Rodrigo Clemente/O Tempo/Folhapress
Temporada 2009/2010 – Semifinal
Minas 3 Brasília
13/05/2010
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Inequações e
equações com duas
incógnitas
O que você vai aprender
##Inequações
##Inequação do 1o grau com uma incógnita
##Equações do 1o grau com duas incógnitas
5
Pense nisto
A Liga Nacional de Basquete (LNB),
lançada em dezembro de 2008, reúne as principais lideranças e os mais
representativos clubes do basquete
brasileiro.
A LNB conta com 19 clubes, sendo
que 15 destas equipes participam
do Novo Basquete Brasileiro (NBB)
— campeonato brasileiro masculino
adulto, organizado pelos clubes, com
a chancela da Confederação Brasileira de Basquete (CBB). [...]
Disponível em:
<http://www.liganacionaldebasquete.com.br.>
Acesso em: 10 jan. 2011.
Em um jogo de basquete é possível
fazer cestas de 3 pontos (a partir de
6,75 m), de 2 pontos (distância menor do que 6,75 m) e de 1 ponto (lance livre).
A partida mostrada na fotografia
foi disputada por Minas e Brasília,
em 13 de maio de 2010, tendo como
placar 70 3 78, respectivamente.
Qual é o maior número de cestas de
3 pontos que cada equipe pode ter
feito? E de 2 pontos? E de 1 ponto? Há
mais de uma combinação possível?
Situações como essa serão representadas matematicamente e estudadas
neste capítulo.
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1
Inequações
Desigualdades e inequações
AMj Studio/ID/BR
Veja a seguinte situação.
Helena comprou uma jaca e uma melancia e usou uma gangorra para comparar a massa das duas frutas.
Como o lado com a melancia ficou mais baixo do que o outro lado,
ela concluiu que a melancia tinha massa maior do que a da jaca.
Nessa situação, a gangorra mostrou uma desigualdade entre a
massa das duas frutas. Você já sabe representar a desigualdade entre dois números. Reveja os símbolos.
Símbolo
Significado
.
é maior do que
,
>
<
Þ
é menor do que
é maior do que
ou igual a
é menor do que
ou igual a
é diferente de
Os símbolos utilizados para representar a desigualdade entre
dois números também podem ser utilizados para representar desigualdades entre expressões algébricas. Observe.
I. 5 . 3
IV. z < 2 7
II. y , 4
V. 9 Þ 8
III. x 1 2 > x
VI. a 1 2 < b 2 3
Inequação é uma desigualdade que contém pelo menos um
termo com letra.
Entre as desigualdades apresentadas acima, a I, a III e a V não
são inequações. A desigualdade III não é uma inequação, apesar
de conter letras, pois pode ser simplificada para 2 > 0. Você verá
adiante como simplificar desigualdades.
Nas inequações, as letras também são denominadas incógnitas. A expressão numérica à esquerda do símbolo da desigualdade
é o 1o membro, e a expressão numérica à direita é o 2o membro.
Veja agora dois problemas e as respectivas representações por
meio de inequações.
Problema
Adicionar 9 a um número é menor do que ou igual a 21.
O dobro de um número é maior do que 13,7.
Inequação
x 1 9 < 21
2a . 13,7
134
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Atividades
1. Classifique as sentenças matemáticas do seguinte modo:
I.Equações.
II.Inequações.
III.Demais sentenças (não são equações, nem inequações).
f) z 2 12 < 10
g)x2 Þ 5
h)4x 1 3 . 5x 2 6
q
x a __
i)​ __  ​2 __
​    ​> ​    ​
2 4 5
j) 24 1 1 . 10 2 15
a)x 2 5 5 8
b)x 1 6 . 0
c)y 1 4 , 2 2
d)a 1 b 5 20
e)3 1 4 5 7
Ilustrações: Setup Bureau/ID/BR
2. Observe a seguir a representação da
altura de dois prédios.
