Analise de Investimentos e
Custos
Prof. Adilson C. Bassan
email:
[email protected]
JUROS
SIMPLES
1
Juro e Consumo
• Existe juro porque os recursos são
escassos.
• As pessoas têm preferência temporal:
preferem consumir a poupar.
• O prêmio para quem poupa é o juro.
Juro e Capital
• O Capital também é escasso.
• O Juro é a remuneração pelo uso do
capital.
• O Juro é a remuneração pelo custo
do crédito.
2
Taxa de Juros
• Juro e tempo andam juntos.
• O juro é determinado através de um coeficiente referido a um dado intervalo de tempo.
• O coeficiente corresponde à remuneração
da unidade de capital empregado por um
prazo igual àquele da taxa.
Ex.: 12 % ao ano.
Taxa de Juros
FORMA PORCENTUAL
• Na forma porcentual a taxa de juros é aplicada a centos do
capital.
Ex.: 12% ao ano.
FORMA UNITÁ
UNITÁRIA
• Na forma unitária a taxa de juros é aplicada a unidades do
capital.
Ex.: 0,12 ao ano.
3
CÁLCULO DO JURO
JURO SIMPLES
• A remuneração pelo capital inicial
(o principal) é diretamente proporcional:
--Ao
Ao valor
valor aplicado;
aplicado;
--Ao
Ao tempo
tempo de
deaplicação.
aplicação.
CÁLCULO DO JURO
• FÓRMULA BÁSICA:
JJ == C
C .. ii .. nn
onde:
J = Juro
C = Capital inicial (Principal)
i = Taxa de Juros (na forma unitária)
n = prazo de aplicação (na mesma unidade que a taxa)
4
Exemplo
Suponhamos que se tome emprestada a quantia de $1.000,00
pelo prazo de 2 anos e à taxa de 10% a.a. Qual será o valor
a ser pago como juro ?
Resolução:
Capital Inicial (C) = 1.000,00
Taxa de juros (i) = 10% a.a.
Número de períodos (n) = 2 anos
Trabalhando com a taxa de juros na forma unitária, temos o juro do primeiro ano como sendo:
J1 = 1.000,00 X 0,10 X 1 = $ 100,00
No segundo ano, teremos:
J2 = 1.000,00 X 0,10 X 1 = $ 100,00
Exemplo
O juro total será a soma do juro devido no primeiro ano
(J1) mais o juro devido no segundo ano (J2)
J = J1 + J2
J = 100,00 + 100,00 = $ 200,00
Ou então, podemos resolver o problema diretamente:
J = 1.000,00 X 0,10 X 1 + 1.000,00 X 0,10 X 1
J = 1.000,00 X 0,10 X 2
J = $ 200,00
5
CÁLCULO DO JURO
JURO SIMPLES
• Variações da fórmula básica.
J = C.i.n
C
J
in
i
n
J
Cn
J
Ci
MONTANTE
EXEMPLO
JURO SIMPLES
•
Montante é a soma do juro mais o capital
aplicado.
N=C+J
onde:
C= principal
n= prazo de aplicação
i = taxa de juros
N = C(1 + in)
6
Exemplo
Qual é o montante de um capital de $ 1.000,00 aplicado à taxa
de 10 % a.a. pelo prazo de 2 anos ?
Resolução: Capital Inicial (C) = 1.000,00
Taxa de juros (i) = 0,10 a.a.
Número de períodos (n) = 2 anos
E sendo:
N = C(1+in)
Substituindo-se os valores, tem-se:
N
N
N
N
= 1.000(1+0,10 x 2)
= 1.000(1+0,20)
= 1.000 x 1,20
= $ 1.200,00
Exemplo
É possível resolver o problema, seguindo-se a definição dada por
montante:
a) Calculando o juro devido:
J = Cin
J = 1.000,00 x 0,10 x 2 = $200,00
b) Somando-se o juro com o principal:
N=C+J
N = 1.000,00 + 2000,00 = $1.200,00
7
MONTANTE
JURO SIMPLES
N = C(1 + in)
C
N
N
1  in
i
N
n
C
i
C
n
1
1
JUROS
COMPOSTOS
8
Juros Compostos
Juros Simples:
• Apenas o capital inicial rende juros;
• O Juro é diretamente proporcional ao tempo e à taxa.
