ESTIMATIVA DO COEFICIENTE DE DIFUSÃO E DA ISOTERMA
DE ADSORÇÃO EM PROCESSO DE SEPARAÇÃO DE
PROTEÍNAS
João Flávio Vieira de Vasconcellos - [email protected]
LEMA- Laboratório de Experimentação e Simulação Numérica em Transferência de Calor e Massa
Departamento de Engenharia Mecânica e Energia
Instituto Politécnico, IPRJ, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, UERJ
CP 97282, 28.601-970, Nova Friburgo, RJ, Brasil
Antônio J. Silva Neto - [email protected] e [email protected]
LEMA- Laboratório de Experimentação e Simulação Numérica em Transferência de Calor e Massa
Departamento de Engenharia Mecânica e Energia
Instituto Politécnico, IPRJ, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, UERJ
CP 97282, 28.601-970, Nova Friburgo, RJ, Brasil
Programa de Engenharia Nuclear – COPPE
Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ
CP 68509, 21.945-970, Rio de Janeiro, RJ, Brasil
César Costapinto Santana [email protected]
Faculdade de Engenharia Química - Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP
CP 6.066, CEP 13.081-970, Campinas, SP, Brasil
Resumo. A cromatografia envolve o movimento de macromoléculas de uma solução líquida para regiões localizadas
no interior de adsorventes. Os mecanismos de transferência de massa que controlam este movimento são a difusão
externa, a difusão nos poros e a capacidade que possui um adsorvente de adsorver um determinado adsorvato. Neste
trabalho são estimados o coeficiente de transferência de massa por difusão e a efetiva difusividade da proteína na
partícula utilizando-se uma formulação implícita baseada no método de minimização de Levenberg-Marquardt. O
problema analisado neste trabalho é o da cromatografia em banho agitado. Na solução implícita utilizada, o
problema direto é resolvido diversas vezes para a obtenção da solução do problema inverso. O problema direto foi
resolvido utilizando-se o método de volumes finitos e foi validado com dados experimentais de concentração da
albumina do soro bovino em uma resina de troca iônica conhecida como Accell Plus QMA
Palavras-chave: Cromatografia, Problema Inverso, Método dos Volumes Finitos,
Transferência de Massa
1. Introdução
A adsorção de proteínas tem sido utilizada na análise e na purificação de biomoléculas pela indústria
de fármacos e de biotecnologia. Este processo se realiza através do movimento de macromoléculas de
uma solução líquida para o interior dos poros de um adsorvente previamente selecionado. A velocidade
do processo é governada pela difusão externa, pela difusão nos poros e pela capacidade que possui um
adsorvente de adsorver um determinado adsorvato (Silva et al., 1999). Conhecer a mecânica deste
processo é um passo imprescindível para o desenvolvimento de equipamentos de adsorção em escala
industrial.
Os grupos ionizáveis dos aminoácidos que compõem as proteínas, conferem a estas uma natureza
poliônica responsável pelas interações eletrostáticas sobre as resinas adsorventes apropriadas. As
moléculas de proteína se ligam ao adsorvente ao deslocarem os contra-íons que se situam nos poros das
resinas. Como conseqüência deste fenômeno, na região de adsorção a resina se torna eletricamente neutra.
Este mecanismo de adsorção recebe o nome de troca de íons e possui grande importância na separação de
proteínas (Quadri et al., 1998).
O objetivo deste trabalho é o de estimar o coeficiente de transferência de massa e o coeficiente de
difusividade efetiva, com base em dados experimentais obtidos por Silva et al. (1999) e na solução
numérica do conjunto de equações diferenciais que governa o problema. Este conjunto de equações é
discretizado utilizando-se o método de volumes finitos. A determinação dos coeficientes supracitados é
feita através da aplicação do método de Levenberg-Marquardt.
As equações diferenciais que governam o processo de troca iônica podem ser aplicadas para um
número sem fim de combinações adsorvente/adsorvato. Neste trabalho será tratada especificamente a
combinação de BSA e Accell Plus QMA, ou seja, albumina do soro bovino, do inglês Bovine Serum
Albumin, em uma resina de troca iônica conhecida como Accell Plus QMA. BSA é uma proteína que
ocorre na natureza (leite e sangue de animais), sendo muito utilizada como proteína modelo em vários
estudos, pois a sua estrutura bioquímica e suas propriedades são amplamente conhecidas.
2. Apresentação do Problema
A Fig. 1 mostra uma representação esquemática do experimento que foi realizado por Silva et al.
