ISBN 978-85-8015-053-7
Cadernos PDE
VOLUME I I
Versão Online
2009
O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOS
DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
Produção Didático-Pedagógica
CURSO DE CAPACITAÇÃO DO PROGRAMA DE
DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL SEED/PR
NEIVA DAVANSO
O Teorema de Pitágoras por meio da metodologia de
Resolução de Problemas.
LONDRINA - PR
2009/2010
NEIVA DAVANSO
O Teorema de Pitágoras por meio da metodologia de
Resolução de Problemas.
Produção Didática Pedagógica – Unidade
Didática – apresentada ao Programa de
Desenvolvimento
Educacional
da
SEED/PR,
em
parceria
com
a
Universidade Estadual de Londrina, área
curricular Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Túlio Oliveira de
Carvalho.
LONDRINA - PR
2009/2010
2
“Há muitas outras razões para focalizarmos o processo de resolução de
problemas em sala de aula. Certamente uma aula na qual os alunos estão
ajudando o professor a resolver problemas e (pelo menos aparentemente)
contribuindo ativamente para as soluções é provavelmente mais dinâmica e
motivadora do que uma que siga o modelo clássico “exposição de
exercícios”. (KRULIK e REYS, 2005, p. 22)
3
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO .................................................................................................... 4
INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 4
1. OBJETIVOS.......................................................................................................... 6
1.1 OBJETIVO GERAL ................................................................................................... 6
1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ........................................................................................ 6
1.3 PROBLEMATIZAÇÃO ................................................................................................ 7
2. REVISÃO BIBLIOGRAFICA................................................................................. 8
2.1 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS................................................................................... 8
2.2 ASPECTOS HISTÓRICOS DO TEOREMA DE PITÁGORAS ............................................. 14
3. ESTRATÉGIA METODOLÓGICA ...................................................................... 21
3.1 DESCRIÇÃO DAS ATIVIDADES ................................................................................. 23
3.2 PROBLEMAS. ....................................................................................................... 30
4. AVALIAÇÃO....................................................................................................... 43
CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................... 45
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................................... 46
4
APRESENTAÇÃO
Esta Unidade Didática é dedicada a um tema de geometria da maior
importância: o Teorema de Pitágoras. O Teorema de Pitágoras em geral é abordado
na 8ª série do ensino fundamental de forma bastante breve, em exercícios que se
limitam a fixar seu enunciado: num triângulo retângulo, o quadrado da medida da
hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos. Assim, grande
parte dos alunos apresentam muita dificuldade em se lembrar o enunciado do
Teorema por não o relacionarem com outras aplicações na resolução de problemas
matemáticos.
Propomos trabalhar o Teorema de Pitágoras utilizando uma das
Tendências Metodológicas da Educação Matemática: a Resolução de Problemas,
que conduz o aluno ao conhecimento matemático de forma a incentivá-lo a participar
do fazer matemático, contribuindo assim para melhorar a eficácia do aprendizado
deste tópico.
INTRODUÇÃO
O PDE foi planejado para proporcionar aos seus participantes
oportunidade de estudar assuntos relacionados à sua área de atuação.
Estes estudos são coordenados por IES, oportunizando Estudos de
Professores PDE na área de Educação Matemática em pesquisas com temas
relacionados às novas metodologias, no presente trabalho a Resolução de
Problemas.
Esse material apresenta uma proposta de trabalho com o conteúdo
Teorema de Pitágoras direcionado para a 8ª série do Ensino Fundamental.
5
O Teorema de Pitágoras é um dos mais belos e importantes
teoremas de Matemática de todos os tempos e ocupa uma posição especial na
história de nosso conhecimento matemático. Ao se trabalhar a Resolução de
Problemas, a proposta é desafiar o aluno a resolver problemas e, no processo de
sua resolução, contribuir para compreensão significativa de conceitos matemáticos e
geométricos relacionados á demonstração e aplicação do Teorema de Pitágoras,
para ser capaz de utilizar esse conhecimento em diversas situações e aplicações.
Destacamos que o trabalho em grupo na Resolução de Problemas
tem sua importância. Ao oferecer aos alunos oportunidades de trocar idéias e
reflexões acerca dos conteúdos tratados, a fim de construir seus conhecimentos de
forma significativa.
Partindo destas premissas, organizamos este trabalho da seguinte
forma:
•
Objetivos;
•
Problematização;
•
Revisão bibliográfica, abordando a Resolução de Problemas e Aspectos
Históricos do Teorema de Pitágoras;
•
Estratégia Metodológica:
Atividades
para
a
verificação
da
condição
de
existência
de
triângulos, demonstração da relação que deve existir entre as medidas dos
lados de um triângulo retângulo (a² = b² + c²);
Atividade 1: Condição de existência de um triângulo;
Atividade 2: Classificação de triângulos: acutângulo, obtusângulo e retângulo;
Atividade 3: Um pouco da história do Teorema de Pitágoras;
Atividade 4: O Teorema de Pitágoras em quebra-cabeça;
Atividade 5: Relação entre as áreas a² = b² + c²;
•
Sugestões de problemas, propondo os dois primeiros resolvidos com
possíveis intervenções seguindo as etapas de Pólya, para serem explorado
de forma que o aluno consiga resolver os demais.
•
Uma breve avaliação da proposta;
•
Considerações finais;
6
1. OBJETIVOS
1.1 OBJETIVO GERAL
Promover a aprendizagem significativa do conteúdo matemático
relacionado com o Teorema de Pitágoras, por meio da Metodologia de Resolução de
Problemas.
1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
•
Estabelecer a condição de existência de triângulos;
•
Perceber que a condição de existência de triângulos não é
suficiente para garantir que um triângulo seja retângulo;
•
Construir triângulos com régua e compasso;
•
Resgatar na História da Matemática as considerações sobre o
•
Fazer relação entre as áreas dos quadrados construídos sobre
ângulo reto;
os catetos e sobre a hipotenusa do triângulo retângulo;
Pitágoras;
•
Compreender e chegar à fórmula pitagórica;
•
Resolver problemas matemáticos aplicando o Teorema de
7
1.3 PROBLEMATIZAÇÃO
•
Que compreensão os alunos apresentam na construção de
conhecimentos sobre o Teorema de Pitágoras por meio de problemas?
