Curso de Álgebra Linear
Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis
Resumo Teórico 11 - Valores e Vetores Próprios
VALORES E VETORES PRÓPRIOS
Seja um espaço Vetorial V, cujos vetores são definidos por segmentos orientados.
Considerando um Operador Linear T: V→V, geralmente, um vetor u ∈ V e sua imagem T(u), não
tem a mesma direção, isto é não são Linearmente Dependentes. Entretanto freqüentemente
existem vetores em V, para os quais T(u)= λ u (com λ∈IR), isto é os vetores u e T(u) tem a
mesma direção (são LD). Neste caso o efeito do Operador T: V→V sobre o vetor u é apenas a
variação de módulo e/ou a inversão do sentido.
Tais vetores que gozam deste “privilégio”, são considerados importantes e , as vezes, é
p[possível formar uma base vetorial com eles, base esta também considerada importante
(“privilegiada”).
Valor e Vetor Próprio:
Dado um espaço Vetorial V (sobre IR ou sobre ℭ ), considerando o Operador Linear T: V→V, um
vetor λ (u≠0) será definido como um Vetor Próprio, se existir um escalar λ (de IR ou ℭ), tal
que T(u)= λ u. Neste caso o escalar λ é definido como Valor Próprio do Operador T associado
ao vetor u.
Notas e considerações:
i.
As expressões “Vetor Próprio” , “Auto-vetor” e “Vetor Característico” , são sinônimos, assim
como “Valor Próprio” , “Auto-valor” e “Valor Característico” também o são.
ii.
O escalar λ é univocamente determinado pelo operador T e o vetor u pois,
T(u) = λ u = λ’ u ⇒ (λ - λ’) u = 0 ⇒ λ = λ’
Se fixarmos o valor de λ , o conjunto { u ∈ V / T(u) = λ u} é um Subespaço Vetorial de V,
pois T(u) = λ u ⇔ (T-λI)(u) =0 ⇔ u ∈ Ker(T-λI), o que significa que este subconjunto
que agora definimos coincide com o Núcleo (Ker(T-λI). que é sabidamente um Subespaço
Vetorial de V. ( lembramos que I é o Operador Idêntico de V).
iii.
O sub-espaço identificado no item anterior(ii) é definido como “Sub-espaço Próprio” de λ e
será notado por V(λ).
Polinômio Característico de uma Matriz
Considerando uma matriz M=(aij) de ordem n, definimos como “Polinômio Característico” da
Matriz M, segundo o número real λ, ao polinômio de grau n obtido por:
a11 −λ
a12
a13
------a1n
a22−λ
a23
a21
------- a2n
a32
a33−λ ----- a3n
a31
-------------------------------------= det (M − λIn)
Pλ(M) = det
--------------------------------------------------------------------------an2
an3 ------ ann−λ
an1
Onde : In= Matriz identidade do ordem n.
Observamos que Matrizes semelhantes tem o mesmo polinômio característico.
Polinômio Característico de um Operador Linear
Considerando um Espaço Vetorial V de dimensão n e T: V→V, um Operador Linear. Definimos
“Polinômio Característico” de T, o polinômio característico da Matriz de T, segundo o número
real λ, em relação a qualquer base de V. Notamos por PT(λ).
Observamos que esta definição é válida pelo fato das matrizes do mesmo Operador Linear serem,
necessariamente, matrizes semelhantes.
Proposição:
I.
Dado um Operador Linear T, de um Espaço Vetorial V de dimensão n, sobre IR, os
Valores Próprios de T, são as raízes do polinômio Característico PT(λ) em V.
Exemplificando:
0 1
2
2
a) Se T: IR →IR tal que T(x,y)=(y,x). A matriz T na base canônica é
1 0
0
−
λ
1
Logo PT(λ)= det
−
λ
1
= λ2
= det
1
0
−
λ
1
−
−
1, cujas raízes são λ=1 e λ =− 1
λ
0
-1
1
0
b) Se T: IR2→IR2 tal que T(1,0)=(0,1) e T(0,1)=(-1,0). A matriz é
0
−
λ
-1
Logo PT(λ)= det
λ -1
= λ2
= det
1
II.
−
0
−λ
1
+
1, cujas raízes não existem.
−λ
Uma vez conhecidos os Valores Próprios de um Operador T, podemos obter os Vetores
Próprios, associados a cada Valor Próprio da seguinte maneira:
Se λ é um Valor Próprio, isto é raiz do polinômio característico PT(λ), os Vetores
associados a λ são os vetores não nulos do Núcleo de (T −λI).
Exemplificando: O operador T: IR2→IR2 tal que T(x,y)=(y,x), tem como valores próprios λ=1 e
λ =− 1. Os vetores associados ao valor próprio 1, são os que satisfazem (x,y)≠(0,0) e (T −λI)(x,y)
= (0,0), com λ=1, isto é (T −I)(x,y)=(0,0) ou ainda T(x,y)=(x,y) ou (y,x)=(x,y), donde x=y e os
vetores associados a λ=1 são da forma (x,x) = x(1,1), ∀ x∈IR*. Analogamente para λ =− 1, os
vetores próprios associados são múltiplos de (1,-1), dados por x(1,-1), ∀ x∈IR*.
Exemplos:
a) Seja T: IR2→IR2 tal que T(x,y)=(y,x). A Aplicação T(x,y) é a reflexão dos vetores em torno da
diagonal D (1o e 3o Quadrante do plano Cartesiano). assim se o vetor está no eixo x, sua
imagem está no eixo y. Portanto não há vetores próprios no eixo x. Entretanto se (x,y) estiver
na diagonal D, teremos T(x,y)=(y,x) e assim todo vetor da diagonal D é um vetor próprio de
valor próprio igual a 1 (λ =1). Analogamente se o vetor está na diagonal D’ (2o e 4o
Quadrante do plano Cartesiano) sua imagem está na diagonal D’ (1o e 3o Quadrante do plano
Cartesiano) e é exatamente seu vetor oposto, assim os vetores que estiverem na diagonal D’
são vetores próprios de valor próprio igual a -1 (λ = -1).
Concluímos então que V(1) = D e que V(-1) = D’.
Ilustração:
y
(y,x)
D’
D
-(x,y)
(x,y)
x
(x,y)
D
D’
b) Seja T: IR2→IR2 tal que T(1,0)=(0,1) e T(0,1)=(-1,0).
Então a Aplicação T(x,y) = x T(1,0)+ y T(0,1)= x (0,1) + y (-1,0) = (-y,x) é uma Rotação de
90o . Neste caso é impossível que T(x,y) = λ (x,y) com (x,y)≠(0,0), pois o ângulo entre (x,y)
e T(x,y) é de 90o.
Logo A aplicação T(x,y) definida não admite vetores próprios, Vλ = 0,∀ λ∈IR
Ilustração:
y
T(x,y)
(x,y)
x
c) Seja V um espaço Vetorial e T=Hλ = Homotetia de razão λ.
Assim T(u) = Hλ(u)= λ u, ,∀ u∈V e todo vetor é vetor próprio com valor próprio λ.
Neste caso V(λ) = V.
Centro Universitário da FSA
Prof.: Anastassios H.K.