(1999). O experimento consiste na utilização de um banho agitado garantindo que a mistura adsorvatoadsorvente seja homogênea e isotérmica. No experimento uma solução, com uma determinada
concentração inicial de adsorvato, previamente estipulada, circula através do sistema de monitoramento
para se obter a variação da concentração nesta solução com o tempo.
No experimento realizado por Silva et al. (1999) utilizou-se a resina Accell Plus QMA cuja massa
específica é 1,16 g/cm3, um diâmetro médio de partícula de 46 µm e uma porosidade média do leito de
0,60 .
Figura 1 - Representação do esquema experimental da adsorção em um banho agitado
3. Formulação Matemática do Problema Direto
Neste trabalho são utilizadas duas equações diferenciais para modelar o transporte das partículas de
proteína do líquido para a resina. Estas equações são baseadas em algumas hipóteses simplificadoras
(Horstmann e Chase, 1989):
As partículas dos adsorventes são esféricas, com raio R, e uniformes;
O adsorvente é construído de material poroso, no qual o soluto irá se difundir. O
coeficiente de difusividade , Def , é independente da concentração de proteína;
O transporte de massa na superfície do adsorvente é governado por um modelo de
filme que é caracterizado pelo coeficiente de transferência de massa, ks; e
A adsorção é isotérmica e, no equilíbrio, pode ser descrita utilizando-se a equação
de Langmuir.
A primeira equação apresenta o comportamento da concentração de proteína na fase líquida:
∂Cb
3 1 − εb
=−
k s ( Cb − Ci
∂t
R εb
r =R
)
(1)
onde Cb é a concentração de proteínas no líquido, ε b é a porosidade do leito de partículas. Observe que
pela característica do problema analisado, esta concentração é função exclusiva do tempo e não da
posição. Esta equação está sujeita à seguinte condição inicial
Cb = C0 em t = 0
(2)
A segunda equação descreve o comportamento da concentração de proteína na resina. Diferentemente do
que ocorreu na equação anterior, a concentração de proteína no interior da matriz porosa varia com o
tempo e com a posição.
∂Ci Ψ ∂  2 ∂Ci 
= 2
r
∂t
r ∂r  ∂r 
(3)
onde
Ψ=
1+
Def
ρ qm k d
ε p ( kd + Ci )
(4)
2
e ρ é a massa específica da resina, εp é a porosidade da resina e qm e kd são as constantes do modelo de
Langmuir apresentado a seguir.
q=
qm Ci
k d + Ci
(5)
A Eq. (3) está sujeita às seguintes condições de contorno
∂Ci
= 0 em r = 0
∂r
ε p Def
∂Ci
= k s ( Cb − Ci ) em r = R
∂r
(6)
(7)
e à seguinte condição inicial
Ci = 0 em t = 0
(8)
Conforme pode ser visto nas Eqs. (1-2) e Eqs. (3-7), existe um acoplamento entre as concentrações de
proteína nos dois meios. A concentração na fase líquida depende da concentração na fase sólida e viceversa. Matematicamente este acoplamento entre as Eqs. (1) e (3) está expresso pela Eq. (7). A forma
como o acoplamento aparece nas equações diferenciais, via condição de contorno, é um fator de
dificuldade na elaboração do método numérico que irá resolver estas equações. Detalhes sobre a obtenção
destas equações podem ser encontrados em Blanch e Clark (1997) ou em Ma et al. (1996), entre outros.
4. Solução Numérica do Problema Direto
Existem várias maneiras de se resolver numericamente as equações diferenciais (1) e (3). Numa
revisão da literatura, o método de diferenças finitas foi o mais utilizado na solução destas equações. Entre
os autores que utilizaram este método de discretização das equações diferenciais, citamos Horstmann e
Chase (1989) e Conder e Hayek (2000).
Utilizando-se de transformadas de Laplace, Membrez et al. (1996) obtiveram a solução exata das
equações (1) e (3) no plano transformado. Através da aplicação de um ajuste de curvas, as constantes do
modelo eram facilmente obtidas. Os resultados apresentados neste trabalho eram bastante satisfatórios.
Até onde estes autores puderam determinar, o único trabalho que utilizou o método de volumes
finitos é aquele apresentado por Quadri et al. (1998), onde os autores investigaram a dinâmica de uma
coluna de adsorção cujas equações são similares àquelas analisadas no presente trabalho.
