Colegiado de Engenharia Elétrica
Prof. Pedro Macário de Moura
[email protected]
Geometria Analítica 2014.2
Discente __________________________________ Turmas: C1, MX, P1. Data 24.10.2014
LISTA III PRODUTO VETORIAL, MISTO E RETAS
PROBLEMA 01
Demonstrar a fórmula para o produto misto.
PROBLEMA 02
Calcular , sabendo que
área
,
e
são vértices de um triângulo de
. Resposta 3 ou 1/5
PROBLEMA 03
Dados os vetores
a)
e
, calcular:
. Resposta
b) (
. Resposta
PROBLEMA 04
Dado o vetor
eixo OX, que
determine o vetor
sabendo-se que
, e que
Resposta
PROBLEMA 05
Resolva os sistemas abaixo:

 


  




x

(
2
i

3
j

k
)

0
v

(

i

2
j  k )  8i  8k


a)   
b)    
 
x , (4i  2 j  k )  2
v , (2i  k )  2




Respostas: a)
b)
PROBLEMA 06
Determine a altura do tetraedro
é ortogonal ao
–
c)
, onde


 v , (3,1,2)  2
c)  




v

(
2
,
3
,
0
)

3
i

2
j

3
k

–


e

Resposta:
As artes e as ciências históricas são modos de experimentação nos quais nossa própria compreensão da
existência entram diretamente em ação. Gadamer
1
PROBLEMA 07
Dados
sabendo que a base
ortogonal a
é positiva, calcule
e
, e
. Resposta 3
e
PROBLEMA 08
São dados os pontos
–
– –
e
–
calcular o valor de
para que seja de 20 unidades o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores
AB, AC e AD . Resposta:
ou
PROBLEMA 09
A figura ao lado representa uma pirâmide de base
quadrada
em que as coordenadas são
e
e o vértice V é
equidistante dos demais. Determine: a) As coordenadas do
vértice ; b) As coordenadas cartesianas do ponto ,
considerando que o volume da pirâmide é igual a
Resposta: a) –
b) – –
PROBLEMA 10
São dados no espaço os pontos
que
–
–
e
,
e
sejam coplanares,
seja igual a 14. Resposta: D(0, 0, –28) ou D(12, 24, 8)
, determine o ponto
, tal
e que o volume do tetraedro
PROBLEMA 11
Estabelecer as equações vetoriais, paramétricas, simétricas e reduzidas das retas nos seguintes
casos:
a) determinada pelo ponto
–
e pelo vetor
b) determinada pelos pontos
e
– ;
c) possui o ponto
–
e é paralela à reta definida pelo ponto
e pelo vetor
diretor
–
d) possui o ponto
–
–
e é paralela à reta determinada pelos pontos
–
e
–
e) possui o ponto
e é paralela à reta de equação

f) possui o ponto A(–6,7,9) e é paralela ao vetor v = (–2,0,–2);

g) possui o ponto A(0,0,4) e é paralela ao vetor v =(8,3,0);
h) possui o ponto A(2, –2,1) e é paralela ao eixo OX ;
i) possui o ponto A(8,0,–11) e é paralela ao eixo OZ.
x  1  3m

Respostas: a) P=(1,–2,1) +m(3,1,4), y  2  m ,
z  1  4m

;
x 1 y  2 z 1
,


3
1
4
x  3 y  7
;

z  4 y  9
As artes e as ciências históricas são modos de experimentação nos quais nossa própria compreensão da
existência entram diretamente em ação. Gadamer
2
b) P=(2,–1,3) +m(1,2,–5) ,
x  2  m

y  1  m ,
z  3  5m

c) P=(1,–2,3) +m(2,–2,3) ,
x  1  2m

y  2  2m ,
z  3  3m

x 3  y 
x   y  1

;

