriedade 5:
Seja f uma função integrável em [a; b] tal que f
Então
Z
0, isto é,
8x 2 [a; b] ; f (x)
0
b
f (x) dx
0:
a
Demonstração:
Basta observar que as somas de Riemann são positivas ou nulas, pelo que o limite também o será.
Propriedade 6:
Sejam f e g duas funções integráveis em [a; b] tais que f
g, isto é,
8x 2 [a; b] ; f (x)
Então
Z
Z
b
f (x) dx
a
g(x)
b
g(x) dx:
a
Demonstração:
Consideremos a função h de…nida por h(x) = g(x)
f (x):
Pelas propriedades 3 e 4, h é integrável em [a; b]. Por outro lado,
8x 2 [a; b] ; h(x)
Resulta então da propriedade 5 que
Z
0:
b
h(x) dx
0:
a
Mas pelas propriedades 3 e 4 tem-se
Z b
h(x) dx
=
a
Z
b
[g(x)
f (x)] dx
a
=
Z
b
a
25
g(x) dx
Z
a
b
f (x) dx
donde
Z
Z
b
g(x) dx
a
ou seja
Z
f (x) dx
0
a
Z
b
g(x) dx
a
1.2.2
b
b
f (x) dx
a
O teorema Fundamental do Cálculo Integral
Teorema 1.5 Seja f uma função contínua em [a; b]. Então
(i) a função de…nida por
Z
a
x
f (t) dt é uma primitiva de f para todo o x 2 [a; b], ou seja
Z
0
x
f (t) dt
= f (x):
a
(ii) se F é uma primitiva qualquer de f então
Z
b
f (x) dx = F (b)
F (a).
a
Notas:
b
1) É costume usar-se a notação [F (x)]a para F (b)
F (a):
A segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo Integral pode escrever-se como
Z
b
a
2) Na expressão
Z
b
f (x) dx = [F (x)]a :
x
f (t) dt as letras x e t têm papéis diferentes. Temos uma função de x que será a mesma
a
se substituirmos t por outra letra qualquer (u; v; :::). Diz-se que t é uma variável muda pois ela acaba por não
aparecer na realidade.
Exemplo 1.13 Calcule os seguintes integrais:
a)
Z
3
2x
dx
2+1
x
2
b)
Z
1
xex dx
0
c)
Z
1
26
p
2
1 x
p
dx
x 4 x2
Resolução:
a)
Z
3
2x
dx
2+1
x
2
ln x2 + 1
=
=
ln 10
10
ln
5
ln 2
=
=
3
2
ln 5
b)
Z
1
xex dx
=
0
Z
1
[ex x]0
1
ex 1 dx
(por partes)
0
1
=
e
[ex ]0
=
e
(e
=
1
1)
c)
Z
1
p
2
1 x
p
x 4 x2
Efectua-se a substituição x = 2 sin t: Então
dx
= 2 cos t
dt
se x =
p
, dx = 2 cos t dt
2 então t =
se x = 1 então t =
logo,
27
6
4
Z
1
p
2
1 x
p
x 4 x2
Z
=
Z
=
Z
=
Z
=
1
2
=
4
1 2 sin t
p
2 cos t dt
2 sin t 4 4 sin2 t
4
(1 2 sin t) (2 cos t)
dt
(2 sin t) (2 cos t)
4
1
4
1
dt
2 sin t
6
6
6
6
Z
2 sin t
dt
2 sin t
Z
4
dt
6
4
cosec t dt
[t] 4
6
6
=
1
[ln jcosec t
2
cotg tj] 4
=
1
2
1
=
p
1
2 1
p
ln
2 2
3
2
ln p
2
4
6
ln 2
+
4
p
6
3
4
+
6
6
Exemplo 1.14 Seja f uma função contínua em [a; b] e [ a; b]. Se f é par (ou seja f ( x) = f (x) para todo
o x) mostre que
Z
b
f (x) dx =
a
Z
b
f (x) dx:
a
Resolução:
Considere-se o integral
Z
b
f (x) dx e faça-se a substituição x =
t: Então
a
dx
=
dt
1 , dx =
dt
e além disso
portanto
Z
se x =
a então t = a
se x =
b então t = b
b
f (x) dx =
a
Z
b
f ( t)
a
dt =
Z
a
28
b
f ( t) dt
mas sendo f par, f ( t) = f (t) e consequentemente
Z b
Z b
f ( t) dt =
f (x) dx =
Z
f (t) dt
a
a
a
b
Exercício 1.6 (Exame de recurso 94/95)
Indique, justi…cando, se o seguinte cálculo está correcto:
Z 4
1
1
3 dx =
x
3
3)
0 (x
1.2.3
4
=
1
=
3
1
0
4
3
Integral de…nido de funções (limitadas) descontínuas
Na de…nição de integral de…nido, exigimos apenas que a função fosse limitada. Ora o Teorema Fundamental
do Cálculo Integral permite apenas calcular integrais de funções contínuas. E se a função for limitada mas
descontínua em [a; b]?