No presente trabalho é utilizado o método de volumes finitos (Patankar, 1980) na discretização da Eq.
(3). Uma partícula típica, que é representada por uma esfera de raio R, foi discretizada em regiões com
iguais espessuras ∆r. A Fig. 2 apresenta o esquema de um volume utilizado na discretização da Eq. (3).
A equação, na forma discretizada, para um volume típico interno é a seguinte:
AP CiP = AE CiE + AW CiW + S P
(9)
onde
AE = Ψ P
re2
r2
r 3 − rw3
r 3 − rw3 o
, AW = Ψ P w , AP = e
+ AE + AW , S P = e
Cip
3∆t
3∆t
∆r
∆r
(10)
O índice “o” que aparece na equação de S P indica que a variável CiP utilizada é a do intervalo de
tempo anterior. O valor de Ψ P é definido da seguinte forma
ΨP =
1+
Def
ρ qm kd
ε p ( kd + CiP )
(11)
2
Figura 2 - Volume finito típico utilizado no mapeamento das esferas da matriz porosa
Para o primeiro volume, o da região mais central da partícula, os coeficientes da Eq. (9) ficam da
seguinte forma
AW = 0 , AE = Ψ P
re2
r3
r3
, AP = e + AE , S P = e Cipo
3∆t
3∆t
∆r
(12)
Há uma dificuldade na determinação da equação discretizada para o volume mais externo. Como a
variável Ci está armazenada no centro do volume, de alguma maneira é preciso determinar tanto o valor
de Ci na fronteira, para utilizá-lo na Eq. (1), como o da sua derivada, para utilizar na Eq. (7). O valor de
Ci na fronteira foi obtido utilizando-se série de Taylor, um ponto interno da matriz porosa e a
concentração na fase líquida, Cb . Esta equação satisfaz a condição de contorno imposta pela Eq. (7).
Ci ( r = R, t ) =
9Ci [ nr ] − Ci [ nr − 1] + 3
∆r k s
ε p Def
Cb
(13)
∆r k s
8+3
ε p Def
onde Ci [ nr ] e Ci [ nr − 1] são, respectivamente, o último e o penúltimo pontos calculados dentro da
matriz porosa. Utilizando-se de uma sugestão do trabalho de Conder e Hayek (2000), determinou-se a
derivada de Ci na fronteira.
∆Ci
∆r
=
C f − Ci [ nr ]
(14)
∆r
r=R
onde
C f = Ci [ nr ] +
∆r k s
ε p Def
(C
b
− Ci [ nr ])
(15)
Com a determinação do valor de Ci e de sua derivada na fronteira, a equação do volume finito pode
ser montada para este último volume. Assim, os coeficientes da Eq. (9), para este último volume, ficam
AE = 0 , AW = Ψ P
rw2
R 3 − rw3
R 3 − rw3 o
∆Ci
Cip + Ψ P
, AP =
+ Aw , S P =
3∆t
∆r
∆r
3∆t
(16)
r=R
A Eq. (9) para cada um dos volumes é um sistema de equações linearizadas. Para obter-se os valores
de C i para cada um dos volumes é necessário resolver este conjunto de equações. Neste presente trabalho
utilizou-se a biblioteca PETSC (Balay et al., 1996) para realizar esta tarefa, utilizando-se o GMRES
(Saad e Schultz, 1986) como precondicionador dos sistemas lineares.
Note-se que os coeficientes das equações que irá determinar o valor de C i depende do próprio valor
de C i . Para resolver este problema, associado à não-linearidade da equação diferencial, um processo
iterativo precisa ser realizado para determinar C i em cada instante de tempo.
