MATEMÁTICA
MÓDULO I - Apresentação
Caro aluno:
Sua visitação por conteúdos matemáticos já estudados no ensino fundamental
e médio contemplará o objetivo geral da disciplina “MATEMÁTICA” que, por
sua vez, deseja capacitá-lo na operação com formulações e modelos
matemáticos, no desenvolvimento do raciocínio lógico, espírito de investigação
e habilidade em solucionar problemas, além de fazê-lo familiarizar-se com
símbolos, métodos e técnicas matemáticas que ajudem a estimular, organizar o
pensamento e, portanto, fornecer-lhe “ferramentas” necessárias para futuras
aplicações da Matemática na área de Administração.
O material apresentado a seguir está dividido em duas partes. Primeiramente,
estudaremos os conjuntos numéricos, suas operações e a resolução de
equações e inequações. Em seguida, na segunda parte, abordaremos o
conceito de Função e suas representações.
Os conteúdos estão apresentados de forma didática e por meio de exemplos.
Sugere-se, como complemento de estudo, a utilização da bibliografia.
1 OS NÚMEROS REAIS: REPRESENTAÇÕES E OPERAÇÕES
Representações
Os números que utilizamos diariamente em nossa vida são organizados por
meio de conjuntos. Veja: Conjuntos dos números naturais: N = {0; 1; 2; 3; 4;...}
Conjunto dos números inteiros (Z): O conjunto dos números inteiros é formado
por todos os elementos do conjunto dos números naturais (números inteiros
positivos) e também por todos os números inteiros negativos.
Z = {...; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4;...}
Conjunto dos números racionais (Q): Um número racional é representado por
meio de uma fração. Por exemplo:
Toda fração pode ser representada de outra maneira se dividirmos o seu
numerador pelo seu denominador. Observe os exemplos abaixo:
Portanto, podemos dizer que o conjunto dos números racionais (Q) é formado
pelo conjunto dos números inteiros (que podem ser representados na forma de
fração) e também por números “não inteiros” que, necessariamente, são
representados através de frações e de números decimais.
Conjunto dos números irracionais (Ir): O conjunto dos números irracionais é
formado por números que não se podem expressar como quociente de dois
números inteiros, ou seja, não se podem expressar por meio de fração. Por
exemplo:
Se a raiz quadrada de um número natural não for inteira, é irracional.
Logo, são irracionais
e outros.
Tais números são representados por dízimas infinitas e não periódicas. Veja:
Conjuntos dos números reais (R): Reunindo o conjunto dos números irracionais
(Ir) e o conjunto dos números racionais (Q), obtemos o conjunto dos números
reais (R).
A representação dos números reais na reta numérica:
Observação: Vale lembrar que entre dois números reais inteiros, existem
infinitos outros números reais.
MÓDULO II - Operações – relembrando através de exemplos
“Multiplicação” e “Divisão” em primeiro lugar:
Distributiva:
Os sinais:
Potências:
Frações e representações decimais:
(Obs: Multiplica-se a primeira fração pela inversa da segunda)
As raízes:
Subconjuntos de R – Interpretando a simbologia:
A = {x 
–3} Quais são os elementos do conjunto A?
Resp: Elementos “x” pertencentes ao conjunto dos números reais, em que “x”
são elementos reais maiores que –3.
B = {x 
 –2} Quais são os elementos do conjunto B?
Resp: Elementos “x” pertencentes ao conjunto dos números reais, em que “x”
são elementos reais menores ou iguais a –2.
C = {x 
–8 < x < –3} Quais são os elementos do conjunto C?
Resp: Elementos “x” pertencentes ao conjunto dos números reais, em que “x”
são elementos reais maiores que –8 (pois –8 < x) e menores que –3 (pois x < –
3), ou seja, elementos reais que estão entre os números –8 e –3.
MÓDULIO III - EXPRESSÕES LITERAIS E SUAS OPERAÇÕES
Utilizamos as letras para representar ou traduzir, em
linguagem matemática, as operações estudadas em aritmética.
Tais representações são “ferramentas” muito úteis na resolução
de problemas. Para relembrar:
Valor numérico de expressões literais:
Considere: y = x2 + 2x. Qual o valor de y quando x = 2 ?
Resp: y = (2)2 + 2.(2) = 4 + 4 = 8
Considere: p = m3 – 4m2 + 3m + 5. Qual o valor de p quando m = 3 ?
Resp: p = (3)3 – 4.(3)2 + 3.(3) + 5 = 27 – 4.(9) + 9 + 5 = 27 – 36 + 9 + 5 = 5
Operações com expressões literais:
x . x = x2
x + x = 2x
(5b + 3c – a) + (3a – 4b – 2c) = 5b + 3c – a + 3a –4b – 2c = = b + c + 2a
– (6x + 12y) = – 6x – 12y
– (–5x + 3y) = + 5x – 3y
(9x + 15y) – (6x + 12y) = 9x + 15y – 6x – 12y = 3x + 3y
(3c) . (–4c) = –12c2
2.(3x + 4y) = 6x + 8y
3c . (4c – 2c2) = 12c2 – 6c3
(2x + 3y).(5x – 3y) = 10x2 – 6xy + 15xy – 9y2 = 10x2 + 9xy – 9y2
(12x3) : (3x) = 4x2
Produtos notáveis:
(a + b)2 = (a + b).(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = (a – b).(a – b) = a2 – ab – ab + b2 = a2 – 2ab + b2
(a + b).(a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2
MÓDULO IV - RESOLVENDO EQUAÇÕES
As equações são igualdades envolvendo expressões literais. Por meio da
resolução de uma equação, pode-se encontrar um valor desconhecido. Veja:
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
MÓDULO V - Exemplo 4
Exemplo 5
Exemplo 6
MÓDULO VI - Exemplo 7 – Equação do 2º grau
Exemplo 8 – Equação do 2º grau
MÓDULO VII - Exemplo 9 – Equação do 2º grau
As equações são ferramentas auxiliares na resolução de vários problemas
envolvendo a matemática e o cotidiano. Por exemplo:
MÓDULO VIII - RESOLVENDO INEQUAÇÕES
As inequações são desigualdades envolvendo expressões literais. Por meio da