3x
x13
Edifício Primavera
Edifício Outono
a)Escreva a expressão matemática que representa a altura de cada construção.
b)Observando a figura, verificamos que a altura de um dos edifícios é maior do
que a do outro. Identifique a sentença matemática a seguir que representa essa
afirmação.
x 1 3 . 3x
x 1 3 > 3x
x 1 3 , 3x
x 1 3 5 3x
3. Escreva no caderno as inequações que descrevem as situações apresentadas a seguir
pelas balanças de equilíbrio.
a)
b)
2x
0
0
10
y14
3x 1 10
4. Represente cada situação a seguir por uma inequação.
a)Um número adicionado a 5 é maior do que 17.
21
b)Subtrair 7 de um número é menor do que ou igual a __
​   ​ .
5
c)O triplo de um número mais 8 é diferente de 211.
d)O triplo da soma de um número com 8 é diferente de 211.
e)A metade de 18,5 adicionada a um número é menor do que 102.
f) A quarta parte de um número é diferente da metade desse número adicionado
a 5,7.
135
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Solução ou raiz de uma inequação
Veja a continuação da situação apresentada anteriormente.
Vitor, irmão de Helena, comparou a massa da melancia com
um bloco de 5 kg.
AMj Studio/ID/BR
5 kg
Como o lado da melancia ficou mais alto do que o outro lado,
ele concluiu que a massa da melancia é menor do que 5 kg.
Ainda não sabemos, por essa comparação, a massa da melancia. Porém, como ficou constatado que ela tem massa menor do
que 5 kg, podemos representar matematicamente essa situação
pela inequação x , 5, na qual x é um número racional positivo que
representa a massa da melancia.
Veja alguns possíveis valores para essa massa.
••4 kg, pois 4 , 5.
•3,5 kg, pois 3,5 , 5.
••3 kg, pois 3 , 5.
•4,99 kg, pois 4,99 , 5.
Note que ao substituir x por números menores do que 5 na
inequação x , 5, obtemos uma sentença verdadeira. Por isso, os
números 3; 3,5; 4 e 4,99 são soluções dessa inequação.
Assim como nas equações,
determinar as soluções de
uma inequação é equivalente
a resolvê-la.
Um número é solução (ou raiz) de uma inequação quando,
ao ser colocado no lugar da incógnita, converte a inequação em
uma sentença verdadeira.
Atividades
5. Explique por que 8 é solução da inequação
3x 1 2 . 25, mas 10 não é solução da inequação 2x < 15.
6. Considere a inequação y 1 1 > 3.
a)Identifique quais dos números a seguir
são soluções dessa inequação.
1
22 21 2​ __  ​  
0 1 2
2
3
3,5
4
6
7 8
b)Com um colega, determine outros dois
números racionais que sejam solução
dessa inequação.
c)Explique como você resolveu o item anterior.
d)A afirmação a seguir é falsa. Corrija-a no
caderno.
Todos os números racionais menores
do que ou iguais a 4 são solução dessa inequação.
7. Resolva mentalmente as inequações a seguir para responder a cada questão.
a)Quais números naturais são solução de
x 1 2 , 8?
b)Quais números racionais são solução de
x2 , 4?
136
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Princípio aditivo e princípio
multiplicativo
••Assim como nas equações, quando adicionamos um termo de
igual valor aos dois membros de uma desigualdade ou de uma
inequação do tipo , ou ., ela continua verdadeira. O princípio aditivo vale tanto para termos positivos como negativos.
Veja alguns exemplos.
8.4
29 , 4
5,6
23 . 27
816.416
29 1 9 , 4 1 9
5 1 (28) , 6 1 (28)
23 25 . 27 25
14 . 10
0 , 13
23 , 22
28 . 212
3x . 7
217y 1 8 , 5b 2 3
3x 1 8 . 7 1 8 217 y 1 8 2 5b 1 3 , 5b 2 3 2 5b 1 3
3x 1 8 . 15
217y 2 5b 1 11 , 0
••No caso do princípio multiplicativo, a igualdade ou inequação
do tipo , ou . continua verdadeira quando multiplicamos os
dois membros por um termo positivo.