Teorema 1.6 Seja f uma função limitada com um número real …nito de descontinuidades em [a; b]. Se as
descontinuidades forem todas da 1a espécie (existem e são …nitos os limites laterais), então existe e é único o
número real
Z
I=
b
f (x) dx:
a
f(c)
y=f(x)
lim f(x)
x →c −
0
c
a
b
f tem uma descontinuidade de 1a espécie em c 2 [a; b].
Seja
g(x) =
8
>
< f (x)
se a
x<c
>
: lim f (x) se x = c
x!c
então g é contínua em [a; b] e tem-se
Z
a
b
f (x) dx =
Z
c
g(x) dx +
a
Z
c
29
b
g(x) dx
Exemplo 1.15 Considere-se a função rectângulo
8
>
< 1 se jxj < 1
2 :
(x) =
1
>
: 0 se jxj >
2
Z 7
Calcule
(x) dx:
5
Resolução:
y
1
-1/2
Z
7
(x) dx
=
5
Z
1
2
0 dx +
5
Z
1
2
1 dx +
1
2
1/2
Z
x
7
0 dx
1
2
1
=
0 + [x] 2 1 + 0
2
1
2
=
=
1.2.4
1
2
1
Aplicação do cálculo integral
Cálculo da área de …guras planas
Vimos no Corolário do Teorema 1.4 que o integral permite determinar a área da …gura delimitada por uma
função contínua e positiva, pelo eixo dos xx e por duas rectas verticais. Mas tudo isso pode ser generalizado
tanto para funções contínuas de sinal qualquer como para funções com um número …nito de descontinuidades.
30
(i)
a
B
d
b
A
Temos B =
Z
b
f (x) dx pois no intervalo [d; b] a função é contínua e positiva.
d
Imaginemos que a região A é re‡ectida em relação ao eixo dos xx. Obtemos um grá…co relativo à função
Z d
( f ). É então claro que A =
[ f (x)] dx e portanto
a
Z
A+B =
d
f (x) dx +
a
Z
b
f (x) dx:
d
(ii) Se a função f for descontínua vale uma interpretação semelhante.
Por exemplo
C
a
A
e
d
b
B
Tem-se
A+B+C =
Z
Z
d
f (x) dx
a
e
f (x) dx +
d
e
(iii) Podemos ainda determinar áreas de …guras de outros tipos.
Por exemplo, sendo f e g funções contínuas, de sinal qualquer.
f
A
g
a
b
31
Z
b
f (x) dx
A área da …gura é igual a
Z
Z
b
f (x) dx
a
b
g(x) dx =
a
Z
b
[f (x)
g(x)] dx:
a
Exemplo 1.16 Determine a área da …gura
y
g
f
C
A
D
B
x
Resolução:
Sejam x = a e x = b as rectas verticais que limitam a região e d a abcissa do ponto de intersecção entre os
grá…cos de f e de g. Então
A+B+C +D =
Z
d
[f (x)
g(x)] dx +
a
Z
b
[g(x)
d
Exemplo 1.17 Calcule a área plana limitada pelas curvas y = x e y =
x2
:
2
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Resolução: Intersecção dos dois grá…cos:
Tem-se
8
>
< y=x
x2
>
: y=
2
,
8
8
< x=0
< x=2
_
:
: y=0
: y=2
32
x
1.5
2
2.5
f (x)] dx
Então
A
=
Z
2
x2
2
x
0
=
=
x2
2
x3
3
dx
2
0
2
:
3
Exercício 1.7 a)
y
8
6
4
2
-1
-2
1
2
3
4
5
x
-4
-6
-8
Na …gura temos uma parábola de vértice (2; 4), de eixo paralelo ao eixo dos yy e que passa pela origem do
3
referencial, e uma recta que intersecta o eixo dos xx em x = e o eixo dos yy em y = 3.
2
Determine a área compreedida entre as duas funções.
b) Calcule a área da …gura compreedida entre as curvas
y=4
x2 e y = jx
2j :
c) Calcule a área sombreada.
4
3
2
1
0
0.5
1
1.5
-1
33
2
2.5
Exercício 1.8 Calcule a área limitada pelas curvas
x + 3 e y2 = x
R:
32
3
a)
2y =
b)
y=x
c)
y=
d)
y = ax e x2 = ay
R:
e)
xy = a2 ; y = 0; x = a e x = 2a
R : a2 ln 2
1; y = 0 e x = 3
(R : 2)
1
x + 1; y = x + 1 e y = 2 (2
2
f ) y = x3
x)
R=
3x e y = x
3
2
a2
3
(R : 4)
Exercício 1.9 Calcule a área plana de…nida por
21
2
a)
(1
x
4) ^ (0
y
x + 1)
R:
b)
(0
x
) ^ (0
y
sin x)
(R : 2)
c)
(x + 1
d)
x
0 ^ x2
(x
2
e)
y
1) + y 2
2x) ^ (x + 1
y
y
6
x)
2x
1^x
y
1
0^x
1
2
R:
3
4
R:
4
3
p
p !
