UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
LUIZ HENRIQUE SANTOS DA ROSA FABIÃO
COMPARAÇÃO ENTRE OS METODOS DE BLACK & SCHOLES E COMPOUND
OPTIONS EM OPÇÕES DE EMPRESAS BRASILEIRAS
Rio de Janeiro
2011
2
Luiz Henrique Santos da Rosa Fabião
COMPARAÇÃO ENTRE OS METODOS DE BLACK & SCHOLES E COMPOUND
OPTIONS EM OPÇÕES DE EMPRESAS BRASILEIRAS
Dissertação de Mestrado apresentada ao
Programa
de
Pós-Graduação
em
Administração,
Instituto
COPPEAD
de
Administração, Universidade Federal do Rio
de Janeiro, como parte dos requisitos
necessários à obtenção do título de Mestre
em Administração
Orientador: Prof. Eduardo Facó Lemgruber
Rio de Janeiro
2011
3
F118 Fabião, Luiz Henrique Santos da Rosa.
Comparação entre os métodos de Black & Scholes e Compound
Options em opções de empresas brasileiras. / Luiz Henrique Santos da
Rosa Fabião. – 2011.
65 f.: il.
Dissertação (Mestrado em Administração) - Universidade
Federal do Rio de Janeiro, Instituto COPPEAD de Administração,
Rio de Janeiro, 2011.
Orientador: Eduardo Facó Lemgruber
1. Mercado de opções - Brasil. 2. Finanças. 3. Administração - Teses. I.
Lemgruber, Eduardo Facó. (Orient.). II. Universidade Federal do Rio
de Janeiro. Instituto COPPEAD de Administração. III. Título.
CDD 332
4
Luiz Henrique Santos da Rosa Fabião
COMPARAÇÃO ENTRE OS METODOS DE BLACK & SCHOLES E COMPOUND
OPTIONS EM OPÇÕES DE EMPRESAS BRASILEIRAS
Dissertação de Mestrado apresentada ao
Programa
de
Pós-Graduação
em
Administração,
Instituto
COPPEAD
de
Administração, Universidade Federal do Rio
de Janeiro, como parte dos requisitos
necessários à obtenção do título de Mestre
em Administração
Aprovada em
____________________________________________________
Prof. Eduardo Facó Lemgruber, Ph.D - Orientador
Instituto COPPEAD de Administração – UFRJ
____________________________________________________
Prof. Otavio Henrique Figueiredo, D. Sc.
Instituto COPPEAD de Administração – UFRJ
____________________________________________________
Prof. Antonio Carlos Figueiredo Pinto, D. Sc
IAG - PUC Rio
5
DEDICATÓRIA
Dedico esse trabalho ao meu pai, Luiz Carlos da Rosa Fabião, pelo apoio
incondicional que me deu para a conclusão desse curso.
6
AGRADECIMENTOS
Agradeço a todos que me apoiaram nesta etapa da minha vida:
aos meus pais por terem sempre me incentivado a estudar e me desenvolver
acadêmica e profissionalmente.
a minha namorada Camila Lustoza, demais familiares e amigos pela
compreensão com os freqüentes conflitos entre os estudos e compromissos
pessoais,
ao professor Eduardo Facó, pela paciência, disponibilidade e incentivo nas
orientações acadêmicas,
ao professor Otavio Figueiredo pela orientação na parte estatística e
comentários na etapa final desse trabalho, bem como pela receptividade e
disponibilidade durante todo o mestrado,
ao professor Antônio Carlos Figueiredo, por aceitar fazer parte da banca e ter
contribuído para o resultado final desta dissertação,
à turma 2008, pelo companheirismo nos momentos difíceis do mestrado e
pelas amizades feitas, em especial aos colegas Daniel Tavares, Pedro
Pereira Nunes, Leandro Berbert, Joris Steinberg, Conrado da Rocha, Lior
Sternberg, Felipe Schiller e Luiz Felipe Frias,
à turma 2009, pela receptividade com que me recebeu na minha volta a
Coppead, após um período de um ano de trancamento do curso devido a
compromissos profissionais,
aos meus ex-gerentes na Petrobras Aldo Hayama e Paulo Cesar Martins, por
terem viabilizado e apoiado a minha volta ao mestrado no fim do 2009,
aos meus atuais chefes e colegas pela compreensão na etapa final deste
curso, em especial ao colega Jose Lamartine pelo incentivo decisivo para a
conclusão dessa dissertação,
ao corpo docente e funcionários do Instituto Coppead pela dedicação em suas
atividades diárias,
e por fim, pela sociedade brasileira, que indiretamente me permitiu concluir
esse curso, ao financiar um centro de excelência em administração que seleciona
seus alunos democraticamente com base no mérito.
7
RESUMO
FABIÃO, Luiz Henrique Santos da Rosa. Comparação entre os métodos Black &
Scholes e Compound Options em opções de empresas brasileiras. Rio de
Janeiro, 2011. Dissertação (Mestrado em Administração) – Instituto COPPEAD de
Administração, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2011.
O modelo de apreçamento de opções Compound Options (CO), conforme
metodologia proposta por Geske (1977 e 1979a) e aplicação de Geske e Zhou
(2007b), é uma alternativa ao tradicional método de apreçamento opções de BlackScholes-Merton (BSM) proposto por Black e Scholes (1973) e Merton (1973).
Este estudo aplica os modelos de CO e BSM sobre opções de compra da Vale e
Petrobras no mercado brasileiro no período entre 2005 e 2009. São usadas as
variáveis não observáveis das opções de maior liquidez do mesmo dia para estimar
o valor das opções segundo os métodos. Os erros relativos dos diferentes modelos
em relação aos preços de mercados são então comparados e testados
estatisticamente. Adicionalmente, o erro obtido por BSM com volatilidade histórica é
incluído para ser usada como referência teórica. Os resultados sugerem que na
amostra estudada: o modelo de BSM em geral apresentou erros inferiores aos de
CO; CO obteve um desempenho similar ao de BSM nas opções fora do dinheiro e; o
spread positivo entre as taxas de juros de longo e curto prazo melhorou a
apreçamento de CO frente a BSM.
Palavras-chave: Compound Option. Mercado de opções. Finanças, administração.
8
ABSTRACT
FABIÃO, Luiz Henrique Santos da Rosa. Comparação entre os métodos Black &
Scholes e Compound Options em opções de empresas brasileiras. Rio de
Janeiro, 2011. Dissertação (Mestrado em Administração) – Instituto COPPEAD de
Administração, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2011.
The Compound Options (CO) pricing model, as the methodology proposed by
Geske (1977 e 1979a) and applied by Geske e Zhou (2007b) is an alternative to the
Black-Scholes-Merton (BSM) model proposed by Black and Scholes (1973) and
Merton (1973). This dissertation applies the CO and BSM on call options from
Petrobras and Vale stocks between 2005 and 2009. The unobserved variables from
the most liquid options of the same day are used to estimate the value of the options
according to the methods. The relative errors of both models related to the marked
price are then compared and their statistical significances are tested. Additionally, the
out-of-sample princing errors of the BSM model with historical volatility are calculated
to be used as a theoretical reference in these comparisons. The main results indicate
that: in general, the BSM model predicts lower out-of-sample error than CO model.
Furthermore, the CO model had a similar out-of-sample pricing performance when
dealing with out-of-the-money options. Finally, the positive spread between long and
short term interest rates improved the CO model performance compared to the BSM
model.
Keywords: Compound options. Stock-options market. Finances. Administration.
9
LISTA DE GRÁFICOS
Figura 01: Taxa de juros (% a.a.) pré-fixada de um dia, um ano e cinco anos entre
2005 e 2009 extraído dos vértices do SWAP DI-PRÉ. Fonte: Dados BMF&BOVESPA
.................................................................................................................................. 28
Figura 02: Montantes de principais e juros com vencimento previsto entre 2009 a
2013 da VALE a em 31/03/2008 (Fonte: Relatório demonstrações contábeis do
primeiro trimestre de 2009 da VALE pp. 13). ............................................................ 30
Figura 03 – Evolução do índice de endividamento (dívida líquida sobre patrimônio
líquido) da Petrobras e Vale entre 2005 e 2009 extraído da base de dados da
Economática.............................................................................................................. 30
Figura 04 – Evolução da duração (duration) da dívida da Petrobras e Vale entre
2005 e 2009, calculada com informações de relatórios contábeis das empresas e
taxa DI um dia ........................................................................................................... 32
Figura 05 – Curvas hipotéticas do preço de mercado de opção, estimativas de BSM
e CO, e os módulos dos erros associados de CO, BSM e a diferença de ambos em
diferentes proximidades do dinheiro.......................................................................... 41
Figura 06 – Esquema dos cinco números e estatísticas do módulo dos erros relativos
(%) de BSM e CO na amostra final de opções de compra da Petrobras e Vale entre
2005 e 2009. Os métodos são BSM com volatilidade obtida por desvio padrão
amostral, BSM com volatilidade implícita e CO com volatilidade implícita. ............... 51
Figura 07 – Esquema dos cinco números e estatísticas dos erros relativos (%) de
BSM e CO na amostra final de opções de compra da Petrobras e Vale entre 2005 e
2009. Os métodos são BSM com volatilidade obtida por desvio padrão amostral,
BSM com volatilidade implícita e CO com volatilidade implícita. ............................... 52
Figura 08 – Volatilidades históricas das ações preferenciais da Petrobras (PETR4) e
Vale (VALE5) obtidas pelo desvio padrão amostral dos últimos 30 logaritmos de
seus retornos............................................................................................................. 57
10
LISTA DE TABELAS
Tabela 01: Prazos médios (em anos) estimados da dívida da empresa a vencer em
cada ano por trimestre .............................................................................................. 31
Tabela 02: Participação (%) das empresas com maior liquidez no volumes
negociados (R$ mil) de suas séries de opções de compra ....................................... 45
Tabela 03: Participação (%) das empresas com maior liquidez no número de
observações diárias de negociação de séries de opções de compra ....................... 45
Tabela 04: Aplicação dos filtros sobre as quantidades do universo de observações
de cotações diárias de diferentes séries de opções de compra de ações da
PETROBRAS e VALE entre 2005 e 2009 ................................................................. 46
Tabela 05: Analise descritiva da amostra de opções de compra negociadas com
número de observações e volume (R$ mil) por categoria de proximidade do dinheiro
e prazo de vencimento .............................................................................................. 46
Tabela 06: Testes de Wilcoxon em pares relacionados dos erros relativos de
apreçamento dos quatro métodos para testar a hipótese nula de que erros são
estatisticamente iguais a zero. Os erros são relativos aos métodos: de BSM com
volatilidade obtida por desvio padrão amostral; de BSM com volatilidade implícita e;
de CO por volatilidade implícita. ................................................................................ 48
Tabela 07: Percentuais de cotações que subestimam o preço da opção por
proximidade do dinheiro e semestre dos métodos de BSM com volatilidade histórica
calculada por DP amostra, BSM com volatilidade implícita e CO com volatilidade
implícita. .................................................................................................................... 48
Tabela 08: Médias dos erros relativos (%) por proximidade do dinheiro e prazo de
vencimento dos métodos: de BSM com volatilidade histórica calculada por DP
amostra (BSM DP), BSM com volatilidade implícita (BSM VI) e CO com volatilidade
implícita (CO VI). ....................................................................................................... 49
Tabela 9: Médias dos erros absolutos (R$) por proximidade do dinheiro e prazo de
vencimento dos métodos: de BSM com volatilidade histórica calculada por DP
amostra (BSM DP), BSM com volatilidade implícita (BSM VI) e CO com volatilidade
implícita (CO VI). ....................................................................................................... 50
Tabela 10: Médias das volatilidades implícitas de BSM por proximidade do dinheiro e
prazo de vencimento. ................................................................................................ 51
Tabela 11: Número de cotações de fechamento de opções de compra da Petrobras
e Vale entre 2005 e 2009 em diferentes subconjuntos de proximidade do dinheiro e
endividamento líquido (Dívida líquida / patrimônio líquido). ...................................... 53
11
Tabela 12: Número de cotações de fechamento de opções de compra da Petrobras
e Vale entre 2005 e 2009 em diferentes subconjuntos de proximidade do dinheiro e
endividamento líquido (Dívida líquida / patrimônio líquido). ...................................... 54
Tabela 13: Média da diferença dos erros relativos de CO em relação à BSM de
opções de compra da Petrobras e Vale entre 2005 e 2009 em diferentes
subconjuntos de prazos de vencimentos e semestres de negociação ...................... 54
Tabela 14: Médias da diferença dos erros relativos de CO em relação à BSM de
opções de compra da Petrobras e Vale entre 2005 e 2009 em diferentes
subconjuntos de proximidade do dinheiro e endividamento líquido (Dívida líquida /
patrimônio líquido). .................................................................................................... 55
Tabela 15: Resultado dos testes não paramétrico de Wilcoxon por combinação entre
prazo de vencimento e semestre de negociação sobre erros relativos de CO e BSM
sobre observações de cotações diárias de diferentes séries de opções de compra da
Petrobras e Vale entre 2005 e 2009.......................................................................... 57
Tabela 16: Resultado dos testes não paramétrico de Wilcoxon por combinação entre
proximidade do dinheiro e endividamento líquidos das empresas sobre erros
relativos de CO e BSM sobre observações de cotações diárias de diferentes séries
de opções de compra da Petrobras e Vale entre 2005 e 2009 ................................. 58
Tabela 17: Tabela A refere-se a Média e a Tabela B refere-se ao não paramétrico de
Wilcoxon, ambos aplicados sobre a diferença dos erros relativos de CO e BSM, por
empresa e semestre de negociação de observações de cotações diárias de
diferentes séries de opções de compra da Petrobras e Vale entre 2005 e 2009 ...... 59
Tabela 18: Regressão dos erros relativos de BSM, CO e a diferença dos erros sobre
variáveis relacionadas: proximidade do dinheiro, prazo de vencimento, spread de
juros de longo prazo contra curto prazo, duração média da dívida, endividamento
líquido, variável dummy da empresa Vale (1= Vale e 0 = Petrobras)........................ 59
12
LISTA DE SIGLAS
BACEN – Banco Central do Brasil
BMF&BOVESPA – Bolsa de valores de São Paulo
BSM – Modelo de apreçamento de opções de Black-Scholes- Merton
CDI – Certificado de depósitos Interbancários
COPOM – Comitê de Política Monetária
CO – Modelo de apreçamento de opções de Compound Options
PPL – Problema de Programação Linear
13
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO
14
1.1
JUSTIFICATIVA DO ESTUDO
15
1.2
OBJETIVO E HIPÓTESES
16
1.3
ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO
16
2. REVISÃO DA LITERATURA
18
2.1
BLACK E SCHOLES E APLICAÇÃO EM AÇÕES
18
2.2
COMPOUND OPTIONS E APLICAÇÕES EM OPÇÕES
20
2.3
OUTRAS APLICAÇÕES DE COMPOUND OPTIONS
25
2.4 REGRESSÕES E TESTES ESTATÍSTICOS ENTRE ERROS DE
APREÇAMENTO DE OPÇÕES
3. METODOLOGIA
26
27
3.1 FONTE DE DADOS
3.1.1 Dados negociação Opções e Ações
3.1.2 Taxa livre de Risco
3.1.3 Dados contábeis endividamento
27
27
28
29
3.2 TRATAMENTO DE DADOS
3.2.1 Cálculo de variáveis observáveis
3.2.2 Montagem do banco de dados
3.2.3 Filtros utilizados
30
30
33
33
3.3 APLICAÇÃO MODELOS BSM E CO
3.3.1 Estimação dos parâmetros
3.3.2 Apreçamento fora da amostra
35
35
37
3.4
ESTRATIFICAÇÕES DA AMOSTRA
39
3.5
MÉTRICAS DE COMPARAÇÃO E TESTES ESTATÍSTICOS
40
4. AMOSTRA E RESULTADOS
44
4.1
POPULAÇÃO E AMOSTRA
44
4.2
ANÁLISE DOS ERROS RELATIVOS
47
4.3
ANÁLISE DA DIFERENÇA ENTRE OS ERROS
53
4.4
TESTE NÃO PARAMÉTRICO DE WILCOXON E REGRESSÃO
56
5. CONCLUSÕES, LIMITAÇÕES DO ESTUDO E SUGESTÕES
61
REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS
63
14
1. INTRODUÇÃO
O modelo de apreçamento de opções de Black e Scholes (1973) e Merton
(1973) (BSM) é o mais difundido nos mercados financeiros e no mundo acadêmico
de finanças segundo Haug (1998), contribuindo para o alto crescimento em volume
de negócios observado com derivativos e opções nas últimas décadas.