A equação que governa o transporte de massa na fase líquida é discretizada utilizando-se uma
conhecida equação de diferenças finitas (Huang et al., 1997)
f t +∆t − f t 1  ∂f ∆t ∂ 2 f 
=  −

∆t
2  ∂t 6 ∂t 2 
t +∆t
1  ∂f ∆t ∂ 2 f 
+  +

2  ∂t 6 ∂t 2 
t
(17)
Assumindo-se que
∂Cb ∂Ci
≅
∂t
∂t
(18)
r =R
pode-se chegar à equação de atualização de
Cb = Cbo +
∆t 1 − ε b 3
  ∆C
Def ε p   i
∆r
2 εb R
 
  ∆Ci
+
r=R 
 ∆r


r =R 
o



(19)
Note-se que na Eq (19), uma das derivadas é avaliada no tempo anterior, mas a outra não o é. Por isto
há a necessidade de se realizar um processo iterativo para a determinação correta desta derivada, através
das Eqs. (14) e (15), no intervalo de tempo desejado. O processo iterativo utilizado foi o seguinte:
1]
Inicializar Cb e Ci ;
2]
Calcular C f e
3]
Calcular C f e
∆Ci
∆r
r=R
∆Ci
∆r
r=R
, Eqs. (15) e (14), utilizando os valores iniciais de Cb e Ci ;
, Eqs. (15) e (14), utilizando os valores atualizados de Cb e Ci ;
4] Calcular Cb , Eq. (19);
5] Resolver o sistema linear de equações, Eq. (9), e obter Ci ;
6] Voltar ao item 3 até que a variação de Cb entre duas iterações seja menor que uma tolerância
preestabelecida;
7] Fazer o avanço no tempo e voltar ao passo 2 até que o tempo seja maior do que um tempo
máximo especificado.
5. Formulação Matemática do Problema Inverso
Neste trabalho é considerado o problema inverso de estimativa do vetor de incógnitas
r
T
Z = { Def , qm }
(20)
usando os valores de concentração no líquido obtidos por Silva et al. (1999). A escolha por estas duas
variáveis está associada à análise de sensibilidade realizada.
Beck (1988) classifica os problemas inversos em dois grupos: (i) estimativa de parâmetros; e (ii)
estimativa de funções. O problema inverso aqui considerado consiste, portanto, em uma estimativa de
parâmetros. Conforme apresentado na Tabela 1, Silva Neto e Moura Neto (1999) propuseram uma
classificação que leva em consideração a dimensão dos objetos matemáticos envolvidos. Neste caso o
problema sob análise é um problema inverso do Tipo II, uma vez que o modelo é dado por um sistema de
equações diferenciais parciais e as grandezas a serem determinadas são de dimensão finita.
Tabela 1 – Classificação de Problemas Inversos
Dimensão da grandeza a ser estimada
Dimensão do Modelo
Finita (constante)
Infinita (função)
Tipo I
Tipo II
não se aplica
Tipo III
1
Finita
2
Infinita
1
Por exemplo: sistema de equações algébricas.
2
Por exemplo: equação diferencial parcial ou equação integro-diferencial.
Devido ao provável excesso de dados experimentais com relação ao número de incógnitas, o
problema inverso aqui tratado é resolvido como um problema de otimização de dimensão finita, onde é
minimizado o funcional dado pela soma dos resíduos quadrados,
L
L
r
r r
2
2
Q( Z ) = ∑ Ccalc ( ti ) − Cmed ( ti )  ou Q = ∑ ( Ci − Yi ) = F T F
i =1
(21)
i =1
onde L é o número de medidas experimentais efetuadas por cada sensor e Ci e Yi representam em uma
notação compacta, respectivamente, a concentração na fase líquida calculada e a concentração na fase
líquida medida no mesmo instante de tempo, com i = 1, 2, ..., L , e deve-se observar que Fi = Ci – Yi.
6. Solução do Problema Inverso - Método de Levenberg-Marquardt
O método de Levenberg-Marquardt (Marquardt, 1963) é semelhante ao uso do funcional de Tikhonov
com o termo de regularização quadrático (Silva Neto e Moura Neto, 1999), ou seja, a partir da Eq. (21) se
escreve
r
r r
r
Q( Z ) = F T F + α Z
2
(22)
onde α é o parâmetro de regularização.
r
O ponto de mínimo satisfaz a equação de ponto crítico, i.e., ∂Q ∂Z = 0 . Para resolver este sistema de
equações é feita uma expansão de Taylor levando então a uma formulação equivalente àquela obtida com
o método de Levenberg-Marquardt (Silva Neto e Carvalho, 1999)
(J
T
r
r
J + α I ) ∆Z = − J T F
onde I é a matriz identidade, J é a matriz Jacobiana com os elementos
∂C p
, com p=1,2,..., L e S=1, 2, ... N
J ps =
∂Z s
(23)
(24)
r
e ∆Z é a correção do vetor de incógnitas, sendo N o número total de incógnitas. No problema inverso
considerado neste trabalho tem-se N = 2.
A Eq. (23) é escrita na forma a ser usada em um procedimento iterativo,
r
T
T r
∆Z n = −( J n J n + α n I) −1 J n F n
(25)
onde n representa o contador de iterações, e uma nova estimativa para o vetor de incógnitas é calculada
usando
r
r
r
Z n +1 = Z n + ∆Z n , com n=0, 1, 2, ...