8.4
29 , 4
5,6
23 . 27
3x . 7
3x ? x . 7 ? x,
com x . 0
3x2 . 7x
8?2.4?2
29 ? 7 , 4 ? 7
5 ? 3,5 , 6 ? 3,5
5
5
​   ​ 
23 ? ​ __ ​  . 27 ? __
2
2
16 . 8
263 , 28
16,5 , 19,5
15
35
2​ __ ​ . 2​ ___ ​ 
2
2
217y 1 8 , 5b 2 3
(217y 1 8) ; 5 , (5b 2 3) ; 5
23,4y 1 1,6 , b 2 0,6
••Quando multiplicamos os dois membros de uma desigualdade
ou de uma inequação do tipo , ou . por um termo negativo,
para obter uma sentença verdadeira é necessário inverter seu
sinal, ou seja, inverter a desigualdade.
8.4
29 , 4
5,6
(  )
(  )
23 . 27
1
1
​    ​   ​. 6 ? ​ 2__
​    ​   ​ 23 ? (22,3) , 27 ? (22,3)
8 ? (21) , 4 ? (21) 29 ? (23) . 4 ? (23) 5 ? ​ 2__
5
5
28 , 24
27 . 212
21 . 21,2
6,9 , 16,1
3x . 7
3x ? x , 7 ? x,
com x , 0
3x2 , 7x
217y 1 8 , 5b 2 3
(217y 1 8) ; (25) . (5b 2 3) ; (25)
8,5y 2 1,6 . 2 b 1 0,6
Atividades
8. Usando o princípio aditivo, substitua cada  por , ou ..
a)4 , 5
c)23 , 1
23 1 3  1 1 3
4 1 7  5 1 7
d)27 . 210
b)6 . 2
6 1 (23)  2 1 (23)
27 1 (22)  2 10 1 (23)
9. Considerando que nos itens abaixo foi usado o princípio multiplicativo, substitua cada  pelo número correto.
1
1
a)12 . 9
​    ​ 
b) 0 . 3
c)4 . 1
d)2​ __  ​ , __
4 2
12 ?  . 9 ? 
0?,3?
4?,1?
1
1
2 ​ __  ​ ?  . __
​    ​ ? 
4
2
48 . 36
0 , 15
214 , 23,5
1
​ __  ​   . 21
2
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Atividades
10.Identifique quais dos números a seguir são soluções da inequação 3x 1 4 . 7. Justifique.
22 21 20,5 0 1 1,5 2
11. Identifique no caderno apenas as sentenças a seguir que são falsas. Justifique.
a)O número 6 é uma solução da inequação a 1 3 , 10.
b)Apenas o número 6 é solução da inequação a 1 3 , 10.
c)A inequação a 1 3 , 10 tem infinitas soluções.
d)Os números racionais que são solução da inequação a 1 3 , 10 são menores do
que 7.
12. Considere a inequação x2 . 16.
a)Quais são os três menores números naturais que são solução da inequação dada?
b)Quais são os três maiores números inteiros negativos que são solução dessa inequação?
c)Compare sua resposta dos itens anteriores com as de alguns colegas.
d)Podemos afirmar que todos os números racionais menores do que 24 ou maiores do
que 4 são solução da inequação?
13. Copie no caderno as sentenças a seguir que são falsas, corrigindo-as.
a)Se x . 23, então x 1 1 . 22.
b) Se y < 5, então y 2 4 < 1.
c) Se 3a > 23, então 9a < 29.
d) Se 22b , 21, então 2b . 1.
x.9
x .0 . 9.0
0.0
050
AMj Studio/ID/BR
14. Veja a sequência de sentenças matemáticas que Carlos escreveu.
Elabore uma estratégia diferente para transformar uma desigualdade em uma
igualdade.
15. Faça o que se pede.
a)Localize os números 3 e 8 em uma reta numérica.
b)Os pontos que representam esses números estão localizados à direita ou à esquerda da origem?
c)Utilizando os sinais , e ., compare os números 3 e 8.
d)Multiplique esses números por 21 e localize os produtos em uma reta numérica.
e)Os pontos que representam esses números estão localizados à direita ou à esquerda da origem?
f) Utilizando os sinais , e ., compare os números 23 e 28.
g)Observando a comparação entre 3 e 8 e entre 23 e 28, explique por que, ao multiplicar uma desigualdade ou uma equação por um número negativo, seu sinal é
invertido.
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2
Inequação do 1o grau com uma incógnita
Uma inequação com uma incógnita x é denominada do 1o grau quando pode ser
escrita de uma das seguintes formas, em que a e b são números racionais, com a Þ 0:
••ax . b
• ax , b
• ax > b
• ax < b
Veja alguns exemplos de inequações do 1o grau.
