e: A HISTÓRIA E APLICAÇÃO DE UM NÚMERO
Ismaete Maria de Sousa Cunha 1
Universidade Católica de Brasília
RESUMO
Este trabalho é um estudo sobre o Número “e”, que mostra o seu surgimento em três épocas distintas. A
primeira na antiguidade que os matemáticos já conheciam esse número e sua utilidade. A segunda no século
XVII com o surgimento da construção do logaritmo. E finalmente com a invenção do cálculo diferencial e
integral no século XVIII. O trabalho mostra algumas características interessantes desse número, como sua
irracionalidade e alguns exemplos com sua aplicação.
Palavras-chave: História da Matemática, O Número Irracional “e”.
1. INTRODUÇÃO
Ao longo do curso de Licenciatura em Matemática, tem se notado que grande parte das
disciplinas não explora a História da Matemática, que é tão importante, porque uma breve
noção da história pode fazer com que o aluno tenha um melhor aproveitamento nas
disciplinas, pois, com isso ele vai saber como surgiu determinado assunto e para que ele
serve.
“Existem vários motivos para isso, sendo que um deles o modo esotérico e seco
com que o tema é ensinado. Temos a pretensão de sobrecarregar nossos estudantes
com fórmulas, definições, teoremas e demonstrações, mas raramente mencionamos
e evolução histórica desses fatos, deixando a impressão de que eles foram
entregues á humanidade como os Dez Mandamentos, por alguma autoridade
divina. A história da Matemática é uma boa maneira de corrigir essa impressão.”
(Maor,1994).
Este fato também acontece com o Número Irracional “e”, pois, aprendemos a utilizá- lo
sem um embasamento teórico adequado, ou seja, sem ter um conhecimento de sua origem
e de sua aplicação. Isso pode influenciar no desempenho do aluno, como também na visão
do que é a Matemática e para que ela serve. Ele só aprende como utilizá- la, e isso não é
suficiente, porque tem que ser um conjunto, saber utilizar e para que serve determinado
assunto.
Há vários fatores que contribuem para que isso aconteça. Um deles é que as disciplinas têm
muitos conteúdos para serem explorados e, às vezes não é possível fazer as aplicações,
coisa que é tão essencial na Matemática. Um outro fator é a falta de exploração por parte
dos livros (autores).
Assim, este estudo pretende contribuir para o embasamento teórico e aplicações do número
“e”, preenchendo as lacunas existentes nos livros, possibilitando ao aluno um melhor
aproveitamento nas disciplinas que se utilizam desse número. Fazendo um estudo sobre
1
Licencianda do Curso de Matemática da Universidade Católica de Brasília.
E-mail: [email protected]
esse número, pesquisando sua origem e aplicação nos vários ramos do conhecimento.
Explicitando o grau de importância que representa na Matemática. Mostrar a sua
Irracionalidade, a sua abrangência e suas propriedades nos conteúdos que o envolve.
Indicando aplicações em vários ramos da Matemática.
2. HÍSTÓRICO DO NÚMERO e
2.1. O Surgimento do e na Antiguidade
As origens do “e” não são tão claras, mas há indícios de que já era conhecido pelos
matemáticos pelo menos meio século antes da invenção do cálculo. Uma explicação é de
que teria aparecido primeiro ligado a uma fórmula para o cálculo de juros compostos.
Alguém não se sabe quem ou como, deve ter notado que se um capital P é composto de n
vezes por ano, durante t anos, a uma taxa anual de juros r e se permitirmos que n aumente
sem limites, a soma do dinheiro S, obtida a partir da fórmula S = P (1 + r/n)nt. O limite
parece se aproximar de 2,718. Fato que, provavelmente mais uma observação experimental
do que uma dedução matemática assombrou os matemáticos no início do século XII, pois a
noção de limite não era conhecida.
Exemplo: Para um determinado capital P de valor R$1,00 for composto n vezes por ano,
durante um 1 ano sobre uma taxa de juros de 1% ao ano. No final qual será a soma S sendo
que n aumente sem limites? A Quadro 1 ilustra alguns resultados.
Capital - P
Nº de vezes - n
Tempo - t
Juros - r
Soma - S
1
45
1
1
2.688681171
1
90
1
1
2.703332461
1
135
1
1
2.708282
1
180
1
1
2.710769298
1
225
1
1
2.712265705
1
325
1
1
2.71411162
1
425
1
1
2.715090736
1
625
1
1
2.716110388
1
1625
1
1
2.177445926
1
4625
1
1
2.717988066
1
5625
1
1
2.718040277
1
10625
1
1
2.718154005
1
20625
1
1
2.718216019
1
1000625
1
1
2.718293008
1
100000625
1
1
2.718298804
1
10000000625
1
1
2.718281997
Quadro 1 – Representação de alguns resultados da fórmula S = P (1 + r/n)nt.