•
Que estratégias são utilizadas pelos alunos para ler, interpretar e
resolver problemas com o Teorema de Pitágoras?
•
Qual o nível de aprendizagem os alunos apresentam após a
aplicação das estratégias da metodologia de Resolução de Problemas?
8
2. REVISÃO BIBLIOGRAFICA
2.1 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
O ensino da Matemática tem sido alvo de muitas críticas em relação
às metodologias utilizadas em sala de aula, recaindo sobre as ações que o professor
pratica no seu cotidiano. Muitas discussões no campo da Educação Matemática no
Brasil e no mundo, mostram a necessidade de se adequar o trabalho escolar ás
novas tendências que possam trazer melhoras ao processo de ensino-aprendizagem
da Matemática.
As Diretrizes Curriculares de Matemática (PARANÁ, 2008, p.63),
propõem que o ensino da matemática seja abordado por meio das tendências
metodológicas da Educação Matemática: Resolução de Problemas; Investigação
Matemática; Modelagem Matemática; Mídias Tecnológicas; Etnomatemática e
História da Matemática.
D’ Ambrósio (1988) salienta que uma prática pedagógica norteada
pelas tendências da Educação Matemática pode contribuir para que o ensino da
Matemática não recaia num ensino obsoleto e inútil, possibilitando ao aluno uma
aprendizagem atualizada e significativa.
Dentre as tendências envolvidas no aprendizado da matemática
optei pelo estudo da Resolução de Problemas, com a expectativa de auxiliar na
reflexão sobre a prática do professor e na construção de modelos de ensino mais
adequados à aprendizagem da Matemática dentro das salas de aula.
Segundo Dante (2005, p.10) “problema matemático, é qualquer
situação que exija a maneira matemática de pensar e conhecimentos matemáticos
para solucioná-la”.
9
Assim, um problema pode ser entendido como uma situação que
tenha um objetivo a alcançar, que exija do aluno uma série de ações ou operações
para chegar a sua solução.
Resolver um problema é encontrar um caminho onde nenhum outro é
conhecido de antemão, encontrar um caminho a partir da dificuldade,
encontrar um caminho que contorne um obstáculo, para alcançar um fim
desejado, mas não alcançável imediatamente, por meios adequados (POLYA,
2006. pp.1-2).
A Resolução de Problemas como estratégia de ensino, pode tornase um importante diferencial em aulas de matemática, possibilitando estimular o
aluno a interagir com o conhecimento matemático, proporcionando relações entre o
prévio e o novo conhecimento. Nesse processo os problemas são propostos de
modo a contribuir para a construção de novos conceitos e conteúdos, antes mesmo
da apresentação destes em linguagem matemática formal, tornando o processo de
ensino-aprendizagem da Matemática mais significativo.
Para educadores como Krulik (2005), “A resolução de problemas é a
própria razão do ensino da matemática”, sendo natural que os diversos temas a
estudar, devam partir sempre que possível da resolução de problemas. Porém, a
proposição de problemas tradicionalmente tem sido uma atividade desenvolvida
após o ensino de um conceito, para avaliar, como forma de verificar até que ponto o
conteúdo foi aprendido, e para isso os problemas são apresentados ao final de
tópicos ou capítulos. Dessa forma, gera atitudes inadequadas frente ao que significa
aprender a pensar em matemática, o aluno fica mais preocupado com as operações
que terá que usar para resolver o problema do que com a interpretação da situação
e com os processos envolvidos na sua solução.
Conforme as Diretrizes Curriculares de Matemática para Educação
Básica do Paraná,
A aprendizagem da Matemática consiste em criar estratégias que
possibilitem ao aluno atribuir sentido e construir significado ás idéias
matemática de modo a torna-se capaz de estabelecer relações, justificar,
analisar, discutir e criar. Desse modo, supera o ensino baseado apenas em
desenvolver habilidades, como calcular e resolver problemas ou fixar
conceitos pela memorização ou listas de exercícios. (PARANÁ, 2008, p. 45).
Resolução
de
exercícios
e
Resolução
de
Problemas
são
metodologias diferentes. Enquanto na resolução de exercícios os estudantes
10
dispõem de mecanismo que os levam, de forma imediata á solução, na resolução de
problemas isso não ocorre, pois, muitas vezes é preciso levantar hipóteses e testálas.
Um problema matemático é uma situação que demanda a realização de
uma seqüência de ações ou operações para obter um resultado. Ou seja, a
solução não está disponível no início, mas é possível construí-la. Em muitos
casos, os problemas usualmente apresentados aos alunos não constituem
verdadeiros problemas, porque, via de regra, não exige um real desafio nem
a necessidade de verificação para validar o processo de solução. O que é
problema para um aluno pode não ser para outro, em função dos
conhecimentos de que dispõe. (BRASIL, 1988, p. 41)
Para Butts (2005, p.48) “é preciso formular um problema com
criatividade de um artista para que o resolvedor potencial seja motivado a resolver o
problema, entenda e retenha conceitos envolvidos na solução do problema e
aprenda alguma coisa sobre a arte de resolver problemas”.
Resolver problemas tanto pode ser uma atividade estimulante e
enriquecedora como enfadonha e improdutiva, por isso, a escolha dos problemas
deve ser adequada á prática de sala de aula.
