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2
CAPÍTULO
MECÂNICA VETORIAL PARA ENGENHEIROS:
ESTÁTICA
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr.
Estática das Partículas
Notas de Aula:
J. Walt Oler
Texas Tech University
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Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática
Conteúdo
Introdução
Resultante de Duas Forças
Vetores
Adição de Vetores
Resultante de Várias Forças
Concorrentes
Problema Resolvido 2.1
Problema Resolvido 2.2
Componentes Retangulares de
uma Força: Vetores Unitários
Adição de Forças pela Soma
dos Componentes
Problema Resolvido 2.3
Equilíbrio de uma Partícula
Diagramas de Corpo Livre
Problema Resolvido 2.4
Problema Resolvido 2.6
Componentes Retangulares no Espaço
Problema Resolvido 2.7
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Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática
Introdução
• O objetivo deste capítulo é investigar o efeito de forças que atuam sobre
partículas:
- substituir múltiplas forças atuando em uma partícula por uma
única força equivalente ou resultante,
- analisar as relações entre forças que atuam em uma partícula
que está em estado de equilíbrio.
• O foco em partículas não implica uma restrição a pequenos corpos.
Significa que o estudo é restrito a análises nas quais o tamanho e o
formato dos corpos não afetam significativamente a resolução dos
problemas. Nesses casos, todas as forças que atuam sobre um dado
corpo podem ser consideradas como tendo um mesmo ponto de
aplicação.
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Resultante de Duas Forças
• Força: ação de um corpo sobre outro;
caracterizada por seu ponto de aplicação,
sua intensidade, sua direção, e seu sentido.
• Evidências experimentais mostram que o
efeito conjunto de duas forças pode ser
representado por uma única força resultante.
• A resultante de duas forças é equivalente à
diagonal de um paralelogramo que contém as
forças em lados adjacentes.
• Força é uma grandeza vetorial.
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Vetores
• Vetores: expressões matemáticas que têm intensidade, direção
e sentido e que se somam conforme a lei do paralelogramo.
Exemplos: deslocamentos, velocidades, acelerações.
• Escalares: grandezas físicas que têm intensidade mas não
têm direção. Exemplos: massa, volume e temperatura.
• Classificações de vetores:
- Vetores fixos têm pontos de aplicação bem definidos e
não podem ser deslocados sem que se alterem as
condições do Problema.
- Vetores livres podem se mover livremente no espaço
sem que se alterem as condições do Problema.
- Vetores deslizantes podem ser deslocados ao longo de
suas linhas de ação sem que se alterem as condições do
Problema.
• Vetores iguais têm a mesma intensidade e o mesmo sentido.
• O vetor negativo de um vetor dado é aquele que tem sua
mesma intensidade e sentido oposto.
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Adição de Vetores
• Regra do trapézio para soma de vetores
• Regra do triângulo para soma de vetores
• Lei dos cossenos,
C
B
C
R 2  P 2  Q 2  2 PQ cos B
  
R  PQ
• Lei dos senos,
B
senA senB senC


Q
R
P
• A adição de vetores é comutativa,
   
PQ  Q P
• Subtração de vetores
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Adição de Vetores
• Soma de três ou mais vetores por meio da
aplicação sucessiva da regra do triângulo.
• Regra do polígono para a soma de três ou mais
vetores.
• A adição de vetores é associativa,
        
P  Q  S  P  Q  S  P  Q  S 
• Multiplicação de um vetor por um escalar.
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Resultante de Várias Forças Concorrentes
• Forças concorrentes: conjunto de forças que
passam por um mesmo ponto.
Um conjunto de forças concorrentes
aplicadas em uma partícula pode ser
substituído por uma única força resultante
que é o vetor equivalente à soma das forças
aplicadas.
• Componentes do vetor força: dois ou mais
vetores que, juntos, têm o mesmo efeito que
um único vetor.
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Problema Resolvido 2.1
SOLUÇÃO:
• Solução gráfica - construímos um
paralelogramo com lados nas mesmas
direções de P e Q desenhados em escala.
Avaliamos graficamente a resultante que
é equivalente à diagonal em direção e
proporcional em módulo.
As duas forças atuam sobre um
parafuso A. Determine sua
resultante.
• Solução trigonométrica – usamos a regra
do triângulo para soma de vetores em
conjunto com a lei dos cossenos ou a lei
dos senos para encontrar a resultante de P
e Q.
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Problema Resolvido 2.1
• Solução gráfica - Um paralelogramo com lados
iguais a P e Q é desenhado em escala. A
intensidade e o ângulo que define a direção da
resultante (diagonal do paralelogramo) são
medidos,
R  98 N   35
• Solução gráfica – Um triângulo é desenhado
com P e Q no padrão ponta-a-cauda e em
escala. A intensidade e o ângulo que define a
direção da resultante (terceiro lado do triângulo)
são medidos,
R  98 N   35
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Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática
Problema Resolvido 2.1
• Solução trigonométrica – Aplicamos a regra do
triângulo. Pela lei dos cossenos,
R 2  P 2  Q 2  2 PQ cos B
 40N   60N   240N 60N  cos155
2
2
R  97,73N
Pela lei dos senos,
sen A sen B

