ABORDAGEM DO TEOREMA DE PITÁGORAS EM LIVROS DIDÁTICOS
ANDRÉ TITO DOS SANTOS
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O Autor abaixo assinado transfere os direitos de publicação, impressa e online, do
artigo “Abordagem do Teorema de Pitágoras em Livros Didáticos” à Revista
Tuiuti: Ciência e Cultura, caso ele venha a ser publicado.
Também declara que tal artigo é original, não está submetido à apreciação de
outro jornal e/ou revista e não foi publicado previamente.
O autor abaixo assinado assume a responsabilidade pela veracidade das
informações contidas no referido artigo.
Curitiba, 31 de Março de 2012.
____________________________________________________
André Tito dos Santos
ABORDAGEM DO TEOREMA DE PITÁGORAS EM LIVROS DIDÁTICOS
ANDRÉ TITO DOS SANTOS
PAULO CESAR TAVARES DE SOUZA
RESUMO
Neste trabalho é realizada uma pesquisa dos capítulos reservados ao Teorema de
Pitágoras em duas obras didáticas aprovadas pelo Plano Nacional do Livro
Didático (2008), com base numa série especifica de critérios do próprio
instrumento Federal desenvolvido pelo Fundo Nacional de Desenvolvimento da
Educação (FNDE), verificou-se ainda a abordagem da história da matemática
como um fator de contextualização e interdisciplinaridade devido o grande
entrelace do desenvolvimento deste tema com o desenvolvimento da própria
matemática como uma verdadeira ciência, as obras escolhidas para a análise
foram: Matemática e realidade, dos autores: Gelson Iezzi; Osvaldo Dolce e
Antonio Machado, publicado pela Editora Atual juntamente com a obra: Tudo é
matemática, do autor Luiz Roberto Dante, publicado pela Editora Ática; Estes dois
livros didáticos da 8ª série do Ensino Fundamental, que a partir de 2012 no Estado
do Paraná passara a se denominar 9° ano. As obras a nalisadas foram aprovadas
pelo referido instrumento federal de consulta e aquisição de obras didáticas o
Plano Nacional do Livro Didático (PNLD) 2008.
Palavras-Chave: Teorema de Pitágoras, Livro Didático, Plano Nacional do Livro
Didático.
ABSTRACT
In this work a study of chapters reserved for the Pythagorean theorem in two
didactic works approved by the National Textbook (2008), based on a set of
specific criteria of the instrument developed by the Federal National Fund for
Educational Development (FNDE) , there was also the approach of the history of
mathematics as a factor of contextualization and interdisciplinary due to the large
twist of the development of this theme with the development of mathematics itself
as a true science, the works chosen for analysis were: mathematics and reality, of
authors: Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce and Antonio Machado, published by Current
with the work: it is mathematical, the author Luiz Roberto Dante, published by
Attica; These two textbooks 8th grade of elementary school, that from 2012 in
Paraná State, became the 9th grade. The works were reviewed and approved by
the federal instrument of consultation and acquisition of didactic works of the
National Textbook (PNLD) 2008.
Key words: Pythagorean Theorem, Textbook, National Textbook.
1
INTRODUÇÃO
A relação existente entre os catetos e a hipotenusa de um triângulo
retângulo, conhecida como Relação de Pitágoras ou mais comumente Teorema de
Pitágoras e sua importância para a matemática e as demais ciências que nela se
baseiam vão das fundamentações mais simples, ao auxilio na resolução de
problemas complexos, pela importância do teorema de Pitágoras e seu ensino a
estudantes do Ensino Fundamental, que se propõe neste trabalho uma análise da
abordagem deste tema em livros didáticos aprovados pelo Plano Nacional do Livro
Didático (PNLD, 2008).
O objetivo deste trabalho, como referido anteriormente, é fazer uma análise
apenas do capitulo referente à transposição didática do Teorema de Pitágoras,
especificamente nas obras: Matemática e Realidade, dos autores: Gelson Iezzi;
Osvaldo Dolce e Antonio Machado, publicado pela Editora Atual juntamente com a
obra: Tudo é Matemática, do autor Luiz Roberto Dante, publicado pela Editora
Ática; estes dois livros didáticos da 8ª série do Ensino Fundamental foram
aprovados pelo Plano Nacional do Livro Didático (PNLD) em 2008.
A base para a escolha deste tema foram os Parâmetros Curriculares
Nacionais de Matemática, que apresenta os objetivos para o Ensino Fundamental
em termos das capacidades a serem desenvolvidas pelo aluno e indica ainda os
conteúdos
para
desenvolvê-las.
Sendo
apontada
uma
possível
interdisciplinaridade entre a Matemática e outras áreas do conhecimento e suas
relações com o cotidiano, ou seja, é através dos Parâmetros Curriculares (PCN)
que os autores dos materias de apoio entre estes o Livro Didático são orientados a
apresentarem os conteúdos de uma forma inovadora não apenas na dimensão de
seus conceitos, mas também na dimensão de procedimentos e atitudes.
Na análise realizada neste trabalho foram adotados como critérios de
orientação os mesmos utilizados pelo Fundo de desenvolvimento da educação
(FNDE), que através do Plano Nacional do Livro Didático (PNLD) avalia e
recomenda o material que poderá ser utilizado pelas Escolas Públicas do Brasil,
aonde por meio do Guia do Livro Didático do qual todos os professores deveriam
ter acesso, pois esse guia é enviado para as Escolas Públicas de Ensino
Fundamental e Médio, de todo Território Nacional, é como o próprio nome
designa, um guia, pois foi através dele que os professores da rede publica
nacional escolheram e utilizaram estas duas obras objetos estudo deste artigo nos
anos de 2008 a 2010.
Contudo, este estudo analisa a maneira como o Teorema de Pitágoras é
abordado nas obras citadas, sendo assim se faz necessário entendermos a
evolução, fundamentos e objetivos dos Parâmetros Curriculares Nacionais, tanto
quanto do Plano Nacional do Livro Didático e ainda do papel que este material de
apoio exerce no processo de ensino aprendizagem de matemática ao nível do
Ensino Fundamental.