resolução de uma inequação, podem-se encontrar infinitos valores que
satisfazem uma determinada condição matemática. Os símbolos utilizados nas
igual).
Exemplo 1
É solução desta inequação: Elementos “y” pertencentes ao conjunto dos
números reais, em que “y” são elementos reais maiores que 2.
Exemplo 2
É solução desta inequação: Elementos “x” pertencentes ao conjunto dos
números reais, em que “x” são elementos reais menores que 1.
MÓDULO IX - Exemplo 3
É solução desta inequação: Elementos “m” pertencentes ao conjunto dos
números reais, em que “m” são elementos reais menores ou iguais a – 0,5.
Exemplo 4
É solução desta inequação: Elementos “p” pertencentes ao conjunto dos
números reais, em que “p” são elementos reais maiores ou iguais a 5,5.
Exemplo 5
É solução desta inequação: Elementos “n” pertencentes ao conjunto dos
números reais, em que “n” são elementos reais maiores que – 2,5.
MÓDULO X - Dica importante:
As inequações, assim como as equações, também são ferramentas auxiliares
na resolução de vários problemas envolvendo a matemática e o cotidiano. Por
exemplo:
MODULO XI - FUNÇÕES MATEMÁTICAS E SUAS REPRESENTAÇÕES
Observe a tabela com valores Reais de “x” e “y” (ou seja, infinitos valores):
x
...
y
...
-3
-6
-2
-4
-1
-2
0
0
1
2
2
4
3
6
4
8
...
...
Por meio da tabela acima, observa-se a seguinte relação: y = 2.x
“y” é o dobro de “x”.
“y” depende de “x”.
“y” está em função de “x”.
Existe uma relação numérica entre “y” e “x”. Portanto, y = 2.x é uma função.
Representa-se, também, tal relação, da seguinte maneira:
Observe a tabela com valores Reais de “x” e “y” (ou seja, infinitos valores)
x
y
...
...
-3
9
-2
4
-1
1
0
0
1
1
2
4
3
9
...
...
Por meio da tabela acima, pode-se observar a seguinte relação: y = x2
“y” é o quadrado de “x”.
“y” depende de “x”.
“y” está em função de “x”.
Existe uma relação numérica entre “y” e “x”. Portanto, y = x2 é uma função.
Representa-se, também, tal relação, da seguinte maneira:
Generalizando, pode-se afirmar que função numérica é uma relação particular
que estabelecemos entre os elementos de dois conjuntos numéricos, os quais
expressam grandezas que se relacionam por uma determinada lei, modelo ou
fórmula.
MÓDULO XII - Resolvendo problema – Exemplo
O custo total de produção de um determinado bem consiste em um custo fixo
de R$ 300,00 somado a um custo variável de R$ 120,00 a unidade produzida.
a) Observe a tabela que mostra o custo total de produção em função do
número de bens produzidos.
Número de bens produzidos
0
Custo total de produção (R$)
300
1
300 + 120 . (1) = 300 + 120 = 420
2
300 + 120 . (2) = 300 + 240 = 540
3
300 + 120 . (3) = 300 + 360 = 660
4
300 + 120 . (4) = 300 + 480 = 780
10
300 + 120 . (10) = 300 + 1200 = 1500
x
300 + 120 . (x) = 300 + 120.x
b) Observe a “lei”, “fórmula” ou “modelo” que representa a relação existente
entre o custo total de produção (y) e a quantidade de bens produzidos (x).
y = 300 + 120.x
Observação: Numa situação cotidiana, por meio de dados reais, podemos
generalizar idéias e elaborar “modelos matemáticos” que facilitam os
cálculos tornando-os mais práticos.
c) Observe o gráfico correspondente a tal situação.
MATEMÁTICA
MÓDULO XIII - FUNÇÃO DO 1º GRAU
Uma função do 1º grau é uma relação de dependência entre duas grandezas e
pode ser representada da forma: y = a.x + b onde “a” e “b” são números reais
quaisquer. Tal função tem as seguintes características:
Tem como gráfico uma reta, semi-reta ou segmento de reta (dependendo do
seu Domínio).
Pode ser crescente ou decrescente dependendo do sinal (positivo ou
negativo) de “a”;
Domínio de uma função: são valores reais (x) que “controlam” a função (y).
Imagem de uma função: são valores reais (y) que resultam da aplicação dos
valores do Domínio (x) na função.
Exemplos:
Considere a função: y = 2.x + 6
Domínio da função: todos os números reais (R)
Observações:
Função do 1º grau
Gráfico: uma reta (Domínio = Reais - Imagem = Reais) Para traçar a reta,
precisamos de, no mínimo, 2 pontos. A reta cruza uma vez em cada eixo
(horizontal “x” e vertical “y”).
Para saber onde a reta cruza o eixo vertical (y), consideramos x = 0.
Para saber onde a reta cruza o eixo horizontal (x), consideramos y = 0.
Veja a tabela:
x
y
0
0
Para x = 0 , temos y = 2 . (0) + 6 = 0 + 6 = 6
Para y = 0 , temos 0 = 2x + 6 , ou seja:
Completando a tabela:
x
y
0
6
-3
0
A função é crescente, pois conforme os valores de “x” crescem, os valores de
“y” crescem também.
Considere a função: y = –3.x
Domínio da função: todos os números reais (R)
Observações:
MÓDULO XIV - Função do 1º grau
Gráfico: uma reta (Domínio = Reais - Imagem: Reais) Para traçar a reta,
precisamos de, no mínimo, 2 pontos.
A reta cruza uma vez em cada eixo (horizontal “x” e vertical “y”).
Para saber onde a reta cruza o eixo vertical (y), consideramos x = 0.
Para saber onde a reta cruza o eixo horizontal (x), consideramos y= 0.
Veja a tabela:
x
y
0
0
Completando a tabela:
x
y
0
0
0
0
Observa-se, então, que a reta irá passar pela origem, cruzando os dois eixos
(horizontal e vertical) no ponto (0;0).
Portanto, para identificar a inclinação da reta, basta atribuir mais um valor
qualquer para “x”.
x
y
0
0
0
0
3
Para x = 3 , temos y = –3.(3) = –9
x
y
0
0
0
0
3
-9
A função é decrescente, pois conforme os valores de “x” crescem, os valores
de “y” decrescem.
Considere a função: y = x + 2
Domínio da função: {x 
Observações:
Função do 1º grau
–3 