Q
R
Q
sen A  sen B
R
 sen 155
60N
97,73N
A  15,04
α  20  A
  35,04
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Problema Resolvido 2.2
SOLUÇÃO:
• Obtemos uma solução gráfica aplicando a
Regra do Paralelogramo para soma vetorial.
O paralelogramo tem lados nas direções dos
dois cabos e diagonal na direção do eixo da
barcaça com comprimento proporcional a
22.250 N.
Uma barcaça é puxada por dois
• Obtemos uma solução trigonométrica
rebocadores. Se a resultante das
aplicando a Regra do Triângulo para soma
forças exercidas pelos rebocadores
vetorial. Com a intensidade e a direção da
é 22.250 N dirigida ao longo do
resultante conhecida e as direções dos
eixo da barcaça, determine:
outros dois lados, paralelas aos cabos
dados, aplicamos a Lei dos Senos para
a) A força de tração em cada um
encontrar as trações nos cabos.
dos cabos para  = 45o,
• O ângulo para a tração mínima no cabo 2 é
b) O valor de  para o qual a tração determinado aplicando-se a Regra do Triânno cabo 2 é mínima.
gulo e observando o efeito de variações em .
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Problema Resolvido 2.2
• Solução gráfica – Aplicamos a regra do
paralelogramo conhecendo a direção e a
intensidade da resultante e as direções dos
lados
T1  16.200N T2  11.500N
• Solução trigonométrica - Regra do
triângulo e Lei dos Senos
T1
T2
22.250 N


sen 45 sen 30 sen105 
T1  16.288N T2  11.517 N
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Problema Resolvido 2.2
• O ângulo para tração mínima no cabo 2 é
determinado aplicando a regra do triângulo e
observando o efeito de variações em .
• A tração mínima no cabo 2 ocorre quando T1
e T2 são perpendiculares
T2  (22.250N) sen 30
T2  11500N
T1  22.250N cos 30
T1  16200N
  90  30
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  60
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Componentes Retangulares de uma Força: Vetores Unitários
• Pode-se decompor uma força em dois componentes
perpendiculares de forma que
 o paralelogramo
resultante é um retângulo. Fx e Fy são chamados de
componentes retangulares e
 

F  Fx  Fy
• Definimos
então os vetores unitários perpendiculares
 
i e j que são paralelos aos eixos x e y.
• Os componentes de um vetor podem ser expressos
como produtos dos vetores unitários pelas intensidades
dos componentes do vetor.



F  Fx i  Fy j

Fx e Fy são chamados de componentes escalares de F .
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Adição de Forças pela Soma dos Componentes
• Deseja-se obter a resultante de 3 ou mais forças
concorrentes,
   
R  PQ S
• Para isso, decompomos cada força em
componentes retangulares








Rx i  R y j  Px i  Py j  Qx i  Q y j  S x i  S y j


 Px  Qx  S x i  Py  Q y  S y  j
• Os componentes escalares da resultante são
iguais à soma dos componentes escalares
correspondentes das forças dadas.
R y  Py  Q y  S y
Rx  Px  Qx  S x
  Fx
  Fy
• Para encontrar a intensidade e a direção da resultante,
Ry
2
2
R  Rx  Ry
  arctg
Rx
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Problema Resolvido 2.3
SOLUÇÃO:
• Decompomos cada força em
componentes retangulares.
• Determinamos os componentes da
resultante somando os componentes
correspondentes de cada uma das
forças.
Quatro forças atuam no parafuso A,
como mostrado na figura. Determine a
resultante das quatro forças no
parafuso.
• Calculamos a intensidade e a direção
da resultante.
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Problema Resolvido 2.3
SOLUÇÃO:
• Decompomos cada força em componentes
retangulares.
Força Int ens.(N) Comp.x (N) Comp.y, (N)