2
O LIVRO DIDÁTICO NO BRASIL
A importância do livro didático, para o aluno das séries finais de Ensino
Fundamental se encontra sobre diversos fatores: Um deles é a capacidade de um
acompanhamento extra-classe do conteúdo que está sendo desenvolvido em sala
fortalecendo dessa forma a relação existente entre o que o professor ensina e o
que o aluno aprende.
[...] As pesquisas em Educação têm reiteradamente anunciado que
a forma de se relacionar com o conhecimento, de transmiti-lo, de
utilizar o material didático, de relação professor/aluno são
determinantes da prática Educativa, trazendo profundas
conseqüências na Prática social global dos indivíduos [...]
(RUGGIERO, 2003, p. 18, itálico do autor).
E ainda para a sociedade brasileira que, dentre sua pluralidade de
dificuldades, este vem de forma a democratizar o saber, como é ressaltado por
Martins (2006).
[...] A indiscutível importância do livro didático no cenário da
educação pode ser compreendida em termos históricos,
através da relação entre este material educativo e as práticas
constitutivas da escola e do ensino escolar. Esta importância é
atestada, entre outros fatores, pelo debate em torno da sua função
na democratização de saberes socialmente legitimados e
relacionados a diferentes campos de conhecimento, pela polêmica
acerca do seu papel como estruturador da atividade docente, pelos
interesses econômicos em torno da sua produção e
comercialização, e pelos investimentos de governos em programas
de avaliação. [...] (MARTINS, 2006, p.118, negritos do autor).
No Brasil, os Livros Didáticos fazem parte efetiva dos recursos pedagógicos
nos estabelecimentos de ensino público desde a implantação do Programa
Nacional do Livro Didático (PNLD), em 1985 que, através do Fundo Nacional de
Desenvolvimento da Educação (FNDE), o que seleciona os livros que podem ser
utilizados nas escolas, todo esse movimento que ocorreu na sociedade brasileira
desde o início de sua formação até o presente momento pode se sentir,
diretamente no setor da educação e manutenção desta por parte do estado.
[...] No Brasil esta parceria foi permeada por reformas oficiais e por
movimentos de atualização do ensino, pelas políticas
educacionais, particularmente no campo do livro didático, e pela
participação das editoras e autores, nos programas estabelecidos
pelo governo. [...]. (LOPES, 2000, p.15).
De forma a compreendermos com mais clareza estes fatos se faz necessário
abrangemos o seu desenvolvimento Histórico.
2.1
EDUCAÇÃO UM DIREITO DE TODOS
O Brasil teve durante o desenrolar de sua história um total de oito
Constituições, tendo sido a 1ª Constituição outorgada em 25 de março de 1824
por D. Pedro I, está Constituição não citava a escolaridade obrigatória, mas de
acordo com o artigo 179 estabeleceu o princípio da gratuidade. Em 1891 veio à luz
da Nova República a 2ª Constituição do Brasil, outorgada em 24 de fevereiro
deste ano, nossa segunda Carta Magna, faz referência à obrigatoriedade do
Ensino Primário no artigo 62, Item 5° da Constituiç ão Provisória da União, como
ressaltado por Prado (Prado, 200, p. 6), citando a constituição de 1891. “O ensino
será livre e leigo em todos os graus e gratuito no primário”. A sexta Constituição do
Brasil, e quinta da república, veio em meio aos inúmeros acontecimentos obscuros
dos anos de Ditadura Militar sendo outorgada em 1967, em sua redação na
Ementa Constitucional n° 1 de 17 Outubro de 1969, q ue se menciona pela
primeira vez tornar o ensino obrigatório para todos os Brasileiros dos sete aos
quatorze anos e gratuito nos estabelecimentos oficiais (art. 175, 3° II) 1.
[...] A verdadeira extensão dos anos de obrigatoriedade escolar
viria somente com a lei n° 5692/71, que institui o ensino primário a
educação correspondente ao ensino de 1° grau (art.1 °, 1°), então
em 1971 a obrigatoriedade de freqüência à escola passou a ser de
oito anos, em decorrência do novo instrumento legal a LDB teve
revogada a maioria de seus artigos, reduzindo-se a 33 os que
permaneceram em vigor que são especialmente os que dizem
respeito ao fim da educação, direito a educação, liberdade de
ensino e outros. [...] (NISKIER, 1997, p.45).
Este caminhar histórico leva diretamente a constituição de 1988 que em seu
texto manteve a obrigatoriedade do ensino de primeiro grau, agora denominado
Ensino Fundamental, entendendo-o agora como um dever do Estado e
estendendo-o aos que a ela não tiverem acesso na idade própria.
A Constituição de 1988 inclui a educação no capítulo III do Titulo VIII DA
ORDEM GERAL de acordo com o texto regente do Estado Brasileiro.
[...] A educação é um direito de todos e dever do Estado e da
família, será promovida e incentivada com a colaboração da
sociedade, visando o pleno desenvolvimento da pessoa seu
preparo para o exercício da cidadania e sua qualificação para o
trabalho. [...] (BRASIL, 1998 p. 136).
11
Disponivel em: http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/constituicao/emendas/emc_anterior1988/emc0169.htm, acesso: 23/03/2012 as 00h28min.
Nota-se que, até a Constituição de 1988, a educação era vista como um
dever da família e do Estado, passando então a ser estendida a sua obrigação
até, a sociedade, que perante este fato notou-se a necessidade de padronizar o
currículo educacional no país para assegurar uma formação básica em comum.
[...] No Brasil, a partir de 1995, a Secretária de Ensino
Fundamental do Ministério da Educação e do Desporto coordenou
um projeto em que educadores que atuam em diferentes níveis do
sistema educativo debateram e indicaram diretrizes curriculares
comuns para o Ensino Fundamental no Brasil. São os chamados
Parâmetros Curriculares Nacionais [...] (PRADO, 2000, p.9).
