GEOMETRIA DESCRITIVA A
10.º Ano
Sólidos I - Poliedros
© antónio de campos, 2010
GENERALIDADES - Sólidos
O sólido geométrico é uma forma limitada por porções de superfícies,
planas e (ou) curvas.
Os poliedros são sólidos geométricos limitados por porções de
superfícies planas poligonais.
Quando as faces do poliedro são todas iguais, o poliedro é
considerado regular.
Os prismas são sólidos com duas bases poligonais e iguais. As faces
laterais, se o prisma é recto, poderão ser rectângulos ou
quadrados. Se o prisma é oblíquo, as faces poderão ser
paralelogramos ou losangos. Perspectiva em baixo no lado esquerdo
de um prisma pentagonal regular recto. No lado direito, a
perspectiva de um prisma pentagonal regular oblíquo.
Uma pirâmide é um poliedro, com uma base e um vértice. A
pirâmide toma o nome do polígono da base. Perspectiva em baixo no
lado esquerdo de uma pirâmide quadrangular regular. No lado
direito, a perspectiva de uma pirâmide quadrangular.
O contorno aparente de um sólido
é a linha fechada que separa as
partes do sólido que são visíveis
das partes que são invisíveis.
xz
Na projecção de um sólido numa
representação bidimensional de
uma forma tridimensional, é
possível distinguir as partes
visíveis das partes invisíveis.
Assim sendo, a linha quebrada
fechada [A1D1C1H1G1F1] constitui
o limite exterior da projecção, é o
contorno aparente horizontal do
sólido.
O vértice E é o vértice com menor
cota, ficando oculto pela massa do
sólido, sendo invisível, bem como
todas as arestas que nele
convergem na projecção
horizontal.
O vértice F é o vértice com menor
afastamento, ficando oculto pela
massa do sólido, sendo invisível,
bem como todas as arestas que
nele convergem na projecção
frontal.
G2
B2
C2
A2
H2 G
F2
F
D2
B
H
E2
A
E
C
D F1
x
E1
G1
H1
A1
D1
B1
C1
xy
REPRESENTAÇÃO DE POLIEDROS COM BASES
HORIZONTAIS
Pretendem-se as projecções de uma pirâmide regular situada no 1.º diedro, com 4
cm de altura, e de que o quadrado [ABCD] é a base. O quadrado [ABCD] está contido
num plano horizontal ν com 1 cm de cota.
V2
(fυ)
A2
D2
O2
B2
C2
x
B1
A1
O1≡ V1
C1
D1
REPRESENTAÇÃO DE POLIEDROS COM BASES
FRONTAIS
Pretendem-se as projecções de um cubo situada no 1.º diedro, e de que o quadrado
[ABCD] é uma das faces do cubo. O quadrado [ABCD] está contido no Plano Frontal
de Projecção. A face [EFGH] do cubo, oposta ao quadrado [ABCD] está contida num
plano frontal φ, com 4 cm de afastamento.
D2 ≡ H2
A2 ≡ E2
C2 ≡ G2
B2 ≡ F 2
B1
A1
x
(hφ)
E1
F1
C1
D1
H1
G1
REPRESENTAÇÃO DE POLIEDROS COM BASES DE
PERFIL
fπ1 ≡ hπ1
Pretendem-se as
projecções de um prisma
oblíquo situada no 1.º
diedro, e de que o
quadrado [ABCD] é a base
mais à direta, e o
quadrado [EFGH] a base
mais 5 cm à esquerda. O
quadrado [ABCD] está
contido num plano de
perfil π. A direcção do
eixo do prisma é obtida
através das suas
projecções.
fπ ≡ hπ
E2
A2
H2
F2
D2
B2
G2
C2
x
H1
G1
E1
F1
D1
C1
A1
B1
São dados dois pontos, A (2; 1; 2) e B (-2; 2; 2). A e B são vértices de um
triângulo equilátero [ABC], contido num plano horizontal ν e situado no 1.º
diedro. O triângulo [ABC] é a base de uma pirâmide triangular regular com 6
cm de altura e situada no 1.º diedro. Desenha as projecções da pirâmide.
V2
y≡ z
(fυ)
A2
x
C2 O2
B2
A1
B1
O1 ≡ V1
C1
Um prisma hexagonal
regular, com bases
frontais e situado no 1.º
diedro, tem o ponto O (6;
4) como o centro da
circunferência que
circunscrita o hexágono
da base com maior
afastamento do prisma.
Um lado do hexágono
mede 3 cm. Duas faces
laterais do prisma estão
contidas em planos
horizontais. O prisma
tem 5 cm de altura.
Desenha as projecções
do prisma.
B2 ≡ B’2
C2 ≡ C’2
O2 ≡ O’2
A2 ≡ A’2
F2 ≡ F’2
D2 ≡ D’2
E2 ≡ E’2
x
(hφ1)
A’1
B’1≡ F’1 O’1
(hφ)
A1
B1 ≡ F 1
C’1 ≡ E’1 D’1
O1
C1 ≡ E1 D1
Um prisma quadrangular
regular, com bases de
perfil e situado no 1.º
diedro, tem o quadrado
[ABCD] como base mais à
esquerda. A (1; 4) é o
extremo de menor
afastamento da diagonal
[AC], que é de topo e
mede 5 cm. O prisma tem
8 cm de altura. Desenha
as projecções do prisma.