••2x . 21 é uma inequação do 1o grau com a 5 2, b 5 21 e x como incógnita.
2y 2y __
2
​   ​ < ​ 7 ​ é uma inequação do 1o grau, pois podemos escrevê-la na forma
​   ​ 2 __
••___
4
4
3
3
2
2
__
__
__
2​ __
4 ​ y < ​ 7 ​ , em que a 5 2​ 4 ​ , b 5 ​ 7 ​ e y é a incógnita.
••2 1 10w 2 7w . 17 é uma inequação do 1o grau, pois podemos escrevê-la
na forma 3w . 15.
Resolvendo uma inequação do 1o grau
No conjunto dos números naturais
Veja alguns exemplos de como determinar as soluções de uma inequação no
conjunto dos números naturais, ou seja, como resolver uma inequação e obter
como resposta um número natural.
Para tanto, vamos simplificar a inequação até que a incógnita esteja isolada em
um dos membros.
1) A diferença entre um número natural e 8 é maior
do que 4. Qual pode ser esse número?
Considerando x o número desconhecido, temos a seguinte
inequação que representa essa situação:
x28.4
Para determinar o valor de x, vamos utilizar o princípio
aditivo, acrescentando 8 aos dois membros da inequação.
x28.4
x2818.418
x . 12
Logo, qualquer número natural maior do que 12 é solução
da inequação, ou seja, os números 13, 14, 15, ...
2) Quais são os números naturais cuja terça parte é
menor do que ou igual a 2?
Seja x o número desconhecido, então:
x
__
​    ​< 2
3
Para determinar o valor de x, vamos utilizar o princípio
multiplicativo, multiplicando os dois membros da
inequação por 3.
x
​ __  ​< 2
3
x
​ __  ​? 3 < 2 ? 3
3
x<6
Portanto, os números naturais cuja terça parte é menor do
que ou igual a 2 são: 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
Atividades
16. Copie no caderno apenas as inequações que
sejam do 1o grau com uma incógnita.
a)x 1 1 . 5
b)y2 2 8 , 6
c)3a . 5a 1 2
4b
d)​ ___ ​ > 5
3
e)x2 1 9 < x 1 3
f) 0,9w , 10
17. Resolva as seguintes situações.
a)Ao adicionar 4 a um número natural,
obtemos um resultado menor do que 17.
Qual pode ser esse número?
b)A quarta parte de certos números naturais é maior do que ou igual a 5. Quais são
esses números?
18. Resolva as inequações a seguir e escreva os
números naturais que são solução de cada
uma.
x
a)x 1 3 . 5
f)​ __  ​. 12
4
x
b)x 2 12 . 27
g)​ __  ​< 3
5
c)x 1 10 , 25
h)x 2 0,7 > 3,2
d)x 1 4 , 13
i) x 1 5 < 210
e)x > 25
j) x 1 12 < 12
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No conjunto dos números racionais
Nas atividades da página anterior, você deve ter percebido que
uma inequação pode não ter solução, ou ter uma única solução, ou
ter mais de uma solução, ou ter infinitas soluções.
A quantidade de soluções que uma inequação pode ter, no entanto, depende do conjunto numérico considerado. Por exemplo,
a inequação x 1 1 , 3 tem apenas duas soluções no conjunto dos
números naturais, mas infinitas soluções no conjunto dos números inteiros.
Assim, para escrever a resposta de um problema ou a solução
de uma inequação, é necessário identificar qual conjunto numérico
estamos considerando, isto é: números naturais, inteiros ou racionais. Veja alguns exemplos.
1)Adicionando 4 à idade de Marcelo, temos um número menor do que 20. Qual é a idade de Marcelo?
A idade de uma pessoa é dada por um número natural.
Então, sendo x a incógnita que representa a idade de Marcelo, temos a seguinte inequação:
x 1 4 , 20
E podemos resolvê-la.
x 1 4 , 20
x 1 4 2 4 , 20 2 4
x , 16
Portanto, a idade de Marcelo é um número natural menor do que 16.
2)Luciana subtraiu um número de 30 e obteve um número maior do que 10. Que número Luciana pode ter subtraído?