Ainda hoje, é um desafio para os professores aplicar esta
metodologia com eficiência, pois, o trabalho do professor na sala de aula é baseado
na disponibilidade do material de apoio, geralmente o livro didático, que de acordo
com Diniz:
Os problemas tradicionais dos livros-texto são, na verdade, simples
exercícios de aplicação ou fixação de técnicas ou regras. Na maioria das
vezes, percebe-se neles a ausência de um contexto significativo para o
aluno e de uma linguagem condizente com a utilizada no seu dia a dia. Tais
problemas aparecem sempre depois da apresentação de um conteúdo, e é
exatamente este conteúdo que deve ser aplicado na resolução dos
problemas. (SMOLE e DINIZ, 2001, p. 99).
Segundo Pólya (2006, p. 4), “o professor que deseja desenvolver
nos estudantes a capacidade de resolver problemas deve incutir em suas mentes
algum interesse por problemas e proporcionar-lhes muitas oportunidades de imitar e
praticar”. Assim, o processo onde se ensina matemática por meio da Resolução de
Problemas deve ser encarado como complexo, devendo estabelecer mudanças nas
práticas pedagógicas, exigindo planejamento, de modo que os alunos possam
aprender com compreensão e de forma significativa.
11
Ensinar a resolver problemas é uma tarefa muito mais complexa do que
ensinar algoritmos e equações. A postura do professor ao ensinar um
algoritmo é, em geral, ao de um orientador dando instruções passo a passo,
de como fazer. Na resolução de problemas, ao contrário, o professor deve
funcionar como incentivador e moderador de idéias geradas pelos próprios
alunos. No chamado método heurístico, o professor encoraja o aluno a
pensar por si mesmo, a levantar suas próprias hipóteses e a testá-las, a
discutir com seus colegas como e por que aquela maneira de fazer
funciona. Enfim, aqui o papel do professor é manter os alunos pensando e
gerando idéias produtivas. (DANTE, 2005, p.52).
Dentro da matemática existem muitos tipos de problemas. Dante
(2005) os classificou da seguinte forma:
•
Exercícios de reconhecimento: são exercícios que lembram um fato,
uma definição ou o enunciado de um teorema.
•
Exercícios de algoritmo: são exercícios que tem objetivo de treinar a
habilidade em executar um algoritmo e reforçar conhecimentos
anteriores
•
Problemas padrão: são os problemas que sua solução envolve a
aplicação direta de um ou mais algoritmos anteriormente aprendidos e
não exige qualquer estratégia. “São os tradicionais problemas de final
de capítulo nos livros didáticos”.
•
Problemas-processo ou heurístico: são os problemas que aguçam a
curiosidade do aluno e permitem que ele desenvolva sua criatividade,
sua iniciativa e seu espírito explorador, iniciando-o no desenvolvimento
de estratégia.
•
Problemas de aplicação ou situação-problema: são problemas que
tratam de situações reais do cotidiano. Em geral são problemas que
exigem pesquisa e levantamento de dados.
•
Problemas de quebra-cabeça: são os problemas que os alunos
entendem como um jogo ou uma brincadeira.
Quando se propõe trabalhar com a Resolução de Problemas,
devem-se elaborar problemas de forma adequada e envolver os alunos em sua
resolução, desenvolvendo o raciocínio e o modo de pensar matemático.
12
De acordo com, Dante (2005, p.47) “um bom problema deve ser
desafiador, mas possível de ser resolvido, real, interessante e que propicie várias
estratégias de solução”.
Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma
pitada de descoberta na resolução de qualquer problema. O problema pode
ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as
faculdades inventivas, quem o resolver por seus próprios meios,
experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta (Polya, 2006.p.v).
.
Pólya representa uma referência no estudo de resolução de
problemas, foi o primeiro matemático a apresentar uma heurística de resolução de
problemas específica para matemática. Procurando organizar um pouco o processo
de Resolução de Problemas, Pólya (2006) o dividiu em quatro etapas:
1ª etapa: Compreensão do Problema;
O primeiro passo é entender o problema.
É importante fazer perguntas.
Qual é a incógnita?
Quais são os dados?
É possível fazer uma figura, um esquema ou um diagrama?
É possível estimar a resposta?
2ª etapa: Estabelecimento de um plano;
Basear-se em conhecimentos adquiridos. Encontrar conexão entre os dados e
a incógnita. É importante fazer perguntas.
Qual é o seu plano para resolver o problema?
Que estratégia você tentará para desenvolver?
Você se lembra de um problema semelhante que pode ajudá-lo a resolver
este?
Tente organizar os dados em tabelas e gráficos.
Tente resolver os problemas por parte.
13
3ª etapa: Execução do plano;
Freqüentemente esta é a etapa mais fácil do processo, desde que as fases
anteriores tenham sido realizadas a contento.
Execute os planos elaborados, verificando-os passo a passo.
Efetue todos os cálculos indicados no plano.
Execute todas as estratégias pensadas, obtendo várias maneiras de resolver
o problema.
4ª etapa: Retrospecto ou verificação;
É a etapa mais importante segundo Pólya, pois propicia uma depuração e
uma abstração da solução do problema.
Examina se a solução obtida é correta e tem sentido para o problema
concreto.
Verifica se existe outra maneira de resolver o problema.
Analisa se é possível usar o método empregado para resolver problemas
semelhantes.
Cada uma dessas etapas tem sua importância no processo de
Resolução de Problemas, tornando contraproducente perguntar-se qual delas é a
mais importante. É necessário ressaltar que essa divisão não corresponde a uma
seqüência a ser seguida em todos os casos, ou funciona como regra para resolver
problemas, e sim como um processo facilitador para o aluno.
Ao se trabalhar a Resolução de Problemas, a proposta é desafiar o
aluno a resolver problemas e, no processo de sua resolução, contribuir para
compreensão significativa de conceitos matemáticos e geométricos relacionados à
demonstração e aplicação do Teorema de Pitágoras, para ser capaz de utilizar esse
conhecimento em outras situações e aplicações matemáticas.