Logo após a divulgação da fórmula, diversos vieses de erro de apreçamento
de BSM foram documentados em estudos empíricos. Dentre eles destacam-se os
vieses: associados à volatilidade da ação (Black e Scholes, 1973; Whaley, 1982),
proximidade do dinheiro (BLACK, 1975; MACBETH; MERVILLE, 1979) e prazo de
vencimento (WHALEY, 1982; MACBETH; MERVILLE, 1979).
O sorriso de volatilidade e superfície de volatilidade são fenômenos bastante
explorados nos estudos de derivativos, associados aos vieses da proximidade do
dinheiro e prazo de vencimento, conforme Hull (2005). Existem diferentes
volatilidades implícitas de BSM quando: (i) o preço de exercício varia e as demais
variáveis permanecem constantes e (ii) o prazo de vencimento varia e as demais
variáveis permanecem constantes.
A existência desses vieses de precificação associados ao fenômeno da
superfície de volatilidade implícita sempre foi associada à hipótese de que a
estrutura da fórmula de BSM (RUBISTEIN, 1985) estaria incorreta por falta de
especificação ou uso de premissas muito rigidas. Os questionamentos mais usuais;
(BAKSHI;CAO; CHEN 1997) se referem às premissas de que a volatilidade dos
retornos da ação é constante, a taxas de juro é constante e que as variações dos
retornos da ação seguem distribuições log-normais. Diversos modelos alternativos
de apreçamento, que relaxam uma ou mais dessas premissas, foram então
desenvolvidos com o intuito de obter uma estimação mais próxima do valor de
mercado.
Uma alternativa pragmática para amenizar especificamente os vieses de erro
de proximidade do dinheiro e do tempo de vencimento é a adoção de uma estrutura
a termo de volatilidade implícita, calculada conforme o preço de exercício e prazo de
vencimento. Tal método tem a vantagem de adotar um enfoque na expectativa
futura, já que captura volatilidade a partir dos preços presentes e não na volatilidade
15
histórica, tornando a estimativa mais precisa. Por outro lado, essa metodologia tem a
desvantagem de impossibilitar o teste do modelo, uma vez que ajusta a volatilidade
para capturar também eventuais erros teóricos do modelo.
Em trabalhos recentes, Geske e Zhou (2007a e 2007b) encontraram
evidências que a aplicação do modelo de Compound Options - CO (GESKE 1977,
1979a) em conjunto com medida de endividamento de empresas, pode melhorar
significativamente a precisão de avaliação de opções de compra e venda do índice
S&P 500 e de ações de empresas americanas. O modelo de CO relaxa a premissa
de que a volatilidade do retorno da ação seja constante, ao torná-la uma função do
endividamento da empresa. Em contrapartida pressupõe que a volatilidade do
retorno do ativo da empresa seja constante.
Geske e Zhou (2007b) argumentam também que seu modelo CO teria uma
vantagem comparativa, por apresentar um resultado mais eficaz com uma
complexidade significativamente menor do que os dos demais modelos de
apreçamento alternativos em evidência, que requererem uma quantidade de dados
adicionais superior para estimação de seus parâmetros e usam modelos teóricos
mais complexos.
1.1
JUSTIFICATIVA DO ESTUDO
O estudo se propõe a analisar o desempenho do modelo de CO no mercado
brasileiro em comparação a BSM, com base nas evidências encontradas em Geske
e Zhou (2007a, 2007b) de que o primeiro método apresentaria um desempenho
superior nos erros fora da amostra.
Até onde o autor tem conhecimento, esse é a primeira aplicação comparativa
do modelo de Compound Options no apreçamento de opções de compra de
empresas brasileiras.
16
1.2
OBJETIVO E HIPÓTESES
O objetivo do estudo é aplicar o modelo de Compound Options em opções de
ações brasileiras seguindo metodologia proposta por Geske (1977 e 1979a) e a
aplicação de Geske e Zhou (2007b) e comparar seu desempenho em relação ao
modelo de BSM.
Caso o modelo de CO seja mais eficaz na apreçamento de opções de compra
do que o de BSM como é sugerido por Geske e Zhou(2007b), deve prever valores
mais próximos dos de mercado destes derivativos. Nesse caso, as variáveis
relacionadas ao endividamento (valor de face e duration) seriam relevantes para a
apreçamento de opções, dado que são a única diferença entre ambos os modelos.
A hipótese principal do trabalho é que o modelo de CO possui erros em
estimações fora da amostra inferiores ao de BSM, conforme verificado por Geske
(2007b). As hipóteses alternativas possíveis são de que CO tem desempenho
equivalente ou inferior a BSM.
Para verificar a hipótese principal, o estudo testa as hipóteses secundárias de
que: (i) todos os modelos possuem erros significativamente diferentes de zero,
fazendo sentido então verificar qual é o mais preciso e; (ii) as estimativas de BSM,
que usam volatilidade implícita, são mais precisas de que as usam volatilidade
histórica. Portanto o primeiro método deve ser a referência no teste comparativo.
1.3
ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO
O Capítulo 2 da dissertação contém uma revisão da literatura relacionada ao
tema. São abordados (i) o modelo de Black e Scholes, com suas limitações e
aplicações propostas; (ii) o modelo de opção composta (CO) de Geske (iii) outras
aplicações de CO e; (iv) comparação de resultados entre diferentes modelos de
apreçamento.
A metodologia replicada de Geske e Zhou (2007b) é detalhada no Capítulo 3
com ênfase no recolhimento e tratamento de dados, operacionalização dos modelos,
e nas métricas e testes utilizados para a comparação de resultados.
17
No Capítulo 4, as principais características da população, da amostra final e
aplicação dos filtros são discutidas. Em seguida, as significâncias dos erros relativos
obtidos com a aplicação dos diferentes métodos são testadas e os erros são
comparados e testados estatisticamente em diferentes estratos da amostra
conforme o ano de negociação, prazo de vencimento, endividamento e proximidade
do dinheiro das opções.
O Capítulo 5 encerra a dissertação, listando as principais conclusões do
estudo, suas limitações e sugestões para trabalhos em temas relacionados.
18
2. REVISÃO DA LITERATURA
2.1
BLACK E SCHOLES E APLICAÇÃO EM AÇÕES
A dedução original da fórmula de avaliação de opções de BSM é baseada no
pressuposto de que retorno de uma estratégia de hedge composta de opções e
ações possuiria correlação zero com o retorno da ação.1 Assim por uma questão de
arbitragem, o capital empregado na estratégia deve ter uma remuneração
correspondente a um investimento de risco de mercado nulo, ou seja, a taxa básica
de juros da economia.
A fórmula da equação de BSM para a avaliação de uma opção de compra é
listada a seguir:
Onde:
C S, t = S Nd − K e . Nd d =
I
σ σ √ d = d − σ! √t
S - preço de mercado da ação;
K – preço de exercício da opção;
C - preço de exercício da opção;
Rf - taxa básica de juros;
t - prazo de vencimento da opção;
σs - volatilidade do retorno do preço de mercado da ação.
N - distribuição acumulada normal.
Black e Scholes (1973) listam um conjunto de premissas para deduzir sua
fórmula de apreçamento de opções: (i) a taxa de juro de curto prazo é conhecida e
constante, ou seja, exibe uma estrutura a termo flat; (ii) o preço da ação segue um
1
A estratégia consiste em montar uma posição comprada de uma ação e uma posição vendida em
opções de compra em uma quantidade suficiente para neutralizar qualquer variação do preço da
ação. A quantidade de opções é definida pela primeira derivada instantânea do preço da opção da
fórmula fechada de BSM em função do preço da ação, medida popularizada posteriormente como
Delta.
19
caminho aleatório em tempo contínuo com uma variância da taxa de retorno
proporcional ao quadrado do preço da ação. Assim o preço da ação segue uma
distribuição log-normal no fim de qualquer intervalo finito de tempo e a volatilidade
de seu retorno é constante; (iii) ação não paga dividendos; (iv) a opção é européia,
ou seja, só pode ser exercida no seu vencimento;2 (v) não existem custos de
transação, impostos e problemas de indivisibilidade de ativos; (vi) é possível pegar
empréstimos ou emprestar na mesma taxa de risco de mercado e; (vii) não há
penalidades na venda a descoberto.
Algumas dessas premissas foram bastante questionadas e levaram ao
desenvolvimento de modelos alternativos de apreçamento de opções, como a como
a constância da volatilidade do retorno da ação, a taxa de juros de livre de risco
constante e a inexistência de pagamento de dividendos. Bakshi, Cao e Chen (1993)
fazem uma revisão extensa dos diferentes tipos de modelos que generalizam BSM
ao permitir as taxas de juros e volatilidades assumirem valores estocásticos sob
diferentes métodos.
Em uma interpretação alternativa, Black e Scholes (1973) sugerem que
obrigações assumidas por empresas poderiam ser interpretadas como opções,
dentre elas as debêntures emitidas por empresas de capital aberto no mercado de
capitais. O financiamento equivaleria ao emprestador comprar os ativos da empresa
pelo valor emprestado e conceder (vender) uma opção de compra dos ativos da
empresa pelo preço de face do empréstimo. Na data de vencimento da dívida, o
valor da ação para o acionista seria a diferença do valor do ativo e o valor de face da
dívida, ou zero, o que for maior. Isso ocorreria porque o acionista sempre poderia
deixar sua empresa entrar em falência e não honrar a dívida, dado sua
responsabilidade limitada.
Segundo essa perspectiva, Merton (1974) deduz uma fórmula analítica
análoga a de BSM, porém com os termos C, S, k e σs substituídos respectivamente
por S, V (valor da firma), M (dívida) e σV (volatilidade do retorno do valor dos ativos
da empresa). Por fim o termo t passaria a significar a duração (duration) da dívida
em vez do prazo de vencimento.
S V, t = V N h − M e . N h 2
II
Ser americana ou não só é relevante para o apreçamento em opções de venda ou opções de
compra com dividendos.
20
Onde:
h =
lnVM + (R * +
σ+ √t
σ+ 2- t
h = h − σ+ √t
V - preço de mercado dos ativos da empresa por ação;
M – valor de face da dívida da empresa por ação;
S - preço de mercado da ação;
Rf - taxa básica de juros;
t - prazo de vencimento da dívida;
σv - volatilidade do retorno do valor de mercado dos ativos da empresa;
N - a distribuição acumulada normal.
2.2
COMPOUND OPTIONS E APLICAÇÕES EM OPÇÕES
Geske (1979a) define uma aplicação de Compound Options (CO) para uma
opção de compra sobre uma ação, que por sua vez é uma opção sobre os ativos da
empresa, conforme Merton (1974).
Em uma interpretação anterior de Compound Options, o termo é usado por
Black e Scholes (1973) como sendo equivalente a uma dívida com pagamentos dos
juros periodicos e pagamento do principal apenas no vencimento. Cada pagamento
intermediário de juros (preço de exercício da opção) feito aos emprestadores poderia
ser interpretado como o exercício do direito da empresa de receber a próxima opção
(isto é, a próxima oportunidade de pagamento de juros). Na data de vencimento da
dívida, a empresa poderia exercer sua última opção ao pagar o principal da dívida e
assim “comprando” seus ativos. Nesse sentido, essa dívida seria uma opção de
compra sobre n opções de compra seqüenciais, ou seja, uma Compound Option
múltipla.
Geske (1977 e 1979a) derivou um modelo composto de opções a partir da
fórmula de BSM e a aplicação de Merton (1974). O modelo de apreçamento
Compound Options (CO) de Geske (1977) utiliza como base a idéia de que as
21
opções de compra dependem de ações, que por sua vez podem ser consideradas
como opções de compra sobre o valor dos ativos da empresa, para calcular uma
fórmula analítica, onde o valor da opção de compra depende diretamente dos ativos
da empresa, conforme fórmulas ilustrativas abaixo.
Dado que: C = f(S,t) e S = g(V,t) → C=f( g(V,t),t) = h(V,T)
Com a aplicação do CO, o ativo adjacente da opção muda do valor de
mercado das ações para o valor total dos ativos da empresa, que por sua vez é a
soma do valor de mercado do equity e das dívidas. A equação resultante para
apreçamento de opção de compra é exibida a seguir conforme simplificação
proposta por Haug (1998):
C = V N h ; g ; ρ − Me 0 N h ; g ; ρ −
Onde:
h =
lnVV ∗ (R * +
Ke1 01 N h III
σ+ 2- T
σ+ 4T
h = h − σ+ 4T
g =
lnVM + (R * +
σ+ 2- T
σ+ 4T
g = g − σ+ 4T
T
ρ= 5
T
C = valor de mercado da opção de compra de ação;
S = valor de mercado da ação;
V = valor de Mercado dos ativos da empresa por ação;
V* = valor de mercado crítico dos ativos por ação (V = V* quando S = K); M =
valor do principal e dívidas da empresa por ação; 3
K = preço de exercício da opção de compra;
Rf1= taxa livre de risco no prazo T1;
3
V* é o valor crítico da firma na data de vencimento da opção (T1 ) de compra para o qual o valor da
ação (S) equivale ao preço de exercício (K) da opção de compra pela aplicação da fórmula (IV).
22
Rf2= taxa livre de risco no prazo T2;
σv = volatilidade do retorno do valor de Mercado da firma;
t = tempo atual;
T1 = data de vencimento da opção;
T2 = Duration da dívida;
N1(.) = Função de distribuição normal cumulativa univariada de probabilidade;
N2(.) = Função de distribuição normal cumulativa bivariada de probabilidade;
ρ = correlação entre as oportunidades de exercícios das opções em T1 e T2.