(26)
r
com Z 0 sendo a estimativa inicial.
O procedimento iterativo descrito pelas Eqs. (25) e (26) é interrompido quando um critério de
convergência definido a priori é satisfeito, como por exemplo
∆Z sn Z sn < δ , com s= 1, 2,
(27)
onde δ é um número relativamente pequeno preestabelecido, e. g. 10–5.
7. Análise de Sensibilidade dos Coeficientes
A estimativa dos parâmetros como mencionada anteriormente não pode ser feita para qualquer
combinação de parâmetros. Aqueles parâmetros cuja variação impliquem em uma pequena variação da
concentração não poderão ser estimados. Em outras palavras, somente aqueles coeficientes que não
possuírem baixa sensibilidade é que poderão ser estimados. Além do mais, para que seja possível
determinar um coeficiente, no intervalo de tempo que se deseja realizar a estimativa, sua curva de
sensibilidade não poderá ser linearmente dependente a de nenhum outro parâmetro (Beck et al., 1985)
O coeficiente de sensibilidade (modificado) relativo a uma incógnita β s qualquer é obtido
utilizando-se a equação abaixo
X s (t ) =
∂Cb ( t )
∂β s
β s , s= 1, 2, ..., Np
(28)
onde Np é o número de parâmetros. A derivada na Eq. (28) pode ser calculada pela seguinte aproximação
numérica
∂Cb ( t )
∂β s
=
Cb ( β1 , β 2 ,L , β s + ∆β s ,L , β Np ) − Cb ( β1 , β 2 ,L , β s − ∆β s ,L , β Np )
2∆β s
, s= 1, 2, ..., Np
(29)
8. Resultados
Os primeiros resultados apresentados na Fig. 3 são da comparação entre a solução numérica do
problema direto com os dados experimentais obtidos por Silva et al. (1999). Os resultados apresentados
por esta figura indicam uma boa concordância entre os dados experimentais e o modelo direto.
A Fig. 4 apresenta a curva de sensibilidade para o caso de C0=2,0 mg/ml. Observe-se que segundo
esta figura, somente poderão ser estimados, utilizando-se a metodologia de problemas inversos
apresentadas aqui, os coeficientes Def , qm e ε p . Como Def e ε p são linearmente dependentes e ε p pode
ser obtido de outras maneiras mais precisas, e os dois outros valores não, optou-se por escolher estes dois
primeiros coeficientes para a realização da estimativa.
Outra informação importante que a Fig. 4 traz diz respeito ao planejamento do experimento e à
simulação numérica do problema direto. Da Fig. 4 pode-se prever que somente os dados obtidos num
tempo inferior a 11 minutos é que poderão ser utilizados para a determinação dos coeficientes. Desta
forma, tanto o experimento quanto a simulação numérica do problema direto não precisarão ser realizados
para tempos superiores a este. Este comportamento se repetiu para todos os outros valores de
concentração iniciais analisados.
1.2
Dados Experimentais
Presente Trabalho
1.0
0.8
C0 = 4,0 mg / ml
Cb / C0
0.6
C0 = 3,0 mg / ml
0.4
0.2
C0 = 2,0 mg / ml
0.0
-0.2
C0 = 1,5 mg / ml
0
50
100
150
200
Tempo [min]
Figura 3 - Comparação entre o resultado da simulação numérica e dados obtidos experimentalmente
Os resultados numéricos foram gerados utilizando-se os seguintes dados de entrada kd = 0, 0051
mg/ml , ε p = 0, 6 , ε b = 0,992 . Na Tabela 2 são apresentados os valores do coeficiente de transferência de
massa, ks para os diversos valores de concentração inicial utilizados neste artigo.
Sensibilidade dos coeficientes
para C0=2.0 [mg/ml]
0.05
Kd and Ks
0.00
Sensibilidade
-0.05
-0.10
-0.15
εp and Deff
-0.20
-0.25
-0.30
-0.35
qm
-0.40
-0.45
0
2
4
6
8
10
Tempo [min]
Figura 4 - Curva de sensibilidade dos coeficientes para C0 = 2,0 mg/ml
Em todos os resultados apresentados neste trabalho, o número de volumes finitos utilizados na
discretização da esfera representativa da matriz porosa, nr, foi igual a 30 e o passo de tempo de 1 s.