Gráfico: um segmento de reta (Domínio = Observar gráfico eixo “x” - Imagem
= Observar gráfico eixo “y”)
Para traçar a reta, precisamos de, no mínimo, 2 pontos. Atribui-se, na tabela,
como valores de “x”: os valores “extremos” do Domínio dado: –3 e 4. Veja:
x
y
-3
4
Para x = –3, temos y = (–3) + 2 = –1
Para x = 4, temos y = (4) + 2 = 6
Completando a tabela:
x
y
-3
-1
4
6
Observe, atentamente, o gráfico:
Domínio (eixo horizontal) = {x 
Imagem (eixo vertical) = {y 
–3 
–1 


A função é crescente, pois conforme os valores de “x” crescem, os valores de
“y” crescem também.
MÓDULO XV - FUNÇÃO DO 2º GRAU
Uma função do 2º grau é uma relação de dependência
entre duas grandezas e pode ser representada da forma:
y = a.x2 + b.x + c onde “a” , “b” e “c” são números
reais quaisquer e “a”  0. Tal função tem as seguintes
características:
Tem como gráfico uma parábola;
Pode ter concavidade voltada para baixo ou concavidade
voltada para cima, dependendo do sinal (positivo ou negativo)
de “a”;
Dependendo da concavidade, possui um ponto mínimo ou
máximo (Vértice).
Exemplos:
Considere a função: y = x2 – 6x + 5
Domínio da função: todos os números reais (R)
Observações:
Função do 2º grau
Gráfico: uma parábola (Domínio = Reais - Imagem = Observar gráfico eixo “y”)
Concavidade da parábola para cima, pois “a”, neste caso, é positivo.
Possui ponto mínimo (vértice da parábola).
Etapas para a representação do gráfico da função:
Domínio (eixo horizontal) = Reais
Imagem (eixo vertical) = {y 
–4)
Considere a função: y = – x2 + 9
Domínio da função: {x 