14
2.2 ASPECTOS HISTÓRICOS DO TEOREMA DE PITÁGORAS
Apresentaremos um pouco do contexto histórico de Pitágoras, a fim
de mostrar que desde muito cedo, a humanidade utiliza de métodos para levantar
casas e templos, cercar terrenos, demarcar terras, etc.
No antigo Egito, sem ter comprovação que eles conhecessem o
Teorema de Pitágoras, agrimensores utilizavam uma corda dividida em doze partes
iguais de treze nós na demarcação de ângulos retos e construção de triângulo de
lados “3, 4, 5”; unidades.
Os chineses também conheciam e usavam esse triângulo por volta
de 1100 a.C, assim como os hindus provavelmente cerca de 500 a. C.
No ano de 1938 foi desenterrado o papiro matemático Cairo,
provavelmente datado em 300 a.C, e estudado em 1962, onde foram encontrados
quarenta problemas matemáticos, nove dos quais se relacionavam exclusivamente
com o Teorema de Pitágoras. Isso mostra que os egípcios tinham conhecimento da
relação entre os lados de um triângulo retângulo. Entretanto não há conhecimento
de nenhuma demonstração, mas de receitas que davam certo, e com elas resolviam
inúmeros problemas.(EVES, 1995).
Pesquisas mais recente indicam que o teorema era conhecido pelos
babilônios. Muitos tabletes de barro datados no período de 1800 a 1600 a.C, foram
encontrados, decifrados e hoje se encontram em diversos museus. Um deles,
chamado Plimptom 322 está na Universidade de Columbia e o fragmento que foi
preservado mostra uma tabela de 15 linhas e 3
colunas de números. Os
pesquisadores descobriram que esta tabela continha ternos pitagóricos, ou seja,
ternas de números inteiros representando medidas de lados de um triângulo
retângulo.
Segundo Boyer (1974) e Eves (1995), a relação pitagórica foi
utilizada na resolução de problemas por muitas culturas antigas, e havia sido testada
em determinados triângulos retângulos, porém, foram os pitagóricos os primeiros a
demonstrá-lo matematicamente, provavelmente utilizando áreas.
15
O Teorema de Pitágoras é um dos mais belos e importantes
teoremas de Matemática de todos os tempos e ocupa uma posição especial na
história de nosso conhecimento matemático.
Pitágoras nasceu na ilha de Samos perto de Mileto por volta de 572
a.C, onde aprendeu matemática com Tales, foi matemático, líder religioso, místico,
sábio e filósofo. Como todos os documentos daquela época se perderam, tudo o
que sabemos veio através de referências de outros autores que viveram séculos
depois. (BOYER, 1974). Esteve no Egito, na Babilônia, na Índia, onde absorveu os
conhecimentos matemáticos e as idéias religiosas de cada região. Voltando ao
mundo grego, fundou a Escola Pitagórica em Crotona ao sul da Itália, na verdade
uma sociedade secreta, dedicada ao estudo de Astronomia, Música, Matemática e
Filosofia. (IMENES, 2000).
Os Pitagóricos chegaram á conclusão, de que “tudo são números”.
Notaram haver uma relação matemática entre notas da escala musical e os
comprimentos de uma corda vibrante.
Uma das mais importantes descobertas da Escola Pitagórica foi de
que dois segmentos nem sempre são comensuráveis, ou seja, nem sempre a razão
entre os comprimentos de dois seguimentos é uma fração de números inteiros, ou
seja, número racional. Essa descoberta foi uma conseqüência direta do Teorema de
Pitágoras: se um triângulo retângulo tem catetos de comprimento 1, sua hipotenusa
terá um comprimento x satisfazendo x ² = 2, e portando a razão entre a hipotenusa e
um cateto não será uma fração de inteiros, já que a raiz quadrada de dois é um
número irracional. Esta descoberta foi surpreendente e perturbadora para os
próprios pitagóricos, pois abalava sua filosofia, segundo a qual tudo se expressava
com números inteiros.
Desde o século 5 a.C até o século 20 d.C inúmeras demonstrações
do Teorema de Pitágoras apareceram. São conhecidos pelo menos 367 maneiras
diferentes da demonstração desse teorema, por meio de recursos matemáticos tais
como: igualdade das áreas dos quadriláteros (método de Euclides), figuras
geométricas nas quais as áreas se mantêm (método geométrico), principio da
igualdade da decomposição, principio do completamento, operações algébricas,
16
relações de semelhança, métodos vetoriais, métodos da Geometria Analítica, etc. O
enunciado “em qualquer triângulo retângulo, se a é a medida da hipotenusa e se b e
c são a medida dos catetos, então a² = b² + c².”
Assim área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual á
soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.
Este fato não é evidente, especialmente por causa da sua
generalidade: em qualquer triângulo retângulo.
Apresentaremos em seguida algumas demonstrações, visando
ilustrar o emprego de diferentes métodos e sua utilização em sala de aula.
17
Quadrado chinês
Dado um triângulo retângulo de hipotenusa c e catetos a e b,
considere o quadrados cujo lado é a + b.
fig.1
fig.2
Na figura 2, retiramos do quadrado de lado a + b os quatro triângulos
iguais, resta um quadrado de lado c. Na figura 1, retirando também do quadrado de
lado a + b os quatro triângulos iguais, restando um quadrado de lado a e um
quadrado de lado b. Logo, a área do quadrado de lado c é igual soma das áreas dos
quadrados cujos lados medem a e b.
A demonstração que usa semelhança
A partir de um triângulo ABC, retângulo em A, traçamos a altura AH
e verificamos que os triângulos retângulos AHB e AHC são semelhante ao triângulo
ABC.
18
Da semelhança dos triângulos AHC e ABC temos b² = am e, da
semelhança dos triângulos AHB e ABC, temos c² = an. Somando essas duas
relações membro a membro, encontramos:
b² + c² = am +an = a(m+n) = a.a = a²
Esta demonstração permite, não só demonstrar o Teorema de
Pitágoras, como também encontrar as relações importantes do triângulo retângulo.
