Resolução da Prova de Eletromagnetismo e Aplicações (09/11/2010)
1) Duas cargas puntiformes iguais são colocadas a uma distância d uma da outra, aparecendo entre elas uma força de módulo F. Se a quantidade de eletricidade das duas cargas
for reduzida à metade e a distância entre elas dobrada, o módulo da nova força será:
(a) F1 = F (b) F1 = 16F (c)F1 = (1/8)F (d) F1 = (1/16)F (e) F1 = (1/2)F
Solução - alternativa (d)
F =
KQ2
K(Q/2)2
KQ2
F
⇒
F
=
=
=
1
d2
(2d)2
16d2
16
2) Três esferas alinhadas têm cargas Q, 2Q e 4Q, respectivamente. A distância entre
a esfera de carga Q e a esfera de carga 2Q é d1 . A distância entre a esfera de carga 2Q
e a de carga 4Q é d2 . Qual deve ser a relação entre d1 e d2 para que a resultante das
forças elétricas que atuam sobre a esfera de carga 2Q seja nula?
(a) 1/4 (b) 1/2 (c) 1 (d) 2 (e) 4
Solução - alternativa (b)
r
2
d1
K(2Q)(4Q)
2Q2
1
d1
1
1
KQ(2Q)
= F2 =
⇒
=
= ⇒
=
=
F1 =
2
2
2
d2
8Q
4
d2
4
2
d1
d2
3) Calcule a intensidade do campo elétrico resultante no terceiro vértice do triângulo
eqüilátero ABC dado abaixo:
y
4µC
2m
P
x
4µC
Solução
Devido à simetria, a componente do campo elétrico na direção do eixo y será nula. Assim,
→
−
o módulo do campo elétrico na direção do eixo x vale F = 2| E | cos(θ) = 2E cos(30◦ ) =
√
9×109 (4×10−6 )
= 9kV/m. Assim, no ponto P , o campo elétrico
3E, sendo E = KQ
2 =
d
22
√
vale EP = 9 3kV/m.
→
−
→
−
−
→
4) Dado os vetores A = (1, 3, 2) e B = (2, 3, −1), determine: (a) o vetor C tal que
→
−
→ −
−
→−
→
→ −
−
→
→
−
→
−
C + ( A • B ) A + ( A × B ) = 0 . (b) O vetor unitário na direção de C .
Solução
(a)
−
→ −
→ −
→
a
a
az − −
→
→ x y
A ×B =1 2
3 = (−11, 7, −1)
2 3 −1
→ −
−
→
→ −
−
→−
→
A • B = (1, 2, 3) • (2, 3, −1) = 5 ⇒ ( A • B ) A = 5(1, 2, 3) = (5, 10, 15)
1
−
→
→
− −
→−
→
→ −
−
→
C = −( A • B ) A − ( A × B ) = −(5, 10, 15) − (−11, 7, −1) = (6, −17, −14)
b)
−
→
p
→
−
C
a→
| C | = (62 + (−17)2 + (−14)2 ) ≈ 22.83 ⇒ −
→ ≈ (0.263, −0.745, −0.613)
C = −
|C |
5) Nos vértices A, B e C de um triângulo retângulo estão situadas 3 cargas puntiformes: Q1 = 2µC, Q2 = −2µC e Q3 = 3µC, respectivamente. A resultante das forças
que as cargas Q1 √
e Q2 exercem em √
Q3 tem intensidade:
(c) 0.6 2 N
(c) 0.6 N
(e) 1.2 N
(a) nula
(b) 2 2/3N
A
Q1 = 2µC
30cm
Q3 = 3µC
C
30cm
B
Q2 = −2µC
Solução - alternativa (c)
Como as cargas Q1 e Q2 tem a mesma intensidade e estão a mesma distância da carga
Q3, o módulo da força exercida por elas será igual. Como
√ as força exercidas são per=
pendiculares, o módulo da força resultante vale FR = 2|F |, onde F = KQ1Q3
d2
√
9×109 (2×10−6 )(3×10−6 )
= 0.6 ⇒ F = 0.6 2 N.
(0.32 )
6) Uma carga pontual de 50nC localiza-se, no vácuo no ponto (−10, −6, 8). Deter→
−
mine E no ponto (−5, 8, 3) em: (a) coordenadas cartesianas; (b) coordenadas cilı́ndricas.
Solução
(a)
→
−
rc = (−10, −6, 8)
→
−
rp = (−5, 8, 3)
→
−
→
→
rd = −
rp − −
rc = (5, 14, −5) ⇒ |r~d | ≈ 15.68
→
9 (50×10−9 )
→ KQ−
−
rd
E = |−
(5, 14, −5) = (0.583, 1.633, −0.583)
= 9×10(15.68)
→
3
rd | 3
(b)
−
→ = cos φ−
→
→
→
a
aρ − sin φ−
ay + 0−
az = (cos φ, − sin φ, 0)
x
→
−
→
−
→
−
→
−
ay = sin φaρ + cos φay + 0az = (sin φ, cos φ, 0)
→
−
−
az = 1→
az = (0, 0, 1)
8
φ = arctan xy = arctan −5
= 122◦
−
→ = (cos φ, − sin φ, 0) = (cos(122◦ ), − sin(122◦ ), 0) = (−0.530, −0.848, 0)
a
x
→
−
ay = (sin φ, cos φ, 0) = (sin(122◦ ), cos(122◦ ), 0) = (0.848, −0.530, 0)
→
−
az = (0, 0, 1)
→
−
E = 0.583(−0.530, −0.848, 0)+1.633(0.848, −0.530, 0)−0.583(0, 0, 1) = (1.076, −1.361, −0.584) =
→
→
1.076−
a − 1.360−
a→ − 0.583−
a
ρ
φ
z
7) A densidade volumétrica de carga em uma região do espaço é dada por ρv (x, y, z) =
C/m3 . Determine a carga contida no volume delimitado pela região 0 < x, y, z < 1 m.
xe−y
2
Solução
Z 1
Z 1
Z 1
ZZZ
1 − e−1
−y
x dx
1 dz =
Q=
ρv (x, y, z) dxdydz =
e dy
2
| 0 {z } | 0 {z
} | 0 {z }
=1/2
=1−e−1
3
=1