2.2. Surgimento do e no Logaritmo
John Napier (1550-1617) foi um lorde escocês, homem muito culto e conhecedor das
matemáticas da época. Envolveu-se na procura de um sistema que facilitasse a
multiplicação de senos, mais tarde estendida a quaisquer números. Esse trabalho estendeu-
se por mais de vinte anos, antes de publicar seus resultados. Napier publicou sua obra em
1614 o “Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio” (Descrição da Maravilhosa Regra
dos Logaritmos) que causou grande surpresa e entusiasmo, porque se tratava de técnicas
simplificadoras de resolução de problemas de cálculo numérico, problemas estes
relacionados com o desenvolvimento do comércio e do progresso da navegação e
principalmente astronomia.
Para minimizar o uso das frações decimais, que não era tão conhecida na época, Napier fez
o que fazemos hoje quando dividimos um quilometro em mil metros, ele dividiu a unidade
num grande número de subunidades, considerando cada uma como uma nova unidade.
Napier chegou perto de descobrir o número 1/e definido como limite de (1 – 1/n)n quando
n tente ao infinito. A sua definição de logaritmo equivale à equação N = 107 (1 – 10-7 )L,
então o expoente L é o logaritmo de N. Se dividirmos N e L por 107 , a equação se torna
??
N
? 1 ? 10 ? 7
10 7
?
10
?
L
107
. E ?1 ? 10 ? 7 ?
107
?
? 1 ? 1 10 7
?
10 7
é um valor muito próximo de 1/e.
A princípio ele chamou seus índices de potências “Números Artificiais”, mas, mais tarde
fez a composição de duas palavras gregas: logos (ou razão) e arithmos (ou números). A
obra de Napier envolvia de forma não explícita o número que hoje se designa por e. Napier
não se apercebeu da importância do Número e só um século depois, com o
desenvolvimento do cálculo, se veio a reconhecer o papel relevante de tal número.
2.3. O Surg imento do e no Cálculo
Alguns autores afirmam que o cálculo foi inventado por Isaac Newton e por Gottfried
Wilhelm Leibniz durante a década de 1665-1675, mas a idéia central por trás do cálculo
retrocede até a época dos antigos gregos. Arquimedes de Siracusa teria sido um dos
primeiros a usar o conceito de limite para cálculo de áreas e volumes de várias formas
planas e sólidas. A realização de Arquimedes foi um marco na história da matemática e
ficou conhecido como o Método da Exaustão. O Método da Exaus tão chegou muito perto
do cálculo integral. Os gregos, apesar de terem obtido conhecimento não chegaram a
desenvolver o cálculo porque não tinham o conceito de infinito e não possuíam uma boa
linguagem da álgebra.
A idéia de infinito para os gregos era considerada um tabu e por isso era difícil aceitar o
fato de que uma soma infinita de números possa convergir para um número finito, ou seja,
para um limite.
Definimos e como o número para o qual ln e = 1. E queremos mostrar o e como um limite
1?x
de lim ?1 ? ? x ? .
?x? 0
Se f(x) = ln x, então a derivada de f é dada por f ’(x) = 1/x; logo f ’(1) = 1. Vamos aplicar a
definição de derivada para encontrar f ’(1). Temos que:
f ?1 ? ? x ?? f ?1?
f ' ?1? ? lim
?x? 0
?x
ln ?1 ? ? x ?? ln 1
? x? 0
?x
1
? lim
ln ?1 ? ? x ?
?x? 0 ? x
1 ?x
? lim ln ?1 ? ? x ?
? lim
?
?x? 0
? ln lim ?1 ? ? x ?
1 ?x
? x? 0
Uma vez que f ’(1) = 1, obtemos
?
ln lim ?1 ? ? x ?
1 ?x
? x? 0
De maneira que
lim ?1 ? ? x ?
1 ?x
?x? 0
?
?? 1
?e
Exemplo:
??
xn
(2.3.1).
n ?0 n!
Para quais valores de x é convergente? Para série dada,
xn
un ?
(2.3.2)
n!
e
x n? 1
u n? 1 ?
(2.3.3).
?n ? 1?!
Aplicando o teste da razão 2 ,
u
x n? 1 n!
1
lim n? 1 ? lim
. n ? x lim
? 0? 1
(2.3.4).
n ? ?? u
? ?? ?n ? 1?! x
n ? ?? n ? 1
n
Logo, a série de potências dada é absolutamente convergente para todos os valores de x.
Agora vamos mostrar que para todos os valores reais de x
??
xn
x2 x3
xn
ex ? ?
? 1? x ?
?
?? ?
??
(2.3.5).
2! 3!
n!
n ? 0 n!
A série de potências
?
??
