NOÇÕES BÁSICAS SOBRE SISTEMAS DE
RAÍZES E DIAGRAMAS DYNKIN
Cléber Barreto dos Santos
Programa de Iniciação Científica e Mestrado / CNPQ
Edson Ribeiro Alvares
Nosso objetivo neste trabalho é dar noções sobre
sistemas de raízes e, principalmente como
classificar os sistemas de raízes irredutíveis, e por
fim como relacioná-los aos diagramas Dynkin. Isto
é queremos mostrar de que forma podemos
relacionar um conjunto finito de vetores,
associados a reflexões do Espaço Euclidiano,
gerador de tal espaço está relacionado com
diagramas conhecidos de Álgebras clássicas.
Neste trabalho estudamos de forma detalhada os
principais resultados relacionados à estrutura de
um sistema de raízes propondo, na forma de
seminários, novas demonstrações para facilitar a
compreensão de como funciona tal estrutura para
isso utilizando conhecimentos das Álgebras de Lie,
provando também os principais resultados
relacionados à tal Teoria, e dando maior
importância aos exemplos que facilitam a
compreensão do texto.
As principais referências utilizadas neste trabalho
foram os livros “Álgebras de Lie” de Luiz Antonio
Barreira San Martin e “Introduction to Lie Algebras
and Representation Theory” de James E.
Humphreys.
Um dos resultados que mais chama atenção é uma das
limitações encontradas em qualquer sistema de raízes: o
tamanho de seus ângulos. De fato, dos quatro axiomas
fundamentais da definição de um sistema de raízes
concluímos que quaisquer par de vetores distintos de tal
conjunto só pode formar ângulos de 30°, 45°, 60°, 90°, 120°,
135° e 150°, o que é surpreendente, pois deste fato também
podemos limitar as relações entre os comprimentos dos
vetores de tal par. De fato, um dos axiomas de tal conjunto
nos diz que o produto interno de tais vetores deve ser um
número inteiro, donde podemos concluir que quando os
vetores são perpendiculares podem assumir qualquer relação
de comprimento, porém nos casos em que o ângulo formado
é de 60 ou 120 graus, tais vetores devem ter o mesmo
comprimento, nos casos de 45 e 135 graus devem estar na
razão √2:1, e nos casos em que o ângulo formado é de 30 ou
150 graus os vetores devem estar na proporção √3:1. Neste
conjunto, podemos ainda escolher um subconjunto que seja
base para o espaço citado que seja geradora para o conjunto,
ao qual associamos uma matriz denominada matriz de Cartan
Com o fato listado acima, e mais alguns teoremas podemos
provar que a matriz de Cartan não depende da escolha
particular da base de tal conjunto, o que é crucial para
podermos determinar à qual álgebra está associado cada
sistema de raízes, e por sua vez cada álgebra está associada
a uma diagrama Dynkin, e consequentemente estudar de
forma simultânea a estrutura de tais conjuntos.