F1
150
 129.9
 75.0

F2
80
 27.4
 75.2

F3
110
0
 110.0

F4
100
 96.6
 25.9
Rx  199.1
R y  14.3
• Determinamos os componentes da resultante
somando os componentes correspondentes de
cada uma das forças.
• Calculamos a intensidade e a direção da resultante.
R  199 ,12  14,32
tg  
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14,3 N
199,1 N
R  199,6N
  4,1
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Equilíbrio de uma Partícula
• Quando a resultande de todas as forças que atuam sobre uma partícula é
zero, a partícula está em equilíbrio.
• Primeira Lei de Newton : Se a força resultante em uma partícula é nula, a
partícula permanecerá em repouso ou se moverá em velocidade constante em
linha reta.
• Para uma partícula em equilí- • Para uma partícula sob a ação de três ou mais forças:
brio sob a ação de duas forças,
- a solução gráfica gera um polígono fechado
ambas as forças devem ter:
- solução algébrica:
- mesma intensidade


- mesma linha de ação
R  F  0
- sentidos opostos
 Fx  0
 Fy  0
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Diagramas de Corpo Livre
Diagrama espacial : Um esboço
mostrando as condições físicas
do problema.
Diagrama de Corpo Livre: Um esboço
mostrando apenas as forças que atuam
sobre a partícula escolhida para análise.
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Problema Resolvido 2.4
SOLUÇÃO:
• Construimos um diagrama de corpo livre
para a partícula na junção da corda e do
cabo.
• Aplicamos as condições de equilíbrio
criando um polígono fechado a partir das
forças aplicadas na partícula.
Numa operação de descarregamento
de um navio, um automóvel de
15.750 N é sustentado por um cabo.
Uma corda é amarrada ao cabo em A
e puxada para centrar o automóvel
para a posição desejada. Qual é a
tração na corda?
• Aplicamos relações trigonométricas
para determinar a intensidade das forças
desconhecidas.
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Problema Resolvido 2.4
SOLUÇÃO:
• Construimos um diagrama de corpo livre
para a partícula A.
• Aplicamos as condições de equilíbrio.
• Calculamos as intensidades das forças
desconhecidas.
T
TAB
15.750 N
 AC 
sen 120  sen 2
sen 58 
TAB  16.084N
TAC  648N
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Problema Resolvido 2.6
SOLUÇÃO:
• Escolhendo o casco como um corpo
livre, desenhamos o diagrama de corpo
livre.
• Expressamos as condições de equilíbrio
para o casco escrevendo que a resultante
de todas as forças é zero.
Deseja-se determinar a força de arrasto
no casco de um novo barco a vela a
• Decompomos a equação vetorial de
uma dada velocidade. Um modelo é
equilíbrio em duas equações para as
colocado em um canal de teste e são
componentes. Resolvemos para as
usados três cabos para alinhar sua proa
trações desconhecidas nos dois cabos.
com a linha de centro do canal. A uma
dada velocidade, a tração é de 180 N no
cabo AB e de 270 N no cabo AE.
Determine a força de arrasto exercida
no casco e a tração no cabo AC.
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Problema Resolvido 2.6
SOLUÇÃO:
• Escolhendo o casco como um corpo livre,
desenhamos o diagrama de corpo livre.
0,45m
2,1m
tg  
 0,375
tg  
 1,75
1,2 m
1,2 m
  60,26
  20,56
• Expressamos as condições de
equilíbrio para o casco escrevendo que
a resultante de todas as forças é zero.
 



R  TAB  TAC  TAE  FD  0
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Problema Resolvido 2.6
• Decompomos a equação vetorial de equilíbrio
em duas equações para as componentes.
Resolvemos para as trações desconhecidas nos
dois cabos.



TAB  180 N  sen 60,26 i  180 N  cos 60,26 j


 156,29N  i  89,29N  j



TAC  TAC sen 20,56 i  TAC cos 20,56 j


 0,3512TAC i  0,9363TAC j


TAE  270 N  j


FD  FD i

R 0
  156,29N  0,3512TAC
 89,29N  0,9363TAC
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
 FD  i

 270 N  j
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Problema Resolvido 2.6

R 0

  156,29N  0,3512TAC  FD  i

 89,29N  0,9363TAC  270 N  j
Esta equação só é satisfeita se cada componente
da resultante é igual a zero.
 F
 F
x
 0 :  156,29N  0,3512TAC  FD  0
y
 0 : 89,29N  0,9363TAC  270  0
TAC  193 N
FD  88,5 N
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