Observações:
Função do 2º grau
Gráfico: uma parábola (Domínio = {x 
eixo “y”)


- Imagem = Observar gráfico
Concavidade da parábola para baixo, pois “a”, neste caso, é negativo.
Possui ponto máximo (vértice da parábola).
MÓDULO XVI - Etapas para a representação do gráfico da função:
Domínio (eixo horizontal) = {x 
Imagem (eixo vertical) = {y 




Atenção: Neste caso, respeita-se o domínio e a imagem da função
considerando apenas “parte do gráfico” que não está “tracejado”.
MÓDULO XVII - SISTEMA DE EQUAÇÕES (PONTO DE INTERSECÇÃO)
Veja os exemplos abaixo:
Considere as funções do 1º grau:
y1 = 2x + 4 Domínio: Reais
y2 = –x – 5 Domínio: Reais
Cada uma das funções, acima, representa uma reta. O objetivo, agora, é
encontrar um ponto “comum” pertencente às duas retas, ou seja, o ponto de
“intersecção” das duas funções.
Este ponto poderá ser encontrado por meio de dois quadros de representação
distintos: o quadro algébrico ou o quadro geométrico.
Determinação do ponto de intersecção por meio do quadro algébrico
Condição: y1 = y2
Escolha de uma das funções: y1 = 2x + 4
Obs: No caso da escolha de y2 = –x – 5, o resultado também seria y = –2
Portanto, o ponto de intersecção das duas funções é: (–3; –2)
Determinação do ponto de intersecção por meio do quadro geométrico
Representar graficamente (no mesmo plano) as duas funções:
Obs: Vale relembrar a construção de gráficos (Mód. 6)
Considere as funções do 1º grau:
y1 = x + 3 Domínio: {x 
y2 = –2x Domínio: {x 
–4

–6

O ponto de intersecção das duas funções é:
MÓDULO XVIII - Quadro algébrico:
Escolha de uma das funções: y2 = –2x
y2 = –2.(–1) = +2
y=2
Obs: No caso da escolha de y1 = x + 3, o resultado também seria y = 2
Portanto, o ponto de intersecção das duas funções é: (–1; 2)
Quadro geométrico:
Obs: Vale relembrar a construção de gráficos (Mód. 6)
Bibliografia
DANTE, Luiz Roberto. Matemática. Obra em 3 vol. São Paulo: Editora Ática,
2004.
FRANÇA, Elisabeth ... [et. al.]. Matemática na vida e na escola. Obra em 4 vol.
São Paulo: Editora do Brasil, 1999.
SILVA, S. M. , E. M. Matemática Básica para Cursos Superiores. São Paulo:
Atlas, 2002.
SILVA, S. M. , E. M. Matemática: para os cursos de economia, administração,
ciências contábeis. Vol 1. São Paulo: Atlas, 1999