EDUCAÇÃO MATEMÁTICA COM CABRI-GÉOMÈTRE NA
7ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL
Erika Silva de Jesus 1
RESUMO
Este trabalho tem como objetivo verificar se o software de geometria dinâmica, “Cabri-Géomètre”, é um recurso
didático para que alunos da 7ª série do ensino fundamental desenvolvam habilidades no processo ensinoaprendizagem em matemática por meio de uma estimulação ativa do software educativo e da mediação do
professor; que influência o software poderá ter para o desenvolvimento cognitivo do aluno e observar as
diferenças entre médias de notas dos alunos que participaram de aulas expositivas (giz e quadro) e aula
interativa utilizando o cabri-géomètre.
Palavras chaves: Educação Matemática, Construtivismo, Cabri-Géomètre e Geometria dinâmica.
1. INTRODUÇÃO
A presença de programas de computadores para uso educacional tem chamado a atenção de
professores e alunos, pois a utilização desse recurso didático pode motivar o ensino e a
aprendizagem, diversificando as metodologias de ensino. Estudos provenientes da Matemática
têm comprovado que o uso de software de geometria dinâmica tendo como mediador o
professor, podem ajudar alunos a compreender melhor conceitos, teoremas, axiomas
estudados de forma abstrata.
Os softwares de geometria dinâmica proporcionam investigações, descobertas, confirmam
resultados, realizam simulações, e, sobretudo, levantam questões relacionadas com a sua
aplicação prática. Um exemplo de software de geometria dinâmica é o Cabri-Géomètre que é
um recurso onde o conhecimento geométrico pode se desenvolver a partir de atividades, de
modo natural. (Gravina, 1996)
Utilizamos o Cabri-Géomètre como uma ferramenta pedagógica para criar um ambiente
interativo que proporcionasse aos alunos de 7ª série do ensino fundamental uma
aprendizagem mais interessante, concreta e investigativa, ajudando-os a superar algumas
dificuldades encontradas na matemática e também proporcionar ao professor além de livros
textos, um meio didático a qual se possa acompanhar a construção de um conceito,
procedimento elaborado pelo estudante.
O trabalho desdobrou-se em uma pesquisa de campo a fim de discutir e comparar média de
notas dos grupos (experimental e controle), e ao final observar o que os adolescentes
aprenderam com o cabri-géomètre, que diferencial este tipo de aprendizagem poderia ter para
seu desenvolvimento cognitivo e se a utilização do software encorajava o aluno a questionar,
verificar e compreender alguns conceitos matemáticos.
1
Licencianda em Matemática pela Universidade Católica de Brasília-UCB
[email protected]
2. GEOMETRIA DINÂMICA
O termo geometria dinâmica foi inicialmente usado por Nick Jackiw e Steve Rasmussen, de
forma genérica, apenas com a intenção de ressaltar a diferença entre softwares de geometria
dinâmica e outros softwares de geometria. Os softwares de geometria dinâmica possuem um
recurso que possibilita a transformação contínua em tempo real ocasionada pelo “arrastar.”
(Goldenberg e Cuoco 1998, apud Amaral, 2000).
Este termo se refere à geometria de softwares que favorecem ambientes onde podemos criar e
construir figuras que podem ser arrastadas pela tela, mantendo os vínculos estabelecidos nas
construções, ou seja, um objeto ao ser movimentado tem as medidas dos lados e ângulos da
figura atualizados simultaneamente.
Uma ilustração desse fato pode ser vista num triângulo eqüilátero, onde os vértices A, B e C
foram movimentados, mantendo-se as mesmas medidas de lados e ângulos.
Figura 1: Triângulos equiláteros
A construção viabilizada pela capacidade de arrastar objetos permite ao aluno movimentar
uma figura preservando suas relações geométricas originais.
3. O CABRI-GÉOMÉTRE
“O Cabri Géomètre permite construir e explorar objetos geométricos interativamente. JeanMarie Laborde e Franck Bellemain desenvolveram o Cabri Géomètre no ”Institut
d'Informatique et Mathématiques Appliquées de Grenoble (IMAG)”, um laboratório de
pesquisa da “Université Joseph Fourier” em Grenoble, França, em cooperação com o “Centre
National de la Recherche Scientifique (CNRS)” e a “Texas Instruments”. ”(Baldin e Villagra,
2002, p. 8).