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) foram sancionados no dia 20
de dezembro de 1996, pelo então Presidente da República Fernando Henrique
Cardoso.
2.2
FUNDAMENTOS DOS PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS
É o objetivo de um Estado Democrático, investir na educação de forma a
preparar os indivíduos pertencentes a esta nação, para a vida em comunidade,
dando continuidade ao desenvolvimento sociocultural deste país. É com este
objetivo que o Estado Brasileiro criou os Parâmetros Curriculares Nacionais, como
um verdadeiro instrumento de ordenação, de forma a garantir a formação básica
em comum a todos os cidadãos Brasileiros. É visto que em um país de grandes
dimensões territoriais, como é o caso do Brasil, existem diferenças socioculturais
marcantes que determinam diferentes necessidades de aprendizagem, para os
estudantes, porém há questões em comum a todos no sentido de que um aluno de
qualquer lugar do país deve ter o direito de aprender garantido pelo estado, então
é nessa direção que foi estabelecida uma referência curricular em comum.
[...] não se trata de uma tarefa simples de ser realizada,
considerando-se que, no quadro de desigualdades da realidade
brasileira, existem grandes discrepâncias em relação à
possibilidade de se ter acesso aos centros de produção de
conhecimento, tanto de áreas curriculares quanto da área
pedagógica isso se reflete na formação de professores e nos
currículos das escolas, e não favorece o equilíbrio entre os
seguimentos da sociedade já tão distanciados econômica e
culturalmente. [...] (PIETROPAOLO, 2002, p.36).
Os Parâmetros Curriculares Nacionais, (PCNs) traduzem os objetivos para
o Ensino Fundamental, na forma de capacidades que o aluno deve desenvolver
sendo elas:
• Desenvolver o conhecimento de si mesmo, em suas capacidades afetivas,
físicas, cognitivas, ética, de inter-relação pessoal e social em busca do
conhecimento do exercício da cidadania;
• Conhecer características fundamentais do Brasil, como o social, cultural e
material, para se identificar nacionalmente;
• Conhecer e valorizar o patrimônio sócio-cultural, posicionando-se contra
qualquer discriminação baseada nas diferentes classes sócias, crenças,
sexo e outras características individuais;
• Conhecer e saber utilizar fontes de recursos tecnológicos;
• Saber usar o pensamento lógico e criativo para resolver problemas, tendo
em vista a capacidade crítica num procedimento adequado;
• Compreender a cidadania e suas participações sociais e políticas,
conhecendo seus deveres políticos, civis e sócias, tendo como atitudes a
solidariedade, a cooperação e o repúdio as injustiças, respeitando o outro e
exigindo o mesmo para si.
Os PCNs, têm em sua estrutura o Ensino Fundamental dividido em quatro
ciclos, de modo que o primeiro ciclo compreende a Primeira e a Segunda Série, o
segundo ciclo composto pela Terceira e Quarta Série, em seguida o terceiro ciclo,
composto pela Quinta e Sexta Série e finalmente o quarto ciclo, no qual se situa a
Sétima e Oitava série.
O entendimento do desenvolvimento histórico e dos fundamentos dos
PCNs, e sua estrutura básica, é primordial para uma análise da abordagem do
Teorema de Pitágoras, em livros didáticos da Oitava Série do Ensino Fundamental
no Brasil, pois é a partir desses parâmetros que os autores selecionam os
conteúdos e escolhem as metodologias de transposição didática que seus livros
irão seguir, de forma a se enquadrarem nos requisitos exigidos pelo Fundo
Nacional de Desenvolvimento da Educação (FNDE), que através do Plano
Nacional do Livro Didático (PNLD), avalia e recomendam os livros as escolas
Públicas do Brasil.
[...] Os PCNs de Matemática poderão nortear a formação inicial e
continuada de professores, pois à medida que os fundamentos dos
currículos se tornam claros fica implícito o tipo de formação que se
pretende para o professor, como também orientar a produção de
livros e de outros materiais didáticos. [...] (PIETROPAOLO, 2002,
p.37).
2.3
O PLANO NACIONAL DO LIVRO DIDÁTICO (PNLD)
O Plano Nacional do Livro Didático é um programa do Ministério da
Educação, de implementação, anterior aos PCNs este programa foi instituído em
de 20 de agosto de 1985, seus principais objetivos foram universalizar e melhorar
o antigo Ensino de 1º grau, hoje denominado Ensino Fundamental; valorizar a
participação do professor, na indicação do livro didático e reduzir os gastos da
família com educação. Seu desenvolvimento se da com a participação de
professores do Ensino Fundamental, mediante análise e indicação de títulos dos
livros a serem adotados. Este programa entrou em vigor no ano letivo de 1986,
durante os seus vinte e dois anos de existência o programa de acordo com o
decreto n° 91.542 de 19 de agosto de 1985 Publicado no Diário Oficial de 20 de
agosto de 1985, p. 1278, I seção, onde teve seus critérios de avaliação dos livros
didáticos constantemente revistos no sentido de aprimorar os critérios de
avaliação. Os Livros Didáticos de Matemática das series finais do Ensino
Fundamental (neste trabalho analisado os livros didáticos de Oitava Série)
selecionados pelo PNLD em 2008, devem estar de acordo não só com os PCNs
de Matemática, como também com os requisitos do PNLD caso contrario, não
seriam aprovados.
2.4
O GUIA DO LIVRO DIDÁTICO
O Guia do Livro Didático é uma síntese das análises realizadas nas
diversas coleções de livros didáticos, de diversas editoras, que enviaram suas
publicações ao Ministério da Educação que através do Plano Nacional do Livro
didático (PNLD) seleciona e indica em seu texto apenas as obras que estão de
acordo com o exigido nos critérios de avaliação do PNLD, este material é enviado
às escolas pelo Próprio Ministério da Educação ou ainda pode ser consultado pela
internet, no site http://www.fnde.gov.br, ficando restrita a escolha do professor
somente as obras listadas neste Guia Oficial, em 2008 as obras aprovadas e
recomendadas foram:
1-Aplicando a Matemática, Autores: Alexandre Luis Trovon de Carvalho e
Lourisnei Fortes Reis; Editora: Casa Publicadora Brasileira.
