História da Álgebra
Concepções históricas
• Álgebra Clássica ou elementar: que trata
do estudo das equações e das operações
clássicas sobre generalizações discretas ou
contínuas.
• Álgebra Moderna ou abstrata: que trata
de estruturas matemáticas tais como grupo,
anéis, corpos, etc.
Desenvolvimento em função
da sua linguagem
1. Retórica ou verbal
2. Sincopada
3. Simbólica
1. Retórica ou verbal
Não se usava símbolos nem abreviações
para expressar o pensamento algébrico, ou
seja, as palavras eram empregados em seu
próprio sentido simbólico. Esta teria sido a
álgebra dos egípcios, dos babilônios e dos
gregos pré-diofantinos. Exemplo: quando
se diz “a ordem dos fatores de dois números
não altera o produto”.
2. Álgebra sincopada
• Foram usadas mais formas abreviadas e coisas
para expressar as palavras e assim convertido
em autênticos “ideogramas algébricos”.
• Diofano foi o primeiro a usar a letra sigma
para representar suas equações.
• No século XVII esse recursos também foi
usado por Cardano onde a expressão “cubus
p.6 rebus aequalis 20” passaria a ter
posteriormente, a forma simbólica x3+6x=20
Retórica  Sincopada
• minus
• m
• -
3. Álgebra simbólica
• As idéias passariam a ser expressas somente
através de símbolos, sem recorrerem ao uso de
palavras.
• Vieté (1540 - 1603) foi um dos principais
responsáveis pela introdução de novos símbolos,
assim como Descartes (1596 - 1650) pela
utilização das últimas do alfabeto x, y e z como
incógnitas ou variáveis e as primeiras letras como
constantes.
Hindus e Árabes
• Os hindus desenvolveram os métodos
babilônios e Brahmagupta (598 - 665) usava
já abreviações para incógnitas e admitia
valores negativos.
• Os árabes não lidavam com negativos nem
tinhas abreviações, mas Al-Khwarizmi (800)
classificou os diversos tipos de equações
algébricas usando raízes, quadrados e números,
em linguagem moderna seriam x, x2 e
constantes.
Frei Luca Pacioli (1445-1517)
Em 1494 surgiu na
Europa a primeira
edição de Summa de
arithmetica, geometrica,
proportioni et
proportionalita, de Luca
Pacioli.
Já resolvia alguns tipos
de equações de grau 4.
Scipione del Ferro (1465-1526)
Professor da Universidade de
Bologna e conheceu Pacioli
quando este visitou Bologna nos
anos 1501 e 1502.
Del Ferro conseguia resolver a
cúbica da forma x3 + mx = n.
Tartaglia (1499-1557)
Pouco antes de morrer em 1526, Scipione
revelou seu método para seu aluno
Antonio Fior.
Fior espalhou a notícia e logo Nicolo de
Brescia, conhecido como Tartaglia
conseguiu resolver equações da forma
x3 + mx2 = n e também espalhou a notícia.
Fior desafiou Tartaglia para uma disputa
pública e cada um podia dar ao outro 30
problemas com 40 ou 50 dias para
resolvê-los.
Girolamo Cardano (1501-1576)
Tartaglia resolveu todos os problemas de
Fior em 2 horas, pois todos eram do tipo
x3 + mx = n.
Mas 8 dias antes do fim do prazo,
Tartaglia encontrou um método geral para
todos os tipos de cúbicas.
Essa notícia chegou a Girolamo Cardano
em Milão onde ele se preparava para
publicar sua Practica Arithmeticae (1539).
Cardano convidou Tartaglia para visitá-lo.
Cardano convenceu Tartaglia a contar para ele seu segredo,
promentendo aguardar até que Tartaglia o tivesse pulicado,
mas em 1545 Cardano publicou o segredo de Tartaglia em
seu Ars Magna. Nessa obra, Cardano resolve x3 + mx = n.
Cardano percebeu algo estranho quando aplicava o método a
x3 = 15x + 4, obtendo uma expressão envolvendo a raíz
quadrada de -121.
Cardano sabia que x = 4 era uma solução da equação. Então
escreveu para Tartaglia em 4 de agosto de 1539 para tirar
sua dúvida.
Tartaglia não soube explicar, então Cardano publicou sua
solução que envolvia “números complexos” sem entendê-los,
dizendo que isso era “tão sutil quanto inútil”.
François Viète (1540 - 1603)
O caso irredutível da cúbica,
em que a fórmula de Cardano
leva a uma raiz quadrada de
número negativo, foi resolvido
por Rafael Bombelli em
1572.
250 anos se passaram sem
que ninguém conseguisse
resolver a quíntica, embora
muitos matemáticos tenham
tentado, como Viète, Harriot,
Tschirnhaus, Euler, Bezout
e Descartes.
Paolo Ruffini (1765-1822)
Ruffini, um médico e
padre italiano, foi o
primeiro a propor uma
demonstração de que
a equação geral do
quinto grau não podia
ser resolvida por
radicais.
Mas seu tratado de
1798 não apresentava
uma demonstração
satisfatória.
Niels Henrik Abel (1802-1829)
Um jovem matemático
norueguês, Abel,
apresentou uma prova
completa da
impossibilidade da
solução da quíntica
por radicais.
Sua demonstração
envolvia aplicar
resultados de
permutações sobre o
conjunto das raízes da
equação.
Abel pesquisou dois problemas:
1. Encontrar todas as equações de grau
qualquer que são solúveis
algebricamente.
2. Decidir se uma equação dada é
soluvel algebricamente ou não.
Embora não tenha resolvido esses
problemas em vida, Abel obteve
um resultado particularmente
interessante.
Abel generalizou a solução de
Gauss para a equação xn - 1 = 0,
na qual todas as raízes são
expressas como potência de uma
delas.
Gauss (1777-1855)
Evariste Galois (1811-1832)
Abel não pode terminar seu
programa, mas sua tarefa foi
levada adiante por outro jovem
de vida curta, Galois.
Suas idéias sobre a solução de
equações algébricas por
radicais foram apresentadas
em um manuscrito submetido
à Academia Francesa em 1829
(ele tinha 17 anos).
Cauchy (1789-1857)
O que é certo é que Galois teve sua
teoria rejeitada muitas vezes.
Seu primeiro manuscrito de 1829
submetido à Academia Francesa foi
rejeitado por Cauchy (1789-1857).
Os biógrafos dizem que Cauchy
desprezou o artigo, que o perdeu
etc.
Desenvolvimento da álgebra
Se deve aos esforços e contribuições dos
matemáticos europeus do Renascimento e da
época clássica. Dentre eles destacam-se:
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Fibonacci
Pacioli
Chuquet
Bourrel
Stiffel
Cardano
Fim