O exercício da opção composta nas CO deixa de depender apenas da relação
entre os preços da ação e de exercício, para depender da (i) relação entre o valor
dos ativos (V) e o valor crítico dos ativos da empresa (V*) no prazo de vencimento
da opção de compra e; (ii) entre o valor dos ativos da empresa (V) e o valor de face
da dívida (M) no seu prazo de vencimento.
As probabilidades de exercício de ambas as opções (call e ação) são
correlacionadas já que ambas dependem em última instância do valor dos ativos da
empresa. O autor então propõe que a correlação seja uma relação dos prazos de
vencimento das duas opções conforme, pois quanto mais próximos, maior a
probabilidade do acionista tomar decisões semelhantes para as opções.
Geske (1979a) aponta que, por ser uma generalização, seu modelo se reduz
ao de BSM quando a dívida é nula ( M = 0) ou perpétua (t = ∞). A dedução entre as
relações das volatilidades da ação e da firma pelo modelo de CO implica que a
volatilidade da ação depende diretamente do endividamento da empresa. Quando o
valor da ação aumenta (diminui), no curto prazo a “alavancagem” financeira diminui
(aumenta), e assim a volatilidade do retorno da ação diminui (aumenta).
σ =
∂S V
V
σ7 = N g + σ+ 4T − t σ7
∂V S
S
IV
A relação expressa na equação (XI) entra em choque com a premissa de
volatilidade constante do modelo de BSM, porém é consistente com outros estudos
(HESTON, 1993; BAKSHI; CAO; CHEN, 1997) que indicam que a volatilidade é
negativamente correlacionada com o preço da ação. Dumas, Fleming e Whaley
(1998) fizeram comparações entre o modelo de BSM com estrutura a termo de
volatilidade implícita e outros alternativos com funções determinísticas de
23
volatilidade negativamente correlacionadas com o preço da ação, verificando que as
performances eram equivalentes.
Rubistein (1985) comparou os comportamentos das metodologias de
apreçamento de CO (Geske 1979a) e outras quatro alternativas, pressupondo que
algum desses modelos listados pudesse ser mais consistente com os preços de
mercado. O autor verificou quais seriam as volatilidades implícitas de BSM sobre
avaliações hipotéticas das opções com a aplicação dos métodos alternativos em
diferentes preços de exercício e prazos de vencimento. Em seguida as volatilidades
implícitas foram calculadas nos dados reais intra-diários e o comportamento dos
vieses de erros dos modelos alternativos foram comparados qualitativamente com
os vieses dos preços de mercado comparados. Não foram encontradas evidências
de similaridade do comportamento dos vieses entre o método de CO e os valores
reais de mercado das opções. No entanto, as estimativas dos modelos alternativos
usaram dados arbitrários para analisar seus respectivos vieses, e a comparação
entre os vieses de erros dos foi feita de forma consolidada e não em pares, o autor
entende que essa comparação não é conclusiva.
Geske e Zhou (2007a e 2007b) propuseram comparações das precisões entre
os modelos de BSM e CO com volatilidades implícitas em cotações diárias de
fechamento em opções de compra de ações americanas e opções de compra de
índices de ações. Essa aplicação de CO para avaliar opções é uma novidade, já que
as opções compostas são tradicionalmente usadas para avaliação de tipos mais
complexos de opções, uma vez que as opções européias são atendidas pelo modelo
de BSM. Nos estudos os autores encontraram reduções médias de erros de
apreçamento de cerca de 60% para opções de ações e de 42% para opções de
índices de ações. Em todos os subconjuntos analisados, a aplicação do modelo de
CO apresentou redução de erro estatisticamente significativa quando comparado a
BSM. A redução de erro foi crescente conforme o aumento da “alavancagem”
financeira, o aumento do prazo de vencimento da opção e o aumento na relação
entre o preço de exercício da opção e da ação (K/S), também conhecida como
proximidade do dinheiro.
Apesar de não diferir conceitualmente do modelo de BSM, a aplicação do
método, segundo Geske e Zhou (2007b), trariam melhorias ao utilizar variáveis até
então não consideradas, como os valores de vencimento e a idade média (duration)
24
das dívidas da empresa.4 Os autores argumentam que as inclusões dessas variáveis
reduziriam a incerteza a ser estimada por meio da volatilidade implícita, e replicada
nas precificações de opções fora da amostra de estimação. A redução do erro da
estimativa estaria, portanto, associado a um erro de especificação do modelo de
BSM ocasionado pela omissão de variáveis relevantes.
Na metodologia proposta, as três variáveis não observáveis (V, V* e σV) são
calculadas implicitamente pela resolução do sistema de equações não lineares
composto pela equação de CO (Eq. III) e as duas equações de Merton, para
quando: (i) o preço da ação (S) é igual ao preço real da ação (Eq. II) e; (ii) o preço
da ação é igual ao preço de exercício real da opção (Eq. V) em seu prazo de
vencimento, conforme fórmula abaixo.5
Onde:
K = V ∗ N h ′ − M e* N h ′
h ′ =
ln8V M9 + (R * +
∗
σ+ √t
V
σ+ 2- t
h ′ = h ′ − σ+ √t
V - preço de mercado dos ativos da empresa por ação;
M – valor de face da dívida da empresa por ação;
K - preço de exercício da opção;
Rf - taxa básica de juros;
t - prazo de vencimento da dívida;
σv - volatilidade do retorno do valor de mercado dos ativos da empresa;
N - a distribuição acumulada normal.
4
O modelo de Geske está associado à visão da ação como um opção sobre o valor da firma, sendo
portanto uma aplicação composto do modelo de Black & Scholes. A dedução da fórmula teórica é
análoga a dedução feita por Black & Scholes (1973).
5
A metodologia do working paper foi revisada em novembro de 2010 com os uso de duas volatilidade
dos ativos da empresa e o uso de preços de mercado de opções de venda na estimação dos
parâmetros. A atualização da metodologia não foi replicada pela inexistência de opções de venda
com liquidez no mercado brasileiro.
25
2.3
OUTRAS APLICAÇÕES DE COMPOUND OPTIONS
Uma aplicação de opções compostas ocorre na avaliação de opções
americanas de venda, pois pode ser interpretada como infinitas opções européias
seqüenciais, cada uma com um prazo ligeiramente superior a anterior, e uma opção
européia com o mesmo prazo de vencimento da opção americana. Roll (1977)
precifica opções de compra americanas de ações que pagam dividendos, mostrando
que estas podem ser replicadas com uma combinação de opções de compra
européias e opções compostas múltiplas, obtendo uma fórmula semi-analítica cujas
estimativas se aproximam dos valores reais das opções americanas. Outros estudos
(WHALEY, 1982; GESKE, 1979b; GESKE; JOHNSON, 1984) aprimoram a fórmula
analítica com o uso de somas entre integrais de séries infinitas de funções de
distribuição de probabilidade multi-normais.
Bunch e Johnson (1992) apresentaram uma abordagem analítica mais
eficiente para opções de venda americanas baseada na formula de opção composta
de Geske (1979) e Geske e Johnson (1984). Burschi e Dumas (2001) desenvolvem
um algoritmo para simplificar a resolução por computação de opções compostas
complexas, como as opções americanas de venda com volatilidade variável. A
abordagem produz uma superfície de volatilidade conforme o prazo e preço de
exercício em um dado momento e a utiliza para calcular opções individuais em um
tempo de processamento equivalente ao usado pelo método de BSM.
Diversos autores desenvolveram novas generalizações de opções compostas.
Geske e Johnson (1984) deduzem fórmulas específicas de opções compostas
múltiplas (mais de duas opções). Thomassen e Van Wouwe (2001) deduzem uma
fórmula para opções de compra compostas seqüenciais. Agliardi e Agliardi (2003)
generalizam a fórmula de opções de compra compostas para os casos em que
volatilidades e taxa de juros variam com o tempo. Lee, Yeh e Chen (2008)
desenvolvem um modelo de parâmetros dependentes do tempo para opções
compostas múltiplas de compra e venda. Gukhal (2004) deriva uma formula de
opções compostas para os casos em que o ativo adjacente segue um processo
difuso com pulo, que também pode ser usada para precificar opções americanas de
venda.
26
Uma opção composta múltipla ou com múltiplos estágios consiste em uma
serie de opções compostas ordenadas, podendo ter diversas aplicações que
envolvam tomadas de decisões em seqüência. Foram aplicadas opções compostas
em modelagem de opções reais em situações que existem estágios de
desenvolvimento, como pesquisas de P&D (LEE; PAXSON, 2001), avaliação do
desenvolvimento de novos remédios por empresas farmacêuticas (CASIMON et al. ,
2004), e em avaliações periódicas de empresas start-ups por fundos de venture
capital (LIN, 2002).
2.4
REGRESSÕES E TESTES ESTATÍSTICOS ENTRE ERROS DE
APREÇAMENTO DE OPÇÕES
Macbeth e Merville (1979) propõem uma regressão linear do erro de
apreçamento pela proximidade do dinheiro (K/S) e prazo de vencimento, para
verificar a significância dessas variáveis independentes sobre o erro de estimativas
em diferentes modelos de apreçamento de opções. O modelo foi aplicado em
diferentes empresas e prazos de vencimento.
Bakshi, Cao e Chen (1997) propuseram uma regressão semelhante, porém
com a adição de variáveis associadas: ao spread entre oferta e demanda; o spread
entre as taxas de juros de um e trinta dias de um título do tesouro americano e; o
desvio padrão (anualizado) do retorno intra-diário do índice do S&P 500. Este último
termo foi incluído para verificar se a volatilidade do último dia podia causar viés
sistemático de erro.
Em relação a testes estatísticos, Rubistein (1981) aponta que os testes não
paramétricos são os mais recomendados para análise de resultados comparativos
entre modelos alternativos de apreçamento de opção, por não requerem à premissa
que as variáveis sigam algum distribuições de probabilidade especifica, como a
distribuição normal ou log-normal. Por outro lado, esses testes possuem um poder
estatístico de inferência consideravelmente menor do que os de testes paramétricos,
porém suficientes para rejeitar hipóteses nulas em amostras com grande número de
observações.
27
3. METODOLOGIA
3.1
FONTE DE DADOS
No estudo foram usados dados secundários: de negociações diárias de ações
e opções e taxas de SWAP DI-PRE extraídas da BMF&Bovespa; de negociações de
cotações diárias ajustadas a proventos e desdobramentos de ações, número de
ações e índices contábeis de endividamentos extraídos da base de dados da
Economática e; de endividamento, extraídos de relatórios contábeis trimestrais da
PETROBRAS e VALE entre o período de 2005 e 2009;
3.1.1 Dados negociação Opções e Ações
As variáveis observáveis relacionadas às ações e às opções negociadas
entre 2005 e 2009 foram extraídos da base de dados da BMF&Bovespa disponível
no site da bolsa.
Foram usados os seguintes dados dos registros de ações de compra de
ações: código da opção, data de negociação, cotação de fechamento (diário),
volume financeiro (R$) e quantidade de negócios realizadas no dia.
Dos registros relacionados à negociação de opções foram extraídos: o código
da opção, data de negociação, data de vencimento, preço de exercício, volume
financeiro e quantidade de negócios.
Adicionalmente, cotações de fechamento de ações ajustadas à distribuição de
dividendos e desdobramentos, o número total de ações e índices de endividamento
líquido foram extraídos da base de dados da Economática.6
6
Usadas para subsidiar o cálculo de volatilidades históricas usadas, pois as cotações da
BMF&BOVESPA superestimariam essa variável.
28
3.1.2 Taxa livre de Risco
A taxa de risco dos modelos foi estimada através de contratos futuros DI.
Conforme Figueiredo (2005), esses contrato tem seus preços formados com base
nas expectativas dos agentes econômicos em relação às taxas de juros dos
Certificados
ados de Depósitos Interbancários
Interbancários.7 Para
a cada dia de negociação do período
observado, foram extraídas as taxas anuais para todos os vértices em negociação
do site da BMF&BOVESPA.
BOVESPA.
São exibidas na Figura
F
01 as taxas anuais de juros de depósito interbancário
(DI) de um dia útil, um ano e cinco anos para cada dia onde houve negociação do
SWAP DI-PRE
PRE no período entre 2005 e 2009.
Figura 01: Taxa de juros (% a.a.) pré-fixada de um dia, um ano e cinco anos entre 2005 e 2009
extraído dos vértices do SWAP DI-PRÉ.
DI
Fonte: Dados BMF&BOVESPA
Observa-se
se que no período estudado houve variação relevante das taxas DI
de diferentes vencimentos. Essas movimentações estão associadas às decisões de
relaxamento da política monetária do COPOM, órgão vinculado ao BACEN,
BACEN através
da queda da SELIC e pelas expectativas do mercado em relação às taxas futuras de
juros da economia.
7
SWAP DI-PRÉ ou contrato DI futuro é um derivativo que troca a remuneração efetiva de um
Certificado de Depósito Interbancário (CDI) em um dado prazo de vencimento por uma taxa prépré
fixada. O CDI por sua vez é a taxa de intermediação bancária que, por operações de arbitragem das
instituições bancárias e o baixo risco dos empréstimos interbancários, tende a ser próxima da taxa
básica de juros da economia,
economia, definida conceitualmente pelas remunerações dos títulos do tesouro
nacional. Assim a taxa do SWAP DI-PRÉ
DI PRÉ em um dado vencimento pode ser interpretado como a
expectativa do mercado para a taxa de juros futuro da taxa básica da economia nesse mesmo prazo.
29
Em um
m período expressivo
expre
entre 2005 e 2007 e no início
o de 2009, as taxas de
juros de longo prazo expressas pelo DI de um ano e o DI de cinco anos ficaram
abaixo da taxa DI de curto prazo de um dia útil. Tal fenômeno está associado com
ciclos de redução da SELIC associados a períodos de maior combate a inflação bem
como a ocorrência da crise econômica mundial em 2008, que permitiu uma queda
maiss acentuada da taxa de juros em função da redução do crescimento da economia
brasileira e mundial. Esse comportamento contraria a teoria econômica da liquidez,
de que o investidor, por ter preferência por dinheiro em espécie, demanda taxas de
juros maiores em vencimentos de longo prazo.. O comportamento do período pode
ter impacto no apreçamento do modelo de CO,, já que este utiliza simultaneamente
as taxa de juros de curto e longo prazo.
prazo
O vértice da taxa DI com
co maior prazo na amostra variou de oito a quinze
anos, enquanto o de prazo mais curto variou de um a quatro dias corridos. O autor
não realizou nenhum filtro por liquidez
liquidez dos vértices negociados do SWAP DI-PRÉ.
3.1.3 Dados contábeis endividamento
Para mensuração do valor contábil da dívida e da duração média
médi foram
usados os dados contábeis extraídos dos relatórios trimestrais da VALE e
PETROBRAS emitidos entre 2005
20
e 2009. A Figura
igura 02 ilustra o trecho de um
relatório trimestral abordando os prazos de vencimento das dívidas corporativas.
corporativas
Foram consultados no total 40 relatórios trimestrais.8
8
O valor de 40 corresponde aos relatórios trimestrais (4 por ano) das 2 empresas (Petrobras e Vale)
no período de 5 anos (2005 a 2009).