2- Tudo é Matemática, Autor: Luiz Roberto Dante; Editora: Ática.
3- Matemática; Autores: Maria Helena S. de Souza, Walter Spinell; Editora:
Ática.
4- Matemática na Vida e na Escola: Autores: Ana Lúcia Gravato Bordeaux
Rego; Clea Rubinstein; Elisabeth Ogliari Marques; Elizabeth Maria França
Borges e Gilda Maria Quitute Portela; Editora: Editora do Brasil.
5- Novo Praticando Matemática: Autores: Álvaro Andrini e Maria José Couto
de V. Zampirolo; Editora: Editora do Brasil.
6- Matemática em Movimento; Autor: Adilson Longen; Editora: Editora do
Brasil.
7- Matemática Hoje é Feita Assim; Autor: Antonio José Lopes Bigode;
Editora FTD.
8- Fazendo a Diferença Matemática; Autor: Ayrton Olivares Bonjorno;
Editora: FTD.
9- Projeto Araribá Matemática; Autor: Editora Moderna; Editora; Editora
Moderna.
10- Idéias & Relações; Autores: Cláudia Miriam Tosatto Siedel, Edilaine do
Pilar, Fernandes Peracchi e Violeta Maria Estephan; Editora: Positivo.
11- Matemática para todos; Autores: Luiz Márcio Pereira Imenes e Marcelo
Cestari Terra Lellis; Editora: Scipione.
12- Matemática na Medida Certa; Autores: José Jakubovic; Marcelo Cestari
Terra Lellis e Marília Ramos Centurión; Editora: Scipione.
13- Construindo Consciências Matemática; Autores: Elizabeth Soares e
Jackson da Silva Ribeiro; Editora: scipione.
14- Matemática e Realidade; Autores: Antonio dos Santos Machado; Gelson
Iezzi e Osvaldo Dolce; Editora: Saraiva.
15- Para Saber Matemática; Autores: Ednéia Poli; Fábio Vieira, Juliana
Sosso e Luiz G. Cavalcante; Editora: Saraiva.
16- Matemática Idéias e Desafios; Autor: Dulce Iracema; Editora: Saraiva.
3
O LIVRO DIDÁTICO E O TEOREMA DE PITÁGORAS
O objetivo deste estudo como mencionado é realizar uma análise da
abordagem dos capítulos reservados ao Teorema de Pitágoras especificamente
nas obras Tudo é Matemática, cap.7, p.163 a 183, do autor: Luiz Roberto Dante
da Editora Ática e também, Matemática e Realidade, cap. 13, p.129 a 148, dos
autores: Antonio dos Santos Machado; Gelson Iezzi e Osvaldo Dolce da Editora
Saraiva; Recomendadas pelo PNLD, através do Guia do Livro didático, a escolha
deste material se deu, pelo papel preponderante que os materiais de apoio neste
caso em específico o Livro Didático tem na tarefa de ensino-aprendizagem do
Teorema de Pitágoras, cujo entendimento pelo aluno é fundamental para o avanço
e compreensão de diversos temas matemáticos que se seguem nas etapas
posteriores de sua formação escolar, e é nesse sentido que se faz necessário
entender a importância deste material de apoio tanto para o professor quanto para
o aluno.
O Livro Didático “é uma verdadeira testemunha ocular da educação”, pois
esteve presente em vários momentos decisivos para o ensino, com todas as
mudanças que sofreu durante a história da ciência e da sua transposição didática.
A transposição didática que por sua vez como conceituada por Chevallard
(1991), em La Transposition Didactique, é um movimento entre os diversos níveis
do saber ou ainda é um movimento entre os saberes: Sábio; Saber a Ensinar e o
Saber Ensinado, não se deve confundir transposição didática com uma simples
simplificação de assuntos mais complexos, um assunto a ser ensinado, ou seja,
um saber a ensinar é consequência de um processo particular sendo resultado de
um tratamento didático que obedece a regras específicas; sendo assim a
transposição didática é o processo sofrido por determinado elemento do saber ao
sair do ambiente cientifico até se tornar objeto ou elemento do ensino.
Segundo Ruggiero (2000, p. 37), baseado em Saviani (1987), o livro
didático estaria desenvolvendo algo que ele define como transmissão indireta, ou
seja, que não tenha sido passada pelo professor, considerando o livro didático
como um instrumento de apoio ao educando.
Sozinho o livro didático não é capaz de cumprir a tarefa de transposição do
conhecimento, sendo fundamental a participação do professor neste processo,
como descrito por Lopes (2000, p. 39): “Um bom livro, nas mãos de um professor
despreparado, pode ser um desastre, assim como um livro de baixa qualidade,
nas mãos de um professor competente, pode resultar numa ótima aprendizagem”.
Assim como nas palavras de Machado (1997, p.112), citado por Lopes,
(2000, p.39): “utilizado de modo adequado, o livro mais precário é melhor do que
nenhum livro, enquanto os mais sofisticados dos livros podem tornar-se
pernicioso, se utilizado de modo catequético”. Ou seja, o livro didático é uma peça
importante do trabalho do professor e uma ferramenta de consulta e extensão do
processo de aprendizagem do aluno.
[...] o livro didático é tão importante na difusão do conhecimento e
da cultura, e é ele próprio um objeto cultural. Como um meio de
transmissão indireta de conhecimentos, longe de ser
secundarizado [...] (RUGGIERO, 2003, p.21).
Pensando na importância do Ensino do Teorema de Pitágoras, convém
tecer algumas considerações a esse respeito, principalmente pelo fato do abjeto
de estudo desta análise ser a abordagem do Teorema de Pitágoras, em Livros
Didáticos da Oitava Série do Ensino Fundamental cuja importância é reafirmada
por Bastian (2003).
[...] Para melhor compreensão do significado do Teorema.
