Departamento de Matemática - IME - USP
Álgebra I para Computação - MAT138
GABARITO DA QUARTA PROVINHA
Questão 1 Em Z21 determine:
a) Os menores representantes positivos de −15 e −7.
b) Todos os divisores do zero.
c) Todos os elementos invertíveis e os seus respectivos inversos.
Solução: (a):
Escrevendo −15 = −21 + 6 e −7 = −21 + 14 vemos que −15 = 6 e −7 = 14 implicando que o menor
representante positivo de −15 e de −7 é, respectivamente, 6 e 14.
(b):
Sabemos que a ∈ Z21 é divisor do zero se, e somente se, mdc(a, 21) 6= 1. Assim, são eles:
3, 6, 7, 9, 12, 14, 15, 18.
(c):
Temos que a ∈ Z21 é invertíveis se, e somente se, mdc(a, 21) = 1: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 13, 16, 17, 19 e
20. Os respectivos inversos são:
1 · 1 = 1 ⇒ (1)−1 = 1
2 · 11 = 22 = 1 ⇒ (2)−1 = 11 e (11)−1 = 2
4 · 16 = 64 = 1 ⇒ (4)−1 = 16 e (16)−1 = 4
5 · 17 = 85 = 1 ⇒ (5)−1 = 17 e (17)−1 = 5
8 · 8 = 64 = 1 ⇒ (8)−1 = 8
10 · 19 = 190 = 1 ⇒ (10)−1 = 19 e (19)−1 = 10
13 · 13 = 169 = 1 ⇒ (13)−1 = 13
20 · 20 = 400 = 1 ⇒ (20)−1 = 20
Questão 2
a) Seja a um inteiro tal que mdc(a, 42) = 1. Prove que 168|(a6 − 1).
b) Determine o resto da divisão de 15! por 17.
Solução: (a):
Sendo 168 = 23 · 3 · 7 e 23 , 3, 7 primos entre si, queremos mostrar que a6 ≡ 1(mod 3), a6 ≡ 1(mod 23 )
e a6 ≡ 1(mod 7). De fato,
( mdc(a, 2) = 1 ⇒ a é ímpar
mdc(a, 42) = 1
e
mdc(a, 3) = 1 ⇒ a2 ≡ 1( mod 3) ⇒ a6 = (a2 )3 ≡ 1( mod 3) Teorema de Fermat
⇒
42 = 2 · 3 · 7
mdc(a, 7) = 1 ⇒ a6 ≡ 1( mod 7) Teorema de Fermat,
1
para concluirmos, precisamos mostrar que a6 ≡ 1(mod 23 ). Sendo a ímpar, segue-se que a deixa
resto 1, 3, 5 ou 7 na divisão por 8, disto
a ≡ 1(
a ≡ 3(
a ≡ 5(
a ≡ 7(
mod
mod
mod
mod
8) ⇒ a2
8) ⇒ a2
8) ⇒ a2
8) ⇒ a2
≡ 1( mod 8)
≡ 32 ( mod 8) ≡ 1( mod 8)
≡ 52 ( mod 8) ≡ 1( mod 8)
≡ 72 ( mod 8) ≡ 1( mod 8),
donde vemos que
a6 = (a2 )3 ≡ 1( mod 8),
como queríamos.
(b):
Queremos encontrar r ∈ Z, 0 ≤ r ≤ 16 tal que 15! ≡ r(mod 17). Pelo teorema de Wilson, como 17
é primo então
16! ≡ −1( mod 17),
observando que 16 ≡ −1(mod 17) teremos que
16! = 15! · 16 ≡ (−1) · (−1)( mod 17) ≡ 1( mod 17),
implicando que o resto da divisão de 15! por 17 é 1.
2