30
Figura 02: Montantes de principais e juros com vencimento previsto entre 2009 a 2013 da VALE a em
31/03/2008 (Fonte: Relatório demonstrações contábeis do primeiro trimestre de 2009 da VALE pp.
13).
A evolução dos índices de endividamentos líquidos contábeis da Petrobras e
Vale são expostos na Figura 03. A mudança brusca do endividamento da Vale no
segundo semestre de 2006 está associada à aquisição da INCO por R$ 28 bilhões.
A diferença entre o valor de aquisição da mineradora canadense e seu patrimônio
líquido contábil foi de R$ 24.072 milhões, o equivalente a 60% do novo Patrimônio
líquido contábil da VALE após a aquisição, de 39.908 milhões.
Petrobras
Vale
120
100
80
60
40
20
dezembro-09
setembro-09
junho-09
março-09
dezembro-08
setembro-08
junho-08
março-08
dezembro-07
setembro-07
junho-07
março-07
dezembro-06
setembro-06
junho-06
março-06
dezembro-05
setembro-05
junho-05
março-05
0
Figura 03 – Evolução do índice de endividamento (dívida líquida sobre patrimônio líquido) da
Petrobras e Vale entre 2005 e 2009 extraído da base de dados da Economática.
3.2
TRATAMENTO DE DADOS
3.2.1 Cálculo de variáveis observáveis
Em cada dia de negociação, as taxas livres de risco para todos os prazos
intermediários aos vértices disponíveis foram calculadas através de interpolação
linear. As taxas anuais obtidas foram convertidas para a base exponencial e usadas
nas variáveis de taxa de juros dos modelos.
31
A partir da base de cotações diárias de ações ajustada da Economática, as
volatilidades históricas foram estimadas pelos desvios padrões anuais dos retornos
dos ativos objetos conforme procedimento descrito em Lemgruber (1995). No cálculo
do desvio padrão amostral foram usados os logaritmos de retornos dos últimos 30
dias corridos. Essas volatilidades históricas serão usadas para apreçamento do
modelo de BSM com volatilidade histórica, usado como referência teórica para as
estimativas de BSM com volatilidade implícita.
Para cálculo da duração média da divida (duration), foram usados os valores
de pagamento de dívidas (amortização e juros) com vencimentos previstos no 1º, 2º,
3º, 4º e 5º ano em diante, além do endividamento no passivo circulante, equivalente
a vencimento no ano zero.
Uma vez que os prazos exatos das dívidas não estavam disponíveis, os
valores da Tabela 01 foram usados como aproximação para os prazos médios das
dívidas a vencer em cada ano. Foi usada a premissa que as dividas estavam
igualmente distribuídas em cada período. Assim, na dívida apurada no relatório do
quarto trimestre do ano zero que tivesse vencimento no Ano 2 foi considerado que o
vencimento médio ocorreria no meio do segundo ano, o equivalente a um
vencimento em 1,5 anos a partir de dezembro.
Tabela 01: Prazos médios (em anos) estimados da dívida da empresa a vencer em cada ano por
trimestre
Trimestre
Ano 0
Ano 1
Ano 2
Ano 3
Ano 4
4 TRIM
3 TRIM
2 TRIM
1 TRIM
0,5
0,125
0,25
0,375
1,5
0,75
1
1,25
2,5
1,75
2
2,25
3,5
2,75
3
3,25
4,5
3,75
4
4,25
Ano 5 em
Perpetua
diante
5,5
7,5
4,75
6,75
5
7
5,25
7,25
A duração (duration) das dívidas então é calculada pela ponderação dos
prazos pelo valor presente dos valores a vencer em cada prazo usando a taxa de
juros DI de um dia útil.
O endividamento total é a soma das dividas totais extraídas das
demonstrações contábeis trimestrais. Em seguida, o cálculo da dívida por ação
utiliza o número total de ações ordinárias e preferenciais existentes extraídas da
base de dados da Economática. Ressalta-se que não foi feita nenhum tipo de
32
diferenciação entre os tipos de ações,
ações embora as ações preferenciais tenham
preferência sobre as ordinárias em caso de falência.
Embora os dados contábeis só sejam emitidos quatro vezes ao ano, eles
foram usados para todas as datas de negociação de opções, portanto há uma
inexatidão decorrente da defasagem de tempo e atraso na atualização dessas
informações, bem como de eventuais erros contábeis e diferentes critérios contábeis
utilizados na apuração das dívidas.
Para tornar a comparação
comparação de métodos mais realista, a atualização dos dados
relacionados de dívida no estudo ocorreu em média cerca de dois meses após a
divulgação dos relatórios trimestrais.9 Os dados do endividamento do primeiro
trimestre de 2007 passaram a ser usado em maio do mesmo ano, por exemplo.
A Figura
igura 04 exibe o comportamento da duração média da dívida calculada a
partir das informações de endividamento extraídos dos relatórios trimestrais da
Petrobras e Vale. Em todo o período da amostra,
amostra a Vale apresentou uma duração
superior ao da Petrobras.
Figura 04 – Evolução da duração (duration)
(
da dívida da
a Petrobras e Vale entre 2005 e 2009,
calculada com informações de relatórios contábeis das empresas e taxa DI um dia
9
Dois meses
eses foi o tempo médio observado no período entre o fim de um trimestre e a respectiva
divulgação de seu relatório
ório trimestral pelas empresas estudadas (PETROBRAS e VALE).
33
3.2.2 Montagem do banco de dados
Os dados dos registros de negociação de opções de compra foram usados
como base para a tabela de dados necessários para os modelos de apreçamento.
Para cada cotação de opção de compra foi calculado o número de dias úteis até o
prazo de vencimento das opções negociadas. Fins de semana, feriados nacionais,
estaduais dos estados de SP e municipais do município de São Paulo não foram
considerados.
A esses registros foram associados os listados a seguir: à cotação diária de
fechamento da ação correspondente a opção negociada extraída da base de
negociação de ações da BMF&BOVESPA; o endividamento total e a duração média
estimada calculada a partir da última declaração trimestral de cada empresa e; taxas
livres de risco correspondentes aos vencimentos da opção de compra e da dívida
(duração).
3.2.3 Filtros utilizados
Devido à possibilidade de não sincronia entre as cotações de fechamento das
opções e ações, foram usados cinco filtros com o intuito de amenizar o problema:
Filtro 1: C >= S – K.e–Rf .t
Filtro 2: Volatilidade implícita de BSM <= 100% a.a. e sua existência
Filtro 3: Quantidade de negócios da opção maior do que 21.
Filtro 4: Erro médio estimação de parâmetros CO menor ou igual a 1%
Filtro 5: Retirar opções de maior liquidez em cada combinação de dia de
negociação e prazo de vencimento para garantir que o apreçamento da opção
ocorra fora da amostra.
O primeiro filtro tem como objetivo eliminar os casos em que o valor da ação
tenha subido significativamente após a última opção negociada. São descartados os
registros onde o valor das opções de compra (C) é menor do que a diferença entre o
preço da ação (S) e o valor de exercício da opção (K) trazida a valor presente pela
taxa livre de risco.
34
De forma similar, o segundo filtro elimina os casos em que houve uma queda
expressiva do preço da ação após a última opção negociada. O movimento de
queda
de
preço
da
ação
seria
compensado
por
volatilidades
implícitas
superdimensionadas. Apesar do limite máximo de 100% a.a. de volatilidade anual
ser possível, o autor entende que ele é bastante improvável nas ações analisadas, a
PETROBRAS e VALE, portanto não justificariam volatilidades acima desses
patamares.
O terceiro filtro tem como objetivo eliminar cotação de séries de opções pouco
negociadas, dada a grande probabilidade de falta de sincronia entre as cotações das
opções e ações correspondentes com baixa quantidade de negociações. Foi
utilizado o número mínimo de 21 negócios realizados por dia para haver em média
um negócio a cada 20 minutos.10
O quarto filtro tem o objetivo de eliminar observações de cotações diárias em
que o erro médio da estimação dos três parâmetros de CO por otimização é maior
do que 0,5%. Nesses casos não há uma solução única com um erro aceitável,
portanto o autor presume que houve não sincronia na observação. O método de
estimação de parâmetros é detalhado na seção 3.3.1.
Por fim, o quinto filtro retira as observações das opções de maiores liquidez
em cada combinação entre dia de negociação e dia de vencimento. Essa seleção é
aplicada para garantir que as precificações de CO e BSM sejam feito fora da
amostra de estimação, uma vez que parâmetros não observáveis usados nas
precificações são extraídos da opção mais líquida com o mesmo dia de negociação
e prazo de vencimento. O método de apreçamento utilizado é detalhado na seção
3.3.2.
10
Considerando 7 horas continuas de funcionamento diária das bolsas da BMF&Bovespa (entre 10:00
e 17:00 ).
35
3.3
APLICAÇÃO MODELOS BSM E CO
3.3.1 Estimação dos parâmetros
Ambos os modelos BSM e CO utilizam volatilidade associadas a expectativas
futuras nas precificações, pois utilizam estruturas a termo de volatilidades implícitas
de opções negociadas conforme metodologia de Geske (2007b).
No modelo de BSM, a apreçamento de todas as opções de compra do dia
atual utiliza a volatilidade implícita (σs) da serie de opção de compra de mesmo
prazo e maior liquidez em volume negociado do mesmo dia útil, independente do
preço de exercício. Utiliza-se essa metodologia porque a opção mais liquida é onde
teoricamente por haver mais conteúdo informacional, espera-se que a volatilidade
implícita seja mais confiável.
No modelo de CO de forma análoga, os parâmetros independentes V, V* e σv
são deduzidos a partir das opções mais líquidas em uma mesma data de
vencimento. As variáveis são então simultaneamente calculadas como proposto por
Geske (2007b) através da resolução do sistema composto pelas equações não
lineares (IV), (VII), (XII), repetidas abaixo.
C = V N h ; g ; ρ − Me 0 N h ; g ; ρ −
S V, t = V N h − M e* N h Ke1 01 N h K = V ∗ N h − M e* N h III
II
V
A obtenção dos parâmetros ocorre em dois passos. No primeiro passo, os
três parâmetros são resolvidos para as opções de maior liquidez em cada dia de
negociação, independente do seu prazo de vencimento, através do Problema de
Programação Linear (PPL) de minimização multiobjetivo listado a seguir.
Minimizar Zi = mi + ni + oi
mi = [ (Eq. (III) – Ci) / Ci x 100 ]2
ni = [ (Eq. (II) – Si) / Si x 100 ]2
oi = [ (Eq. (V) – Ki) / Ki x 100]2
sujeito a:
36
σvi >=1%
σvi <=100%
Vi, V*i , σvi >= 0 (variáveis)
Sendo i uma identificação para cada observação de opção de compra com
maior liquidez em um mesmo dia de negociação. A função multiobjetivo Zi é igual à
soma do quadrado dos erros relativos entre os valores estimados pelas equações
(IV), (VII) e (XII) e os valores de mercado. São impostas as restrições adicionais de
a volatilidade do retorno dos ativos assumir valores entre 1% e 100%, para evitar
valores sem sentido.
Em seguida os respectivos valores dos ativos da empresa (V) obtidos no
primeiro passo são considerados constantes para as opções mais líquidas dos
demais prazos de vencimento. As demais variáveis V* e σv então são calculadas na
resolução do sistema de duas equações não lineares e as duas variáveis
independentes pelo PPL similar conforme PPL abaixo:
Minimizar Zi = mi + ni
mi = [ (Eq. (III) – Ci) / Ci x 100 ]2
ni = [ (Eq. (II) – Si) / Si x 100 ]2
sujeito a:
σvi >=1%
σvi <=100%
V*i, σvi >= 0 (variáveis)
Sendo i, uma identificação para cada observação de cotação de fechamento
das demais opções mais liquidas em cada combinação entre dia de negociação e
prazo de vencimento, com exceção das combinações não solucionadas no primeiro
passo.
Ao todo foram necessários a resolução de 7.855 PPLs, sendo: 2.448 do
primeiro passo relacionado aos 1.224 dias uteis observados de ambas as empresas
no período e; 5.407 do segundo passo associados as demais combinações entre
empresa, dia de negociação e data de vencimento.
37
A variável do preço de mercado crítico da dívida da empresa (D*) é então
calculada pela diferença entre o valor crítico dos ativos da empresa (V*) e o valor
crítico de mercado da ação da empresa (S*), que por definição é igual ao preço de
exercício.
Sendo:
V ∗ = S ∗ + D∗ → D∗ = V ∗ − S ∗ = V ∗ − K
VI
D - valor de mercado da dívida da empresa por ação;
V - valor de mercado dos ativos da empresa por ação;
D* - valor de mercado crítico da dívida da empresa por ação;
V* - valor de mercado crítico dos ativos da empresa por ação;
K – preço de exercício da opção e;
S - valor de mercado da ação da empresa.
3.3.2 Apreçamento fora da amostra
Para garantir que a apreçamento seja feita apenas com os dados não
amostra usados na estimação de parâmetros, as opções mais líquidas de cada
combinação entre dia de negociação e prazo de vencimento são excluídas da
amostra final através do Filtro 6.
Com os dados calculados, a opção de c0ompra de cada dia é precificada pelo
CO utilizando o valor de mercado dos ativos da empresa (V) implícito da opção de
maior liquidez do dia atual independente do prazo, enquanto D*, σv e σs implícitos
são calculados a partir da opção mais líquida do dia atual com mesmo prazo de
vencimento da opção a ser precificada.
Assim o parâmetro V é o mesmo em todas as opções do mesmo dia e os
parâmetros D*, σv e σs são os mesmos para as observações da mesma data de
negociação e mesmo prazo de vencimento.11 O parâmetro D* é o valor de mercado
11
O autor entende que o preço de mercado crítico da dívida (D*) deveria ser ajustado para cada diferente
preço de exercício, uma vez que depende do valor crítico da ação (S* = K). O valor no entanto é aproximado
pelo D* da opção mais liquida de mesmo dia de negociação e prazo de vencimento conforme revisão de 2010
de Geske (2007b), onde a questão é detalhada.
38
da dívida da empresa quando o valor da ação pela Equação (IV) se iguala ao preço
de exercício. A estimação dos parâmetros é sintetizada nas fórmulas abaixo:
V < = V =>0=
σ < @ = σ < =>0=
σ7 < @ = σ7 < =>0=
D∗ < @ = V ∗ < =>0= − K < =>0=
V ∗ < @ = D∗ < @ + K < @
(VII)
VIII
IX
X
XI
Sendo:
MATM - referência a opção mais líquida (Most at the Money);
i - identificador associado à data de negociação;
i - identificador associado à data de vencimento;
k - identificador associado a preço de exercício;
D - valor de mercado da dívida da empresa por ação;
V - valor de mercado dos ativos da empresa por ação;
D* - valor de mercado crítico da dívida da empresa por ação;
V* - valor de mercado crítico dos ativos da empresa por ação e;
S - valor de mercado da ação da empresa.
O valor da opção de compra no dia atual pelo método de CO é então obtido
pela aplicação de CO (Eq. III) com as variáveis não observáveis implícitas
calculadas, enquanto duas precificações de BSM são feitas com a equação (I)
utilizando: a volatilidade implícita do retorno da ação e; a volatilidade histórica obtida
pela aplicação de desvio padrão amostral dos logaritmos dos retornos das cotações
de fechamento da ação respectiva ajustada do Economática dos últimos 30 dias
úteis.