Almejou-se com isso que eles o entendessem não como uma
simples fórmula a memorizar, mas sim como ferramenta utilizável
na resolução de inúmeros problemas de geometria. [...]
(BASTIAN, 2003, p. 45).
3.1
O TEOREMA DE PITÁGORAS
Segundo Boyer (2002, p.12), “Diz-se freqüentemente que os egípcios
antigos conheciam o Teorema de Pitágoras”.
Ainda Boyer (2002), citando o historiador grego Heródoto nos diz que no
vale do rio Nilo, no Egito, o apagamento das demarcações das terras, antes
dividido entre os “produtores rurais da época” devido à cheia do rio criava um
problema para os mensuradores (esticadores de corda), que na necessidade de
restaurar as demarcações utilizavam um fato, hoje conhecido de Teorema de
Pitágoras, cujo enunciado em palavras por Iezzi (2005, p.11):
“Em qualquer triângulo retângulo a soma do quadrado dos catetos é
igual ao quadrado da hipotenusa.”
Sobre a autoria da primeira demonstração do Teorema de Pitágoras, Struik,
(1992, p. 77), em História Concisa das Matemáticas, afirma que essa
demonstração foi atribuída pelos Pitagóricos, ao seu mestre Pitágoras, dizendo
ainda que ele tivesse sacrificado cem bois aos deuses, para demonstrar sua
gratidão em relação ao feito, traz ainda que o Teorema supostamente
demonstrado por Pitágoras, já era conhecido na Babilônia de Hammurabi.
[...] Várias biografias de Pitágoras foram escritas na Antigüidade,
inclusive uma de Aristóteles, mas se perderam. Uma outra
dificuldade para caracterizar claramente a figura de Pitágoras
provém do fato de que a ordem que ele fundou era comunitária
além de secreta. Conhecimento e propriedade eram comuns, por
isso a atribuição de descobertas não era feita a um membro
específico da escola.[...] (BOYER, 2002, p.33).
4
ESTRUTURA DA ANÁLISE
De forma a estruturar a análise, realizada neste trabalho, utilizou-se como
critérios norteadores alguns, critérios próprios do PNLD, que constam no Guia do
Livro Didático (2008, p. 19).
Foram analisadas nas obras: Matemática e Realidade e Tudo é
matemática, os seguintes aspectos:
I. A percepção das relações entre o conhecimento e suas funções na
sociedade e na vida prática.
II. O desenvolvimento de capacidades básicas do pensamento autônomo e
crítico (como a compreensão, a memorização, a análise, a síntese e a formulação
de hipóteses, o planejamento, a argumentação), adequadas ao aprendizado de
diferentes objetos.
Foram analisados nas obras citadas, também em relação há Correção dos
conceitos e informações básicas, importância ressaltada pelo Guia do Livro
Didático (2008, p.19), “Respeitando as conquistas científicas das áreas de
conhecimento, uma coleção didática não poderá, sob pena de descumprir seus
objetivos didático-pedagógicos”.
III. Apresentar de modo errado, conceitos, imagens e informações
fundamentais das disciplinas científicas em que se baseia;
IV. Utilizar-se de modo errado esses conceitos e informações em
exercícios, atividades ou imagens, induzindo o aluno a uma equivocada
apreensão de conceitos, noções ou procedimentos.
Estes quatro critérios serão denominados desta parte em diante no texto
simplesmente como critérios avaliativos: I, II, III e IV.
Nas obras analisadas levar-se á em questão a utilização ou não da história
da matemática, por parte dos autores no sentido que a inclusão de um capítulo ou
subcapítulo referente ao desenvolvimento histórico do tema abre novas
possibilidades de discussão em sala de aula, e ainda devido, o grande entrelaço
deste tema com o desenvolvimento dos demais conteúdos matemáticos que serão
abordados nas séries subsequentes.
4.1 ANÁLISE DA OBRA MATEMÁTICA E REALIDADE
O Teorema de Pitágoras é abordado na obra: Matemática e Realidade, dos
autores Iezzi, Dolce e Osvaldo, impresso pela editora Atual, obra aprovada pelo
PNLD (2008), a qual passara a ser denominada simplesmente de Livro didático
1. O Capítulo 13, p. 129 vem com o subtítulo “Relações métricas no triângulo
retângulo” e inicia conceituando os elementos de um triângulo retângulo.
[...] Os elementos de um triângulo retângulo recebem
denominações especiais; assim para um triângulo ABC retângulo
em A temos que;
● o lado a (ou de medida a), oposto ao ângulo A, é a hipotenusa;
● os lados b e c (ou de medidas b e c) opostos, respectivamente,
aos ângulos B e C, são os catetos. [...] (IEZZI; DOLCE;
OSVALDO, 2005 p.129).
Juntamente com esse enunciado, a figura 1 ilustra esta afirmação.
Figura 1. Triângulo retângulo ABC
Fonte: Iezzi; Dolce; Osvaldo (2005 p.129).
É com base neste triângulo (figura 1) que o livro didático desenvolve a
demonstração do Teorema de Pitágoras, seguindo:
[...] Vamos traçar a altura AD relativa à hipotenusa e observar as
figuras de um mesmo triângulo retângulo em duas posições
diferentes.
Temos:
● m= projeção do cateto b sobre a hipotenusa
● n= projeção do cateto c sobre a hipotenusa
● h= altura relativa à hipotenusa. [...] (IEZZI; DOLCE; OSVALDO
p.129).
Figura 2. Decomposição do triângulo retângulo ABC
Fonte: Iezzi; Dolce; Osvaldo (2005 p.129).
Na sequência, os autores indicam uma demonstração, do teorema
utilizando semelhança de triângulo, decompondo o triângulo da figura 2 em dois
triângulos semelhantes, conforme a figura 3
Figura 3. Decomposição em triângulos semelhantes
Fonte: Iezzi; Dolce; Osvaldo (2005, p.130).