Na Tabela 3 são apresentados os resultados da estimativa da difusividade efetiva, Def , e de uma das
constantes do modelo de Langmuir, qm , para diversos valores de concentração inicial. Os valores da
difusividade efetiva apresentados neste artigo são bastante próximos aos apresentados por Silva et al.
(1999). Uma análise mais completa deste problema pode ser encontrada em Vasconcellos et al. (2001).
Tabela 2 –Valores de k s para as diversas concentrações iniciais utilizadas (Silva et al., 1999)
Concentração Inicial
[mg/ml]
k s x 10 [cm/s]
1,50
2,00
3,00
4,00
20,17
6,88
4,05
0,58
2
Tabela 3 – Resultados obtidos com o problema inverso
Coeficiente do
Concentração Inicial Difusividade Efetiva
Modelo de Langmuir [mg/ml]
[cm2/s]
qm [mg/g]
1.0
2.0
3.0
4.0
1,823E-06
6,570E-07
7,760E-07
2,160E-07
271,27
284,53
273,24
270,50
9. Conclusões
Neste trabalho foi apresentada uma metodologia para a determinação do coeficiente de transferência
de massa e do coeficiente de difusividade efetiva empregando o método de Levenberg-Marquardt para
estimativa de parâmetros. A solução do problema direto foi obtida através do uso do método de volumes
finitos.
O método de volumes finitos para a solução do problema direto mostrou-se bastante satisfatório. Para
os resultados apresentados neste artigo a concordância foi muito boa.
O método de Levenberg-Marquardt para estimativa de parâmetros para este problema específico
funcionou de forma adequada e, principalmente, mostrando ser um instrumento bastante eficiente para a
análise de outros parâmetros destas mesmas equações ou de problemas similares ao apresentado neste
trabalho.
A análise de sensibilidade mostrou ser uma ferramenta bastante interessante para o planejamento do
próprio método de Levenberg-Marquardt. Com uma análise de sensibilidade prévia do problema, muito
trabalho computacional desnecessário pode ser evitado.
Através do uso dos métodos direto e inverso, confirmou-se a conclusão de Silva et al. (1999) de que
a difusividade efetiva varia com a concentração inicial. Também foi observada alguma dependência do
coeficiente da isoterma de adsorção com o valor da concentração. Esta é uma informação relevante para
o projeto de equipamentos de adsorção em larga escala.
10. Agradecimentos
Os autores agradecem ao CNPq, FAPERJ e FAPESP pelo apoio financeiro que permitiu a realização
desta pesquisa.
11. Referências
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ion-exchange and hydrophobic interaction chromatography matrices in a stirred cell”, Biochemical
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Horstman, B. J. e Chase, H. A., 1989, “Modelling the affinity adsorption of immunoglobulin G to protein
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Mecânica, Águas de Lindóia, São Paulo.
Silva Neto, A. J. e Moura Neto, F. D, 1999, “Escolha de Modelos – Problemas Inversos em Engenharia,
Notas de Aula do Minicurso Técnico MC05”, XXII Congresso Nacional de Matemática Aplicada e
Computacional, Santos.
Vasconcellos, J. F. V., Silva Neto, A. J. e Santana, C. C., 2001, “An Inverse Mass Transfer in
Chromatography Systems”, submetido para publicação.
Diffusion Coefficient and Adsorption Isotherm Estimation in a
Protein Separation Process
Abstract. Chromatography systems involves the movement of macromolecules from a liquid solution to the active
sites located in the interior of the pores of the adsorbent; therefore mass transfer mechanisms controls it. These
mechanisms consist of external diffusion, the effective diffusion in the pores and the velocity of the adsorption on the
active site of the adsorbent. In this work is estimated the mass transfer coefficients and the coefficients of the
adsorption isotherm using an implicit formulation with the cost functional of the square residues, between calculated
and measured concentrations, being minimized with the Levenberg-Marquardt method. One configuration was
considered: the transient concentration experimental data is obtained in a stirred-bath system. In the implicit
formulation considered here, the direct problem is solved several times in the iterative procedure used for the
solution of the inverse problem. The solutions of the direct problems were obtained using the finite volume method,
and were validated with real experimental data of the concentration for the protein Bovine Serum Albumin (BSA) on
Accell Plus QMA® macroporous adsorbent resin using Tris-HCL buffer solution.
Keywords: Chromatography, Inverse Problem, Finite Volume Method, Mass Transfer