39
3.4
ESTRATIFICAÇÕES DA AMOSTRA
As opções foram segmentadas conforme seus prazos de vencimento,
proximidade do dinheiro (relação entre preço de exercício e o preço da ação),
semestre de negociação e endividamento da empresa cuja ação é o ativo adjacente
da opção.
Em relação ao prazo de vencimento, as negociações de opções foram
divididas em cinco intervalos. Estes foram definidos para que os registros se
distribuíssem de maneira relativamente uniforme. Os intervalos, no entanto, tiveram
prazos curtos devido ao menor prazo das opções de compra no mercado brasileiro,
e ao descarte de observações de séries de opções com baixa liquidez pelos filtros
aplicados.
1. Vencimento entre 0 e 15 dias corridos
2. Vencimento entre 16 e 30 dias corridos
3. Vencimento entre 31 e 45 dias corridos
4. Vencimento entre 46 e 60 dias corridos
5. Vencimento acima de 60 dias corridos
As opções foram classificadas em cinco categorias quanto à proximidade do
dinheiro, relação entre o preço de exercício da opção e o preço da ação (K/S),
também conhecido como moneyness.
1. Muito dentro do dinheiro (MDD): Abaixo de 0,85
2. Dentro do dinheiro (DD): 0,85 a 0,95
3. No dinheiro (ND): 0,95 a 1,05
4. Fora do dinheiro (FD): 1,05 a 1,15
5. Muito fora do dinheiro (MFD): Acima de 1,15
A classificação quanto ao endividamento da empresa utilizou o índice contábil
de endividamento líquido, igual à dívida líquida da empresa sobre seu patrimônio
líquido. Foram usadas seis classificações listadas a seguir:
1. Endividamento líquido entre 0% e 20%
2. Endividamento líquido entre 20% e 25%
3. Endividamento líquido entre 25% e 40%
40
4. Endividamento líquido entre 40% e 60%
5. Endividamento líquido entre 60% e 80%
6. Endividamento líquido maior do que 80%
Como não há diversidade de empresas, os endividamentos são altamente
correlacionados com as variações temporais, pois estão associados à evolução da
“alavancagem” financeira da Petrobras e Vale ao longo do tempo. Um exemplo
disso é a amostra que possui endividamento líquido acima de 80%, composta
apenas por opções da Vale do segundo semestre de 2006 e o primeiro semestre de
2007, período em que o endividamento teve um pico, conforme ilustra a Figura 03,
devido à compra da empresa canadense de mineração Inco.
3.5
MÉTRICAS DE COMPARAÇÃO E TESTES ESTATÍSTICOS
Para comparar os erros dos modelos de apreçamento, foram utilizadas as
métricas listadas abaixo com o objetivo de verificar: o erro relativo de cada modelo
sobre o preço de mercado efetivo da opção de compra e; a diferença do erro relativo
de apreçamento do modelo CO em alternativa ao BSM em uma opção de compra de
ação.
ERRO RELATIVO BS = ER BSM =
BSM − PM
PM
MÓDULO ERRO RELATIVO BS = MER BSM =
ERRO RELATIVO CO = ER CO =
|BSM − PM|
PM
CO − PM
PM
MÓDULO ERRO RELATIVO CO = MER CO =
|CO − PM|
PM
XII
XIII
XIV
XV
DIFERENÇA MÓDULOS DE ERRO RELATIVO = Delta NMERBSM − MER COO
=
Sendo:
|BSM − PM| − |CO − PM|
PM
BSM - valor da opção segundo o método de Black-Scholes-Merton;
XVI
41
CO - valor da opção segundo o método de Compound Options;
PM - preço de mercado da opção e;
|| - função módulo (valores absolutos).
A Figura 5 ilustra a métrica da diferença do módulo dos erros de CO e BSM.
Caso seja positiva (negativa), a estimativa do valor da opção por CO será mais
próxima (distante) do valor de mercado do que BSM.
Figura 05 – Curvas hipotéticas do preço de mercado de opção, estimativas de BSM e CO, e os
módulos dos erros associados de CO, BSM e a diferença de ambos em diferentes proximidades do
dinheiro.
Para verificar as significâncias dos resultados encontrados, testes estatísticos
em pares são usados para verificar se os erros dos modelos possuem medianas
diferentes de zero. Os que forem estatisticamente diferentes do que zero podem
então ser comparados.
Os erros de BSM com volatilidade implícita são comparados ao BSM com
volatilidade histórica para verificar empiricamente a dominância esperada do
primeiro método em relação aos erros de estimativa fora da amostra.
Em seguida, as médias e medianas da diferença de erro entre CO e BSM,
ambos com volatilidades implícitas, são analisadas e testadas estatisticamente
conforme as diferentes combinações entre tipos de proximidade do dinheiro, prazos
de vencimentos e semestres de negociação, O teste não paramétrico de Wilcoxon
em pares foi escolhido para testar as hipóteses principais, ou seja, verificar se algum
dos dois métodos apresenta erros relativos de apreçamento de opções de compra
sistematicamente maiores ou menores.
42
Por último uma regressão linear é aplicada para mensurar qualitativamente a
relação entre a diferença dos erros de BSM e CO e variáveis independentes
relacionadas como: a proximidade do dinheiro; prazo de vencimento; endividamento
líquido contábil; spread de juros de longo e curto prazo e; uma variável dummy
relacionada à empresa(1 para Vale e 0 para a Petrobras). A regressão é similar a
aplicada por Bakshi, Cao e Chen (1997), porém sendo aplicada a diferença de
módulos de erros dos métodos de BSM e CO. O procedimento tem o intuito de
verificar em que situações o método de CO tem melhoria de desempenho
considerando seus erros de apreçamento.
Para efeitos de testes estatísticos, os erros dos métodos de precificações de
opções são variáveis relacionadas, já que em um dado momento utilizam as
mesmas informações de preço de exercício e prazo de vencimento. Assim, devem
ser aplicados os testes adequados em pares, através da diferença das amostras.
Sendo XQ , … , X e YQ , … , Y pares X< , Y< → D< = X< − Y< , ∀ i
Quando ambas as variáveis seguem distribuições normais e possuem escalas
de razões ou intervalos, pode-se usar o método estatístico paramétrico do teste t de
student para diferenças de médias. Por outro lado quando a premissa de
normalidade não é razoável, testes não paramétricos devem ser usados, como o
teste de Wilcoxon (signed ranks).
Os testes de Wilcoxon e t de student para duas variáveis relacionadas testam
respectivamente a mediana e a média das variáveis nos três possíveis testes de
hipótese listados abaixo.
Teste unilateral inferior:
Ho: M1 ≥ M2; Ha: M1<M2; Valor p< α
Teste unilateral superior:
Ho: M1≤M2; Ha: M1>M2; Valor p < α
Teste bicaudal:
Ho: M1= M2; Ha: M1 ≠ M2; Valor p < α
43
A Tabela 02 lista as principais vantagens e desvantagens dos testes não
paramétricos conforme apontado por Siegel (1971).
(19
Tabela 02:: Vantagens e desvantagens de métodos estatísticos não paramétricos em comparação aos
testes paramétricos tradicionais
Vantagens
Desvantagens
•
As afirmações probabilísticas são •
exatas, não dependendo da forma de
distribuição da população da qual se
extraiu a amostra;
•
Em amostras pequenas (n<10), não
há alternativas à testes não
paramétricos;
•
•
•
•
Testes podem ser usados em
amostras constituídas de várias
distribuições
de
probabilidade
misturadas, o que não é possível em
testes paramétricos.
•
Podem ser aplicadas a variáveis
qualitativas ou quantitativas, desde
que estas possam
m ser ordenadas •
segundo alguma lógica.
Possuem aplicação e aprendizado
mais fácil
Se as premissas dos testes
paramétricos forem atendidas, então
estas são mais poderosas
poderosa do que a
técnica
não
paramétrica
correspondente por usarem as
informações disponíveis nos dados
estudados.
Para uma mesma precisão, a
estatística não-paramétrica
paramétrica demanda
uma
quantidade
maior
de
observações;
As hipóteses testadas por testes nãonão
paramétricos tendem ser menos
específicas;
Em casos com muitos resultados de
empate de postos, as estatísticas
serão
superestimadas,
exigindo
correções.
Fonte: Siegel (1975)
Os testes de Wilcoxon em variáveis relacionadas testa especificamente se o
posto médio das diferenças positivas é diferente (maior ou menor) do posto médio
das diferenças negativas, ou o equivalente a afirmar que a mediana é igual a zero
(positiva ou negativa). Conforme proposto por Conover (1980), para aplicar o teste é
necessário: (i) ordenar de forma crescente o módulo das diferenças (
) entre as
variáveis relacionadas e; (ii) atribuir sinais negativo (positivo) quando a diferença é
negativa (positiva), gerando o variável Ri. A estatística do teste é dada por T, que
assume uma distribuição normal.
T
∑ R<
[
Z∑ R<
Sendo:
Ri - posto com sinal atribuído aos valores absolutos de Di e;
T - a estatística do teste que segue uma distribuição normal.
XVII
44
4. AMOSTRA E RESULTADOS
Neste capítulo, são analisados características da população, os filtros
aplicados e a amostra final. Em seguida, os erros relativos são comparados por meio
do comportamento de suas médias absolutas e relativas nos diferentes tipos de
proximidade do dinheiro e prazo de vencimento.
Por fim as diferenças dos módulos dos erros relativos de CO e BSM, ambas
com volatilidades implícitas, são analisadas e testadas estatisticamente em
diferentes extratos definidos pelas demais variáveis relevantes.
4.1
POPULAÇÃO E AMOSTRA
A população analisada consistiu de observações de cotações de fechamento
de opções da BMF&Bovespa. Foram selecionadas as observações no período entre
2005 e 2009.
A Tabela 3 e 4 exibem a distribuição da liquidez das opções de compra de
ações no período em volume monetário nominal (R$ mil) e número de observações
(cotações de fechamento). São também listadas as participações das principais
ações em ambos os volumes. Observa-se que no período, a Petrobras e a Vale
responderam por 89,6 % do volume financeiro de R$ 166,7 bilhões negociados e de
58,2% do total de 137.034 de cotações de fechamento diárias de opções de
diferentes séries e vencimento.
Segundo a Tabela 2, a Telemar era a empresa cujas opções eram as mais
líquidas em valor no ano de 2005. Em 2006 as opções da empresa sofreram uma
queda expressiva nos montantes negociados e as opções da Petrobras e Vale a
ultrapassaram. O autor entende que a incorporação da Telemar pela OI no segundo
semestre de 2006 está relacionada com essa mudança de preferência dos
investidores no mercado de opções. Por outro lado, as opções da Vale
experimentaram uma participação crescente no volume negociado, variando de
2,9% em 2005 para 51,4% em 2009 das negociações efetuadas, ultrapassando as
opções até mesmo da Petrobras nesse último ano.
45
Tabela 02: Participação (%) das empresas com maior liquidez no volumes negociados (R$ mil) de
suas séries de opções de compra
Empresas Código Ação
Petrobras
PETR4
VALE
VALE5
Total Petrobras e VALE
TELEMAR
TNLP4
NET
NETC4
OGX
OGXP3
Eletrobras
ELET3
BRADESCO
BBDC4
Outros
Outros
Total outras empresas
Total (Em R$ mil)
R$
2005
11,8%
2,9%
14,7%
82,6%
0,8%
0,0%
0,0%
0,2%
1,7%
85,3%
13.443.455 R$
2006
80,5%
9,4%
89,9%
8,3%
0,5%
0,0%
0,3%
0,1%
0,9%
10,1%
20.781.494 R$
2007
70,0%
27,9%
97,9%
0,9%
0,1%
0,0%
0,5%
0,1%
0,5%
2,1%
37.803.849 R$
2008
66,2%
31,7%
97,9%
0,2%
0,1%
0,0%
0,2%
0,5%
1,2%
2,1%
38.846.643 R$
2009
Total
44,6%
57,2%
51,4%
32,3%
96,1%
89,6%
0,1%
8,0%
0,7%
0,4%
0,7%
0,2%
0,0%
0,2%
0,1%
0,2%
2,3%
1,4%
3,9%
10,4%
55.795.458 R$ 166.670.899
Na Tabela 3, verifica-se um comportamento similar no número de
observações (cotações diárias). As opções da VALE e Petrobras se alternam como
as mais líquidas ao longo dos anos, porém também é nítida o crescimento da
importância das opções da VALE no período e a liderança e, liquidez em valor
alcançada em 2009. As observações de negociação das opções da Telemar sofrem
também uma queda contínua.
Tabela 03: Participação (%) das empresas com maior liquidez no número de observações diárias de
negociação de séries de opções de compra
Empresas
Código Ação
Petrobras
PETR4
VALE
VALE5
Total Petrobras e VALE
TELEMAR
TNLP4
NET
NETC4
OGX
OGXP3
Eletrobras
ELET3
BRADESCO
BBDC4
Outros
Outros
Total outras empresas
Total (Em observações)
2005
26,2%
16,1%
42,3%
18,9%
10,2%
0,0%
0,0%
0,6%
27,9%
57,7%
20.604
2006
27,4%
21,0%
48,4%
17,9%
10,0%
0,0%
0,8%
1,8%
21,1%
51,6%
26.230
2007
30,5%
32,9%
63,5%
10,2%
9,5%
0,0%
1,5%
2,5%
12,9%
36,5%
28.692
2008
42,7%
32,1%
74,8%
7,6%
4,0%
0,0%
0,8%
2,6%
10,2%
25,2%
28.129
2009
30,2%
27,1%
57,3%
7,3%
1,1%
1,5%
0,2%
4,8%
27,9%
42,7%
33.379
Total
31,7%
26,5%
58,2%
11,7%
6,5%
0,4%
0,7%
2,6%
19,8%
41,8%
137.034
Dado a concentração do mercado de opções sobre as ações preferências da
Petrobras e Vale e a necessidade de levantamento de prazos médios da dívida de
relatórios trimestrais para o modelo de CO, a amostra foi restrita a essas duas
empresas.
O efeito da aplicação dos filtros propostos sobre as observações é exibido na
Tabela 04. Após a aplicação dos cinco filtros, a amostra foi reduzida a 21.542
observações, ou o equivalente a 29% da população de 73.729 cotações de
46
fechamento de opções de compra da Petrobras e Vale entre 2005 e 2009.12 Dentre
os filtros aplicados, o mais restritivo foi terceiro de liquidez (número de negócios
acima de 21 por dia), descartando mais de 50% das observações. Os percentuais de
descarte de cada filtro incidem sobre a população inicial e são independentes. Assim
não é possível obter o percentual total descartado apenas pela soma dos descartes
individuais, devido à ocorrência de múltiplas contagens.