Juros Compostos:
• O Juro gerado pela aplicação, em um período, será
incorporado;
• No período seguinte, o capital mais o juro passa a gerar novos juros;
• O regime de juros compostos é mais importante, porque retrata melhor a realidade.
Diferença entre os regimes
de capitalização
Co= 1000,00
i= 20 % a.a.
n= 4 anos
n
1
2
3
4
Juros Simples
Juro por Período Montante
1000 x 0,2 = 200
1200
1000 x 0,2 = 200
1400
1000 x 0,2 = 200
1600
1000 x 0,2 = 200
1800
Juros Compostos
Juro por período Montante
1000 x 0,2 = 200 1200
1200 x 0,2 = 240 1440
1440 x 0,2 = 288 1728
1728 x 0,2 = 346 2074
9
Montante
O cálculo do montante, em juros compostos
é dado pela fórmula:
Cn  Co (1  i ) n
Cn = montante ao fim de “n” períodos
Co = capital inicial
n = número de períodos
i = taxa de juros por período
Exemplo
Uma pessoa toma $ 1.000,00 emprestado a juros de 2% a.m.
pelo prazo de 10 meses com capitalização composta. Qual o
montante a ser devolvido ?
Resolução:
Temos:
C0 = 1.000
i = 2% a .m.
n = 10 meses
Cn  C 0(1  i ) n
C 10  C 0 (1  i )10
C 10  1.000 (1  0,02 )10
C 10  1.000 (1,02 )10
 C 10  $1.218,99
10
Cálculo de Juro
O juro é dado pela fórmula seguinte:
Jn Co.[(1i)n 1]
Jn = juros após “n” períodos
Co = capital inicial
n = número de períodos
i = taxa de juros por período
Exemplo
Qual o juro pago no caso do empréstimo de $ 1.000,00 à taxa
de juros compostos de 2% a.m. e pelo prazo de 10 meses ?
Resolução:
Temos:
C0 = 1.000
i = 2% a .m.
n = 10 meses
Jn  [C 0 (1  i ) n  1]
J 10  1 .000[(1  0,02 )10  1]
J 10  1 .000[(1,02 )10  1]
J 10  1 .000[0, 21899 ]
 J 10  $218 ,99
11
Valor Atual e Valor
Nominal
• O Valor Atual corresponde ao valor da aplicação
em uma data inferior à do vencimento.
• O Valor Nominal é o valor do título na data do
seu vencimento.
V
N
(1  i) n
V = valor atual
N = valor nominal
i = taxa de juros
n = número de períodos que antecede o vencimento do título
Exemplo
a) Por quanto devo comprar um título, vencível daqui a 5 meses, com valor nominal de $ 1.131,40, se a taxa de juros compostos corrente for de 2,5% a.m. ?
Resolução:
N=1.131,40
V
n = 5 Meses
12
Exemplo
N = 1.131,40
i = 2,5 % a.m.
n = 5 meses
N
(1  i ) n
1.131,40 1.131,40
V 

(1,025)5 1,131408
V  $1.000,00
V 
Portanto, se comprar o título por $ 1.000,00, não estarei fazendo mau negócio.
Exemplo
b) Uma pessoa possui uma letra de câmbio que vence daqui a
1 ano, com valor nominal de $ 1.344,89. Foi-lhe proposta a troca daquele título por outro, vencível daqui a 3 meses e no valor
de $ 1.080,00. Sabendo-se que a taxa corrente de mercado é
de 2,5% a.m., pergunta-se se a troca proposta é vantajosa.