2
Teste da Razão: Seja
?
u n uma série infinita dada para a qual todo u n é não-nulo. Então,
n ?1
(i)
se
(ii)
se
(iii)
se
lim
u n? 1
? L ? 1 ,a série dada é absolutamente convergente;
un
lim
u n? 1
u
? L ? 1 ou se lim n? 1 ? ? ? , a série dada é divergente;
n ? ?? u
un
n
lim
u n? 1
? 1 , nenhuma conclusão quanto à convergência pode ser tirada do teste.
un
n ? ??
n ? ??
n ? ??
??
xn
é absolutamente convergente para todos os
n ?0 n!
valores de x. Assim, se f for um função definida por
??
xn
f(x) = ?
(2.3.6)
n ?0 n!
o domínio de f será o conjunto de todos os números reais; isto é, o intervalo de
convergência será (- ? , + ? ). Do Teorema 1 (o teorema e a demonstração está em anexo),
segue que para todos os valores reais de x temos
??
nx n?1
f ' ?x ? ? ?
(2.3.7).
n!
n? 1
n
1
Uma vez que
?
, isso pode ser escrito como:
n! ?n ? 1?!
??
??
x n? 1
xn
f ' ?x ? ? ?
? f ' ?x ? ? ?
(2.3.8).
n ?1 ?n ? 1?!
n ? 0 n!
Das igualdades (2.3.8) e (2.3.7), f’(x) = f(x) para todos os valores reais de x. Assim sendo, a
função f satisfaz a equação diferencial3
dy
? y
(2.3.9)
dx
a qual , pelo Teorema 2 (o teorema e a demonstração está em anexo), tem como solução
geral y = Cex. Logo para alguma constante C, f(x) = Cex. De (2.3.7), f(0) = 1. Portanto, C =
1; assim, f(x) = ex.
Como foi mostrado a série de potências ?
3. NOMENCLATURA
Este número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler (17071783), um dos primeiros a estudar as propriedades desse número.
A paixão de Euler pela matemática era tão forte que o levava, em um único dia, a escrever
vários trabalhos com uma matemática inovadora e engenhosa, levando-o a uma de suas
maiores realizações que foi o desenvolvimento do método dos algoritmos cuja finalidade
era lidar com problemas aparentemente insolúveis. Suas conjeturas são ousadas, não
hesitando em sugerir questões difíceis, sem apresentar, porém, indicações quanto ao meio
de atacá- las.
De 1727 a 1783 Euler esteve ocupado aumentando os conhecimentos disponíveis em quase
todos os ramos da matemática pura e aplicada, dos mais elementares aos mais avançados.
Escrevia na linguagem e notação que usamos hoje, pois nenhum outro foi tão grandemente
responsável pela forma da matemática do nível universitário de hoje quanto Euler, o
construidor de notações mais bem-sucedido em todos os tempos.
Em 1727 ele havia estado ocupado com experiências sobre disparo de canhões e numa
exposição manuscrita de seus resultados, usava a letra e mais de uma dúzia de vezes para
representar a base do sistema de logaritmos naturais. O conceito por trás desse número era
3
Equação Diferencial é uma equação que relaciona uma função e suas derivadas
bem conhecido desde a invenção dos logaritmos. Um século antes, no entanto, nenhuma
notação padronizada para ele se tornou comum.
Numa carta a Goldbach, em 1731 Euler novamente usou a letra e para “aquele número cujo
logaritmo hiperbólico = 1”. Este apareceu impresso pela primeira vez na Mechanica de
Euler de 1736. Essa notação, sugerida talvez pela primeira letra da palavra “exponencial”,
logo se tornou padrão.
4. O NÚMERO e É IRRACIONAL
Os Números Irracionais são aqueles que não se pode expressar como fração de números
inteiros, cuja representação decimal é sempre infinita e não-periódica, que pode ser obtida
por aproximações sucessivas.
2
1 ? 2 ? 2 2 logo 1 ? 2 ? 2
1,4 2 ? 2 ? 1,5 2 logo 1,4 ? 2 ? 1,5
Exemplo: O número irracional
2
1,412 ? 2 ? 1, 42 2 logo 1,41 ?
1,414 ? 2 ? 1,415 logo 1,414 ?
2
2
1,4142 2 ? 2 ? 1,4143 2 logo 1,4142 ?
2 ? 1,42
2 ? 1,415
2 ? 1,4143
e assim por diante.
Antes de demonstrar que e é irracional é necessário rever alguns conceitos.
A seqüência cujo termo geral é
an ? 1?
1 1
1
? ?? ?
1! 2!
n!
(4.1)
é crescente e limitada, pois
1 1
1
? 2 ? ? ? n? 1 ? 3
(4.2).
1! 2
2
Consideremos a seqüência cujo termo geral é bn = (1 + 1/n)n = [(n +1)/n]n . Pela fórmula do
binômio:
n.1 n?n ? 1? 1
n?n ? 1??n ? 2?? 1 1
bn ? 1 ?
?