Tabela 04: Aplicação dos filtros sobre as quantidades do universo de observações de
cotações diárias de diferentes séries de opções de compra de ações da PETROBRAS e
VALE entre 2005 e 2009
Empresa
Universo
Petrobras
VALE
TOTAL
Amostra
(N )
Descartes
Filtro 1
Descartes
Filtro 2
Descartes
Filtro 3
Descartes
Filtro 4
Descartes
Filtro 5
Final (N )
40.571
33.158
73.729
0,8%
0,6%
0,7%
6,4%
4,5%
5,5%
51,1%
49,7%
50,5%
9,0%
9,0%
9,0%
10,2%
11,3%
10,7%
11.661
9.881
21.542
o
o
A Tabela 05 mostra as características da amostra final de observações de
cotações de fechamento de opções de compra. Para cada combinação entre os
tipos de proximidade do dinheiro e prazo de vencimento, são exibidos o número total
de cotações diária e o volume monetário negociado.
Tabela 05: Analise descritiva da amostra de opções de compra negociadas com número de
observações e volume (R$ mil) por categoria de proximidade do dinheiro e prazo de vencimento
Prazo de vencimento (dias corridos)
K/S
MDD
DD
ND
FD
MFD
0 - 15
< 0,85
R$
0,85 - 0,95
R$
0,95 - 1,05
R$
1,05 - 1,15
R$
> 1,15
Total
R$
R$
16 - 30
31 - 45
46 - 60
> 61
528.218 R$
660.188 R$
393.885 R$
53.951 R$
14.855
193
444
326
126
36
6.486.446 R$ 7.890.274 R$ 3.467.144 R$
412.946 R$
81.071
1.002
1.589
1.259
699
188
10.182.522 R$ 16.377.207 R$ 6.894.642 R$
982.924 R$
150.969
1.260
1.995
1.831
1.289
454
2.570.804 R$ 7.842.126 R$ 3.298.029 R$
439.910 R$
86.900
656
1.735
1.579
1.272
499
112.118 R$
888.900 R$
478.413 R$
80.206 R$
13.225
119
907
1.027
809
248
19.880.108 R$ 33.658.694 R$ 14.532.113 R$ 1.969.937 R$
347.020
3.230
6.670
6.022
4.195
1.425
Total
R$ 1.651.097
1.125
R$ 18.337.881
4.737
R$ 34.588.264
6.829
R$ 14.237.769
5.741
R$ 1.572.861
3.110
R$ 70.387.871
21.542
A amostra final contém um total de R$ 70,4 bilhões negociados e 21.542
cotações de fechamento de opções de compra, sendo que 27% do total estão dentro
do dinheiro (K/S < 0,95), 32% no dinheiro (0,95<=K/S<=1,05) e 41% fora do dinheiro
(K/S > 1,05). Dentre as cinco categorias analisadas, a das opções no dinheiro (ND)
12
Adicionais aos filtros do corte temporal (entre 2005 e 2009) e das empresas de maior liquidez
(Petrobras e VALE).
47
teve a maior liquidez de negociação como esperado, com R$ 34,6 bilhões
negociados e 6.829 observações, enquanto a muito fora do dinheiro (MDD) foi a
menos liquida, com R$ 1,6 bilhão negociados e 3.110 observações de cotações de
fechamento.
A amostra é concentrada em prazos curtos de vencimento, com 56% do
volume em valor e 30% das observações tendo vencimentos inferiores a 30 dias
corridos.
Algumas especificidades do mercado brasileiro são relevantes, pois diferem
bastante do mercado de opções nos EUA e podem impactar o resultado da
comparação dos métodos. O Brasil apresenta: uma taxa básica de juros real da
economia substancialmente maior; o mercado de opções é concentrado em duas
empresas; ambas as empresas possuem ações preferenciais precificadas com
valores substancialmente diferente das ordinárias; as opções possuem prazos
médios menores; e o spread de juros entre as taxas de curto e longo prazo foi
bastante volátil, com grande parte do período estudado apresentando spreads
negativos de alguns pontos percentuais.
4.2
ANÁLISE DOS ERROS RELATIVOS
Para comparar os erros relativos dos diferentes métodos, é necessário antes
testar suas significâncias estatisticamente.
O teste t de Wilcoxon em pares relacionados é aplicado então ao erro relativo
de cada método para testar a hipótese nula de que suas medianas são iguais a zero,
ou o equivalente as suas estimativas de preço serem iguais aos valores de mercado.
O método é usado por ser mais conservador do que o teste t de student e não
pressupor normalidade da distribuição dos erros.
A Tabela 06 exibe os resultados do teste estatístico. Todos os testes têm
medianas de erros estatisticamente inferiores à zero. A subestimação dos três
métodos é consistente com a existência de um spread cobrado pelos bancos que
fazem arbitragem com a venda e compra de opções e garantem liquidez ao
mercado.
48
Tabela 06: Testes de Wilcoxon em pares relacionados dos erros relativos de apreçamento dos quatro
métodos para testar a hipótese nula de que erros são estatisticamente iguais a zero. Os erros são
relativos aos métodos: de BSM com volatilidade obtida por desvio padrão amostral; de BSM com
volatilidade implícita e; de CO por volatilidade implícita.
Somario Ri
Somatorio Ri ao quadrado
T
T critico unilateral 5%
Decisao
Erro BSM DP
Erro BSM vol imp
Erro CO vol imp
-60.605.085,00
1.825.507,09
-33,20
-56.012.527,00
1.825.507,09
-30,68
+ ou - 1,64
-64.365.845,00
1.825.507,09
-35,26
Rejeitar Ho: Erro
estatisticamente < 0
Rejeitar Ho: Erro
estatisticamente < 0
Rejeitar Ho: Erro
estatisticamente < 0
A Tabela 07 apresenta os percentuais, dentre as observações nas diferentes
proximidades do dinheiro e prazos de vencimento, em que ocorre subestimação da
opção, ou seja, o erro é inferior a zero. O percentual de 50% é o esperado caso os
erros sejam simétricos. Quanto mais próximo de 100% (0%) maior a ocorrência de
subestimação (superestimação) do preço de mercado da opção pelo método.
Tabela 07: Percentuais de cotações que subestimam o preço da opção por proximidade do dinheiro e
semestre dos métodos de BSM com volatilidade histórica calculada por DP amostra, BSM com
volatilidade implícita e CO com volatilidade implícita.
Dentro do dinheiro (DD)
K/S < 0,95
Prazo
BSM DP BSM VI
vencimento (DC)
0 - 15
82%
89%
16 - 30
70%
81%
31 - 45
62%
65%
46 - 60
60%
68%
> 61
78%
65%
Total
69%
76%
No dinheiro (ND)
0,95< K/S <1,05
CO VI BSM DP BSM VI
90%
88%
79%
79%
77%
84%
53%
55%
60%
51%
61%
56%
64%
67%
59%
62%
68%
64%
Fora do dinheiro (FD)
K/S>1,05
CO VI BSM DP BSM VI
66%
73%
70%
70%
70%
70%
63%
53%
59%
49%
53%
55%
66%
48%
39%
39%
33%
44%
CO VI
Total
49%
40%
32%
32%
30%
36%
69%
61%
56%
51%
54%
58%
Em todas as opções dentro do dinheiro (DD) e no dinheiro (ND), os métodos
subestimam o valor de mercado. Nas opções fora do dinheiro, a maior parte das
precificações com volatilidades implícitas de CO e BSM superestimou a cotação de
mercado, enquanto a apreçamento de BSM com volatilidade histórica fica próxima
ao valor esperado de 50%.
Ao comparar os três métodos, observa-se que nas opções dentro do dinheiro
e fora do dinheiro, na maior parte dos casos o CO apresenta a maior proporção de
subestimações, seguido do BSM com volatilidade implícita e BSM com volatilidade
49
histórica. Nas opções fora do dinheiro essa relação se inverte, com o método de CO
apresentando o maior percentual de superestimativa.
Quando se analisa os prazos de vencimento, observa-se que houve uma
tendência de diminuição do subapreçamento dos modelos com volatilidade implícita
(CO e BS), conforme maior foi o prazo de vencimento nas opções dentro do dinheiro
e fora do dinheiro.
A Tabela 08 exibe as médias dos erros relativos e a média do módulo dos
erros relativos dos três métodos por proximidade do dinheiro e prazo de vencimento.
Tabela 08: Médias dos erros relativos (%) por proximidade do dinheiro e prazo de vencimento dos
métodos: de BSM com volatilidade histórica calculada por DP amostra (BSM DP), BSM com
volatilidade implícita (BSM VI) e CO com volatilidade implícita (CO VI).
Dentro do dinheiro (DD)
K/S < 0,95
Prazo
BSM DP BSM VI
vencimento (DC)
Média
erro
relativo
Média
módulo
erro
relativo
0 - 15
16 - 30
31 - 45
46 - 60
> 61
Total
0 - 15
16 - 30
31 - 45
46 - 60
> 61
Total
-1,9%
-1,3%
-0,4%
-0,5%
-2,3%
-1,1%
3,2%
4,2%
4,8%
6,5%
7,0%
4,6%
-2,2%
-1,7%
-0,8%
-1,4%
-0,9%
-1,5%
2,5%
2,3%
2,4%
2,9%
2,7%
2,5%
No dinheiro (ND)
0,95< K/S <1,05
Fora do dinheiro (FD)
K/S>1,05
CO VI BSM DP BSM VI
CO VI BSM DP BSM VI
CO VI
Total
-5,6%
-3,6%
-5,7%
-4,9%
-4,7%
-4,8%
6,2%
4,0%
6,8%
6,1%
6,2%
5,6%
-1,6%
-2,2%
-2,7%
-3,2%
-3,8%
-2,5%
9,4%
6,0%
6,4%
6,3%
6,6%
6,8%
0,8%
3,8%
6,5%
6,0%
6,6%
5,1%
12,3%
11,9%
12,3%
10,8%
11,2%
11,8%
-0,1%
4,5%
2,6%
6,2%
3,0%
3,5%
15,7%
20,0%
17,2%
19,5%
17,4%
18,3%
4,1%
0,6%
-1,9%
2,5%
-2,6%
0,7%
20,3%
16,1%
13,3%
15,8%
17,0%
16,1%
-1,6%
-1,2%
-0,6%
-1,0%
-1,7%
-1,1%
6,0%
4,3%
3,7%
3,9%
4,3%
4,4%
3,2%
20,2%
9,2%
20,2%
8,3%
14,5%
66,0%
67,2%
51,5%
52,8%
39,5%
56,8%
-5,5%
0,1%
2,4%
2,6%
4,8%
1,3%
11,3%
10,5%
9,7%
8,4%
9,1%
9,8%
A média de erros relativos confirma observação anterior que os três métodos
tendem a subestimar opções dentro e no dinheiro e superestimar opções fora do
dinheiro. O método de BSM com desvio padrão amostral parece ser o mais simétrico
entre os três. Não obstante, ao analisar a média dos módulos dos erros absolutos, o
BSM com volatilidade histórica apresenta sistematicamente maior erro em módulo
em relação ao BSM com volatilidade implícita em todos os subconjuntos
observados.
A Tabela 9 apresenta o mesmo gráfico, porém para as médias dos erros
absolutos. Os erros nas opções fora do dinheiro são pequenos quando comparados
com as opções no dinheiro e dentro do dinheiro. Infere-se que a maior magnitude de
seus erros percentuais nas opções fora do dinheiro (FD) ocorrem parcialmente
devido a menor base de cálculo, ou seja, pelo fato das opções fora do dinheiro
50
valerem tão pouco a ponto de um variação na escala de um centavo representar
uma aumento percentual relevante.
Tabela 9: Médias dos erros absolutos (R$) por proximidade do dinheiro e prazo de vencimento dos
métodos: de BSM com volatilidade histórica calculada por DP amostra (BSM DP), BSM com
volatilidade implícita (BSM VI) e CO com volatilidade implícita (CO VI).
Dentro do dinheiro (DD)
No dinheiro (ND)
Fora do dinheiro
< 0,95
0,95<
K/SVI
<1,05
Prazo
BSM DP K/S
BSM
VI CO VI BSM DP
BSM
CO VI BSM DP K/S>1,05
BSM VI
vencimento
0 - 15 (DC) -0,11
-0,12
-0,28
-0,02
-0,04
-0,10
-0,02
-0,01
16 - 30
-0,09
-0,10
-0,20
-0,04
-0,05
-0,10
0,03
0,00
Média
31 - 45
-0,03
-0,05
-0,32
-0,07
-0,03
-0,11
0,02
0,02
erro
46 - 60
-0,03
-0,07
-0,25
0,08
-0,04
-0,11
0,14
0,02
absoluto
> 61
-0,12
-0,05
-0,25
-0,03
-0,05
-0,11
0,08
0,03
Total
-0,07
-0,08
-0,26
-0,02
-0,04
-0,10
0,05
0,02
0 - 15
0,16
0,13
0,31
0,25
0,09
0,15
0,14
0,03
16 - 30
0,23
0,13
0,23
0,34
0,10
0,14
0,19
0,03
Média
31 - 45
0,26
0,14
0,39
0,37
0,11
0,19
0,25
0,05
modulo
erro
46 - 60
0,32
0,15
0,32
0,48
0,12
0,19
0,40
0,07
absoluto
> 61
0,34
0,14
0,33
0,47
0,12
0,18
0,41
0,09
Total
0,24
0,14
0,31
0,37
0,11
0,17
0,27
0,05
(FD)
CO VI
0,00
Total
-0,07
0,01
0,04
0,04
0,05
0,03
0,03
0,04
0,07
0,09
0,11
0,06
-0,04
-0,03
0,03
-0,00
-0,03
0,16
0,18
0,21
0,27
0,27
0,21
Nas opções no dinheiro (ND) e fora do dinheiro (FD) observa-se que
sistematicamente o menor módulo de erro absoluto e relativo são obtidos por BSM
com volatilidade implícita, seguido por CO com volatilidade implícita, e por último
BSM com volatilidade histórica obtida por desvio padrão amostral. Nas opções
dentro do dinheiro (DD), o comportamento é similar. No entanto o erro relativo pelo
método de CO tem desempenho igual ou pior na maior parte dos anos ao de BSM
com volatilidades históricas.
Pode-se fazer uma analogia entre as médias de erro e o sorriso de
volatilidade formado pelas volatilidades implícitas de BSM. Quando a média do erro
é negativa (positiva) ocorre subestimação (superestimação) assim a volatilidade
implícita daquele ponto seria superior (inferior) a volatilidade implícita usada da
opção mais líquida no dinheiro.
A Tabela 10 exibe a média das volatilidades implícitas de BSM obtidas das
opções negociadas em diferentes combinações entre proximidade do dinheiro e
semestre de negociação, independente da empresa. De forma geral, observa-se o a
forma convexa do sorriso de volatilidade em todos os semestres do períodos da
amostra, com as opções no dinheiro (ND) apresentando as menores médias de
volatilidade implícita.
51
Tabela 10: Médias das volatilidades implícitas de BSM por proximidade do dinheiro e prazo de
vencimento.