Demonstração de Perigal
Pelo quadrado construído sobre o maior cateto do triângulo
retângulo, passando pelo seu centro duas retas cortam esse quadrado, uma paralela
á hipotenusa do triângulo e outra perpendicular, dividindo-o em quatro partes
semelhantes. Essas quatro partes e mais o quadrado construído sobre o menor
cateto, preenchem completamente o quadrado construído sobre a hipotenusa. Isto
demonstra geometricamente que a soma das áreas dos quadrados construídos
sobre catetos preenchem o quadrado construído sobre a hipotenusa. Pode-se fazer
um jogo de peças inspirado nesta demonstração.
19
Generalizando o Teorema de Pitágoras
O Teorema de Pitágoras afirma que a área do quadrado construído
sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual á soma das áreas dos
quadrados construídos sobre os catetos. Agora, imaginemos figuras semelhantes
quaisquer, construídas sobre os lados de um triângulo retângulo.
Sejam então, A, B e C as áreas de figuras semelhantes, construídas
sobre a hipotenusa a e sobre os catetos b e c de um triângulo retângulo, como
mostra a figura a cima. Sabemos que a razão entre as áreas de figuras semelhantes
é igual ao quadrado da razão de semelhança. Então,
A / B = (a / b)²
ou
A / a² = B / b²
A / C = (a / c)²
ou
A / a² = C / c²
Portanto,
A / a² = B / b² = C / c².
20
Pela propriedade das proporções, como a² = b² + c², concluímos que
A = B + C. Isto quer dizer que, se figuras semelhantes são construídas sobre os
lados de um triângulo, a área da figura construída sobre a hipotenusa é igual á soma
das áreas das figuras construídas sobre os catetos.
21
3. ESTRATÉGIA METODOLÓGICA
A metodologia utilizada nesta proposta será uma das tendências em
educação matemática Resolução de Problemas. Nosso objetivo é romper com a
passividade do aluno propiciando situações investigativas, oportunizando análise e
reflexão dos problemas propostos, além de fazer com que participe na construção
do conhecimento e seja responsável por sua aprendizagem. Os problemas
propostos terão no enunciado a característica da formulação de estratégias para a
resolução, o que pode facilitar o aluno a encontrar caminhos para a obtenção da
resolução. Aos poucos, a experiência com essa prática pedagógica poderá evitar
estes facilitadores, rompendo definitivamente a passividade dos estudantes.
Na perspectiva da Resolução de Problemas o professor orienta,
acompanha, analisa com os alunos os processos de resolução, encorajando-os a
buscar novos caminhos caso a solução encontrada não satisfaça a as condições
iniciais do problema.
Para o desenvolvimento deste trabalho a turma será dividida em
grupos de dois ou três alunos. A organização dos grupos será feita pelos alunos, de
acordo as afinidades com seus colegas, podendo em uma ocasião futura ser feitos
reagrupamentos para troca de informações.
Numa primeira fase elaborou-se uma sequencia de atividades
composta de problemas visando proporcionar aos alunos condições para melhor
compreensão do significado do Teorema de Pitágoras.
As atividades serão apresentadas em folhas impressas, cada aluno
receberá uma folha no inicio de cada aula, será estabelecida uma previsão para o
número de aulas necessário para a realização de cada atividade, sendo de uma
atividade por aula, variando de 40 a 50 minutos cada aula.
Na segunda fase serão apresentadas sugestões de problemas,
também impressos, sendo entregue dois problemas por aula. Inicialmente deverá
ser dado um tempo para que cada grupo leia, interprete, dialoguem e pensem sobre
o problema proposto e possíveis estratégias de resolução.
22
Após a tentativa de resolver o problema é que será realizada a
discussão e compreensão, e as outras etapas propostas por Pólya. Quando
encontrarem alguma dificuldade o professor deve fazer questionamentos com grupo
e com a turma, estimulando-os a fazer perguntas ao professor e entre eles mesmos,
compreendendo melhor o que o problema pede e que dados e condições possuem
para resolvê-lo. Esse diálogo no qual o professor conduz perguntando é muito
importante para que os alunos possam pensar e montar estratégias de resolução do
problema.
É importante que o problema possa gerar muitos processos de
pensamento, levantar muitas hipóteses e propiciar várias estratégias de solução.
Aqui cabe uma advertência crucial: o professor deve estar preparado para perguntas
sobre as quais não tinha pensado anteriormente, e sobre as quais precisará pensar
no ato.
Deve ser evitado que uma solução pronta seja dada pelo professor,
para que os alunos continuem envolvidos com o problema até chegar à solução por
si mesmos.
Em seguida, se resolvido o problema, cada grupo fará exposição
oral e escrita dos encaminhamentos que produziram para o restante da turma. É
necessário que os alunos tenham a liberdade de se expressar e oportunidade de
analisar as várias formas de resolver um problema, não levando em consideração
somente os cálculos envolvendo os números que aparecem, valorizando sempre as
idéias apresentadas, deixando claras as diferentes maneiras de resolver um mesmo
problema e os diferentes métodos utilizados, bem como entender que um problema
não está necessariamente resolvido quando se encontrou a resposta, é preciso
saber o que fez e como fez, e porque sua ação foi correta.
Resolver um problema significa não apenas compreender o que é
exigido, aplicar as técnicas ou fórmulas adequadas e obter a resposta correta. É
ensejar uma situação que leve o aluno a refletir, a procurar caminhos para
solucioná-lo, a buscar novas aplicações de conceitos e aprofundar a compreensão
dos mesmos, exercitar a criatividade, a descobrir outras soluções e a discuti-las:
este é um processo que será retido para que o aluno se dedique a novos problemas.
23
Segundo Dante (2005), o professor pode utilizar de um banco de
problemas com o objetivo de promover o interesse dos alunos em resolver
problemas.