Não sabemos se Luciana subtraiu um número natural, inteiro ou racional. Por isso, vamos considerar a solução no conjunto
dos números racionais, pois ele contém o conjunto dos inteiros e dos naturais.
Então, sendo y um número racional, temos a inequação:
30 2 y . 10
E passamos a resolvê-la:
30 2 y . 10
30 2 30 2 y . 10 2 30
2y . 220
2y ? (21) , 220 ? (21)
y , 20
Observe que a desigualdade foi invertida quando multiplicamos os dois membros por um número negativo.
Portanto, Luciana subtraiu de 30 um número racional menor do que 20.
3
2
3)A diferença entre o número ​ __ ​e o dobro de um número inteiro não nulo é maior do que ou igual a 2 ​ __ ​. Qual é o maior
4
5
valor possível desse número?
Pelo enunciado, sabemos que o número procurado é inteiro e diferente de zero. Representando esse número pela incógnita
a, temos:
3
2
__
​    ​2 2a > 2 ​ __  ​
5
4
E, resolvendo a inequação:
3
2
​ __  ​2 2a > 2 ​ __  ​
4
5
3 3
2 3
​    ​2 2a > 2 ​ __  ​2 __
​    ​
​ __  ​2 __
4 4
5 4
28 2 15
 ​ 
 
22a > ​ ________
20
23
___
22a > 2 ​    ​
20
23
1
1
__
22a ? ​ 2 ​    ​   ​< 2 ​ ___  ​? ​ 2 ​ __  ​   ​
20
2
2
23
a < ​ ___  ​ 
40
a < 0,575
(  )
(  )
Como a é um número inteiro, diferente de zero e menor do que ou igual a 0,575, o seu maior valor possível é 21.
140
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Atividades
Resolução
Para resolver essa inequação, primeiro eliminamos os
parênteses e depois simplificamos cada membro.
3 2 2 ? (x 1 4) > x 1 5 ? (2x 2 2)
3 2 2x 2 8 > x 1 10x 2 10
22x 2 5 > 11x 2 10
22x 2 5 1 5 > 11x 2 10 1 5
22x > 11x 2 5
22x 2 11x > 11x 2 11x 2 5
213x > 25
(  )
(  )
1
1
213x ? ​ 2 ​ __  ​   ​< 25 ? ​ 2 ​ __  ​   ​
13
13
5
x < __
​    ​ 
13
A solução são todos os números racionais menores do
5
que ou iguais a __
​    ​ .
13
x
x x 1 1 __
b)​ __  ​2 _____
​   ​ 
 , ​    ​
4
3
2
Resolução
20. Durante toda esta semana, Carla juntou latinhas de alumínio para reciclagem.
Karina Tengan/ID/BR
19. Determine os números racionais que são solução das seguintes inequações.
a)3 2 2 ? (x 1 4) > x 1 5 ? (2x 2 2)
Hoje ela conseguiu juntar 35 latinhas. Adicionando a quantidade de hoje com a quantidade
de latinhas que ela juntou nos dias anteriores,
ela arrecadou quase 200 latinhas.
a)Representando a quantidade de latinhas
que Carla juntou nos dias anteriores por
x, escreva uma inequação que represente
essa situação.
b)Podemos afirmar que a incógnita x só
pode representar números naturais? Justifique.
O 1o passo para resolver essa inequação é eliminar
as frações. Para isso, igualaremos os denominadores
utilizando o mmc entre eles. Em seguida,
simplificaremos cada membro.
x x 1 1 __
x
__
​    ​2 _____
​   ​ 
 , ​    ​
4
3
2
3x
6x 4 ? (x 1 1) ___
​ 
 ​ 
, ​   ​ 
​ ___ ​ 2 _________
 
12
12
12
c)Resolva a inequação e determine quantas
latinhas Carla pode ter juntado nos dias
anteriores.
6x 2 4 ? (x 1 1) , 3x
e)Em sua cidade existe algum programa de
coleta seletiva de lixo reciclável?
