04.05.2009
Primeira Prova — Cálculo II (Turma D)
Depto. de Matemática – UnB
Nome:
No. Matrı́cula:
◦
1. (3 pontos) Seja f (·) uma função definida em um intervalo I e três vezes derivável no ponto a ∈ I. Mostre que o
Polinômio de Taylor de 3o grau de f (·) em a, P3,a (x), é o único polinômio de grau no máximo 3 que satisfaz:
00
(i)
P3,a (a) = f (a)
(iii)
P3,a
(a) = f 00 (a)
0
0
000
(ii)
P3,a (a) = f (a)
(iv)
P3,a (a) = f 000 (a)
2. (2 pontos cada) Demonstre de dois modos distintos, uma vez aplicando a técnica
de fatiamento transversal e outra vez aplicando a técnica das camadas cilı́ndricas
longitudinais, que o toro, cujo raio do tubo (i.e., da cı́rcunferência menor) é r ∈ R∗+
e o raio do centro do tubo ao centro do toro (i.e., da circunferência maior) é R ∈ R∗+
(com r < R), tem volume 2π 2 Rr2 . Desenvolver completamente todas as integrais.
3. (1 ponto cada) Um bloco de massa 1kg é suspenso verticalmente do chão por uma corda de massa 40g/m presa a
uma roldana a 50m de altura acima do bloco. O conjunto bloco/corda faz dois movimentos. No primeiro, a força
peso exercida sobre o conjunto faz com que o bloco desça de uma altura de 30m, chegando ao chão. No segundo, o
conjunto sofre a ação de uma força F de intensidade 3 vezes a força peso exercida somente sobre a corda, mas em
sentido oposto (i.e., ascendente), fazendo o bloco subir os 50m. Assuma a aceleração gravitacional g := 10m/s2 .
a) Determine a massa m(s) do conjunto bloco/corda, acrescendo à massa do
bloco a massa da corda de comprimento s que se localiza acima do bloco
até a roldana (suponha s0 := 0). Seja a força peso P (s) que age sobre este
conjunto bloco/corda, em função do deslocamento s. Forneça o trabalho
W1 (s) da ação desta força peso P (s), em função do deslocamento s, e
depois calcule o trabalho do movimento de descida de 30m do conjunto
bloco/corda.
b) Determine a força resultante R(s) da ação das forças opostas F (s) e P (s)
do movimento de subida. Forneça o trabalho W2 (s) da subida do conjunto
bloco/corda pela ação desta força resultante R(s), em função do deslocamento s.
c) Obtenha o deslocamento s(t) em função do tempo t do movimento de subida do conjunto bloco/corda (dica;
lembre-se que v := ds/dt e W := ∆K := K − K0 := mv 2 /2 − mv02 /2). Também obtenha a velocidade v(t), a
força resultante R(t) e o trabalho W2 (t), todos em função do tempo t. Calcule o tempo do movimento de subida
de 50m do conjunto bloco/corda, assim como o trabalho deste movimento e a força resultante e a velocidade
finais.
4. (3 pontos) Desenvolva o Polinômio de Taylor de 3o grau da função f (·) sobre o ponto a abaixo e avalie a função
f (·) para cada x ∈ I descrito a seguir, fornecendo o valor aproximado P3,a (x), o valor real f (x), o erro estimado e
verificando se o erro real é condizente com o erro estimado.
a)
x := 1, 05 e I := [1; ∞)
1
f (x) :=
e
a
:=
1
b)
x := 0, 95 e I := [3/4; ∞)
8(1 − 2x)2
Dicas: Para b√∈ R∗+ := (0; ∞), α ∈ R∗ e um intervalo
(i)
b2 + x2 = b sec u,
para x := b tg u.
√
(ii)
b2 − x2 = b cos u,
para x := b sen u,
√
(iii)
x2 − b2 = b tg u,
para x := b sec u,
√
(iv)
x2 − b2 = −b tg u, para x := b sec u,
2u
1 − u2
(v)
sen (αx) =
,
cos
(αx)
=
1 + u2
1 + u2
Fórmulas básicas:
I ⊆ R, sejam as substituições:
quanto I ⊆ [−b; b].
quanto I ⊆ [ b; ∞).
quanto I ⊆ (−∞; −b].
αx 2/α du
e dx =
,
para
u
:=
tg
.
1 + u2
2
sen (x + y) = sen x cos y + cos x sen y
e
cos (x + y) = cos x cos y − sen x sen y.
Atenção: Todas as afirmações e passagens precisam ser claramente explicadas e justificadas. Os resultados fornecidos
em aula, nas listas de exercı́cio, ou até na prova podem ser utilizados apenas enunciando-os (corretamente!). Mas qualquer
outro resultado deve ser devidamente enunciado e demonstrado.
Obs: A prova tem 13 pontos, valem os 10 melhores pontos!!!!
Muito boa prova, Claus