?? ?
2
n
2! n
n!
nn
(4.3)
1 ? 1 ? 1 ? 1 ?? 2 ?
1 ? 1 ? ? n ? 1?
? 1 ? 1 ? ?1 ? ? ? ?1 ? ??1 ? ? ? ? ? ?1 ? ?? ?1 ?
?.
2! ? n ? 3! ? n ?? n ?
n! ? n ? ?
n ?
Logo bn é uma soma de parcelas positivas, o número de parcelas cresce com n. Portanto a
seqüência (bn ) é crescente e bn < an . Segue-se que bn < 3 para todo n ? N. Afirma-se que
lim bn = lim an = e, quando n > p vale
1 ? 1?
1 ? 1 ?? 2 ? ?
p ? 1?
(4.4)
bn ? 1 ? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ??1 ? ?? ?1 ?
?.
2! ? n ?
p! ? n ?? n ? ?
n ?
Fixando arbitrariamente p ? N e fazendo n ? ? na desigualdade acima obtem-se
lim n? ? bn ? 1 ? 1 ? 1 2!? ? ? 1 p! ? a p .
(4.5).
2 ? an ? 1 ?
Como esta desigualdade vale para todo p ? N, segue-se que lim n? ? bn ? lim
p? ?
a p ? e.
Mas já vimos que bn < an para todo n ? N. Logo lim bn ? lim a n . O que prova que lim bn =
e.
Escreveremos e = lim bn , esse número é uma das constantes mais importantes da Análise
Matemática. E está no intervalo de 2 < e ? 3, o dado a seguir mostra valor expresso com 40
dígitos: e ? 2, 718281828459045235360287471352662497757
4.1. Demonstração da Irracionalidade do e:
Gráfico 1 - Representação gráfica da função f ?x ? ? 1 x para x > 0
Considerando o número e como a soma de uma seqüência infinita de termos, temos:
1 1
e ? 1? ? ? ?
(4.6).
1! 2!
Vamos admitir que e fosse um número racional. Então e = p/q, onde p, q ? N, são primos
entre si. De (4.6) segue-se
?
p ? 1 1
1?
1
? ??1 ? ? ? ? ? ?? ? ?
.
(4.7).
q ? 1! 2!
q! ? j? q? 1 j!
Agora, faremos uma estimativa do segundo membro de (4.7):
?
?
1 1? 1
1
? 1? 1
1
(4.8).
? j! ? q!?? q ? 1 ? ?q ? 1??q ? 2 ? ? ? ?? ? q!?? q ? 1 ? ?q ? 1?2 ? ? ??.
j ?q ?1
?
?
?
?
A expressão entre parêntese no último membro de (4.8) é uma série geométrica da forma
?
?
n
r , a qual para 0 ? r ? 1, tem soma igual a r/(1 – r). Usando esse fato em (4.8)
n ?1
obtemos:
?
1 1 1
?
q! q
j ? q ? 1 j!
?
(4.9).
Voltando a (4.7) com a estimativa (4.9) temos:
p ? 1 1
1? 1 1
0 ? ? ??1 ? ? ? ? ? ?? ?
(4.10)
q ? 1! 2!
q! ? q! q
e daí
?p
1 1
1? 1
0 ? q!?? ? 1 ? ? ? ? ? ?? ? .
(4.11).
1! 2!
q! ? q
?q
Agora, observe (4.11). O termo do meio é inteiro, pois q! cancela todos os denominadores
das frações aí presentes. Mas isso é impossível, pois sendo 1/q ? 1 a expressão (4.11) diria
que o termo médio é um inteiro positivo estritamente menor que 1. O absurdo provém da
hipótese feita inicialmente que e fosse um número racional. Logo e é irracional.
5. O NÚMERO e É TRANSCENDENTE
A solução da equação polinomial da forma an xn + an-1x n -1 +...... + a1x + a0 = 0, onde os
coeficientes ai com i = 1, 2, ... , n são racionais. Essas soluções são chamadas de números
algébricos.
Exemplos:
a) Toda equação da forma qx – p = 0, onde p e q são racionais tem como solução x = p/q
que é um número algébrico.
b) A solução da equação x 2 ? 2 ? 0 tem como solução os números algébricos ± 2 .
Os Números Transcendentes são aqueles que não podem ser raízes de polinômios de
coeficientes racionais, ou seja, os números que não são algébricos são chamados de
transcendental, um termo cunhado por Euler para descrever números como o e e p, que
pareciam transcender (ir além) os métodos algébricos.