6x 2 4x 24 , 3x
2x 2 4 , 3x
2x 2 4 1 4 , 3x 1 4
2x , 3x 1 4
2x 2 3x , 3x 2 3x 1 4
2x , 4
2x ? (21) . 4 ? (21)
x . 24
d)Faça uma pesquisa sobre as vantagens de
se reciclarem latinhas de alumínio e quais
materiais podem ser reciclados.
f) Na sua casa é feita alguma separação de
lixo? Por quê?
g)Na sua escola existem lixeiras de coleta
seletiva? As pessoas que frequentam a
escola costumam jogar o lixo nas lixeiras
corretas?
Fernando Favoretto/Criar Imagens
A solução são todos os números racionais maiores do
que 24.
2x
c)​ ___ ​ 2 2 , 22x
3
d)25 ? (3x 1 2) < 20
e)3 2 2 ? (3x 1 1) > 2x 2 4
f) 6 ? (2x 1 4) . 0
g)2x 1 1 , 7 1 255x 1 8
25
h)23 ? (6x 2 5) > ___
​   ​ 
4
i) 5 2 (2x 1 7) < 2x 1 3 ? (2x 1 4)
x 2 ? (x 1 3)
​ 
 
 ​ 
.3
j)​ __  ​2 __________
4
5
141
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Atividades
21. Um edifício tem três andares no subsolo,
numerados por 21, 22 e 23; o térreo, que
recebe o número 0; e treze andares acima
do térreo, numerados de 1 a 13, conforme
mostra o esquema a seguir.
andares
de números
1 ao 13
Quais são as possíveis medidas para a largu­
ra desse jardim, se o perímetro pode ser, no
máximo, 34 metros?
23. Considere a seguinte inequação:
23x 1 2 ? (2 2 x) , 1 2 x
a)Qual é o menor número natural que satis­
faz a inequação?
b)Qual é o menor número inteiro que é so­
lução da inequação?
c)É possível determinar o menor número
racional que é raiz dessa inequação? Jus­
tifique.
24. Determine o menor número natural que sa­
tisfaz a inequação 2x 1 10 . 24x 2 2.
térreo
andares
do subsolo
O elevador desse edifício partiu de determi­
nado andar, deslocou-se cinco andares para
cima e parou em algum andar abaixo do an­
dar número 9.
a)Representando por y o número do andar
em que o elevador estava antes do des­
locamento, escreva uma inequação para
representar essa situação.
b)Quais são os números que podem ser so­
lução dessa inequação?
c)Em qual andar esse elevador poderia es­
tar antes de se deslocar?
22. Daniel quer construir um jardim em sua
casa. Esse jardim deve ter forma retangular,
e a medida do comprimento e a da largura,
em metros, estão representadas na figura a
seguir.
2x 1 5
x
25. Para obter lucro, uma fábrica deve produzir x
peças por dia, de modo que seja satisfeita a
desigualdade 4x 2 1 200 > 162 2 2x. Quan­
tas peças a fábrica deverá produzir diaria­
mente para obter lucro?
26. Existe algum valor para x que seja solução
das duas inequações a seguir, simultanea­
mente?
2x . 22x 1 10
29 1 x . 5x
27. Quantos números inteiros são solução tan­
to da inequação 3x 2 4 < 2 como da
5 2 x < x 1 7?
28. Ana Paula está procurando um novo empre­
go. Além de visar a uma atividade que a rea­
lize, ela está procurando um trabalho com
1
um salário que lhe permita gastar __
​    ​ com ali­
4
2
mentação, ​ __  ​com a parcela do financiamen­
5
to de sua casa, RS|| 400,00 com roupas e la­
zer e ainda guardar, no mínimo, RS|| 249,00
por mês. Para isso, quanto, no mínimo, Ana
Paula precisa receber de salário?
29. Em um campeonato de basquete, cada time
participaria de dez jogos. Para cada vitória,
o time ganharia 5 pontos; para cada derro­
ta, perderia 3 pontos. Além disso, para se­
rem classificados para a segunda fase do
campeonato, os times deveriam ter um mí­
nimo de 26 pontos. Qual é o menor número
de vitórias que um time deveria obter para
se classificar para a segunda fase?
142
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3
Equações do 1o grau com duas incógnitas
Veja a situação apresentada.
Situação
Representação matemática
Alberto e Érica juntos têm cinco miniaturas de carros.
Quantas miniaturas cada um tem?
