O “Campo k” e
a k-Essência
Astrofísica Relatividade e Cosmologia
Miguel Quartin
Agosto 2005
1
Resumo

Introdução e Motivação





O Campo k
k-Inflação
Expansão k-Acelerada





Cosmologia Básica
A Energia Escura
Rastreadores (“Trackers”)
Atratores
Modelos
Conclusões
Referências
2
Introdução e Motivação
Cosmologia Básica


 1
2
2
2
2
2 
ds2  dt2  a 2 (t )
dr

r
d


sen

d


2
 1  kr

G  R  12 R g   g  8 G T
8 G
k
 a 



 
tot
3
a2
a
a
  3 ( tot  ptot )  0
a
a
4π G
 tot  3 ptot 

a
3
2
Métrica de FRW
Equação de Einstein
1  tot  curv
i 
i
 crit
tot – dens. de energia total
ptot – pressão total
a – fator de escala
3
Introdução e Motivação (2)
ΩΛ
m  r    1  curv
Estamos desprezando
a radiação e, na 1a e
na 3a curva, também
a curvatura.
4
Introdução e Motivação (3)
Observações atuais indicam que hoje temos ΩΛ ≈ 0,7 e
que dos 0,3 restantes, a maioria parece ser constituída de
algum tipo de matéria não-bariônica!
1
Ωr
Ωm
ΩΛ
0
5
Introdução e Motivação (4)
rad.
poeira
curv.

6
Introdução e Motivação (5)
ΩΛ=0,7
Ωm=0,3
7
Introdução e Motivação (6)

O modelo padrão prevê condições iniciais (pós “Big
Bang”) muito peculiares.





Isotropia da RCF;
O problema da planura (ou chateza);
Origem das estruturas.
Uma etapa de expansão acelerada logo após o Big Bang
pode resolver estes problemas  Modelos Inflacionários
Modelos mais simples  campo escalar:
1

S   d x  g       V ( )
2

4
 2  V ( )
w 

 2  V ( )
p
1
2
1
2
8
O Campo K

Campo escalar  ferramenta versátil da cosmologia
moderna. Campos escalares podem:





ser motivados pela física de partículas;
gerar inflação;
ser responsáveis por transições de fase no Universo
primordial;
se comportar como energia escura (quintessência), como
matéria escura (ou ambas  quartessência);
Em geral:
Stot [ g , ,  m ]  SEH [ g ]  S [ g , ]  Sm[ g , m ]
9
O Campo K (2)

Hipótese básica do campo k  as eqs. de EulerLagrange devem ser de 2a ordem
S k   d 4 x  g p ( , X )
L( , X )  X  V ( )
(k )
T
2  Sk


g  g
redefinição
do campo
X  12    
p( , X )  K ( ) ~p( X )
T  (  p) u u  p g
fluido
perfeito
10
O Campo K (3)

Comparando ambos tensores energia-momento:
  K ( ) ~( X ), onde
(i )
T


 ;
~( X )  2 X  X ~
p ~
p
d i
 0 
 3 i (1  wi )
dN
 0
a(t ) número de
N  ln
a0 “e-plicações”
Dessas equações, obtemos:
 K
8 X ~ 
dX

r ( X )  
3
~
dN
X 
2K 2
k 

 tot 
9 ~
1  wk ( X )
r( X ) 
8X
11
O Campo K (4)
 K
8 X ~ 
dX

r ( X )  
3
~
dN
X 
2K 2

 d 

dN


  sgn 
dX/dN é singular para K = 0 ou para X = 0:

Os sinais de K() e de X não se alteram. Vamos supor
K() > 0 e X > 0.
~
p
wk 

2X  X p  p 2X  X ~
p ~
p
p

k 

 tot 
X ~
p
c 
 X ~
2
s
cs  velocidade do som
Da teoria de perturbação na métrica em torno de
Minkowski temos: estabilidade  cs2 > 0
12
k-Inflação

A maioria dos modelos de inflação é dirigida por
lagrangianas do tipo p = X – V();


Característica desejável de sabonetes e de modelos
inflacionários: não ter cabelos!