fπ ≡ hπ
B2
fπ1 ≡ hπ1
B’2
A2 ≡ C2 ≡ O2
D2
A’2 ≡ C’2≡ O’2
D’2
x
A1
A’1
B1≡ D1 ≡ O1
C1
B’1 ≡ D’1≡ O’1
C’1
Um prisma quadrangular
oblíquo, situado no 1.º
diedro, tem o quadrado
[ABCD] como a base de
menor afastamento,
contido num plano frontal
φ. A (1; 1; 2) e C (-3; 1; 5)
são dois vértices opostos
do quadrado [ABCD]. O
prisma tem 5 cm de
altura. As projecções do
eixo do prisma fazem
com o eixo x, ângulos de
60º (a.e.) e 45º (a.e.),
respectivamente as
projecções horizontal e
frontal. Desenha as
projecções do prisma.
y≡ z
e2
B’2
C’2
O’2
B2
A’2
C2
D’2
O2
A2
x
D2
A1
(hφ)
O1
B1
e1
A’1
(hφ1)
O’1
B’1
D’1
C’1
D1 C1
Uma pirâmide pentagonal
oblíqua, situada no 1.º
diedro, tem o pentágono
regular [ABCDE] como
base, contido num plano
horizontal ν, com 7 cm de
cota. A circunferência
circunscrita ao
pentágono é tangente ao
Plano Frontal de
Projecção; e o seu
centro, o ponto Q, tem 4
cm de afastamento e –2
cm de abcissa. O vértice
A tem afastamento nulo
e –2 cm de abcissa, e o B
é o vértice mais à
esquerda do pentágono.
O ponto V (2; 5; 1) é o
vértice da pirâmide.
Desenha as projecções
da pirâmide.
y≡ z
(fυ)
B2 C2
Q2 ≡ A 2
D2
E2
V2
x
A1
B1
E1
Q1
V1
C1
D1
REPRESENTAÇÃO DE LINHAS E PONTOS
PERTENCENTES ÀS FACES/ARESTAS DE
POLIEDROS
Uma pirâmide quadrangular regular situada no 1.º diedro, com base num plano
horizontal ν. M é um ponto qualquer da directriz (que é o quadrado). A geratriz g
(como é qualquer geratriz) é definida pelo ponto M (ponto da directriz) e pelo
vértice V (vértice da superfície).
g2
V2
(fυ)
A2
D2
O2
B2
C2
M2
x
B1
A1
O 1 ≡ V1
g1
D1
M1
C1
Uma pirâmide quadrangular regular situada no 1.º diedro, com base num plano
horizontal ν. Para localizar um segmento de recta horizontal [RS] com2 cm de cota,
contido na face [CDV] da pirâmide, é utilizada uma recta horizontal h.
V2
S2
h2
(fυ)
R2
D2
A2
O2
B2
C2
x
B1
A1
O 1 ≡ V1
h1
D1
R1
S1 C
1
Uma pirâmide quadrangular regular situada no 1.º diedro, com base num plano
horizontal ν. A determinação de um ponto P, que pertence à superfície da pirâmide,
mas não está contido em nenhuma aresta do sólido, através de uma geratriz g,
definida pelo ponto F e o vértice.
g2
V2
P2
(fυ)
A2
D2
O2
B2
C2
F2
x
B1
A1
O 1 ≡ V1
P1
g1
D1
F1
C1
DETERMINAÇÃO DOS TRAÇOS DE PLANOS QUE
CONTÉM FACES DE POLIEDROS
Uma pirâmide quadrangular regular situada no 1.º diedro, com base num plano
horizontal ν. Para determinar os traços do plano que contém a face [BCV] da
pirâmide, é necessário desenhar as projecções de duas rectas do plano, que neste
caso serão as rectas horizontais h (a recta que contém o segmento de recta [BC]) e
h’ (uma recta paralela a h e passando por V).
fα
h’2
V2
F’2
(fυ) ≡ h2
A2
D2
O2
F2
F’1
x
B2 C2
F1
B1
A1
O1≡ V1
C1
D1
h’1
h1
hα
Uma pirâmide triangular
regular com 6 cm de altura é
situada no 1.º diedro. Os
pontos, A (3; 4; 7) e B (-1; 6;
7) são dois vértices de um
triângulo equilátero [ABC]
que é a base da pirâmide,
contido num plano horizontal
ν. O vértice C é o vértice de
menor afastamento da base.
O vértice da pirâmide é
invisível em projecção
horizontal. Desenha as
projecções de um segmento
de recta horizontal [RS],
contido na face [ABV] da
pirâmide, com 4 cm de cota,
com R situado na aresta [AV]
e S na aresta [BV]. Desenha
as projecções de um ponto T,
com 4 cm de cota e 4,5 cm de
afastamento, pertencente à
superfície da pirâmide e
contido na face [ABV].
Analisa a visibilidade do ponto
T em ambas as projecções.
y≡ z
(fυ)
O2
C2 B2
T2
S2
A2
R2
h2
V2
x
C1
A1
R1
O1 ≡ V1
T1
S1
B1
h1
Tal como o
segmento de
recta [RS], o
ponto T está
visível na
projecção
frontal mas
invisível na
projecção
horizontal,
Uma pirâmide triangular
regular com 6 cm de altura
é situada no 1.º diedro. Os
pontos, A (3; 4; 7) e B (-1;
6; 7) são dois vértices de
um triângulo equilátero
[ABC] que é a base da
pirâmide, contido num
plano horizontal ν. O
vértice C é o vértice de
menor afastamento da
base. O vértice da
pirâmide é invisível em
projecção horizontal.
Determina os traços do
plano que contém a face
[ABV] da pirâmide.
y≡ z
fα
F2
(fυ) ≡ h2
C2 B2
O2
A2
F’2
h’2
V2
x
F1
F’1
C1
A1
O1 ≡ V1
hα
h’1
B1
h1