UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO
Departamento de Matemática e Estatı́stica
Disciplina: Geometria Euclidiana
Curso: Licenciatura em Matemática.
Sétima Lista de Exercı́cios - 2014/1
As Questões 1 e 2 são para fixação do conteúdo e proposições úteis. Os demais são exercı́cios.
Questão 1: Prove e memorize o enunciado das afirmações abaixo. Elas serão úteis em quase todas as aulas
desta disciplina daqui pra frente.
a) Uma reta é paralela a um plano se, e somente se, ela não está contida no plano e e é paralela a uma
reta do plano.
b) Dados dois planos secantes, uma reta de um deles é paralela ao outro se, e somente se, ela é paralela
à reta de interseção dos dois planos.
c) Se um plano α corta o plano β segundo uma reta r, então ele corta qualquer reta paralelo a β segundo
uma reta paralela à r.
d) Dois planos são paralelos se, e somente se, um deles é paralelo a duas retas concorrentes do outro.
e) Se uma reta é ortogonal a duas retas concorrentes de um plano, então ela é perpendicular ao plano.
f) Se um plano contém uma reta perpendicular a outro plano, então os planos são perpendiculares.
g) Se a reta r é perpendicular ao plano α, então toda reta paralela a r é perpendicular a α.
h) Dois planos distintos paralelos à mesma reta são paralelos entre si.
Questão 2: Responda as questões justificando detalhadamente suas afirmações.
a) Quantos são os planos determinados por 4 pontos não coplanares? (Observe que 3 pontos são sempre
coplanares)
b) Duas retas concorrentes r e s são concorrentes em um ponto O. Fora do plano determinado por r e s
tomamos um ponto P qualquer. Qual é interseção do plano definido por r e P com o plano definido
por s e P ?
c) Sejam r e s duas retas reversas, A um ponto em r e B um ponto em s. Qual é a interseção do plano
α definido por r e B com o plano β definido por s e A?
d) Sejam r e s duas retas reversas. Sejam A e B pontos distintos de r e C e D pontos distintos de s.
Qual é a posição relativa das retas AC e BD?
e) Seja r uma reta secante a um plano α e P um ponto exterior a α. É sempre possı́vel traçar uma reta
que passa por P , encontra r e é paralela a α?
f) Se dois planos são paralelos a uma reta, então eles são paralelos entre si. Certo ou errado?
g) Quais são as posições relativas de 3 planos no espaço? Descreva cada uma delas.
h) Suponha que os planos α, β e γ têm exatamente um ponto em comum. Existe uma reta que seja
simultaneamente paralela a α, β e γ?
i) É verdade que duas retas distintas ortogonais a uma terceira são paralelas entre si?
Questão 3: Em um cubo ABCD − EF GH mostre que os planos diagonais ABHG e EF DC são perpendiculares
Questão 4: Definição: Dado um segmento AB, o plano mediador desse segmento é o plano perpendicular
a AB que contém o seu ponto médio.
a) Prove que um ponto P equidista de dois pontos A e B se, e somente se, pertence ao plano mediador
de AB
b) Considere um cubo ABCD − EF GH de aresta a. Sejam M , N , P , Q, R e S os pontos médios das
arestas AB, BF , F G, GH, HD e DA. Mostre que esses seis pontos são coplanares.
c) Mostre que o hexágono M N P QRS é regular. (Lembre-se que um polı́gono equilátero nem sempre é
regular).
d) Mostre que as retas DB e EC são ortogonais.
Questão 5: Sejam A, B, C e D pontos quaisquer do espaço (não necessariamente coplanares). Sejam M , N ,
P e Q os pontos médios de AB, BC, CD e DA, respectivamente. Mostre que M N P Q é um paralelogramo.
Use este fato para demonstrar que os três segmentos que unem os pontos médios das arestas opostas de um
tetraedro qualquer ABCD se encontram em um mesmo ponto.
Questão 6: Seja ABCD um paralelogramo. Pelos vértices A, B, C e D são traçadas retas não contidas
no plano ABCD e paralelas entre si. Um plano α corta estas retas em pontos A0 , B 0 , C 0 e D0 , situados
no mesmo semi-espaço, relativo ao plano de ABCD, de modo que AA0 = a, BB 0 = b, CC 0 = c, DD0 = d.
Mostre que a + c = b + d.
Questão 7: Por um ponto qualquer da aresta AB de um tetraedro qualquer ABCD é traçado um plano
paralelo às arestas AC e BD. Mostre que a seção determinada por este plano no tetraedro é um paralelogramo.
Questão 8: Um octaedro regular pode ser construı́do a partir de três segmentos iguais e mutuamente
perpendiculares AB, CD e EF que se cortam no ponto médio O de cada um deles (veja a figura). Os
segmentos definidos por estes pares de pontos (exceto os que definem os segmentos originais) são todos
iguais. Traçando todos estes segmentos obtemos um poliedro com oito faces triangulares regulares, chamado
de octaedro regular.
Lembre-se que um poliedro é dito regular se todas as suas faces são
polı́gonos regulares de mesmo gênero e se em cada vértice incide o mesmo
número de arestas. Mostre que o octaedro construı́do acima é, de fato,
regular.