Alguns destes necessitam de um regime de “rolamento
lento”  V() suficientemente plano
Portanto, para a k-Inflação, estaremos interessados em
soluções atratoras;
Para implementar a k-inflação, iremos supor que k ≈ tot

Isto é razoável pois durante a inflação wk< -1/3;
13
k-Inflação (2)

Soluções atratoras  X const.  wk(X) const.
 K 
8 X ~ 
dX

r( X )  
3 

~
dN
X 
2K 2 
 K
K

3
 const  K ( ) 
2
1

2

função apenas de 
 K
K
3
 2
2
No atrator, X = X* e temos:
 d 
r ( X * )    sgn 

 dN 
w( X * )   13
14
k-Inflação (3)

É fácil mostrar que em X* vale:


  r ( X * )  sgn(1  wk* )

 X  ( X * )  0
Se wk* < -1 (inflação tipo polo):
  decresce  K() = -2 cresce  k cresce;
 k diverge em um tempo finito;
 após a inflação deve ser X > 0, mas X não pode
mudar de sinal!
Se wk* > -1 (inflação tipo lei-de-potência): não há
problemas.
15
k-Inflação (4)

Todas as soluções com wk*< +1 são atratoras.
16
k-Inflação (5)


Tais modelos apresentam uma inflação sem fim;
Precisamos aliviar um pouco nossas restrições:

Ex.: lagrangianas que são separáveis apenas
assintoticamente
1
p( , X )  2 X  A L( ) X 2  B X 3

L()
Atrator de
inflação


p( , X )  K ( ) ~
p( X )

17
k-Inflação (6)

A inflação termina também se aliviarmos a condição
wk(X) = const . Ou seja se
 K
1
K ( )  2 
 const

K
3


2
Vamos considerar wk(X) ≈ -1  perturbações de
densidade com espectro quase invariante de escala;
“Slow Roll”  dr/dN « 1  X varia pouco;
 K 

dr dr dX
3

  1  wk ( X ) r ( X )  
3 
dN dX dN
2
2K 2 

18
k-Inflação (7)

Segue geralmente destas condições que:
 

 K
K
3
2
 1

  K
K  K
1
 1
2
Estes são os parâmetros convencionais de rolamento
lento dos modelos usuais de inflação  condições de
planura dos potenciais V().


São mais universais que originalmente pensado.
Satisfeitos por, entre outros:
 K  n e K  exp(n ) p/ n > 0,  » 1;
 K  n p/ -2 ≠ n < 0,  « 1;
19
k-Inflação (8)


A inflação deve durar pelo menos por N ≈ 70;
Se K()  n (n > 0), isto implica em:



K(ini) ≈ 10-14 a 10-12
ini ≈ 107 a 109
Note que analisamos 2 modos distintos de terminar com
a inflação:
1.
2.
3.
Alterando a forma da Lagrangiana  separável apenas
assintoticamente;
Lançando mão de um rolamento lento  quando as
condições de rol. lento são violadas, termina a inflação.
Elevando a Taxa Selic até 20% a.a.
20
k-Essência



Problema-chave da cosmologia atual: origem (2x) da
matéria escura;
Modelos de quintessência não resolvem o problema do
ajuste fino da energia escura;
Procuramos soluções atratoras do campo k com as
seguintes características:



Insensibilidade às condições iniciais;
Pressão negativa apenas após um gatilho  eqüipartição
Um campo k com essas características é denominado kessência.
21
k-Essência (2)

“Modelos de quintessência não resolvem o problema do
ajuste fino da energia escura”.