Podemos representar essa situação por uma equação
matemática, considerando x a quantidade de miniaturas
de carro que Érica tem e y a quantidade de miniaturas
que Alberto tem.
x1y55
AMj Studio/ID/BR
Essa equação tem duas incógnitas: x e y.
Com as informações fornecidas, é possível determinar quantas miniaturas de
carros cada um tem?
Possivelmente você percebeu que as informações não são suficientes. Veja as
seis possibilidades de resposta.
Quantidade x de
Quantidade y de
miniaturas de carros miniaturas de carros
que Érica tem
que Alberto tem
0
5
Total x 1 y
de miniaturas de
carros que os
dois têm
01555
1
4
11455
2
3
21355
3
2
31255
4
1
41155
5
0
51055
Essas soluções podem ser escritas na forma de pares ordenados (x, y):
(0, 5), (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) e (5, 0).
A representação (0, 5) indica que x 5 0 e y 5 5; a representação (1, 4) indica
que x 5 1 e y 5 4; e assim por diante.
Na representação de um par ordenado, sempre indicamos os valores entre parênteses e separados por vírgula (ou por ponto e vírgula) e representados nesta ordem: (x, y).
Atividades
30. Identifique quais das equações a seguir têm
duas incógnitas.
a)x 1 y 1 z 5 8
d)3 2 4 5 x 1 y
b)2x 2 3y 5 9
2 1 3 __
5
e)​ ______
 5 ​   ​ 
 ​ 
3
3
c)x 5 y f) x 5 3 2 4 ? 2
31. Verifique se o par ordenado (3, 6) é solução
de algumas das seguintes equações.
a)x 2 y 5 23
d)2x 1 3y 5 4y
b)2x 5 y
y
c)2x 2 __
​    ​5 2
3
e)x2 2 x 5 6
f) y2 1 x3 5 21 ? 7
143
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09.06.11 17:42:10
Determinando soluções de uma
equação com duas incógnitas
Para determinar um par ordenado que seja solução de uma
equação, atribuímos um valor para uma das incógnitas e determinamos o valor da outra incógnita resolvendo a equação obtida.
Exemplo
2x 1 3y 5 12
••Considerando x 5 4, obtemos:
2 ? 4 1 3y 5 12
8 1 3y 5 12
3y 5 12 2 8
3y 5 4
4 ​ 
y 5 ​ __
3
Note que substituímos a incógnita x pelo número 4 na equa-
(  )
4  ​  ​é solução da equação
ção 2x 1 3y 5 12. Portanto, o par ​ 4, ​ __
3
2x 1 3y 5 12.
••Considerando x 5 0, obtemos:
2 ? 0 1 3y 5 12
3y 5 12
12 ​ 
y 5 ​ ___
3
y54
O par (0, 4) é solução da equação 2x 1 3y 5 12.
••Considerando y 5 0, obtemos:
2x 1 3 ? 0 5 12
2x 5 12
12 ​ 5 6
y 5 ​ ___
2
O par (6, 0) também é solução dessa equação.
(  )
4
I. O par ordenado ​ __
​   ​ , 4  ​
3
é solução da equação 2x
1 3y 5 12?
II. O par ordenado (12, 0) é
solução dessa equação?
III.E o par ordenado (0, 4)?
Atividades
32. Determine pelos menos três soluções para
cada equação dada a seguir.
a)x 1 y 5 10
d)2xy 5 20
b)x 2 y 5 26 y
e)​ __
x ​  5 2
x y __
7
c)​ __  ​1 __
​    ​5 ​    ​
2 4 8
8x
f)​ ___
y ​ 5 2
33. O perímetro do retângulo representado ao
lado é 20 cm.
x
y
a)Escreva a equação de duas incógnitas que
representa o perímetro desse retângulo.
b)Determine pelo menos três soluções para
essa equação.
144
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6/13/11 1:06:48 PM
Equações do 1o grau com duas
incógnitas
Uma equação é denominada equação do 1o grau com duas
incógnitas quando pode ser escrita na forma ax 1 by 5 c, em que
a, b e c são números racionais, sendo a e b diferentes de zero, e x e
y são incógnitas.