Em contraste com os Números Irracionais, cuja descoberta surgiu de um problema na
geometria, os primeiros números transcendentais, foram criados com o objetivo de mostrar
que tais números existiam. Quando este objetivo foi alcançado, a atenção se voltou para o e
e p, que já eram conhecidos e já tinham demonstrado sua irracionalidade. Johann Heinrich
Lambert (1728 – 1777) provou que e não pode ser solução de uma equação quadrática com
coeficientes inteiros, o que não foi suficiente para mostrar que era transcendente, ou seja,
provar que e não é solução de nenhuma equação polinomial com coeficientes racionais. A
transcendência do e foi mostrada por Charles Hermite (1822 -1901), que foi publicada em
1873 em um ensaio de mais de trinta páginas.
“A Transcendência de e foi um desafio aos matemáticos até o século XIX. Em
1873, o matemático francês C. Hermite marcou época ao demonstrar a
transcendência de e, em uma série de notas publicadas no Comptes Rendus de
1’Académie des Sciences de Paris. A demonstração original de Hermite sofreu
simplificações sucessivas por matemáticos famosos como Jordan (1882), Markhoff
(1883), Rouché (1883), Weierstrass (1885), Hilbert (1893). Hurwitz (1893) e
Veblen (1904), entre outros.” (Figueiredo, 2002)
A demonstração da Transcendência do número e não é fácil e envolve vários conceitos do
Cálculo e da Álgebra Moderna. Ela está como sugestão de exercícios no livro Números
Irracionais e Transcendentes (Djairo Guedes de Figueiredo p. 29). E a demonstração
completa está no livro Álgebra Moderna (Herstein p. 207) que envolve vários teoremas, e
conteúdos que está fora do alcance deste trabalho. Deixo como sugestão para próximos
trabalhos uma pesquisa especifica sobre a Transcendência do Número e.
6. ALGUMAS APLICAÇÕES
O número e aparece na resolução de equações em que as incógnitas aparecem em
expoente. É importante em quase todas as áreas do conhecimento: economia, engenharia,
biologia, sociologia.
Uma aplicação em Juro composto:
Se P reais são depositados em uma conta com uma taxa anual de juro de r (em forma
decimal), qual é o montante ao término de um ano? A resposta depende do número de
n
? r?
vezes que o juro é composto, de acordo com a fórmula A ? ?1 ? ? , onde n é o número
? n?
de composições por ano. A tabela abaixo dá o montante para um depósito de R$ 1000,00 a
8%, para vários períodos de composição.
Freqüência da composição por ano, n
Saldo (reais), A
1
Anualmente, n = 1
? 0,08 ?
A ? P?1 ?
? ? R$1080,00
1 ?
?
Semestralmente, n = 2
? 0,08 ?
A ? P?1 ?
? ? R$1081,60
2 ?
?
2
4
Trimestralmente, n = 4
? 0,08 ?
A ? P?1 ?
? ? R$1082,43
4 ?
?
Mensalmente, n = 12
? 0,08 ?
A ? P?1 ?
? ? R$1083,00
12 ?
?
Diariamente, n = 365
12
365
? 0,08 ?
A ? P?1 ?
?
365 ?
?
? R$1083,28
Quadro 2 – Representação de alguns resultados da fórmula A = P(1 + 1/n)n .
Pode parecer estranho que, quando n aumenta, o montante A tenda para um limite,
conforme indicado no desenvolvimento a seguir. Nele, façamos x = r/n. Então, x ? 0
quando n ? ? , e temos:
?
r
?
n
?? r ?n r ?
r
? r?
Substituir r/n por x
A ? lim P?1 ? ? ? P lim ??1 ? ? ? ? P lim ?1 ? x ?1 x ? Pe r .
n? ?
n? ?
x? ?
n
n
?
?
? ?
??
Este limite é o montante após um ano de composição contínua. Assim, para um depósito de
R$1000,00 a 8%, composto continuamente, o montante ao fim do ano seria
A = 1000 e 0,08 ? 1083,29.
Determinação do Montante de uma Conta
Uma pessoa está criando um fundo para o filho recém- nascido. Para isso, deposita
R$25.000,00 em uma conta, que só deve ser liberada quando o filho completar 18 anos.
Compare os saldos nos seguintes casos.
a) 6%, composto continuamente
Como a fórmula do composto continuamente é A ? Pe rt , temos:
A ? 25.000e 0,06?18? ? R$73.616,99
b) 6%, composto trimestralmente
nt
r
Como o composto n vezes por ano é A ? P??1 ? ?? , temos:
? n?
4 ?18 ?
? 0.06 ?
A ? 25.000?1 ?
?
4 ?
?
? R$477.613,60
c) 10%, composto continuamente
Como a fórmula do composto continuamente é A ? Pe rt , temos:
A ? 25.000e 0,1?18? ? R$151.241,187
d) 10%, composto trimestralmente
nt
r
Como o composto n vezes por ano é A ? P??1 ? ?? , temos:
? n?
4 ?18 ?
? 0 .1 ?
A ? 25.000?1 ?
?
4 ?
?
? R $147.930,70
Com os resultados obtidos, percebemos que há uma diferença grande entre os montantes
(A) a 6% e a 10%.