Semestre
2005_1
2005_2
2006_1
2006_2
2007_1
2007_2
2008_1
2008_2
2009_1
2009_2
Total
MDD
65%
57%
55%
61%
68%
60%
73%
63%
55%
62%
DD
34%
37%
36%
34%
35%
47%
47%
61%
51%
38%
44%
ND
28%
29%
29%
28%
29%
45%
44%
56%
47%
33%
37%
FD
31%
30%
30%
27%
28%
43%
44%
55%
45%
32%
37%
MFD
40%
39%
34%
29%
29%
48%
47%
61%
49%
34%
48%
Total
29%
31%
31%
30%
31%
46%
45%
60%
51%
38%
41%
A diferença entre o módulo do erro de BSM com volatilidade implícita e o
módulo do erro de BSM com volatilidades históricas é testada com Wilcoxon em
pares. Em ambos os testes, foi verificado que o erro de BSM com volatilidade
implícita foi estatisticamente inferior. Assim este último método é dominante em
termos de apreçamento fora da amostra.
A Figura 06 exibe conjuntamente as distribuições dos quatro módulos de
erros relativos dos métodos de apreçamento de opções de compra. Foram usados
valores absolutos com o objetivo de comparar as distâncias entre os valores
estimados e os valores de mercado, independente do sentido do erro.
Figura 06 – Esquema dos cinco números e estatísticas do módulo dos erros relativos (%) de BSM e
CO na amostra final de opções de compra da Petrobras e Vale entre 2005 e 2009. Os métodos são
BSM com volatilidade obtida por desvio padrão amostral, BSM com volatilidade implícita e CO com
volatilidade implícita.
52
Segundo as posições das medianas, 1º quartis e 3º quartis no gráfico e seus
respectivos valores, os erros de apreçamento de BSM com volatilidades históricas
são consideravelmente maiores e mais dispersos em relação aos métodos com
volatilidades implícitas. No gráfico é exibido apenas valor máximo dentre os outliers
de cada método pela cruz vermelha. O outlier máximo do Erro de BSM por desvio
padrão amostral atingiu 1302%. Considerando as 21.542 observações, os outliers
representam entre 7% a 5% do total conforme os métodos.
A figura 07 por sua vez exibe o mesmo esquema dos cinco números, porém
com os erros obtidos pelos diferentes métodos de apreçamento. Verifica-se que a
dispersão dos erros de BSM com volatilidade implícita e CO são assimétricos com
maior dispersão dos erros positivos
Figura 07 – Esquema dos cinco números e estatísticas dos erros relativos (%) de BSM e CO na
amostra final de opções de compra da Petrobras e Vale entre 2005 e 2009. Os métodos são BSM
com volatilidade obtida por desvio padrão amostral, BSM com volatilidade implícita e CO com
volatilidade implícita.
Ao comparar especificamente os métodos de BSM e CO com volatilidades
implícitas, infere-se que as distribuições de erros de apreçamento dos modelos
assumem
comportamentos
semelhantes,
porém
tendo
BSM
erros
consideravelmente menores. A Seção 4.3 verifica se esse comportamento se
mantém através do estudo do comportamento da diferença entre seus erros em
diferentes estratos definidos.
53
4.3
ANÁLISE DA DIFERENÇA ENTRE OS ERROS
Para analisar o resultado comparativo de ambos os modelos, foi definida a
medida de diferença entre módulo de erros relativos (Eq. XVI) entre os modelos de
BSM e CO conforme fórmula abaixo.
DIFERENÇA MÓDULOS DE ERRO RELATIVO Delta NMERBS − MER COO
|BS − PM| − |CO − PM|
XVI
PM
Uma vez que os módulos dos erros dos modelos são sempre positivos,
espera-se que caso o modelo de CO apresente erros menores(maiores), a métrica
de melhoria de erro apresente sinal positivo (negativo).
A média da métrica é então aplicada a combinações entre classificações de
prazos de vencimento e ano de negociação e entre as combinações de proximidade
do dinheiro e grau de endividamento. Espera-se assim capturar desempenhos
discrepantes associadas a essas variáveis, se presentes, do modelo de CO frente a
BSM.
As Tabelas 11 e 12 apresentam o número de observações em cada possível
combinação entre tipos de prazo de vencimento e semestre de negociação e entre
tipo de endividamento e tipo proximidade do dinheiro. A maioria dos subconjuntos
apresenta um número robusto de observações.
Tabela 11: Número de cotações de fechamento de opções de compra da Petrobras e Vale entre 2005
e 2009 em diferentes subconjuntos de proximidade do dinheiro e endividamento líquido (Dívida
líquida / patrimônio líquido).
Ano
2005_1
2005_2
2006_1
2006_2
2007_1
2007_2
2008_1
2008_2
2009_1
2009_2
Total
0 - 15
146
350
291
215
285
605
613
277
250
198
3.230
16 - 30
262
580
659
430
648
1.040
1.192
745
525
589
6.670
Prazo de vencimento (dias corridos)
31 - 45
46 - 60
159
19
497
128
570
226
470
343
603
471
983
628
1.002
697
588
594
570
509
580
580
6.022
4.195
> 61
0
13
41
60
158
107
177
178
246
445
1.425
Total
586
1.568
1.787
1.518
2.165
3.363
3.681
2.382
2.100
2.392
21.542
54
Tabela 12: Número de cotações de fechamento de opções de compra da Petrobras e Vale entre 2005
e 2009 em diferentes subconjuntos de proximidade do dinheiro e endividamento líquido (Dívida
líquida / patrimônio líquido).
DL/PL
0 - 20%
20% - 25%
25% - 40%
40% - 60%
60% - 80%
> 80%
Total
MDD
72
430
542
55
22
4
1.125
DD
729
1.286
1.566
678
211
267
4.737
Moneyness
ND
891
1.397
2.117
1.664
325
435
6.829
FD
761
1.431
1.837
1.135
238
339
5.741
MFD
385
1.030
975
619
57
44
3.110
Total
1.692
3.113
4.225
2.397
558
706
21.542
A Tabela 13 exibe as diferenças médias de erro entre os modelos de CO e
BSM por semestre de negociação e prazos de vencimento. O prazo de vencimento
não parece estar relacionado com o aumento (diminuição) da diferença entre as
precificações, uma vez que a diferença entre os erros apresenta um comportamento
errático conforme o aumento do prazo.
Ao olhar o resultado por semestre de negociação, nota-se um aumento na
diferença média de erros dos modelos entre 2007 e o primeiro semestre de 2009.
Tabela 13: Média da diferença dos erros relativos de CO em relação à BSM de opções de compra da
Petrobras e Vale entre 2005 e 2009 em diferentes subconjuntos de prazos de vencimentos e
semestres de negociação
Prazo de vencimento (dias corridos)
Semestre
0 - 15
16 - 30
31 - 45
46 - 60
> 61
Total
2005_1
2005_2
2006_1
2006_2
2007_1
2007_2
2008_1
-5,6%
-4,9%
-2,3%
-4,5%
-3,9%
-1,8%
-1,4%
-3,1%
-4,1%
-2,0%
-2,2%
-2,9%
-0,6%
-0,3%
-2,7%
-3,4%
-3,5%
-4,3%
-4,1%
-1,7%
-1,3%
-10,2%
-6,3%
-2,2%
-5,1%
-3,3%
-1,3%
-0,5%
ND
-4,7%
-1,7%
-3,9%
-2,1%
-1,5%
-0,4%
-3,8%
-4,3%
-2,5%
-3,9%
-3,4%
-1,3%
-0,8%
2008_2
2009_1
2009_2
Total
-1,6%
-2,7%
-4,7%
-2,9%
-0,5%
-1,2%
-2,4%
-1,6%
-3,4%
-3,2%
-6,0%
-3,1%
-2,4%
-2,3%
-3,9%
-2,6%
-0,5%
-1,8%
-4,3%
-2,4%
-1,8%
-2,3%
-4,2%
-2,5%
55
A Tabela 14 apresenta os erros médios para as diferentes combinações de
proximidade do dinheiro e endividamento líquido.
Tabela 14: Médias da diferença dos erros relativos de CO em relação à BSM de opções de compra
da Petrobras e Vale entre 2005 e 2009 em diferentes subconjuntos de proximidade do dinheiro e
endividamento líquido (Dívida líquida / patrimônio líquido).
Proximidade do dinheiro (K/S)
DL/PL
MDD
DD
ND
FD
MFD
Total
0 - 20%
20% - 25%
25% - 40%
40% - 60%
60% - 80%
> 80%
Total
-2,9%
-2,5%
-3,4%
-2,0%
-2,9%
-3,5%
-3,0%
-3,6%
-2,4%
-3,4%
-3,0%
-2,5%
-5,1%
-3,2%
-2,7%
-1,7%
-2,4%
-2,9%
-2,2%
-3,2%
-2,5%
-3,4%
-1,9%
-2,8%
-1,8%
-1,2%
-4,3%
-2,5%
-1,5%
-1,1%
-1,8%
0,2%
-0,5%
-3,8%
-1,1%
-5,0%
-3,4%
-4,5%
-3,7%
-2,9%
-6,2%
-2,5%
Ocorre um comportamento errático da diferença média de erro conforme o
aumento do grau de endividamento líquido contábil. Como pela teoria o modelo de
CO é uma generalização de BSM com a incorporação de informações sobre a dívida
da empresa, era esperado que o primeiro tivesse um desempenho melhor em
situações de maior endividamento devido as informação adicionais disponíveis de
endividamento.
Ressalva-se que devido ao número limitado de empresas usado na amostra,
a variável de endividamento possui baixa variabilidade e é altamente correlacionada
com a data de negociação.
O modelo de CO aparenta ter desempenho melhor nas extremidades da
proximidade do dinheiro. As diferenças médias diminuem nas opções fora do
dinheiro (FD). Tal padrão suporta a hipótese de que CO poderia corrigir vieses
associados ao preço de exercício, porém o desempenho do método em todos os
subconjuntos é inferior ao de BSM, com exceção das opções muito fora do dinheiro
(MFD) das empresas com endividamento líquido entre 40% e 60%.
Conforme observado anteriormente na Figura 3, as únicas observações com
endividamento líquido entre 40% e 60% ocorreram na VALE entre setembro de 2007
e junho de 2008. Assim as melhoras nesses semestres e nessa faixa de
endividamentos estão relacionadas com o desempenho das opções da VALE nesse
período específico. Tal situação não explica, no entanto, o aumento observado na
média da diferença em todas as opções fora do dinheiro.
56
Pelo comportamento das diferenças de erro, CO parece ter apresentado erros
iguais ou maiores do que o de BSM. Dentre as variáveis observadas a única em que
foi relevante no desempenho relativo frente à BSM foi a proximidade do dinheiro,
uma vez que há uma tendência fraca de melhora do desempenho conforme mais
fora do dinheiro está a opção.
Na Seção 4.4 os resultados são testados estatisticamente.
4.4
TESTE NÃO PARAMÉTRICO DE WILCOXON E REGRESSÃO
Para testar as hipóteses do estudo sobre qual modelo teria um erro relativo
menor, foi aplicado o teste de Wilcoxon para o resultado das observações realizadas
em diferentes subconjuntos da amostra de combinações do ano de negociação,
prazo de vencimento e proximidade do dinheiro. As hipóteses resumidas são
listadas a baixo:
Ho: EBS = Eco, os métodos possuem precisões equivalente.
Ha: EBS > Eco, a mediana do erro de BSM é superior ao de CO, ou seja, o método de
CO possui um erro de apreçamento menor do que o BSM.
Hb: EBS < Eco,a mediana do erro de BSM é inferior ao de CO, ou seja, o método de
CO possui um erro de apreçamento maior do que o BSM.
Foram feitos testes de Soma de postos Wilcoxon de limite inferior (EBS > ECO)
e superior (EBS < ECO) nos 107 subconjuntos definidos com nível de significância de
5%. As alternavas Ha e Hb foram consideradas significativas quando suas
estatísticas
T
respectivas
foram
inferiores
ou
superiores
aos
Z
críticos
correspondentes (± 1,64) com nível de significância de 5%.
A Tabela 15 consolida o resultado dos testes nos diferentes subconjuntos de
prazo de vencimento e semestre de negociação. De forma geral observa-se que na
grande maioria dos testes resultou na hipótese b de que ECO > EBS. As únicas
exceções ocorreram nos subconjuntos de observações com mais de 61 dias entre o
primeiro semestre de 2008 e o primeiro semestre de 2009, onde teste estatístico
resultou na conclusão de que a hipótese nula não poderia ser rejeitada (EBS = Eco).
57
Tabela 15: Resultado dos testes não paramétrico de Wilcoxon por combinação entre prazo de
vencimento e semestre de negociação sobre erros relativos de CO e BSM sobre observações de
cotações diárias de diferentes séries de opções de compra da Petrobras e Vale entre 2005 e 2009
Prazo de vencimento (dias corridos)
Semestre
2005_1
2005_2
2006_1
2006_2
2007_1
2007_2
2008_1
2008_2
2009_1
2009_2
Total
0 - 15
16 - 30
31 - 45
46 - 60
> 61
Total
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
ND
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
ND
ND
ND
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO=BSM
CO=BSM
CO=BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
Para verificar o comportamento das volatilidades nesse mesmo período, a
Figura 08 exibe o comportamento da volatilidade histórico obtido por desvio padrão
amostral dos logaritmos dos retornos das ações preferenciais da Vale e Petrobras.
Observa-se que em 2008, houve um pico das volatilidade desses ativos associado a
crise financeira ocorrida no período após a falência do banco americano Lehman
Brothers. O autor conclui que os resultados desse período são atípicos e a
equivalência encontrada entre os métodos parece ocorrer devido ao aumento
substancial da aversão a risco do mercado no período.
PETR4
VALE5
140,0%
120,0%
100,0%
80,0%
60,0%
40,0%
20,0%
0,0%
nov-09
set-09
mai-09
jul-09
jan-09
mar-09
nov-08
set-08
mai-08
jul-08
jan-08
mar-08
nov-07
set-07
mai-07
jul-07
jan-07
mar-07
nov-06
set-06
mai-06
jul-06
jan-06
mar-06
nov-05
set-05
mai-05
jul-05
jan-05
mar-05
Figura 08 – Volatilidades históricas das ações preferenciais da Petrobras (PETR4) e Vale (VALE5)
obtidas pelo desvio padrão amostral dos últimos 30 logaritmos de seus retornos.
58
A Tabela 16 exibe o resultado dos testes conforme a variação de proximidade
do dinheiro e o endividamento líquido. Em todas as combinações o método de CO
apresenta erros estatisticamente superiores ao de BSM, com exceção das opções
muito fora do dinheiro, onde CO apresenta erros iguais ou inferiores.
Tabela 16: Resultado dos testes não paramétrico de Wilcoxon por combinação entre proximidade do
dinheiro e endividamento líquidos das empresas sobre erros relativos de CO e BSM sobre
observações de cotações diárias de diferentes séries de opções de compra da Petrobras e Vale entre
2005 e 2009
P roximida de do dinhe iro
Endividamento
0-20%
20%-25%
25%-40%
40%-60%
60%-80%
> 80%
Total
MDD
DD
ND
FD
MFD
Total
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
ND
ND
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO=BSM
CO=BSM
CO=BSM
CO<BSM
CO=BSM
CO=BSM
CO<BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
Os resultados confirmar as tendências observadas pelo comportamento da
média da diferença de erros em módulo, em que houve melhora no desempenho de
CO nas opções fora do dinheiro e melhora em alguns semestres e tipo de
endividamento.