“Cabri é uma sigla composta pelas iniciais dos termos: CAhier de BRouillon Interatif. Uma
tradução livre é cadernos de rascunhos interativos. O software é apresentado com um menu e
uma lista desdobrável de 11 botões. Esta lista é auto instrutiva, no sentido de auxiliar as
tarefas que executa.” (Sanguino, 2001, apud Becker, 1998 ).
3.1 O cabri e a geometria dinâmica
O software Cabri- Géomètre permite desenvolver trabalhos com diferentes conteúdos da
matemática. Freqüentemente ele é usado no ensino da Geometria, onde é possível trabalhar
com Geometria Euclidiana Plana, Geometria Não Euclidiana e Geometria Analítica. Baldin e
Villagra (2002) destacam também que é possível trabalhar conteúdos que não são do “campo
geométrico”, como funções, onde há a possibilidade também de se construir gráficos de
função afim, sem precisar recorrer a outros programas científicos de computação algébrica.
O Cabri-Géomètre apresenta recursos com os quais alunos podem realizar construções
geométricas feitas usualmente com régua e compasso, mas que com estes recursos levariam
mais tempo. “Sua utilização permite também o desenvolvimento de atividades de livre
exploração, onde há interação entre estudante e computador, num universo próximo ao que
ele já conhece e está acostumado, que é o do “lápis e papel” (Silva, 1997 apud Amaral,
2000)”.
Segundo Gravina (1996), é possível se discutir dois aspectos principais de utilização do cabri
como um recurso didático nas aulas de matemática: a) os próprios alunos realizam a
construção das figuras e neste caso, o objetivo é o domínio de determinados conceitos por
meio da construção; b) os alunos recebem as figuras prontas, construídas pelos professores, e
então o objetivo passa a ser a descoberta de invariantes por meio de experimentação.
Dependendo do nível de escolaridade dos alunos é possível, num segundo momento,
demonstrar os resultados obtidos experimentalmente.
3.2 O cabri como um ambiente construtivista de aprendizagem
A idéia de Construtivismo baseia-se de que nada, a rigor está pronto, acabado e que
especificamente o conhecimento não é dado como algo terminado. Segundo o posicionamento
de Piaget, “o conhecimento resulta de construções sucessivas realizadas pelo sujeito em
constante interação com o meio, com freqüentes elaborações de estruturas novas. Tais
estruturas são construídas por experiências lógico- matemática, cuja base é a coordenação das
ações. O conhecimento passa por um processo construtivo argumentador, por meio da relação
sujeito-objeto, sendo que estes não se opõem, mas se completam. As ações do sujeito sobre o
objeto e vice-versa são, portanto recíprocas, garantindo a construção de estruturas da
inteligência, permitindo ao indivíduo interpretar o mundo que se vive”.(apud, Becker,1998)
Baseado nas idéias de construtivismo de Piaget, não adianta o professor querer transmitir seus
conhecimentos para seus alunos, pois o conhecimento é construído a partir da interação do
sujeito com o auxiliar didático disponível. O professor deve ter a postura de não aceitar que
seu aluno fique passivo, repetindo lições que consistem em dar respostas mecânicas para
problemas que não entendeu. É preciso buscar metodologias, organizando um trabalho
estruturado, que possibilite a reflexão, a atividade, provocando aprendizagens mais
significativas, desenvolvendo a autonomia do aluno.
E neste contexto o cabri-géomètre se torna uma ferramenta pedagógica importante, pois o
estudante pode agir sobre os objetos matemáticos observando a diversidade de desenhos,
enriquecendo a concretização mental e tendo a oportunidade de refletir sobre o que foi
produzido no computador e corrigir seus próprios erros repetindo os exercícios, procurando
outras estratégias de resolução de problemas.