Explorando o conteúdo referente à semelhança de triângulos o autor
apresenta as seguintes relações matemáticas:
De posse das relações, (1), (2), (3), cujos autores afirmam serem as mais
importantes relações métricas em um triângulo retângulo, segue a demonstração
essencialmente algébrica:
Na sequência, como
e
, os autores concluem com:
Observa-se que esta última relação encontrada é o Teorema de Pitágoras.
Nota-se nesta demonstração a ausência, de contextualização bem como a
ausência de uma interpretação geométrica lúdica, dando lugar há uma
demonstração algébrica formal, a qual se faz necessário que o aluno possua o
conhecimento de diversas, propriedades, principalmente em relação à semelhança
de triângulos. Os autores ainda apresentam, após esta demonstração formal,
ainda na pág. 131, as cinco relações métricas do triângulo retângulo, com o auxilio
visual, conforme a figura 4.
Para analisar o papel destas figuras no processo de ensino aprendizagem
do Teorema de Pitágoras, podemos citar os PCNs (2000, p.81), que traz no texto
referente segundo ciclo objetivo de matemática para identificar diversas
características em figuras geométricas.
[...] Identificar características das figuras geométricas, percebendo
semelhanças e diferenças entre elas, por meio de composição e
decomposição, simétricas, ampliações e reduções. [...] (PCN, 2000,
p.81, negritos do autor).
Com o emprego das figuras ilustrativas, conforme a figura 4, o livro segue
com exercícios que segundo o critério II favorece a memorização destes
conceitos. Como exemplo, são colocados exercícios onde é dado uma relação
incompleta, tal como
ou
e é solicitado ao aluno que através
das relações encontradas anteriormente complete em seu caderno substituindo o
ponto de interrogação(?), por seu valor correto.
Do ponto vista matemático este exercício facilita a memorização de uma
relação importante existente entre os catetos e a hipotenusa de um triângulo
retângulo conhecimento que será útil na resolução de diversos problemas não só
de matemática, mas de disciplinas como no caso da física, por exemplo, em óptica
geométrica.
Figura 4. Representação Geométrica das relações métricas
Fonte: Iezzi; Dolce; Osvaldo (2005, p.131).
Do ponto de vista didático na substituição das incógnitas por valores reais
pode se resgatar diversos conceitos. Exemplo potenciação e radiciação.
As demais atividades seguem com a mesma estrutura, mudando-se apenas
as relações envolvidas. Nas páginas seguintes é proposta, uma série de
exercícios, envolvendo a aplicação do Teorema de Pitágoras, para encontrar
valores desconhecidos em triângulos retângulos, seguindo desta maneira da
página 132 a página 136, dando lugar na página 137, ao subcapítulo: “Aplicações
notáveis do teorema de Pitágoras”, neste subcapítulo são expostas duas
aplicações uma diz respeito ao cálculo da diagonal de um quadrado de lado l, em
quanto que a outra define a altura de um triângulo equilátero de lado l em
nenhuma parte do capitulo referente ao Teorema de Pitágoras, analisado nesta
obra ouve por parte dos autores uma tentativa de contextualização prática deste
conteúdo na tentativa de relacionar o conteúdo exposto com cotidiano do aluno,
contra exemplos simples e esclarecedores para alunos de 8ª Série do Ensino
Fundamental, nível ao qual a obra analisada se destina que podemos citar é:
I. Calcular a diagonal da sala de aula. Depois de medir a largura e
comprimento do chão.
II. Uma escada de 5 m de comprimento está apoiada numa parede, o pé da
escada está afastado 3m da base da parede. Qual é a altura, na parede, que a
escada alcança?
III. Uma pessoa, deu quatro passos iguais e, em seguida, mais 3 numa
direção perpendicular. Partiu do ponto M e chegou ao ponto N; Quantos passos
daria se fosse diretamente do ponto M ao ponto N?
A utilização da história da matemática, não foi abordada na análise desta
obra como critério de avaliação, porém, vale ressaltar a importância de sua
utilização, em livros didáticos do ensino fundamental.
[...] A História da Matemática pode oferecer uma importante
contribuição ao processo de ensino e aprendizagem dessa área
do conhecimento. Ao revelar a Matemática como uma criação
humana, ao mostrar necessidades e preocupações de diferentes
culturas, em diferentes momentos históricos, ao estabelecer
comparações entre os conceitos e processos matemáticos do
passado e do presente, o professor cria condições para que o
aluno desenvolva atitudes e valores mais favoráveis diante desse
conhecimento. Além disso, conceitos abordados em conexão com
sua história constituem veículos de informação cultural,
sociológica e antropológica de grande valor formativo. A História
da Matemática é, nesse sentido, um instrumento de resgate da
própria identidade cultural. [...] (PCN, 1998, p.42).
Na primeira obra analisada, denominada por Livro Didático, denominação
apenas para facilitar o desenvolvimento desta análise e o entendimento desta por
parte do leitor; Os autores incluem após o desenvolvimento matemático do
capítulo objeto estudo deste trabalho, ou seja, após todas as demonstrações e
exercícios um sub-capítulo denominado “Matemática no tempo” dedicado a
história de Pitágoras e o desenvolvimento de seu Teorema, relatam ainda que este
já fosse conhecido pelos babilônios mil anos antes do nascimento de Pitágoras,
esta abordagem traz para dentro da sala de aula a discussão, de porque então o
nome de Pitágoras esta associado a este teorema, no desenrolar deste
subcapítulo os autores abordam e finalizam esta questão afirmando se que este
fato deu, pois foi Pitágoras ou algum Pitagórico o primeiro a demonstrar que em
qualquer triangulo retângulo a soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado
da hipotenusa.
[...] A maioria dos historiadores que aceitam essa versão
acreditam que a demonstração dada por Pitágoras deve ter sido
uma demonstração geométrica, baseada na comparação de
áreas. [...] (IEZZI; DOLCE; OSVALDO, 2005, p.147).