5 11
2 3+ 2
R: +
+
8
24
8
Volume de sólidos de revolução
Se …zermos rodar uma região do plano em torno de uma recta desse mesmo plano, obtemos um sólido de revolução.
A recta em torno da qual se efectua a revolução é chamada recta de revolução.
Consideremos a região limitada pelo grá…co de uma função contínua e positiva f , pelo eixo dos xx e pelas
rectas x = a e x = b. Façamos rodar essa …gura em torno do eixo dos xx. Obtemos um sólido de revolução.
34
Não há um modo simples de determinar o volume deste sólido de revolução, a não ser em casos particulares.
Por exemplo, se f for uma função constante, o sólido obtido é um cilindro e o seu volume será dado por
2
[f (a)] (b
a) (área da base
altura)
No caso geral, vamos dividir [a; b] em subintervalos e em cada subintervalo aproximamos o sólido obtido por
meio de cilindros. Façamos então aumentar o número de subintervalos sem cessar até a sua amplitude tender
para zero. Vamos obter uma soma de Riemann para uma certa função.
Teorema 1.7 Seja f contínua no intervalo [a; b] : O volume V do sólido de revolução gerado pela rotação em
torno do eixo dos xx e pelas rectas x = a e x = b é dado por
Z b
2
V =
[f (x)] dx:
a
Nota: Não é preciso supôr f positiva pois se f for nula em algum intervalo o valor resultante é nulo e se f
for negativa o valor obtido é o mesmo que o respeitante à função
f:
Na demonstração do teorema 1.7, vamos supôr f positiva.
Demonstração:
Consideremos uma partição do intervalo [a; b] em n subintervalos [xk ; xk+1 ] tais que
a = x0 < x1 < ::: < xn
1
< xn = b:
Em cada intervalo [xk ; xk+1 ] tome-se um valor yk e calcule-se o volume do cilindro de base igual ao círculo
de raio f (yk ) e altura igual à amplitude de [xk ; xk+1 ] : O volume deste cilindro é igual a
2
[f (yk )] (xk+1
xk )
e somando estes volumes para cada um dos subintervalos obtivemos a soma de Riemann
n
X1
2
[f (yk )] (xk+1
xk )
k=0
para a função
2
[f (yk )] :
Fazendo tender para zero a amplitude da partição obtem-se o resultado.
35
Mais geralmente, podemos calcular o volume do sólido de revolução obtido ao rodar uma …gura limitada
pelas rectas x = a e x = b e por duas funções contínuas não negativas f e g de…nidas em [a; b] e tais que
f (x)
g(x)
0 para todo o x 2 [a; b] :
Obviamente o volume pretendido será a diferença entre o volume do sólido de revolução gerado pela rotação
em torno do eixo dos xx da …gura limitada pelo grá…co de f e pelas rectas x = a e x = b e o volume do sólido de
revolução gerado pela rotação em torno do eixo dos xx da …gura limitada pelo grá…co de g e pelas rectas x = a
ex=b
V
=
=
Z
b
Zab
a
Z b
2
2
[g(x)] dx
[f (x)] dx
a
h
i
2
2
(f (x))
(g(x)) dx
Exemplo 1.18 a) Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo dos xx da
…gura limitada pelo grá…co de f (x) = x, pelo eixo dos xx e pelas rectas x = 0 e x = 3:
y
3
0
3
b) Encontre o volume do sólido gerado pela região limitada por
y = x3 ; y = 1 e x = 0
quando roda em torno da recta y = 1:
Resolução:
a)
V
=
Z
3
x2 dx
x3
3
=
0
=
27
3
0
=
3
0
9
36
x
b)
y=y’2
y=x3
1.5
y=1
0’
1
x’
0.5
-0.4
0
-0.2
0.2
0.4
0.6
x
0.8
1
1.2
x
-0.5
Em vez do sistemas de eixos xOy, considere-se o sistema x0 Oy 0 onde 00 = (0; 1) :Então
8
< x = x0
:
: y = y0 + 1
A equação da curva y = x3 nas coordenadas (x0 ; y 0 ) é:
y 0 + 1 = x03
ou seja
y 0 = x03
então
V =
Z
1
x03
1
1
2
dx =
0
9
14
Exercício 1.10 Calcule o volume gerado pela rotação de D em torno da recta y = 0, sendo
D = (x; y) 2 R2 : 0
x
2; x2
y
4 :
Obviamente podem estabelecer-se fórmulas semelhantes para determinar o volume do sólido de revolução
obtido ao rodar uma …gura em torno do eixo dos yy. Para isso basta considerar que a função aparece sob a
forma x = g(y):
Seja x = g(y) contínua em [c; d] tal que g(y)
0 8y 2 [c; d]. O volume V do sólido gerado pela rotação em
torno do eixo dos yy da região limitada pelo grá…co de g, pelo eixo dos yy e pelas rectas y = c e y = d é dado
por
V =
Z
d
2
[g(y)] dy:
c
Exercício 1.11 Achar o volume gerado pelo triângulo de vértices (1; 1) ; (2; 0) ; (3; 2) quando roda em torno do
eixo dos yy. (R : 6 ) :
37