Resolução:
N=1.344,89
N*=1.080,00
0
3
12
13
Exemplo
O valor atual na data focal zero da letra de câmbio que vence
em 12 meses é dado por:
V1 
N
1344, 89

12
(1  i )
(1, 025)12
1.344, 89
 1.000, 00
1, 344889
 V 1  $1.000, 00
V1 
Calculemos agora o valor atual na data zero, da letra que vence
em 3 meses:
V2 
N*
1080, 00

3
(1  i )
(1, 025)3
Exemplo
1.080,00
1,076891
 V 2  $1.002,89
V2 
Comparando os dois valores atuais constatamos que:
V 2  V1
Ou seja, o título que vence em 3 meses tem um valor atual um
pouco maior que o que vence em 12 meses. Portanto, a troca
seria vantajosa.
14
Taxas Equivalentes
Duas taxas de juros são equivalentes se, considerados o
mesmo prazo de aplicação e o mesmo capital, for
indiferente aplicar em uma ou em outra.
q
iq  1  i  1
onde:
iq = taxa referente a uma fração
1/q a que se refere a taxa “i”.
i = taxa referente a um intervalo
de tempo unitário
iq  (1  i) dp  1
onde:
P = prazo pedido
d = prazo dado
Exemplo
a) Dada a taxa de juros de 9,2727% ao trimestre, determinar a
taxa de juros compostos equivalente mensal.
Resolução:
iq  q 1  i  1
Sendo que:
q = 3 meses
i = 9,2727% a.t.
Portanto:
i 3  3 1  0,092727  1
i 3  3 1,092727  1
i 3  1,03  1
 i 3  0,03a.m.
ou i 3  3%a.m.
15
Exemplo
b) Suponhamos que C0 = 1.000,00; iq = 2% a.m.; i = 26,824%
a.a. e n = 1 ano. Verificar se i e iq são equivalentes.
Resolução: Para verificar se as duas taxas são equivalentes,
vamos aplicar o capital de $ 1.000,00 pelo mesmo prazo. Vamos adotar 1 ano, que é o período de aplicação correspondente à taxa i.
O montante à taxa i, é:
C1 = 1.000(1,26824)
C1 = $ 1.268,24
Calculando-se o montante em 12 meses para a taxa iq, tem-se:
C1’ = 1.000(1,02)12
C1’ = 1.000(1,268242)
Logo:
C1’ = $ 1.268,24
Exemplo
Portanto, como C1 = C1’, podemos concluir que a taxa de 2%
a.m. é equivalente à taxa de 26,824% ao ano.
Note-se que esta taxa é maior que a taxa equivalente obtida a
juros simples (ou seja: 2% x 12 meses = 24% ao ano).
c) Se um capital de $ 1.000,00 puder ser aplicado às taxas de
juros compostos de 10% ao ano ou de 33,1% ao triênio, determinar a melhor aplicação.
Resolução: Para determinar qual a melhor aplicação, vamos aplicar o capital disponível às duas taxas e por um mesmo prazo.
Façamos a aplicação por 3 anos, que é o período da segunda taxa.
16
Exemplo
Aplicando à taxa de 10% a.a.
C3 = 1.000(1 + 0,10)3
C3 = 1.000(1,331)
C3 = $ 1.331,00
Aplicando à taxa de 33,1% ao triênio, por um triênio:
C1 = 1.000(1 + 0,331)1
C1 = 1.000(1,331)
C1 = $ 1.331,00
É portanto, indiferente aplicar-se a qualquer das taxas; ou seja,
as taxas são equivalentes.