Queremos soluções onde wk é constante (sol. atratora);
Se o Universo é dominado por m (radiação ou poeira),
temos, da equação de movimento do campo:
K ( ) 

,
2n

n
onde
n
1  wk
1  wm
 9(1  wm ) 2  ~
k
n 1
n 1
  k ( X r )  tot
  
  tot
 tot
 8X m 
Solução válida enquanto k « 1.
k domina quando k/tot ≈ 1.
tot (hoje) ~ 10-124  obtemos:
 ~ 10
124 (1 n )
22
k-Essência (3)


Vantagem: maior flexibilidade nas condições iniciais
Desvantagem: 2a eqüipartição  ajuste de parâmetros
rad
poeira
quintess.
23
k-Essência (4)

k-essência tenta resolver estes problemas com soluções
rastreadoras (“trackers”) e atratoras.


O campo k rastreia a radiação até a eqüipartição, após a
qual soluções deste tipo são fisicamente proibidas;
Após a eqüip., o sist. caminha para outro atrator passando
por uma fase onde wk ≈ -1;
Gatilho
24
k-Essência (5)

É importante saber quando as soluções rastreadoras são
também atratoras;


Elas são atratoras se e só se:
cs2  wm
Para aprofundar nosso estudo nos diversos tipos de
atratores possíveis é conveniente reescrever as eqs. do
campo em termos de uma nova variável y.
1
y
 K
dy 3 wk  1 

r ( y )  
3
dN 2  y r ( y ) 
2K 2
k 

 tot 
X
9 dg
r ( y)  
y 1  wk ( y)
8 dy
25
k-Essência (6)
1 g ( y)
p 2
 y

Foco  lagrangianas do tipo

Nossas considerações anteriores se traduzem em:


 > 0  yg < 0
e
X > 0  yyg > 0
As eqs. de movimento do campo ficam escritas assim:
 dy 3 wk  1
 r ( y)  k 


 dN 2  y r ( y )

 d k  3  1   w  w ( y )
k
k
m
k

2
 dN
k
k 
 tot
Uma solução atratora em y* só existe se r(y*) < 1
Componente
dominante 
 rastreada
26
k-Essência (7)

As eqs. anteriores nos mostram que existem 4 tipos de
soluções atratoras:
w(y*)
g(y*)
r(y*)
Radiação
1/3
>0
entre 0 e 1
Poeira
0
0
entre 0 e 1
de Sitter
-1
<0
0
atrator k
< -1/3 *
<0*
1
*  desejável
27
k-Essência (8)
P
28
k-Essência (9)
Época dominada pela radiação
29
k-Essência (10)
Época dominada pela radiação
30
k-Essência (11)
Época dominada pela poeira
31
k-Essência (12)
Caso com atrator tardio do tipo poeira
32
k-Essência (13)

As bacias de atração podem não ser tão grandes assim:
p(X) ≡ −2.01 + 2 (1 + X)1/2 + 3 10−17 X3 − 10−24
X4
33
Conclusões


O campo k explora a dinâmica rica dos termos cinéticos
não canônicos;
k-Inflação



k-Inflação é uma alternativa aos modelos tradicionais;
Pode se basear em rolamento lento ou não;
k-Essência


k-essência tenta resolver o problema da coincidência
cósmica através de soluções rastreadoras e atratoras que
usam a eqüipartição como um gatilho;
O sucesso da k-essência depende do tamanho da classe de
lagrangianas com as características desejadas:


Atrator R primordial com vasta bacia de atração
Atrator P ou K tardio “bem localizado”
34
Referências
Referência básica:
 C. Armendariz Picón, Tese de doutorado (2001)
Referências adicionais:
 C. Armendariz Picón et al., Phys. Rev. Lett. v.85, n.21, p.4438
(2000)

C. Armendariz Picón et al., Phys. Rev. D, v.63, 103510 (2001)

M. Malquarti et al., Phys. Rev. D, v.68, 023512 (2003)

A. Riotto, hep-ph 0210162 (2002)
35
Extras
36