Ainda no subcapítulo, “Matemática no tempo”, após uma exposição
biográfica, do personagem histórico Pitágoras de Samos, o Livro Didático
apresenta questões de interpretação de texto no qual o aluno é questionado sobre
passagens importantes da vida de Pitágoras, vejamos um exemplo:
“Pitágoras abandonou o ensino por duas vezes. Quando isso ocorreu e por
quê?” (IEZZI; DOLCE; OSVALDO, 2005, p.148).
Temos no final deste subcapítulo um total de três questões, que do ponto
de vista, didático gera uma vantagem durante o processo de ensino aprendizagem
deste conteúdo, visto que o aluno e levado a refletir sobre a época em que
Pitágoras Viveu, a sociedade em que estava inserido e as dificuldades que
existiam na época.
4.2
ANÁLISE DA OBRA TUDO É MATEMÁTICA
A análise da abordagem do Teorema de Pitágoras na obra Tudo é
matemática, do autor Luiz Roberto Dante, impresso pela editora Ática, e como
mencionado anteriormente aprovado pelo PNLD (2008), a qual passará a se
denominar de Livro Didático (2). Está obra apresenta o Teorema de Pitágoras
no capítulo 7, p.163 a 183, cuja denominação é “Relações métricas no triangulo
retângulo e na circunferência”, inicia-se com uma perspectiva histórica aonde se
indaga o aluno se ele já ouviu ou não algo sobre os “harpedonaptas” os
esticadores de cordas do Egito.
[...] Conta-se que, para obter ângulos retos, que eram usados
para medir as terras após as enchentes do rio Nilo, os
“esticadores de corda” utilizavam uma carda de 12 nós a igual
distancia um do outro e com ela construíam um triângulo com
vértices em três desses nós. O triangulo assim obtido possui
lados que medem 3,4e5 unidades de comprimento e é um
triangulo retângulo [...] (DANTE, 2008, p.163).
Desta maneira seque a introdução do capítulo 7, descrevendo que o
trabalho dos antigos egípcios “esticadores de cordas”, só era possível, pois se
baseava “em uma relação importante” valida para todos os triângulos retângulos,
que o Livro Didático 2, p.163, denomina inicialmente de “Relação de Pitágoras”,
trazendo o seguinte enunciado: “Se as medidas dos lados de um triângulo
retângulo são a, b e c, sendo a. maior das três, então vale a relação:
.
No intuito de exemplificar o enunciado o autor parte para aplicação do
Teorema de Pitágoras num triangulo formado pela tripla pitagórica fundamental 3,
4 e 5, com o auxilio visual como mostra a figura 5.
Seguindo com uma contextualização histórica aonde o autor situa o
conhecimento e utilização do Teorema de Pitágoras pelos povos que habitavam a
Mesopotâmia por volta de 2000 a 1700 a.C; ou seja mais de 1000 anos antes de
Pitágoras ter nascido, afirmando que o nome deste sábio grego veio a ser
relacionado com o Teorema pois teria sido ele o primeiro a generalizar a relação
existente entre a hipotenusa e os catetos de um triângulo retângulo, provando ser
válido para qualquer triângulo que possua um ângulo reto.
Figura 5. Soma das áreas
Fonte: Dante (2008, p.163).
Do ponto de vista desta análise, em comparação com a obra: Matemática e
Realidade, analisada anteriormente; Está segunda obra: Tudo é Matemática,
aqui denominada Livro Didático 2, pela posição em que disponibiliza a
contextualização e ainda associada com a demonstração matemática do Teorema,
cria possibilidades de discussão em sala de aula, sobre a cultura grega e o próprio
desenvolvimento entrelaçado da matemática e da sociedade humana, enquanto
que na primeira obra analisada o desenvolvimento histórico do tema deste
trabalho, foi posicionado no final do capítulo dando a impressão de que era menos
importante ou ainda apenas opcional.
Figura 6. Triângulo retângulo
Fonte: Dante (2008, p.164).
Quanto à demonstração do Teorema de Pitágoras, no Livro Didático 2, o
autor inicia com a denominação dos elementos de um triângulo retângulo
conforme indicado na figura 6.
De forma semelhante ao Livro Didático 1 (IEZZI; DOLCE e OSVALDO,
2005), no Livro Didático 2, (DANTE, 2008) na figura 7 é traçado a altura do
triângulo ABC retângulo em A, obtendo-se os triângulos semelhantes.
Figura-7. Decomposição do triângulo retângulo
Fonte: Dante (2008, p.164).
Através dos conceitos de semelhança de triângulos e com o auxilio visual
da figura 7 chega-se a relação:
Na sequência, comparando-se os triângulos retângulos semelhantes HBA e
ABC, na tentativa de facilitar a visibilidade dos processos envolvidos esses
triângulos são colocados na mesma posição; conclui-se que
em:
o que resulta
De forma análoga, comparando-se os triângulos retângulos semelhantes
HAC e ABC, Obtém-se a relação:
Adicionando membro a membro as relações (7) e (9), e substituindo (1),
tem-se:
Desta maneira o Livro Didático 2 finaliza a demonstração do Teorema de
Pitágoras ressaltando que existem varias maneiras de demonstrá-lo, partindo para
a aplicação do Teorema em triângulos retângulos.
Um diferencial que nota-se através desta análise, entre o Livro Didático 1 e
o Livro Didático 2, é a utilização Teorema de Pitágoras na resolução de exercícios
cujo enunciado pode se considerar próximo do cotidiano do aluno ao qual a obra
se destina um exemplo que ilustra este fato é o seguinte:
Um fio foi esticado do topo de um prédio até a base de outro, conforme
indica a figura. O valor mais próximo do valor do comprimento do fio é:
a)34 m
b) 35 m
c) 36 m
d) 37 m
Figura 8. Aplicação prática;
Fonte: Dante (2008, p. 165).
Do ponto de vista matemático, este exercício propícia ao aluno uma
aplicação do Teorema de Pitágoras envolvendo unidades de medidas específica
neste caso o metro (m) e após a resolução dos cálculos obtém se como
hipotenusa o número
sendo este valor um número irracional. O aluno nota
que o Teorema de Pitágoras não se aplica somente a triângulos retângulos cujas
medidas dos lados são números naturais.