Exemplo
Portanto:
C’n,p/q
C’5,1/2
C’5,1/2
C’5,1/2
= Cn(1 + i)p/q
= C5(1,10)1/2
= 1.610,51(1,048809)
= $ 1.689,12
b) usando a fórmula:
C’n,p/q = C0(1 + i)n+p/q
C’5,1/2 = 1.000(1,10)5+1/2
C’5,1/2 = 1.000(1,10)5,5
C’5,1/2 = $ 1.689,12
17
Taxa Efetiva e Nominal
Diz-se que a taxa é nominal quando o período de capitalização não coincide com o período
da taxa.
C nk  C o (1 
i kn
)
k
e
i f  (1 
i k
) 1
k
Taxa Efetiva e Nominal
i = taxa nominal
if = taxa efetiva
k = número de capitalizações para 1 período da taxa
efetiva
n = número de períodos de capitalização da taxa nominal
C0 = Principal
Cnk = Montante
18
Exemplo
1) Um banco faz empréstimos à taxa de 5% a.a., mas adotando
a capitalização semestral dos juros. Qual seria o juro pago por
um empréstimo de $ 10.000,00, feito por 1 ano ?
Resolução: Adotando-se a convenção de que a taxa por período de capitalização seja a taxa proporcional simples à taxa nominal dada, tem-se:
i = 5% a.a.
i' 
i 5
  2,5%a.s.
k 2
Onde k corresponde ao prazo de formação de juros, ou
seja, é o número de vezes em que foi dividido o período correspondente à taxa dada.
Nestas condições, o montante no primeiro semestre é
dado por:
Exemplo
C1 = C0 (1+i/k)1
C1 = 10.000 (1 + 0,025)1 = $ 10.250,00
E, no segundo semestre, tem-se:
C2 = 10.250(1 + 0,025)1=$ 10.506,25
O montante que seria devido caso a capitalização fosse anual é
dado por:
C’ = C0(1 + i)1
C’ = 10.000(1 + 0,05) = $ 10.500,00
Constatamos que existe uma pequena diferença para mais no
montante, quando o prazo de capitalização não coincide com o
prazo da taxa.
19
Exemplo
A taxa efetiva nesta operação, em que temos duas capitalizações,
é dada por:
ou
if = 506,25/10.000,00 = 0,050625 a.a.
if = 5,0625% a.a.
E a taxa efetiva quando a capitalização é feita no período da taxa
é:
i’f = 500,00/10.000,00 = 0,05 a.a.
ou
i’f = 5% a.a.
Exemplo
Observe-se que podemos obter o resultado diretamente, aplicando os $ 10.000,00 em dois semestres:
C2 = 10.000 (1,025)2 = 10.506,25
A taxa efetiva é dada por:
1 + if = (1,025)2 = 1,050625
if = 5,0625% a.a.
20
Exemplo
2) Um capital de $ 1.000,00 foi aplicado por 3 anos, à taxa de
10% a.a. com capitalização semestral. Calcular o montante e
a taxa efetiva da operação.
Resolução:
i = 10% a.a.
K=2
n = 3 anos
Portanto:
Cnk = C0 (1 + i/k)kn
C6 = 1.000 (1 + 0,10/2)2.3
C6 = 1.000 (1 + 0,05)6
C6 = $ 1.340,10
A taxa efetiva é dada por:
if = (1 + i/k)2 - 1
if = (1 + 0,05)2 - 1
if = 10,25% a.a.
MONTANTE
JURO SIMPLES
Cn = Co (1 + i) n
Co 
Cn
(1  in )n
i n
n
Cn
1
Co
log Cn
Cn
log( 1  i )
21
RENDAS CERTAS
OU
ANUIDADES
Rendas Certas ou
Anuidades
Definições: Dada uma série de capitais, referidos às
suas respectivas datas:
R1
n1
R2
...
Rm
n2
...
nm
Estes capitais, referidos a uma dada taxa de juros “i” caracterizam uma anuidade ou renda certa.
VALORES = Termos da anuidade;
PERÍODO = Intervalo de tempo entre dois termos;
DURAÇÃO DA ANUIDADE = Soma dos períodos.