Lei do Crescimento e Decaimento Exponencial
Se y é uma grandeza cuja taxa de variação em relação ao tempo é proporcional à
quantidade presente em um instante arbitrário t, então y é da forma y ? Ce kt , onde C é o
valor inicial e k é a constante de proporcionalidade. O crescimento exponencial é indicado
por k > 0, e o decaimento exponencial por k < 0.
Demonstração: Como a taxa de variação de y é proporcional a y, podemos escrever
dy
? ky
dt
Vê-se que y ? Ce kt é uma solução desta equação; diferenciando para obter dy dt ? kCekt
dy
e fazendo a substituição temos que:
? kCekt ? h ?Ce kt ?? ky .
dt
Um modelo de Crescimento Populacional
Numa pesquisa, uma população de determinado inseto está crescendo de acordo com a lei
de crescimento exponencial. Após 3 dias, há 200 insetos, e após 6 dias, há 500 insetos.
Quantos insetos haverá após 8 dias?
Como a fórmula do Crescimento Exponencial é y ? Ce kt , quando k > 0, onde t é o tempo,
y uma grandeza de taxa de variação em relação ao tempo, C é o valor inicial e k é a
constante de proporcionalidade.
Sabemos que y = 200 quando t = 3 e y = 600 quando t = 6. Levando os dados no modelo
y ? Ce kt , vem: 200 ? Ce 3k e 600 ? Ce 6k . Par resolver em relação à k, resolvemos
primeiro em relação a C na primeira equação, levando resultado na segunda equação.
200
200
? 600 ? Ce 6k ? 600 ? ?? 3k ??e 6 k ?
3k
e
?e ?
1
? ln 3 ? 2k ?
ln 3 ? k
2
200 ? Ce 3k ? C ?
?
600
? e2 k
200
1
200
ln 3 ? 0,5493 , obtemos C ? 3?0, 5493? ? 38,4907 . Assim, o modelo de
2
e
0 , 5493t
crescimento exponencial é y ? 38,4907e
. Isto implica que, após 8 dias, a população é
Como k ?
y ? 38,4907e 0,5493?8 ? ? 3.110 insetos.
Analisando uma Catenária
Quando um fio telefônico é distendido entre dois postes, toma a forma de uma curva em U
chamada Catenária é dada pela função: y ? m e x n ? e ? x n , ? m ? x ? m (m é a massa e n é
a distância).
?
?
?
?
Por exemplo, a função: y ? 30 e x 60 ? e ? x 60 , ? 30 ? x ? 30 é o modelo de um fio
telefônico distendido entre dois postes separados por uma distância de 60 metros (y e x em
metros). Mostre que o ponto mais baixo no fio está a meio caminho entre os dois postes.
Quando o fio cai entre os dois postes?
?
?1 ?
? 1 ?? 1
A derivada da função é y ' ? 30?e x 60 ? ? ? e ? x 60 ? ? ?? ? e x 60 ? e ? x 60 . Para achar os
? 60 ?
? 60 ?? 2
?
pontos críticos, igualamos à derivada a zero.
?
?
?
?
1 x 60
e
? e ? x 60 ? 0
igualar a derivada a zero
2
e x 60 ? e ? x 60 ? 0
multiplicar ambos os membros por 2
x 60
? x 60
? x 60
e
?e
somar e
a ambos os membros
x
x
a
b
??
se e ? e , então a = b
60
60
x = -x
multiplicar ambos os membros por 60
2x = 0
somar x a ambos os membros
x=0
dividir ambos os membros por 2
Para determina quanto o fio cai entre os dois postes, comparamos sua altura em cada poste
com a altura no ponto médio.
y ? 30 e ? 30 60 ? e ? ?? 30? 60 ? 67,7 metros
altura no poste esquerdo
?
?
?
? ?0 ? 60
?
?
y ? 30 e ? e
? 60metros
30 60
? ?30 ? 60
y ? 30 e
?e
? 67,7metros
Logo, o fio cai cerca de 7,7 metros.
0 60
?
altura no ponto médio
altura no poste direito
7. CONSIDARAÇÕES FINAIS
O objetivo deste trabalho foi alcançado mostrando de forma clara e precisa sobre o
Número e, sua existência e sua aplicação. O mais importante deste trabalho foi a
aprendizagem científica de como coletar informações em vários livros e depois por os
assuntos em forma cronológica e de fácil entendimento. Elaborar um trabalho desse nível
requer muitas horas de pesquisa, mas valeu apenas.
Quando me decidi pelo assunto sabia que não seria fácil, porque eu não conhecia
praticamente nada sobre ele, vim saber que ele existia e aprender apenas a utilizá- lo na
universidade. Não sabia nem o que era um Número Transcendente. Quando pesquisava
sobre o assunto fui preenchendo algumas lacunas que ficaram durante o decorrer do curso.