Como é essencial que os problemas a serem propostos tenham o
espírito de pesquisa, colocamos dois problemas resolvidos com intervenções de
acordo com as etapas de Pólya (2006), que será explorado de forma com que o
aluno consiga resolver os seguintes.
3.1 DESCRIÇÃO DAS ATIVIDADES
Atividade-1
Objetivo:
estabelecer
a
condição
de
existência
de
formas
triangulares, fazer com que o aluno perceba que, dadas três medidas, nem sempre é
possível construir um triângulo.
São dadas sete varetas de tamanhos diferentes confeccionadas a partir de palitos
de madeira, utilizando três varetas de cada vez, construa formas triangulares.
24
a) Escreva com uma terna (conjunto de três números), as medidas dos lados com as
quais é possível formar triângulos. (...,...,...)
b) Escreva as ternas com as quais não é possível formar triângulos.
c) Observando ternas das atividades a e b, o que precisa acontecer para ser
possível construir um triângulo? Que relação deve haver entre essas três medidas?
Agora, são dadas as ternas, sem as varetas: (8,10,8), (5,5,5), (6,8,10), (2,5;4,5;3,5),
(9, 10,5)
d) Com quais dessas ternas é possível construir formas triangulares?
e) Invente duas ternas com as quais pode ser construído um triângulo e duas ternas
com as quais que não pode ser construído um triângulo.
Atividade- 2
Objetivo:
Estabelecer que
triângulos
retângulos
formam
um
subconjunto de todos os triângulos.
Você já sabe que:
Ângulo reto: mede 90°
Ângulo agudo: mede menos que 90°
Ângulo obtuso: mede mais de 90°
Por isto, quanto aos ângulos, dizemos que os triângulos se
classificam em:
Triângulo acutângulo: quando tem os três ângulos agudos.
Triângulo retângulo: quando tem 1 ângulo reto.
Triângulo obtusângulo: quando tem 1 ângulo obtuso.
25
Considerando os triângulos da atividade 1;
a) Classifique-os de acordo com o maior ângulo.
b) Quais as ternas correspondentes aos triângulos retângulos que você construiu?
c) É possível prever se um triângulo será retângulo ou não usando apenas a
condição de existência de triângulo?
d) É possível construir um triângulo obtuso retângulo?
Atividade- 3
Objetivo: conhecer um pouco a história do Teorema de Pitágoras,
como contribuição ao processo ensino aprendizagem.
O Esquadro dos Arquitetos Egípcios
Quando os homens começaram a levantar suas primeiras casas e
templos, cercar terrenos e medir terras surgiu a necessidade de aprenderem a
construir ângulos retos. Na edificação das pirâmides do Egito, dos palácios orientais,
dos templos gregos, das cidades incas, o que hoje chamamos arquitetos e
construtores usaram um triângulo retângulo. Por ter um ângulo reto, ele tem sido
utilizado como esquadro para se obterem linhas perpendiculares.
Diversos documentos escritos naquela época revelam que os
antigos egípcios na edificação das pirâmides usaram um triângulo retângulo com
26
lados 3, 4 e 5 unidades para determinar um ângulo reto, eles usavam uma corda de
13 nós igualmente espaçadas em 12 intervalos para delimitar um ângulo reto .
1º nó
4º
8º
13
o
B
C
A
Modelo da corda de 13 nós empregada pelos antigos
egípcios e a formação do triângulo de lados 3, 4, 5.
Esta figura simples foi estudada por povos antigos, a mais
importante foi na Grécia, a mais de dois mil anos, por Pitágoras e seus discípulos.
a) Com a terna egípcia (3,4,5) é possível construir um triângulo retângulo. Será que
o ângulo reto surge do fato desta “terna” ser formada por números naturais
consecutivos? Para verificar isso, utilizando compasso e régua, construa triângulos
cujos lados tenham como medidas números consecutivos. Por exemplo: são dadas
as medidas 6 cm, 7 cm, 8 cm. Começando usando qualquer um desses números
como medida de base, por exemplo 7 cm. Com centro em A traçamos um arco de
raio medindo 6 cm e, com centro em B, um arco de raio medindo 8 cm. O ponto de
intersecção dos arcos determina o ponto C.
27
Faça o mesmo para as ternas: (1,2,3), (2, 3, 4), (4, 5, 6).
b) Desenhe, agora, triângulos a partir das ternas: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13).
Esses triângulos são retângulos?
c) Analisando a) e b), que tipo de triângulos foram construídos? Acutângulo,
retângulo ou obtusângulo? Descreva a conclusão que você chegou.
Atividade – 4
Objetivo: fazer a relação entre as áreas dos quadrados construídos
sobre os catetos e sobre a hipotenusa do triângulo.
Quebra – Cabeça Pitagórico
Construir as peças seguindo as orientações:
Em uma folha é impresso: um triângulo retângulo e um quadrado em cada lado
desse triângulo.
28
a) No quadrado BCIH prolongue os lados:
•
IC até encontrar o lado AE do quadrado AECD em J;
•
HB até encontrar o lado FG do quadrado ABGF em K;
•
Desenhe a semi-reta KL, perpendicular a BK em L;
• Pinte as cinco partes formadas com cores diferentes;
• Recorte e procure encaixar no quadrado maior.
b) Qual a relação que você observou entre as áreas dos quadrados menores e a
área do quadrado maior? Escreva-a:
29
Atividade – 5
Objetivo: chegar a forma pitagórica.
Admite-se que os alunos tenham adquirido o conhecimento de que a
condição de existência de um triângulo não é suficiente para garantir que ele seja
retângulo.
a)Voltando a terna egípcia (3,4,5), recorte com papel quadriculado três
quadrados(um com 3 unidades de lado, outro com 4 unidades de lado e o terceiro
com 5 unidades de lado), cole os três quadrados, formando um triângulo retângulo
entre os três. Calcule área de cada quadrado, compare os resultados e estabeleça
relações de igualdade entre elas.
b) Faça o mesmo para as ternas (6,8,10), (5,12,13) e (9,12,15):
c) Se as medidas dos lados dos quadrados fossem ternas (a,b,c), onde ‘b’ e ‘c’
fossem as medidas dos lados dos quadrados menores, e ‘a’ a medida do quadrado
maior como você escreveria essa relação?
d) Agora chamaremos a medida ‘a’ do quadrado maior de hipotenusa e as medidas
‘b’ e ‘c’ dos quadrados menores de catetos, descreva a relação entre essas
medidas.