4. A PESQUISA
4.1 Características do grupo
Os estudantes que participaram da pesquisa, procederam do centro de ensino 13 do Distrito
Federal. A pesquisa envolveu 26 alunos da 7ª série, onde um dos critérios essenciais para
fazer parte do grupo era que os alunos estivessem cursando a série pela primeira vez. A área
do conhecimento que trabalhamos foi a geometria euclidiana, da qual selecionamos um
conteúdo compatível com o nível de escolaridade: bissetriz de um triângulo, altura de um
triângulo, soma dos ângulos internos de um triângulo e classificação do triângulo eqüilátero
como sendo um polígono regular.
Antes do início do trabalho foram realizados dois encontros com a professora de Matemática
e Desenho Geométrico, para apresentar as informações relativas à natureza do trabalho a ser
desenvolvido e a coleta de dados sobre as características da turma que constituiria m a
pesquisa.
Num primeiro momento procuramos informalmente investigar a relação desses adolescentes
com os conteúdos que seriam abordados durante a pesquisa. O primeiro diálogo com os
estudantes foi muito importante, pois a partir dali saberíamos como elaborar o nosso trabalho.
4.2 O método
Optou-se pela pesquisa experimental, considerando que o foco de interesse desse trabalho era
uma intervenção no ensino fundamental, por meio dos efeitos que a variável “a contribuição
do cabri-géomètre como um recurso didático para que alunos da 7ª série desenvolvam
habilidades no processo ensino-aprendizagem em matemática por meio de uma estimulação
ativa”, produziria no objeto de estudo.
Para Campbell e Stanley (1979) apud Rodrigues (1999), experimento é aquele tipo de
pesquisa em que são manipuladas variáveis e observadas seus efeitos sobre outras variáveis.
Kerlinger (1980) apud Rodrigues (1999) complementa: experimento é uma pesquisa onde se
manipulam uma ou mais variáveis independentes e os sujeitos são designados aleatoriamente
para grupos experimentais.
Considerando os conceitos citados acima, é fundamental que o experimentador saiba buscar a
cada instante uma hipótese de trabalho, verdadeira ou falsa para controlar a pesquisa.
4.3 Instrumentos de avaliação
No início e no final da intervenção, os alunos foram submetidos a uma prova contendo cinco
questões, cujos resultados tinham a intenção de servir como parâmetros de comparação de
desempenho das notas do grupo de controle e grupo experimental. Aplicou-se o pré-teste
constando de cinco questões para verificar a homogeneidade da turma.
Após essa etapa, os alunos foram subdivididos em dois grupos: grupo de controle contendo 13
alunos e grupo experimental também com 13 alunos por meio de um sorteio, onde a
finalidade desse último era que eles pudessem observar conceitos básicos de geometria
embutido nas figuras por meio de simulações possibilitadas pelo ambiente virtual e elaborar
um conceito significativo que se aproximasse do enunciado conceitual científico, e traduzir
com mais facilidade os conceitos aprendidos em uma prova escrita, por exemplo.
Para o grupo de controle, foram ministradas aulas expositivas (quadro e giz), com carga
horária de 4h/a, onde os conteúdos foram: bissetriz de um triângulo, soma dos ângulos
internos de um triângulo, altura de um triângulo. O pós-teste para esse grupo, contemplou-se
de uma prova escrita com o mesmo assunto, o mesmo número de atividades, mas com
exercícios diferentes.
Também para o grupo experimental foram ministradas aulas interativas com 4h/a no
laboratório de Matemática da Universidade Católica de Brasília-UCB, utilizando o aplicativo
Cabri-Géomètre, software que tem credibilidade, qualidades bastante reconhecidas no meio
acadêmico por meio de crescentes publicações sobre o mesmo.