Na realização deste percebi o quanto é importante antes de ensinar algum conteúdo, seja
ele qual for, a noção de história, pois é através dela que temos a noção do quanto é
importante aprender e saber utilizar o que está sendo ensinado. O que fiz foi apenas o
começo, o ponto de partida para novas pesquisas. Espero que este se torne um ponto de
apoio para novos trabalhos sobre esse número que é tão fascinante.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Logaritmos. São Paulo: Atual Editora, 8ª edição, 1993.
MAOR, Eli. e: A História de um Número. Tradução: Jorge Calife. Rio de Janeiro: Editora Record, 2003.
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Brasileira de Matemática – SBM, 3ª edição, 2002.
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática Um: Conjuntos, Funções e
Trigonometria. São Paulo: FDT, 1992.
LEYHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica Um. Tradução: Cyro de Carvalho Patarra. São
Paulo: Editora Harbra Ltda, 3ª edição, 1994.
LEYHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica Dois. Tradução: Cyro de Carvalho Patarra. São
Paulo: Editora Harbra Ltda, 3ª edição, 1994.
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Rio de Janeiro, 7ª edição, 2004.
BOYER, Carl B.. História da Matemática. Tradução: Elza F. Gomide. São Paulo: Editora Edgard Blücher
Ltda, 2ª edição, 1996.
LARSON, Roland E.; HOSTETLER, Robert P.; EDWARDS, Bruce H.. Cálculo com Aplicações. Tradução:
Alfredo Alves de Farias. Rio de Janeiro: LTC, 4ª edição,1998.
THOMAS, George B.; FINNEY, Ross L.;WEIR, Maurice D.; GIORDANO, Frank R.. Cálculo, Volume 1.
Tradução: Paulo Boschcov. São Paulo: Addison Wesley, 10ª edição,2003.
LANG, Serge. Estruturas Algébricas. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico S.A. 1972.
HERSTEIN, I. N.. Álgebra Moderna. México: Editora F. Trillas S.A., 1970.
WHITE, A. J.. Análise Real: uma Introdução. Tradução: Elza F. Gomide. São Paulo: Edgar Blücher, 1973.
John Napier. Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/napier.htm >acesso em: 04 de
novembro de 2004.
Função
Exponencial.
Disponível
em:
<http://pessoal.sercomtel.com.Br/matemática/médio/expolog/esponenc.htm> acesso em: 04 de novembro de
2004.
Função
Exponencial.
Disponível
em:
<http://www.expoente.com.br/professores/kalinke/estudo/exponenciais.htm> acesso em: 04 de novembro de
2004.
Euler. Disponível em:<http://users.hotlink.com.br/marielli/matematica/geniomat/euler.htm> acesso em: 04 de
novembro de 2004.
A História do Número Transcendental. Disponível em:<http://www.unmonte.br/news/516.asp >acesso em:
06 de novembro de 2004.
Alguns são mais irracionais que outros... Disponível em: <
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/categori.htm >acesso em: 06 de novembro de 2004.
Números irracionais. Disponível em: <
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/numirro.htm> acesso em: 06 de novembro de 2004.
O Número e (Número de Neper). Disponível em: <
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/numeroe.htm> acesso em: 06 de novembro de 2004.
ANEXO
??
Teorema 1: Seja
?
n
c n x uma série de potências cujo raio de convergência é R > 0. Então,
n? 0
??
se f for a função definida por f(x) =? c n x n f’(x) existirá para todo x no intervalo aberto
n? 0
??
(- R, + R), sendo dada por f’(x) = ? ncn x n?1
n? 0
Demonstração: Seja x qualquer número no intervalo aberto (-R, R). Então |x| < R.
??
Selecionamos um número x 1 tal que |x| < |x 1 | < R. Como |x 1 | < R,
?
n
c n x1 é convergente.
n ?1
Logo, lim c n x1 ? 0 . Assim, se tomarmos ? = 1, existirá um número N > 0, tal que se n >
n
n ? ??
N, então c n x1n ? 1 . Seja M o maior dos números c1 x1 , c 2 x11 , c3 x1 2 ,? , c N x1 N ,1 . Então
c n x1n ? M para todo n inteiro positivo (3.1).
Agora ncn x
n? 1
c n x1
x n?1
? ncn . n .x1n ? n
x1
x1
De (3.1) e da equação anterior ncn x
n? 1
n ?1
n
x
x1
.
M x
?n
x1 x1
M
Se o teste da razão for aplicado à série
x1
??
x
?n? 1 n x
1
n ?1
(3.2).
n ?1
(3.3)
?n ? 1? x x1
u
x
n?1
x
então lim n? 1 ? lim
.
?
lim
?
? 1 . Assim sendo, a série
n
n
?