Didaticamente este exercício relaciona uma situação prática, com um
conteúdo matemático, possibilitando ao professor discutir a importância da
matemática em diversos ramos, profissões e atividades, do cotidiano.
Após a primeira série de exercícios, propostos o Livro Didático 2, traz na p.
169; outras duas demonstrações do Teorema de Pitágoras. A primeira atribuída a
James Garfield (1831-1831), (Congressista americano eleito o 20° presidente dos
Estados Unidos), e a segunda demonstração que o Livro Didático apresenta é a já
mencionada demonstração atribuída ao matemático hindu Bháskara, está
abordagem contida no texto ilustra diversas demonstrações diferentes para o
mesmo Teorema, facilitando a compreensão do caráter absoluto da matemática,
ou seja, por diversos métodos, porém seguindo passos lógicos e validos chega-se
as mesmas conclusões.
O Livro Didático 2 traz ainda algumas aplicações específicas do Teorema
de Pitágoras são elas: calcular a diagonal de um quadrado, a altura de um
triângulo equilátero, a diagonal de um cubo, a diagonal de um bloco retangular e a
distância entre dois pontos. Sempre acompanhado de figuras ilustrativas.
4.3
RELAÇÃO ENTRE OS LIVROS
De forma a facilitar o entendimento do leitor em relação à análise realizada
neste trabalho, será apresentada no quadro 1, os apontamentos referentes a cada
critério, já listados anteriormente.
QUADRO 1
Critério I: A percepção das relações entre o conhecimento e suas funções na
sociedade e na vida prática
A análise do livro 01
Pouca
contextualização
entre
A análise do livro 02
o O
texto
é
bem
contextualizado,
conteúdo exposto e suas funções na baseando uma série de exercícios
sociedade e na vida prática, porém vinculados a problemas práticos do
possui
uma
problemas
boa
formulação
propostos
dos cotidiano do aluno ao qual se destina.
possibilitando
um resgate de temas abordados nas
séries
ou
mesmo
em
capítulos
anteriores da obra.
Critério II. O desenvolvimento de capacidades básicas do pensamento
autônomo e crítico, adequadas ao aprendizado de diferentes objetos
A análise do livro 01
A análise do livro 02
A obra traz em seu texto uma série de A
exercícios
que
desenvolvimento
favorecem
de
todas
capacidades listadas neste critério.
demonstração
o Pitágoras
do
Teorema
de
com
seu
histórico
e
associado
as desenvolvimento
posteriormente a proposição de uma
série de exercícios por muitas vezes
contextualizado com o cotidiano do
aluno ao qual a obra se destina faz
com
que
este
texto
desenvolvimento
de
favoreça
todas
o
as
capacidades requeridas neste critério.
Critério III. Apresentar de modo errado, conceitos, imagens e
informações fundamentais das disciplinas científicas em que se baseia;
A análise do livro 01
A análise do livro 02
Não se verificou no capítulo analisado Não se encontrou no desenvolvimento
conceitos,
erradas.
imagens
e
informações do
capítulo
analisado
nenhum
exemplo de conceito, imagem ou
informação errada.
Critério IV Utilizar-se de modo errado esses conceitos e informações em
exercícios, atividades ou imagens, induzindo o aluno a uma equivocada
apreensão de conceitos, noções ou procedimentos.
A análise do livro 01
A análise do livro 02
Não foram encontradas durante a De forma similar ao texto do Livro
análise do capítulo, aplicações de Didático 1, no Livro didático 2 não
conceitos, imagens ou informações foram encontrados durante a análise
erradas que pudessem levar o aluno a do capítulo, aplicações de conceitos,
uma
equivocada
apreensão
conteúdos expostos.
dos imagens ou informações erradas que
pudessem
levar
o
aluno
a
uma
equivocada apreensão dos conteúdos
expostos.
5
CONSIDERAÇÕES FINAIS
O símbolo de igualdade, tão largamente aplicado na matemática é formado
por dois segmentos de retas paralelas e de mesmo comprimento, este é apenas
um exemplo de uma característica peculiar e fundamental da matemática e sua
rigorosidade, em relação aos seus conceitos, este fato contribui para que ela se
torne uma ciência, mas como sabe se através da história do seu desenvolvimento
nem sempre foi assim, a matemática começou a ser formulada com base em
demonstrações na Grécia e aponta se como um dos precursores deste movimento
o sábio grego Pitágoras de Samos que teria realizado diversas demonstrações de
conceitos até então aceitos como verdadeiros por si só, uma destas prováveis
demonstrações é a do teorema que leva o seu nome, o Teorema de Pitágoras, que
já era conhecido e utilizado para construção de ângulos retos há mais de mil anos
antes de seu nascimento, porém este teorema nunca antes havia sido
demonstrado, ou seja, provado sua validade para todos os triângulos retângulos. A
importância deste teorema para a história do desenvolvimento da Matemática
como ciência se caracteriza pela busca e necessidade que se teve de demonstrar
fatos e propriedades relacionadas à geometria e aos números, que o utilizaram
para demonstrar suas propriedades e teoremas, no intuito de avançar o
conhecimento tendo certeza de que serão válidos os resultados obtidos.
Foi com este marco histórico que se propôs verificar a forma que os Livros
Didáticos atuais fornecidos as Escolas Publicas do País vem abordando este
conteúdo, porém o entendimento destas abordagens e sua relevância só foram
possíveis após uma minuciosa análise do desenvolvimento das leis que regem a
educação no Brasil, principalmente os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) e
a estrutura do Plano Nacional do Livro Didático (PNLD), sendo estas uma
referência para os autores destes materiais importantes no processo de
democratização do saber, ou seja, são estas leis que moldam e guiam a educação
de uma nação fazendo se fundamental seu entendimento por parte de todos os
profissionais da educação, fica ainda a opinião para trabalhos futuros que se
aprofunde a relação entre as leis educacionais e parâmetros mencionados neste
trabalho e os problemas da educação atual.
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