22
Valor Atual e Montante de
uma Anuidade
Valor Atual: é a soma dos valores atuais dos
seus termos, na mesma data focal e à mesma
taxa de juros “i”.
Montante: é a soma dos montantes dos seus termos, considerada uma dada taxa de juros “i” e
uma data focal.
Classificação das
Anuidades
QUANTO AO PRAZO:
• Temporárias: quando a duração for limitada.
• Perpétuas: quando a duração for ilimitada.
QUANTO AO VALOR DOS TERMOS:
• Constante: quando todos os termos são iguais.
• Variável: quando os termos não são iguais entre
si.
23
Classificação das
Anuidades
QUANTO À FORMA DE PAGAMENTO OU DE
RECEBIMENTO:
• Imediatas: quando os termos são exigíveis a
partir do primeiro período.
-> Postecipadas ou Vencidas: se os termos são
exigíveis no fim dos períodos.
-> Antecipadas: se os termos são exigíveis no
início dos períodos.
Classificação das
Anuidades
QUANTO À FORMA DE PAGAMENTO OU DE
RECEBIMENTO:
• Diferidas: quando os termos forem exigíveis a
partir de uma data que não seja o primeiro período.
-> Postecipadas ou Vencidas: se os termos são
exigíveis no fim dos períodos.
-> Antecipadas: se os termos são exigíveis no
início dos períodos.
24
Classificação das
Anuidades
QUANTO À PERIODICIDADE:
• Periódicas: se todos os períodos são iguais.
• Não-periódicas: se os períodos não são iguais entre si.
Modelo Básico de Anuidade
São as anuidades que são:
• Temporárias;
• Constantes;
• Imediatas e Postecipadas;
• Periódicas;
• A taxa de juros “i” está referida ao mesmo período dos termos.
25
Valor Atual do Modelo
Básico
P = principal
n = número de termos
R = termos
i = taxa de juros
P
R
0
1
R
R
2
n
P  R.a
n i
Diz-se que o principal vai ser pago em “n” parcelas (prestações) iguais a “R”.
Valor Atual do Modelo
Básico
a = lê-se “a, n, cantoneira, i” ou “a, n, i”.
n
i
O cálculo de
a
n
i
é feito do seguinte modo:
a 
n i
(1  i)n 1
i(1  i)n
Esta fórmula encontra-se tabelada para diversos
valores de “n” e de “i”
26
Exemplo
I) João compra um carro, que irá pagar em 4 prestações mensais de $ 2.626,24, sem entrada. As prestações serão pagas a
partir do mês seguinte ao da compra e o vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de 2% a.m. Pergunta-se o preço do carro à vista.
Resolução:
(1  i)n 1
a

n i
i(1  i)n
onde: n = 4 meses
i = 2% a.m.
(1,02)4  1
an i
 3,807729
0,02.(1,02)4
Portanto, como R = 2.626,24:
P = 2.626,24 x 3,807729 = 10.000,00
Exemplo
II) Um televisor em cores custa $ 5.000,00 a vista, mas pode
ser financiado sem entrada em 10 prestações mensais à taxa
de 3% a.m. Calcular a prestação a ser paga pelo comprador.
Resolução: R  P
an
i
onde: P = 5.000,00
n = 10 m.
i = 3% a.m.
Procurando numa tabela ou calculando diretamente,
tem-se:
a 10
3  8 , 530203
R 
5 . 000 , 00
 $ 586 ,15
8 , 530203
27
Exemplo
Portanto, o comprador deverá pagar uma prestação mensal de $ 586,15, por 10 meses.
III) Uma aparelhagem de som estereofônico está anunciada nas
seguintes condições: $ 1.500,00 de entrada e 3 prestações mensais iguais de $ 1.225,48. Sabendo-se que o juro cobrado nas lojas de som é de 2,5% a.m., calcular o preço a vista.