3
z

y

2
x 1 y  2 x  3
,


2
2
3
d) P=(1,5,–2) +m(3,1,0),
x  1  3m

y  5  m ,
z  2

e) P=(2,1,0) =m(–5,3,2),
x  2  5m

y  1  3m ,
z  2m

x  2 y 1 z

 ,
5
3
2
f) P=(–6,7,9) =m(1,0,1),
x  6  m

,
y  7
z  9  m

x  6  z 9;y  7 ;
g) P=(0,0,4) +m(8,3,0),
y  x  3
;

z  5x  13
z2
,
5
x 1
 y  5 ; z  2 ;
3
x  8m

y  3m ,
z  4

 5z  4

x


2
;

y  3z  2

2

x y
 ;z  4 ;
8 3
y  2
x  8
h) P=(2,–2,1) = m(1,0,0), 
;
i) P=(8,0,–11) =m(0,0,1), 
.
z  1
y  0
PROBLEMA 12
Determine as equações simétricas da reta que passa pelo baricentro do triângulo de vértices
–
e
e é paralela à reta suporte do lado
do triângulo.
Resposta:
.
PROBLEMA 13
Sejam
e
Escreva equações da reta AB nas formas vetorial, paramétrica
e simétrica e obtenha os pontos da reta que distam
de Dica use a técnica do lambda.
PROBLEMA 14
Estabeleça as equações paramétricas da reta traçada pelo ponto
perpendicular à reta
–
–
–
e que é
. Resposta
PROBLEMA 15
Apresente o vetor unitário, perpendicular a P(s, t) = [ 2 - t , 5 – s + t , 5t + s ] e que forma
um ângulo agudo com o eixo positivo OZ. Resposta
.
As artes e as ciências históricas são modos de experimentação nos quais nossa própria compreensão da
existência entram diretamente em ação. Gadamer
3
PROBLEMA 16
Qual a posição relativa entre R(t) = [5t , 2+t , 8] e 2x + y – 3z = 0 ?
PROBLEMA 17
Determine uma equação da reta r que passa pelo ponto
x 1 y z  2
. Resposta:


s:
 
3
2
1
–
e é perpendicular à reta

PROBLEMA 18
Estabeleça as equações da reta s, traçada pelo ponto P(1,3,1), que seja concorrente com a
y  3 z _1
reta
e seja ortogonal ao vetor v  2,0,1 . Resposta: s : x  1 

1
2
PROBLEMA 19



Determine a posição relativa entre x + 4y – z = 10 e S(t) = ( 7 + 2t ) i - t j + ( 3 - 2t ) k
PROBLEMA 20
Como a reta V(t) = [ 2 , 4+t , 3t ] está posicionada em relação ao plano YOZ?
PROBLEMA 21
Qual a equação vetorial da reta que: passa pela origem; é perpendicular ao eixo OZ; é
perpendicular à reta AB. Resposta
PROBLEMA 22
Sabendo que as retas r1 e r2 são ortogonais, determinar o valor de m para os casos:
 x  2mt  3

e
a)r1 :  y  1  3t
 z  4t

 x  2 y 1
r2 : 
z   y  4
 y  mx  3
e r2 : reta por A(1, 0, m) e B(-2, 2m, 2m)
b)r1 : 
 z  x 1
PROBLEMA 23
Determine as coordenadas de A' simétrico de A (4,0,3), em relação a reta
.
Resposta:
PROBLEMA 24
Calcular as equações das retas r que contém o ponto A(2,-1,1) e que interceptam a reta
, segundo um ângulo de 45º.
PROBLEMA 25
Determine a interseção da reta
(0,0,1)
com a definida pelos pontos (2,1,0) e
PROBLEMA 26 Determine o lugar geométrico dos pontos do espaço equidistantes de
A(2,1,3), B(2,0,3) e C(0,3,-1).
As artes e as ciências históricas são modos de experimentação nos quais nossa própria compreensão da
existência entram diretamente em ação. Gadamer
4