PROJETO CIÊNCIA NA BAGAGEM
Roteiro para estudo de vídeo
Prof.:
Patrocínio:
FINEP
Curso:
Data: _____/_____/_____
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Aluno:
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Roteiro elaborado por Luiz André Mützenberg para o filme vt_cb_06.mpg - Projeto Ciência na Bagagem - http://gaia.liberato.com.br/ciencianabagagem
PÊNDULO TRUNCADO: UM MODELO MATEMÁTICO
Objetivo: descrever um modelo matemático, para compreender o movimento em espiral no plano vertical
A montagem experimental utilizada para fazer o filme
“pêndulo truncado: a altura do obstáculo”, é apresentada na
Fig. 1. O modelo matemático que será desenvolvido neste
roteiro descreve o movimento do pêndulo a partir ponto A
representado nesta figura.
•O
L
H
•B
R0
A•
Referencial para calcular a Epg
Fig. 1 – Montagem experimental
Digitando corretamente as equações, apresentadas aqui,
na janela “modelo” do software Modellus, você terá condições de gerar gráficos, (na janela “gráficos”), para analisar o
comportamento da velocidade, da velocidade angular, da
energia, do momentum e da posição. Também será possível
simular o movimento na janela “animação”.
A força resultante Fr aplicada no pêndulo é:
Fr  m  g  sin( fi ) ,
onde m representa a massa do pêndulo (50 g), g representa a
gravidade (9,8 m/s²) e fi representa a posição angular do
pêndulo (o Modellus não aceita símbolos). Aplicando a segunda lei de Newton pode calcular a aceleração:
Fr
a
m
Agora você pode aplicar a definição de aceleração para
calcular a velocidade v do pêndulo:
dv
a
dt
a equação deve ser escrita exatamente como está acima. O
Modellus interpreta que a variação da velocidade pela variação do tempo resulta na aceleração, e como a aceleração está
no segundo termo da equação, fará pequenos incrementos no
tempo para calcular a velocidade seguinte, a partir dos valores de velocidade e aceleração atuais. Conhecendo a nova
velocidade, pode calcular a velocidade angular do pêndulo:
v
w
R
A posição angular fi será calculada a partir da definição
da velocidade angular:
dfi
w
dt
O raio diminui continuamente, portanto deve ser corrigido a cada passo do cálculo. A quantidade de corda enrolada
no eixo é dada por r×fi; assim o raio da trajetória será:
R  L  H  r  fi
Estas equações dão as coordenadas no movimento, em
coordenadas polares. Para simular esse movimento deve-se
calcular as coordenadas cartesianas do movimento.
x  R  cos( fi )
y  R  sin( fi )
No modelo descrito até aqui, somente diminui o raio
(comprimento da corda), mas é sabido que o pêndulo só
permanece no movimento em espiral enquanto a componente
da gravidade na direção da corda que prende o pêndulo ao
eixo for menor que a aceleração centrípeta. Também não é
possível ter raios nulos ou negativos. Portando deve calcular
a aceleração centrípeta, ac, e a componente da gravidade na
direção da corda, gc:
ac  w2  R
gc   g  cos( fi )
e estabelecer as condições para que o modelo pare quando
estas condições não forem mais satisfeitas:
if ac  gc  thenT  stop(t )
if R  0.001 thenT  stop(t )
Neste caso, é interessante analisar a conservação da energia, bastando calcular a energia potencial,
Ep  m  g  ( L  H  y  r  sin( fi )) ,
a energia cinética
m  v2 ,
Ec 
2
bem com a energia total.
E  Ep  Ec
Depois de digitar todas as equações clique em interpretar modelo. O software verificará se todas as equações estão
corretas, e que condições iniciais são necessárias para fazer
os cálculos.
Na janela “controle” clique em opções para escolher o
passo e marcar que os ângulos são em radianos. Passos pequenos geram movimentos lentos. Passos grandes podem
gerar erros nos cálculos. Valores adequados estão entre 0.01s
e 0.001s.
Depois de escolher os valores na janela “condições iniciais”, você pode abrir uma janela “gráficos” e conferir as
relações entre as diversas grandezas físicas calculadas. Também é possível abrir uma janela “animações” para simular o
movimento.
Conclusão: ___________________________________________________________________________________________