Transformada de Laplace II-10
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Transformada de Laplace II-10
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Exemplos de uso em alguns sistemas físicos:
Circuito RC | Impedância | Amplificador operacional |
No circuito RC conforme Figura 01, a relação entre as tensões da fonte
v1, do resistor vR e do capacitor vC é dada pela lei das tensões de
Kirchhoff:
v1(t) = vR(t) + vC(t)
#A.1#
Das relações básicas da eletricidade:
vR(t) = R i(t)
#A.2#
#A.3#
Fig 01
Substituindo em #A.2# em #A.1#,
v1(t) = R i(t) + vC(t)
#A.4#
Aplicando a transformada de Laplace,
V1(s) = R I(s) + VC(s)
#A.5#
Aplicando a transformada de Laplace em #A.3#,
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#A.6#
Combinando #A.5# e #A.6#, com a eliminação de I(s), obtém-se a
relação entre as tensões do capacitor e da fonte:
#A.7#
O circuito da Figura 02 é o mesmo anterior, com a substituição da fonte
de tensão genérica pela bateria B e uma chave SW.
Considerando a tensão da bateria unitária, pode-se dizer que a tensão v1
(t) é a função degrau unitário u(t).
Fig 02
Portanto,
#A.8#
Substituindo em #A.7#,
#A.9#
Usando o método das frações parciais já visto em página anterior,
#A.10#
Calculando os coeficientes,
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#A.11#
Fig 03
Determinando a transformada inversa,
#A.12#
Gráfico conforme Figura 03.
Considera-se agora, conforme Figura 04 (a), um elemento genérico de
circuito, pelo qual circula uma corrente i(t), que produz uma diferença de
potencial v(t) entre seus terminais.
Fig 04
A parte (b) da figura é a aplicação da transformada de Laplace para as
variáveis anteriores. A impedância desse elemento é definida como:
#B.1#
Para um resistor de resistência R, segundo a lei de Ohm, v(t) = R
i(t). Portanto, V(s) = R I(s) e a impedância é:
ZR(s) = R
#B.2#
Para um capacitor de capacitância C, segundo a relação anterior
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#A.6#,
#B.3#
Para um indutor de indutância L, segundo relação do
eletromagnetismo, v(t) = L di(t)/dt. Portanto, V(s) = Ls I(s)
e a impedância é:
ZL(s) = Ls
#B.4#
Associações de impedâncias comportam-se como associações de
resistências.
Fig 05
No exemplo da Figura 05, a impedância entre os pontos a e b é dada
por:
#C.1#
Substituindo,
#C.2#
No exemplo com amplificador operacional da Figura 06, o circuito
funciona como integrador segundo fórmula deduzida na página
Amplificadores operacionais I-20:
#D.1#
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Fig 06
Aplicando a transformada de Laplace,
#D.2#
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