Resolução: Chamando a entrada de E e as prestações de R, temos:
P
E
{
0
R
1
R
2
R
3
Exemplo
Portanto, o principal (P), que é o valor atual das prestações na
data zero somado à entrada (E), pode ser expresso do seguinte
modo:
P  E  Ra
3 2,5
onde: E = 1.500,00
R = 1.225,48
a 3 2,5 2 , 856024
Logo: P = 1.500,00 + 1.225,48 x 2,856024
P = 1.500,00 + 3.500,00
P = $ 5.000,00
Portanto, o preço à vista nas condições dadas é de $ 5.000,00.
28
Montante do Modelo
Básico
1(1i)n
S = montante
n = número de termos
r
R = termos
i
i = taxa de juros
n i
R
P
rn i
Diz-se que “s” é o resultado de um processo de
capitalização (aplicação) de “n” parcelas iguais a
“R”.
Exemplo
V) Um tapete persa é vendido por $ 15.000,00 à vista. Pode ser
adquirido também em prestações mensais de $ 885,71, a juros
de 3% a.m. Sabendo que as prestações vencem a partir do mês
seguinte ao da compra, pede-se para calcular o número de prestações.
Resolução: P  R .a n i
15 . 000  885 , 71 .a n 3
15 . 000
a
 16 , 935566
n 3
885 , 71
n
Temos que: 16 ,935566  1  (1, 03 )
0 , 03
n
1  (1, 03 )  0 ,508067
(1, 03 )  n  0 , 491933
29
Exemplo
Extraindo o logaritmo dos dois membros, tem-se:
n log(1, 03)  log(0, 491933)
log(0, 491933)
log(1,03)
0,308094
n
 24 meses
0,012837
n
Montante do Modelo
Básico
S = montante
n = número de termos
R = termos
i = taxa de juros
S
R
0
1
R
R
2
n-1
n
S  R.sn i
Diz-se que “s” é o resultado de um processo de
capitalização (aplicação) de “n” parcelas iguais a
“R”.
30
Exemplo
I) Uma pessoa deposita $ 1.000,00 mensalmente. Sabendo-se
que ela está ganhando 2% a.m., quanto possuirá em 2 anos ?
Resolução:
S  R .S n i
onde:
R =1.000,00
S24
 2 30 , 421862
Portanto:
S = 1.000,00 x 30,421862
S = $ 30.421,86
Logo, após 2 anos, a pessoa possuirá $ 30.421,86.
Montante do Modelo
Básico
s = lê-se “s, n, cantoneira, i” ou “s, n, i”.
O cálculo de s é feito do seguinte modo:
n
i
n
i
sn i
(1 i)n 1
i
Esta fórmula encontra-se tabelada para diversos
valores de “n” e de “i” (ver tabelas no fim do livro).
31
Exemplo
II) Uma pessoa deseja comprar um carro por $ 40.000,00 à vista, daqui a 12 meses. Admitindo-se que ela vá poupar uma certa quantia mensal que será aplicada em letras de câmbio rendendo 2,2% a.m. de juros compostos, determinar quanto deve
ser poupado mensalmente.
Resolução: Neste caso, o montante é dado:
S = 40.000,00
Como a taxa de 2,2% não se encontra tabelada, fazemos o cálculo diretamente:
(1, 022 ) 12  1 1, 298407  1

0 , 022
0 , 022
0 , 298407

 13 , 563955
0 , 022
S12
 2,2

Exemplo
Temos:
S
S 12
 2,2
40 . 000
R
2 . 948 ,99
13 , 563955
 R  $ 2 . 949 , 00
R
Então, se a pessoa poupar $ 2.949,00 por mês e fizer a
aplicação a 2,2% a.m. por 12 meses poderá comprar o carro
pretendido.
32
Exemplo
Já sabemos que o Banco B devolve:
SB = $ 42.000,00
Logo, concluímos que é melhor aplicar no Banco A, ganhando
um adicional de $ 772,83.
33