A tabela 17 segrega as opções da VALE e PETROBRAS por semestre de
negociação, com o intuito de verificar se a empresa foi um fator relevante para o
desempenho relativo de CO frente a BSM, através de diferença de erro média e o
teste de Wilcoxon. Observa-se que em ambas as empresas, o modelo de CO
apresentou módulo de erros maiores, entretanto em alguns períodos de 2005 e 2008
nas opções da Vale os desempenhos foram equivalentes.
59
Tabela 17: Tabela A refere-se a Média e a Tabela B refere-se ao não paramétrico de Wilcoxon,
ambos aplicados sobre a diferença dos erros relativos de CO e BSM, por empresa e semestre de
negociação de observações de cotações diárias de diferentes séries de opções de compra da
Petrobras e Vale entre 2005 e 2009
A.
B.
Semestre Petrobras
2005_1
2005_2
2006_1
2006_2
2007_1
2007_2
2008_1
2008_2
2009_1
2009_2
Total
-6,0%
-5,8%
-2,8%
-3,9%
-2,7%
-1,3%
-1,0%
-2,3%
-2,7%
-5,2%
-2,8%
Vale
Total
-0,3%
-2,5%
-2,2%
-3,9%
-4,0%
-1,3%
-0,7%
-1,4%
-1,8%
-3,4%
-2,2%
-3,8%
-4,3%
-2,5%
-3,9%
-3,4%
-1,3%
-1,3%
Semestre Petrobras
2005_1
2005_2
2006_1
2006_2
2007_1
2007_2
2008_1
2008_2
2009_1
2009_2
Total
-1,3%
-1,3%
-4,2%
-1,3%
Vale
Total
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO=BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO=BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO=BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
CO>BSM
A Tabela 18 por sua vez, exibe o resultado de uma regressão da diferença
sobre as variáveis proximidade do dinheiro, prazo em dias corridos, spread de juros
entre um dia e um ano, duração média da dívida, endividamento líquido contábil e
uma variável dummy da Vale (1 para a Vale e 0 para a Petrobras). As regressões
foram aplicadas em toda a amostra , nas opções fora do dinheiro e nas opções entre
janeiro de 2008 e junho de 2009 com o intuito de inferir qualitativamente alguma
relação entre as variáveis e o desempenho relativo do erro de CO frente à BSM.
Possíveis problemas da regressão não foram tratados como: a existência de
auto-correlação
temporal
de
erros
e
a
multicolinearidade
das
variáveis
independentes. Assim a regressão tende a superestimar as significâncias.
Tabela 18: Regressão dos erros relativos de BSM, CO e a diferença dos erros sobre variáveis
relacionadas: proximidade do dinheiro, prazo de vencimento, spread de juros de longo prazo contra
curto prazo, duração média da dívida, endividamento líquido, variável dummy da empresa Vale (1=
Vale e 0 = Petrobras).
Delta erros (BS - CO)
Toda a amostra
Variavel
Coeficiente
P-valor
Interseção
-0,04
0%
Moneyness
0,04
0%
Prazo (DC)
-0,00
0%
Spread Juros
0,51
0%
Duração
-0,01
0%
Endividamento liquido
-0,00
0%
Dummy Vale
0,01
0%
R-quadrado
14%
Opções MFD
Coeficiente
P-valor
0,05
3%
-0,03
7%
-0,00
0%
0,66
0%
-0,00
25%
0,00
1%
-0,00
52%
15%
Opções entre 01/2008 e
06/2009
Coeficiente
P-valor
-0,01
5%
0,03
0%
-0,00
5%
0,38
0%
-0,01
0%
0,00
19%
0,10
0%
14%
Dentre todas as variáveis, a proximidade do dinheiro e o spread de juros de
longo e curto prazo foram as únicas que apresentaram coeficientes significativos e
60
de valor expressivo. Podemos ler o resultado como quando mais distante do dinheiro
estiver a opção (maior for a relação K/S), maior tende a ser a diferença de erros, o
que implica que o erro de CO melhora em relação ao de BSM. O mesmo pode ser
inferido pela variável de spread de juros, pois quanto maior for o spread, melhor o
desempenho relativo de CO. Em diversos período da amostra a estrutura a termo de
juros foi decrescente (juros de 1 ano inferiores aos juros de 1 dia útil), o que
aparentemente contribuiu para o pior desempenho de CO nas opções brasileiras.
Quando olhamos apenas as opções muito fora do dinheiro (MFD), o
coeficiente da variável do spread de juros torna-se maior, o que indica que a variável
possui peso maior nas opções fora do dinheiro. Esta relação explica parcialmente a
melhoria dos erros de CO nesse subconjunto.
Nas opções entre janeiro de 2008 e julho de 2009, a variável dummy da Vale
apresenta coeficiente maior do que zero, o que indica que a equivalência dos erros
de CO e BSM verificado nas opções desse período com prazo de vencimento longo
está associada a melhora do desempenho de CO nas opções da empresa.
Em resumo, os testes não paramétricos suportam as evidências de que o
modelo de CO possui um desempenho inferior ao de BSM na sua capacidade de
previsão fora da amostra de opções de compra. Nas opções muito fora do dinheiro,
no entanto, o CO teve desempenho superior ou igual ao de BSM. Por outro lado a
regressão realizada sobre a diferença de erros relativos de BSM e CO, indica que
nas opções fora do dinheiro e nos momentos em que a estrutura a termo de juros
teve spread positivo, CO teve melhoria de desempenho frente à BSM.
61
5. CONCLUSÕES, LIMITAÇÕES DO ESTUDO E SUGESTÕES
O estudo aplicou as metodologias de apreçamento de opções de compra de
ações do modelo Compound Options segundo a metodologia de Geske (2007b) e
comparou os resultados com o modelo Black & Scholes com volatilidade implícita a
termo em cotações de fechamento de opções de compra de empresas brasileiras
entre 2005 e 2009.
A análise dos erros relativos das estimativas de valores das opções de
compra dos modelos contra o preço real observado, permite a conclusão de que na
amostra analisada, os módulos dos erros de CO foram maiores do que os de BSM.
Nas opções fora do dinheiro, no entanto, os desempenhos foram equivalentes.
As regressões das diferenças de erros de BSM e CO sobre variáveis
relacionadas indicaram que: a estrutura a termo de juros decrescentes pioram o
resultado de CO frente ao modelo de BSM e; que ocorre uma melhoria de
desempenho no apreçamento por CO nas opções fora do dinheiro. Ressalva-se que
os resultados estatísticos da regressão devem ser encarados qualitativamente
devido a possíveis problemas não tratados de multicolinearidade de variáveis
independentes e auto-correlação de erros.
Adicionalmente, foi verificado que, como esperado, a precificações de BSM
com volatilidades implícitas apresentaram no período observado erros relativos
estatisticamente menores do que a precificações com volatilidades históricas, e que
todos os modelos subestimam opções dentro do dinheiro (DD) e no dinheiro (ND) e
superestimam opções fora do dinheiro (FD).
As evidências do estudo vão contra os resultados encontrados por Geske e
Zhou (2007b), onde a aplicação do modelo de opções compostas reduzia
sistematicamente os erros de apreçamento em comparação ao modelo de BSM,
com maior redução conforme o maior grau de “alavancagem” financeira, maior prazo
de vencimento e quanto mais fora do dinheiro está a opção.
Algumas especificidades do mercado brasileiro frente ao americano que pode
ter contribuído para o resultado diferente encontrado como: a maior taxa básica de
juros da economia; a concentração do mercado de opções em duas empresas; a
existência de ações preferenciais que são precificadas com valores diferente das
62
ordinárias; os menores prazos médios das opções brasileiras; e o spread de juros
negativo entre prazos curtos e longos observado em grande parte do período
estudado.
Os resultados discrepantes podem estar relacionados também a eventuais
diferenças na forma de estimativa dos parâmetros e apreçamento de CO no
presente estudo e em Geske (2007b), bem como em possíveis erros na obtenção e
tratamento das variáveis de endividamento, já que estas estavam disponíveis em um
banco de dados nos EUA enquanto no presente estudo foram manualmente
coletadas a partir de relatórios contábeis trimestrais.
As principais limitações do estudo foram à baixa variabilidade de empresas
com opções em negociação e o pequeno número de observações, uma vez que a
amostra final consistiu de 29.567 observações de duas empresas frente às cerca e
2,5 milhões de observações de 4.000 empresas analisadas por Geske e Zhou
(2007b). Pelo mesmo motivo não foi possível fazer uma análise de cross-section do
endividamento sobre os erros, uma vez que não há variabilidade suficiente em um
dado período de tempo.
Dentre as maiores dificuldades encontradas na implantação do modelo de
Compound Options, destacam-se: a coleta manual dos dados de endividamento das
empresas por meio de seus relatórios trimestrais, devido à inexistência de um banco
de dados dos valores de endividamento por ano, e a relativa complexidade de
operacionalização para resolução dos sistemas de múltiplos de equações não
lineares com uso de otimização em planilha. O uso de métodos de cálculo numérico
em programas mais adequados poderiam, no entanto, reduzir o tempo de
processamento computacional.
O autor sugere para futuros estudos de aplicação do modelo de Compound
Options: (i) o uso de dados intra-diário de opções disponíveis na BMF&BOVESPA
para amenizar problemas de sincronia associados ao uso de cotações diárias de
opções e ações; (ii) utilizar períodos de observações maiores e mais recentes para
obter maior variabilidade de dados e de empresas, dado o desenvolvimento
crescente do mercado de capitais brasileiro; (iii) verificar se através de estratégia de
delta-hedge com o modelo de Compound Options seria possível obter lucros no
mercado brasileiro e; (iv) aplicar modelos de opções compostas ou opções múltiplas
em opções reais ou outros derivativos complexos.
63
REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS
AGLIARDI, E.; AGLIARDI, R. A generalization of the Geske formula for compound
options. Mathematichal Social Sciences, v. 45, pp 75 - 82, 2003.
BAKSHI, G; CAO, C; ZHEN, Z. Empirical performance of alternative option pricing
models, Journal of Finance, v. 52, n. 5, p. 2003-2049, 1997.
BLACK, F.; SCHOLES, M. The Pricing of Options & Corporate Liabilities. The
Journal of Political Economy, v. 81, n. 3, p. 637 - 654, 1973.
BLACK, F. Fact and fantasy in the use of options. Financial Analysis Journal, v. 31,
n. 4, p. 36-72, 1975.
BMF&BOVESPA. Disponível em: <http://www.BMF&Bovespa.com.br.> Acesso em:
21 abr. 2010.
BUNCH, D. JOHNSON, H. A simple and numerically efficient valuation method for
American puts using a modified Geske-Johnson Approach. The Journal of Finance,
v. 42, n. 2, p. 809-816, 1992.
BURSCHI, A.; DUMAS, B. The Forward Valuation of Compound Options. The
Journal of Derivatives, v. 9, n. 1, p. 08-17, 2001.
CASIMON, D. et al.. The valuation of a NDA using a 6-fold compound option.
Research Policy, v. 33, n. 1, p. 41-51, 2004.
CONOVER, W. Practical Nonparametric Statistics. New York: J. Willey & Sons,
1980.
DUMAS, B.; FLEMING, J.; WHAEY, R. Implied Volatility functions: Empirical Tests.
The Journal of Finance, v. 53, n. 6, p. 2059- 2106, 1998.
FIGUEIREDO, A. Introdução aos derivativos. São Paulo: Cengage Learning, 2005.
GESKE, R. The Valuation of Corporate Liabilities as Compound Options. Journal of
Financial and Quantitative Analysis, v. 12, n. 4, p.. 541-552, 1977.
______. The Valuation of Compound Options, Journal of Financial Economics, v.
7, n. 1, p. 63-81, 1979a.
64
GESKE, R. A Note on an Analytical Valuation Formula for Unprotected American
Options on Stocks with Known Dividends, Journal of Financial Economics, n. 7, p.
375-380, 1979b.
GESKE, R.; JOHNSON, H. The American Put Option Valued Analytically. Journal of
Finance, v. 39, n.5, p. 1511-1524, 1984.
GESKE, R.; ZHOU, Y. A New Methodology For Measuring and Using the Implied
Market Value of Aggregate Corporate Debt in Asset Pricing: Evidence from S&P
500 Index Put Option Prices, Working Paper , 2007a. Disponível em:
<http://www.anderson.ucla.edu/x1928.xml> Acesso em: 15 mar. 2010.
______. The Capital Structure Effects on Prices of Firm Stock Options: Tests
Using Implied Market Values of Corporate Debt, Working Paper , 2007b. Disponível
em: <http://www.anderson.ucla.edu/x1928.xml> Acesso em: 15 mar. 2007.
GUKHAL, C. The compound option approach to American options on jumpdiffusions. Journal of Economic Dynamics & Control, v. 28, n.10, p. 2055-2074,
2004.
HESTON, S. A closed-form solution for options with stochastic volatility with
applications to bond and currency options, Review of Financial Studies, v. 6, n. 2,
p. 327-343, 1993
HAUG, E. Option Pricing Formulas. New York: McGraw-Hill, 1998.
HULL, J. Options, Futures & Other Derivatives. New Jersei: Prentice Hall, 2005.
LEMGRUBER, E. Avaliação de contratos de opções. São Paulo: Bolsa de
Mercadorias e Futuros, 1995.
LEE, M.; YEH, F.; CHEN, A. The Generalized sequential compound options pricing
and sensitivity analysis. Mathematical Social Sciences, n. 55, p. 38-54, 2008.
LEE, J.; PAXSON,D. Valuation of R&D real American sequential exchange options.
R&D Management, v. 31, n. 2, p. 191-201, 2001.
LIN, W. Computing a multivariate normal integral for valuing Compound Real options,
Review of quantitative finance and Accounting, v. 18, n. 2, p. 185-209, 2002.
65
MACBETH, J.; MERVILLE, L. An Empirical Examination of the Black-Scholes Call
Option Pricing Model. Journal of Finance, v. 34, n. 5, p. 1173-1186, 1979.
MERTON, R. C. Theory of rational option pricing. The Bell Journal of Economics
and Management Science, [S.l.], v.4, n.1, p.141-183, 1973.
______. On the Princing of Corporate Debt: The Risk Structure of Interest Rates.
Journal of Finance, v. 29, n. 2, p. 449-470, 1974.
ROLL, R. An Analytical Valuation Formula for Unprotected American Call Options on
Stocks with Known Dividends. Journal of Financial Economics, v.5 , p. 251-258,
1977.
RUBINSTEIN, M. Nonparametric tests of alternative option pricing models using all
reported trades and quotes on the 30 most active CBOE option classes from August
23, 1976 through August 31, 1978. Journal of Finance, v. 40, n.2, p. 455–480,
1985.
SIEGEL, S. Estatística não paramétrica para as ciências do comportamento.
São Paulo: McGraw-Hill, 1975.
THOMASSEN, L.; VAN WOUWE, M. The n-fold compound options. Working
Paper, 2001. Disponível em:
<http://ideas.repec.org/p/ant/wpaper/2001041.html#related> Acesso em: 20 ago.
2011.
WHALEY, R. Valuation of American put options on dividend- paying stocks. Journal
of Financial Economics, v. 10, n. 1, p. 29-58, 1982.