XXIII Escola de Álgebra
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Álgebras de Hopf e categorias monoidais
Marcelo Muniz Alves
Universidade Federal do Paraná
Eliezer Batista
Universidade Federal de Santa Catarina
A teoria de biálgebras e álgebras de Hopf mostra sua amplitude e sua
versatilidade dentro da teoria de representações. Basicamente, uma álgebra A sobre um corpo k é uma biálgebra se, e somente se, sua categoria
de módulos à esquerda, ou igualmente a categoria de A-módulos à direita,
for uma categoria monoidal e o funtor esquecimento para a categoria dos k
espaços vetoriais for um funtor monoidal estrito. Isto basicamente signica
que uma biálgebra possui uma estrutura mais rica que permite denir estrutura de módulo em produtos tensoriais de módulos bem como estrutura de
módulo sobre o corpo de base. De maneira dual podemos falar da categoria
de comódulos sobre uma coálgebra C sobre um corpo k e estabelecermos
uma caracterização semelhante para dizermos quando uma coálgebra é uma
biálgebra. Indo adiante, uma biálgebra é uma álgebra de Hopf quando a sua
categoria monoidal de módulos de dimensão nita for rígida, isto é, se a categoria de módulos de dimensão nita admite dualidade com certas condições
de compatibilidade.
Este ponto de vista categórico é motivado primordialmente pela teoria de
representações de grupos, em decorrência dos fortíssimos resultados obtidos
da análise harmônica, principalmente na teoria de grupos nitos e na teoria
de grupos compactos. A teoria de álgebras de Hopf portanto adquiriu um
caráter muito mais geral e abstrato, permitindo resultados extremamente
relevantes na teoria, como o teorema de dualidade de Tannaka-Krein. Por
outro lado, estes desenvolvimentos da teoria de álgebras de Hopf do ponto de
vista de representações levaram naturalmente ao estudo de estruturas mais
gerais. O primeiro exemplo são as quasi-Hopf álgebras, que são estruturas
nas quais a associatividade é enfraquecida, o que equivale a estabelecer que
na categoria monoidal de módulos o associador não é a identidade, mas
apenas um isomorsmo. Outro exemplo são as álgebras de Hopf fracas,
para as quais o axioma da unidade é enfraquecido; neste caso, o funtor
esquecimento ´e dividido em dois níveis, sendo um deles monoidal estrito e o
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outro um funtor Frobenius Separável. O terceiro tipo de estrutura que pode
ser considerado são os Hopf algebróides, que são o análogo de álgebras de
Hopf, com a diferença que ao invés de tomarmos espaços vetoriais sobre um
corpo k consideramos a categoria de bimódulos sobre uma álgebra A.
O objetivo deste minicurso é oferecer um panorama da teoria de álgebras
de Hopf e de Hopf algebróides do ponto de vista de categorias monoidais.
Pretendemos apresentar o assunto de um ponto de vista introdutório, exigindose o mínimo de conhecimento prévio na área. Visamos oferecer um ponto de
contato com algebristas que trabalhem com álgebras de Hopf, teoria de representações de grupos, teoria de grupóides e teoria de categorias, de forma
que por um lado se introduza o assunto a um não-especialista de maneira
direta e acessível e por outro lado se ofereça aos especialistas um ponto de
vista que possa ser relevante.
Estrutura do Minicurso: O o condutor, como já foi dito, é o estudo
da categoria de módulos de biálgebras e álgebras de Hopf. Pretende-se introduzir generalizações de álgebras de Hopf para o caso de um anel de base não
comutativo, os Hopf algebróides, apresentando-se exemplos relevantes. Este
minicurso está dividido em 5 aulas cujo conteúdo está explicitado a seguir:
Aula 1: Conceitos básicos: Álgebras, coálgebras, biálgebras e álgebras
de Hopf, motivações e exemplos. Módulos e comódulos sobre biálgebras e
álgebras de Hopf. Hopf módulos, teorema fundamental (primeira versão).
Aula 2: Categorias monoidais, motivações e exemplos. Álgebras e coálgebras em uma categoria monoidal. Caracterização das biálgebras. Álgebras
e coálgebras como mônadas e co-mônadas.
Aula 3: Álgebras de Hopf em uma categoria monoidal. Categoria de
módulos sobre uma álgebra de Hopf, dualidade e Homs internos. Teorema
fundamental (segunda versão).
Aula 4: A categoria monoidal dos A-bimódulos. A-anéis e A-coanéis,
módulos e comódulos, dualidades entre A-anéis e A-coanéis. Um exemplo
de utilização de coanéis, a teoria da descendência (descent theory).
Aula 5: Introdução aos bialgebróides: Ae álgebras, o produto de Takeuchi,
bialgebróides, ×A coálgebras e ×A biálgebras. Categorias de módulos sobre
×A biálgebras. ×A Hopf álgebras, ou Hopf algebróides, e o teorema fundamental (terceira versão).