30
Daqui para frente usaremos cada vez mais a linguagem algébrica.
Essa fórmula simples e universal sintetiza todas as conclusões que tiramos até aqui,
ela também é conhecida como Teorema de Pitágoras.
3.2 PROBLEMAS
Objetivo: Resolver problemas matemáticos aplicando o Teorema de
Pitágoras.
1) O Papiro de Cairo, que data 300 a.C., foram encontradas 40 problemas de
Matemática. Um deles é o seguinte; ”Uma escada de 10 cúbitos está com seus pés
a 6 cúbitos da parede. Que altura a escada alcança?” ( cúbito é uma medida antiga
de comprimento, hoje há o metro, o centímetro, etc.)
1º - compreensão do problema:
a) Qual é a incógnita?
R: A altura que a escada alcança; chamaremos de x.
b) Quais são os dados?
R: Tamanho da escada: 10 cúbitos.
Distância da escada á base da parede: 6 cúbitos.
A parede é perpendicular ao chão.
Esquematizando o problema com uma figura;
31
2º - Estabelecimento de um plano;
O plano é resolvê-lo através do triângulo retângulo ABC aplicando o Teorema de
Pitágoras, onde BC = 10, BA = 6 e AC = x.
3º - Execução do plano;
(BC)² = (AB)² + (AC)²
10² = 6² + x²
x² = 100 – 36
x² = 64
x=8
4º - Retrospecto;
(BC)² = (AB)² + (AC)²
10² = 6² + 8²
100 = 36 + 64
100 = 100
32
2) (PÓLYA) - Um gato está sobre um muro de 4m de altura quando avista um rato a
uma distância de 8m da base. Quando o rato dirige-se a sua casa (em linha reta até
o muro) é comido pelo gato, que pula diagonalmente, andando o mesmo
comprimento que o rato tinha andado até então. Qual a distância que cada um
percorreu?
1º - compreensão do problema:
a) Qual é a incógnita?
R: A distância que cada um percorreu; chamaremos de d.
b) Quais são os dados?
R: Altura do muro: 4m.
Distância do rato á base do muro: 8m.
A trajetória percorrida pelo gato é diagonal.
O muro é perpendicular ao chão.
Esquematizando o problema com uma figura;
33
2º - Estabelecimento de um plano:
Identificar as figuras conhecidas no esquema traçado, os triângulos BGE, BGR e
EGR. O plano é resolvê-lo através do triângulo retângulo BGE aplicando o Teorema
de Pitágoras, onde BG = 4m e as distâncias em função de d é BE = 8-d e GE = d.
3º - Execução do plano:
Observar a figura construída novamente:
d² = (8 – d)² + 4²
d² = 64 – 16d + d² + 16
16 d = 80
d=5
34
4º - Retrospecto:
Basta substituir d = 5 na figura e teremos a seguinte situação:
d² = (8 – d)² + 4²
5² = (8 – 5)² + 16
25 = 9 + 16
25 =25
Estes são alguns questionamentos que poderão ser feitos aos alunos.
35
3) (Obmep 2005) – Uma companhia de eletricidade instalou um poste num terreno
plano. Para fixar bem o poste, foram pregados cabos no poste a uma altura de 1,4
metros do solo e a 2 metros de distância do poste, sendo que um dos cabos mede
2,5 metros, conforma mostra a figura. Um professor de matemática, após analisar
estas medidas, afirmou que o poste não está perpendicular ao solo. Você acha que
o professor está certo? Justifique sua resposta.
4) (Obmep 2005) – O antigo livro chinês Jiuzhang suanshu contêm 246 problemas.
Para a solução de alguns, é necessário o uso do gou gu, ou seja, do Teorema de
Pitágoras. Veja um desses problemas traduzido do capítulo 9 do Jiuzhang.
No alto de um bambu vertical está presa uma corda. A parte da corda em contato
com o solo mede 3 chih. Quando a corda é esticada, sua extremidade toca no solo a
uma distância de 8 chih do pé do bambu. Que comprimento tem o bambu?
36
5)” Uma formiga encontra-se no vértice A de uma lata de forma cúbica, como mostra
a figura. Ela vê o grão de açúcar no vértice B.
Quanto mede o menor percurso que ela pode utilizar para chegar em B, sobre a
superfície da lata?”
6) AB e CD representam duas torres. A primeira tem 13 m de altura e a segunda, 37
m. A distância entre elas é de 70 m. Qual a distância entre os extremos A e C?
37
7)(Pythagore, 1992, p.195) – Na figura, AB = BC, AB = 6 e CD = 3. Para ir de A até
C, o caminho AB + BC é mais curto que o caminho AD + DC? Justifique a resposta.
8)(Suivi Scientifique, 1987-1988) – É verdade que o triângulo EBD é isósceles?
(ABCD é um retângulo).
9)(Imenes e Lellis) – Um campo quadrado ABCD mede 30 m de lado. Uma árvore
está na diagonal AC, no ponto P. Desejamos determinar a distância da árvore até o
ponto A, mas é impossível fazer essa medida em linha reta porque há um laguinho
no caminho. Podemos medir a distância de P até C, que é 12m. Como podemos
calcular a distância da árvore até o ponto A?
38
10)(Matemáticananet) – A figura representa as fachadas de um prédio onde vivem a
Ana e o Bruno e os pontos A e B representam as janelas da Ana e do Bruno,
respectivamente. Qual é a distância entre as janelas?