4.4 Procedimentos didáticos utilizados para o grupo experimental
4.4.1 Construção de um Triângulo Qualquer e Equilátero
No ambiente Cabri-Géomètre, foi mostrado aos alunos a interface do software, explicando as
principais ferramentas a serem utilizadas na aula; Após esta etapa foi proposto a eles que
construíssem um triângulo qualquer e um triângulo eqüilátero, sendo este último auxiliado
pelo professor mostrando o ícone “polígono regular”. Em seguida foi pedido aos alunos que
marcassem os ângulos nos dois triângulos, com os seguintes propósitos; explorar a
propriedade de soma dos ângulos internos de um triângulo e fazer uma comparação das
medidas dos ângulos desses triângulos. Ao final perguntamos a eles se algum dos dois
triângulos era polígono regular e de quanto era a soma dos ângulos internos dos dois
triângulos. Alguns alunos conseguiram apontar o triângulo eqüilátero como sendo um
polígono regular, mas não sabiam explicar o porquê dos ângulos do triângulo eqüilátero serem
todos congruentes. Em relação à soma dos ângulos internos todos conseguiram perceber que
em qualquer triângulo a soma dos ângulos internos era 180º. Neste primeiro contato a
intervenção do professor no processo pedagógico foi indispensável, pois os ajudou a entender
o enunciado conceitual científico que diz: “O triângulo eqüilátero possui lados e ângulos
congruentes, por isso é um polígono regular”. A figura 2 mostra o enunciado conceitual
referente à primeira experiência dos alunos.
Figura 2: Movimentação do triângulo eqüilátero e um triângulo qualquer
4.4.2 A Construção do Conceito de Bissetriz pelos alunos usando o Cabri-Géomètre
Após a construção dos dois triângulos citados acima, trabalhou-se atividades que englobavam
o campo conceitual envolvido: perpendicular, semi-reta, segmento de reta e ângulo. Esses
conceitos não foram transmitidos, contudo, construídos a partir da atividade dos próprios
estudantes.
Nessa fase os progressos da interface do software permitiram uma manipulação direta do
desenho sobre a tela, os botões a serem usados para a construção da bissetriz de um triângulo
estavam disponíveis na barra de ferramenta do software.
Professor e alunos foram construindo a bissetriz em um dos triângulos. Os alunos que
traçaram a bissetriz no triângulo eqüilátero perceberam que a semi-reta dividia um ângulo em
dois ângulos, mas não perceberam que eram de mesma medida. Nesse momento o professor
incentivou-os novamente a desenvolverem seus próprios conceitos. E como resultado, dois
alunos conseguiram montar seu próprio enunciado. O professor interviu formalizando o
conceito de bissetriz: “É uma semi-reta que divide um ângulo em dois ângulos congruentes”.
Isto nos mostra o que Piaget dizia: “Os conceitos adquirem a própria identidade, quando
comparado a outros e esse sentido relacional é sempre muito importante para uma definição”.
Figura 3: Construção de bissetriz em um triângulo equilátero
4.4.3 A Construção do Conceito de Altura de um Triângulo pelos alunos usando o
Cabri-Géomètre
Nesta etapa os alunos construíram um triângulo qualquer e em seguida escolheu um vértice
para se construir uma reta perpendicular. Ao escolherem o vértice traçaram uma reta
perpendicular partindo do vértice à base oposta ao vértice que cada um utilizou. Compararamse os resultados e todos tinham dado 90º. Um dos alunos disse que “uma reta perpendicular
formava 90º com outra reta”, após as palavras do aluno o professor formalizou o conceito
matemático: “A altura de um triângulo é o segmento que une um vértice à reta que contém o
lado oposto ao vértice, sendo o segmento perpendicular à reta”. “O professor finalizou essa
etapa explicando aos alunos que a altura também é bissetriz no triangulo eqüilátero”.
5. RESULTADOS E DISCUSSÕES
Considerando que o objetivo desse trabalho é focalizar o uso de software educacional, e em
especial o cabri- géomètre como uma ferramenta de ensino-aprendizagem aos alunos da 7ª
série do ensino fundamental, os resultados encontram-se acompanhados das respectivas
discussões.
No pré-teste verificou-se que possivelmente alguns alunos não sabiam ou não lembrava do
conteúdo, o que acarretou notas iguais a zero, mas em geral, a turma apresentou basicamente
as mesmas características.
Para a comparação das diferenças de notas dos grupos, foi utilizado o Teste de Normalidade
de Kolmogorov-Smirnov para testar a hipótese de normalidade das variáveis quantitativas do
estudo, ou seja, se a distribuição dos dados segue uma curva de Gauss. Segue na tabela abaixo
o resultado do teste Kolmogorov-Smirnov:
Tabela 1: Teste de Normalidade de Kolmogorov-Smirnov para testar as
variáveis quantitativas do GC e GE.