1
n ? ?? u
n ? ??
x1 n ? ?? n
x1
x1
nx
n
(3.3) é absolutamente convergente; logo de (3.2) e do teste da comparação, segue que a
n ?1
n
??
série
?
ncn x
n? 1
também é absolutamente convergente. Como x é qualquer número em
n? 1
??
(-R, R), segue que se o raio de convergência de
?
ncn x
n? 1
for R’, então R’ ? R. Para
n? 1
complementar a demonstração precisamos mostrar que R’ não pode ser maior do que R.
Vamos supor que R’ > R e seja x 2 um número tal que R < |x 2 | < R’. Como |x 2 | > R segue que
??
?
n
c n x 2 é divergente (3.4).
n? 0
??
Como x 2 | > R’, segue que
?
ncn x 2
n? 1
é absolutamente convergente. Além disso,
n? 1
??
x 2 ? nc n x 2
n? 1
n? 1
?
??
?
nc n x 2
n
??
e assim, do teorema 3,
n? 1
for qualquer inteiro positivo,
?
nc n x 2
n
(3.5) será convergente se n
n ?1
c n x 2 n ? n cn x 2 n ? ncn x 2 n . Dessa desigualdade, da
??
afirmação (3.5) e do teste de comparação, segue que
?
n ?1
cn x 2
n
é convergente. Logo, a
??
série
?
cn x 2
n
é convergente, o que contradiz o resultado (3.4). Assim sendo, a hipótese
n? 0
de que R’ > R é falsa. Logo, R’ não pode ser maior do que R; e como foi mostrado que R’ ?
R., segue que R’ = R, o que prova o teorema.
Teorema 2: Suponha que y seja uma função contínua de t com y > 0 para todo t ? 0. Além
dy
disso,
? ky onde k é uma constante e y = y0 quando t = 0. Então y = y0 ekt .
dx
Demonstração: Se o tempo for representado por t unidades e se y unidade representar o
dy
total da quantidade presente em qualquer instante, então
? ky onde k é uma constante e
dx
y > 0 para todo t ? 0. Se y cresce com o aumento de t, então k > 0 e temos a lei de
crescimento natural. Se y decresce quando t aumenta então k < 0 e temos a lei do
decaimento natural. Se por definição y for um inteiro positivo, vamos supor que y possa ser
um número real qualquer para que y seja uma função continua de t. Vamos supor um
modelo matemático envolvendo a lei de crescimento ou decaimento natural e a condição
dy
inicial de que y = y0 quando t = 0. A equação diferencial é
? ky . Separando as
dx
dy
variáveis,
obtemos
? kdt .
Integrando,
teremos
y
dy
kt
kt ? c
c kt
c
? y ? k ?dt ? ln y ? kt ? c ? y ? e ? y ? e .e . Tomando e = C temos y ? Ce ,
e como y é positivo, podemos omitir as barras de valor absoluto, restando assim y ? Ce kt .
Como y = y0 quando t = 0, obtemos C = y0 . Então, y = y0 ekt.
Teorema 3: Seja c uma constante não-nula.
??
(i) Se a série
??
?
u n for convergente e sua soma for S, então a série
n ?1
?
cu n também será
n ?1
convergente e sua soma será c . S.
??
(ii) Se a série
?
??
u n for divergente, então a série
n ?1
?
cu n também será divergente.
n ?1
??
Demonstração: Seja Sn a n-ésima soma parcial da série
?
u n . Então, Sn = u1 + u2 + ... + un .
n ?1
??
A n-ésima soma parcial da série
?
cu n é c(u1 + u2 + ... + un ) = cSn . Prova de (i): Se a série
n ?1
??
?
u n for convergente, então existe o lim s n e será S. Logo, lim cs n ? c lim s n ? c.S .
n ? ??
n ?1
n ? ??
n ? ??
??
Assim sendo, a
?
n ?1
??
cu n é convergente e sua soma é c.S. Prova de (ii) Se a série
?
n ?1
u n for
??
divergente, então não existirá lim s n . Suponha que a série
n ? ??
?
cu n seja convergente. Então
n ?1
lim cs n existe. Como sn = csn /c, segue que lim s n ? lim
n ? ??
n ? ??
n ? ??
1
?cs n ? ? 1 nlim
csn . Logo,
c
c ? ??
??
lim s n deve existir, o que é uma contradição. Portanto, a série
n ? ??
?
cu n é divergente.
n ?1
??
Teste da Comparação: Seja
?
u n uma série de termos positivos.
n ?1
??
(i) Se
?
vn for uma série de termos positivos que sabemos ser convergentes e se u n ? v n
n ?1
??
para todo n inteiro positivo, então
?
u n será convergente.
n ?1
??
(ii) Se
?
wn for uma série de termos positivos que sabemos ser divergentes e se u n ? wn
n ?1
??
para todo n inteiro positivo, então
?
n ?1
u n será divergente.