11)(Matemáticananet) – A figura representa uma horta. A região onde se cultivam os
legumes está representada por um quadrado. Qual a área do quadrado de cultivo
dos legumes?
39
12) (Matemáticananet) – A figura representa um cubo com aresta igual a 6 cm. Qual
é o comprimento da diagonal do retângulo (ABCD)?
13) (Matemáticananet) – A figura representa uma caixa com a forma de um prisma
quadrangular. Verifique se é possível colocar dentro da caixa um lápis de 17 cm de
comprimento.
14) (Obmep 2006) – A figura é composta de triângulos retângulos isósceles todos
iguais. Qual é a área em cm² da parte sombreada?
40
15) (Krulik 2005) – Um retângulo está inscrito em um quadrante de um círculo. Se o
comprimento segmento AO é 5 e o do segmento AP é 1, calcule o comprimento do
segmento AB.
16) (Obmep 2006) – Na figura ABCD é um retângulo e ABE e CDF são triângulos
retângulos. A área do triângulo ABE é 150 cm² e os segmentos AE e DF medem,
15e 24 cm. Qual o comprimento do segmento CF?
17) (Obmep 2006) – Uma mesa quadrada tem 1 metro de lado. Qual o menor
diâmetro de uma toalha redonda que cubra completamente o tampo da mesa?
41
18) (Obmep 2006) – Quais figuras são corretas?
19) (colegiocatanduvas)- “Um pavão está no alto de uma coluna vertical de 6 m de
altura, ao pé do qual fica a toca de uma cobra. De repente, o pavão vê a cobra, que
se encontra a 18 m da toca. A cobra também vê o pavão, e corre para a toca. O
pavão faz um vôo em linha reta e alcança a cobra antes que ela atinja a toca. Pobre
cobra!
Sabendo-se que o pavão voou a mesma distância percorrida pela cobra, diga
quantos metros da toca a cobra foi alcançada”.
20) (colegiocatanduvas) – Uma antena retransmissora de rádio tem 72 m de altura.
Ela é sustentada por 3 cabos de aço que ligam o topo da antena ao solo, em pontos
que estão a 30 m do pé da antena. Quantos metros de cabo serão gastos para
sustentar a antena?
42
21) (colegiocatanduvas) – Em um recente vendaval, um poste de luz de 9 m de altura
quebrou-se em um ponto a uma distância x do solo. A parte do poste a cima da
fratura inclinou-se e sua extremidade superior encostou-se no solo a uma distância
de 3 m da base do mesmo. A que altura x do solo o poste quebrou?
Com a realização das tarefas 2 e 19 , a intenção é verificar se os
alunos estão refletindo durante o processo de resolução de um problema, evitando a
prática da busca direta da resposta, como na forma tradicional durante a resolução
de exercícios de Matemática. Espera-se, que nestas tarefas, identifica conceitos
conhecidos associados ao problema e percebam a inter-relação de um problema
com outro, onde o professor poderá avaliar a utilização do conhecimento
apreendido.
43
4. AVALIAÇÃO
A realização de tarefas de Resolução de Problemas na sala de aula
proporciona o envolvimento dos alunos em processos da atividade matemática de
investigação, favorecendo a participação dos alunos, uma vez que eles são
incentivados a se envolverem ativamente no processo de aprendizagem. Tal
proceder visa afastar a idéia de que a Matemática possa ser simplesmente
memorizada ou repetida.
Ao avaliar um aluno em uma aula de Resolução de problemas, o
professor não pode se limitar a verificar apenas se os resultados encontrados são
corretos ou não.
Segundo a DCE do Paraná, ao elaborar uma proposta de prática
avaliativa, alguns critérios são fundamentais para verificar se o aluno:
•
Comunica-se matematicamente, de forma oral ou por escrito (BURIASCO,
2004);
•
Compreende, por meio da leitura, um problema matemático;
•
Elabora um plano que possibilite a solução do problema;
•
Encontra meios diversos para a resolução de um problema matemático;
•
Realiza o retrospecto da solução de um problema (PARANÁ, 2008, p. 69).
Para a avaliação do desempenho dos alunos no decorrer deste
trabalho, pretendemos utilizar recursos de avaliação como: registros escritos de
observações de como os alunos assimilam o conteúdo proposto, como estão
interpretando as tarefas, se estão analisando os problemas de forma adequada,
superando comportamentos como considerar que os problemas são sempre meras
aplicações de algoritmos e fórmulas, como se comunicam matematicamente de
forma oral e de forma escrita se participam dos trabalhos em grupo, elaboram planos
44
para a resolução. Tal avaliação é feita baseando-se nas apresentações orais e
produções escritas feitas pelos alunos nas folhas impressas, sobre o conteúdo
trabalhado.
45
CONSIDERAÇÕES FINAIS
No modelo clássico de aulas, os problemas matemáticos são
resolvidos com aplicação de fórmulas ou fixação de conceitos pela memorização ou
listas de exercícios.
É fundamental que o aluno desenvolva o modo de pensar
matematicamente, segundo Paraná (2008), é preciso desenvolver nos alunos a
capacidade para resolver problemas matemáticos, por meio da compreensão da
situação, da análise e seleção dos dados, da elaboração de estratégias e validação
dos resultados.
A implementação prática da metodologia de Resolução de
problemas também pode trazer algumas dificuldades que não podemos antecipar.
Entretanto, acreditamos que tal prática pode contribuir para a aprendizagem na
construção de conhecimentos sobre o Teorema de Pitágoras. Além disto, teremos
elementos sobre as estratégias utilizadas pelos alunos para ler, interpretar e resolver
problemas com o Teorema de Pitágoras. Procuramos assim, analisar os processos
utilizados pelos alunos na elaboração de estratégias de resolução de problemas. Por
fim, o trabalho de intervenção, nos conduz a fazer uma reflexão sobre a experiência
de investigação e sobre as ações da nossa prática pedagógica.
46
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47
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