GC (pré -teste)
N
13
D
0,25783
P
0,35313
GE (pré-teste)
GC (pós-teste)
GE (pós-teste)
13
13
13
0,18937
0,25954
0,16438
0,73962
0,34521
0,87378
GC: Grupo de Controle
GE: Grupo Experimental
Foi confirmada a hipótese de normalidade para os grupos experimentais, assim, utilizamos
neste estudo o “Teste-T: duas amostras em par para médias” porque os adolescentes do grupo
experimental e controle foram os mesmos da primeira e segunda fase (pré-teste e pós-teste),
visando determinar diferenças significativas entre médias, ou seja, se estas são
suficientemente grandes para que se possa afirmar que a probabilidade de que tenham
ocorrido por mero acaso seja menor que 0,05. Ao aceitar o nível de 0,05 como nosso critério,
quer dizer que estamos dispostos a aceitar um risco de 5% de estarmos errados. Segue abaixo
na tabela 2, a comparação das diferenças de notas do grupo de controle e grupo experimental:
Tabela 2: Comparação entre as diferenças de notas do GC e GE
Diferenças GC
1,13
1,45
13
0,00
-0,45
2,18
Média
Desvio Padrão
Observações
Hipótese da diferença de média
Stat t
t crítico bi-caudal
Diferenças GE
1,41
1,74
13
GC: Grupo de Controle
GE: Grupo Experimental
Utilizando os dados da tabela 2, um conjunto de estatísticas resumidas, segue na figura 4 os
resultados da estatística aplicada ao “Teste –T duas amostras em par para médias”, onde:
H 0 = hipótese de que em média as diferenças nas notas antes e depois, são iguais nos dois
grupos.
H1 = hipótese de que em média as diferenças nas notas antes e depois, são diferentes nos dois
grupos.
Figura 4: Teste bi-caudal de hipóteses para a diferença entre as médias aritméticas no nível
de significância de 0,05.
Área de
Rejeição
2,5% de
Área de
Rejeição
2,5%
Área de
Aceitação
95%
H0
H0
H0
t(tabelado)
-2,18
- 0,45
2,18
Conforme ilustra a figura 4 e a tabela 2, verifica-se que os alunos que participaram da
pesquisa aprenderam alguns conceitos básicos de geometria mesmo sem utilizar o recurso
didático “cabri- géomètre”, ou seja, alunos que aprenderam alguns conceitos de geometria
somente com a utilização de giz e quadro aprenderam tanto quanto os alunos que utilizaram o
software “Cabri- Géomètre” como um recurso didático para se aprender conteúdos de
matemática.
6. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Percebemos que foi muito importante para os adolescentes a oportunidade de aprender em
outro ambiente diferente do tradicional (giz e quadro), eles foram estimulados a produzir seus
próprios conceitos com a experimentação do recurso didático cabri-géomètre. Alguns até
conseguiram elaborar conceitos próximos aos conceitos matemáticos científicos, mas
provavelmente não conseguiram transportar os conhecimentos aprendidos no computador
para uma prova escrita, porque talvez não tivessem afinidade com computador, podendo ser
uma justificativa para alguns alunos que tiraram notas inferiores em relação ao pré-teste.
Essa experiência vem reafirmar o que diz Piaget (apud Becker, 1998): “o conhecimento
resulta de construções sucessivas realizadas pelo sujeito em constante interação com o meio,
com freqüentes elaborações de estruturas novas”. A negação da hipótese desta pesquisa
experimental vem nos mostrar que não basta proporcionar ao aluno um recurso didático além
do quadro e giz, é necessário que alunos e professores saibam lidar e compreender o auxiliar
didático, e mais, para esse tipo de experimento é preciso traçar uma metodologia onde se
conheça o perfil do estudante, a sua composição familiar, seus gostos e preferências de lazer,
enfim, trabalhar a pessoa inteira e não um sujeito cognitivo do qual possamos tirar respostas
para uma análise.É preciso adaptar o recurso didático à necessidade real do aluno e do
conteúdo a ser trabalhado, fazendo-o participar da construção do conhecimento matemático.
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