Veja alguns exemplos.
equação x 2 y 5 3 é do 1o grau com duas incógnitas x e y,
com a 5 1, b 5 21 e c 5 3.
••A
x
4
2
3
y
2
••A equação 2 ​ __ ​ 1 __
​    ​5 __
​    ​1 1 é do 1o grau com duas incógnitas,
y
​    ​ 5
pois pode ser simplificada para __
​ x  ​ 2 __
4
2
1
__
5
__
b 5 2​ 2 ​ e c 5 ​   ​ .
3
5  ​, em que a 5 ​ __
1  ​,
​ __
4
3
••A expressão x ? y 5 12 não é uma equação do 1o grau com duas
incógnitas, pois as incógnitas estão relacionadas entre si por
uma multiplicação.
Atividades
34. Copie no caderno apenas as equações do 1o grau com duas incógnitas.
a)3x 5 y
c)3x 2 y 5 2y 1 3x 2 8
y 7 __
x
x y __
x
b)3xy 5 4
d)​ __  ​5 __
​    ​ 2 __
​    ​2 ​    ​1 __
​    ​2 ​    ​
2 8 3 6 8 y
35. Substitua cada  por um número, de modo que os pares ordenados sejam soluções das seguintes
equações.
a)x 1 y 5 30
(5, ); (, 5);
(10, ); (, 15);
23
17
​ __
​   ​ ,  
​; ​ , ___
​   ​  ​ .
4
2
(  ) ( 
)
2
b)2x 2 3y 5 __
​   ​ 
3
1
1
​    ​,   
​; ​ , __
​    ​   ​.
​ __
2
6
(  ) (  )
36. Renata comprou duas calças e três camisetas e gastou, ao todo, RS|| 200,00.
a)Considerando x o preço de uma calça e y o preço de uma camiseta, escreva a equação que representa essa situação.
b)Verifique se Renata pode ter pago RS|| 65,00 por cada calça e RS|| 30,00 por cada camiseta.
c)Determine pelo menos três soluções para essa equação.
37. Determine um par ordenado que seja solução das equações dadas em cada item.
a)x 5 y e x 1 y 5 2.
b)x 1 y 5 3 e x 2 y 5 5.
12
c)2x 1 y 5 7 e x 2 y 5 __
​   ​ .
5
d)3x 1 y 5 2 e x 1 2y 5 211.
Depois, compare suas respostas com as de um colega.
145
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09.06.11 17:42:13
Representação gráfica das soluções
Podemos representar graficamente as soluções de uma equação do 1o grau com duas incógnitas.
Considere, por exemplo, a equação x 1 y 5 8. Determinamos
alguns pares ordenados de números racionais que são solução dessa equação.
x50
x51
x53
01y58
11y58
31y58
y58
y582157
y582355
par ordenado (0, 8)
par ordenado (1, 7)
par ordenado (3, 5)
x54
7
x 5 __
​   ​ 
2
9
x 5 ​ __ ​ 
2
41y58
7
__
​    ​1 y 5 8
2
9
__
​   ​ 1 y 5 8
2
y5824
7
y 5 8 2 ​ __  ​
2
9
y 5 8 2 __
​   ​ 
2
y54
16 2 7 __
9
 5 ​   ​ 
y 5 ______
​   ​ 
2
2
16 2 9 __
7
y 5 ______
​   ​ 
 5 ​    ​
2
2
(  )
(  )
7 9
​    ​, __
​   ​   ​
par ordenado ​ __
2 2
par ordenado (4, 4)
9 7
par ordenado ​ __
​   ​ , __
​    ​  ​
2 2
(  ) (  )
Os pares ordenados (0, 8), (1, 7), (3, 5), (4, 4), ​ __
​ 7 ​ , __
​ 9 ​   ​ e ​ __
​ 9 ​ , __
​ 7 ​   ​
2 2
2 2
são algumas soluções da equação x 1 y 5 8. Observe a localização
desses valores como pontos em um gráfico. Os valores referentes
a x são posicionados em relação ao eixo horizontal, e os valores
referentes a y, em relação ao eixo vertical.
y
9
8
(0, 8)
7
(3, 5)
5
(
4
de cédulas de 10 reais e de
5 reais é igual, e que Paula
ficou com uma quantia em
dinheiro maior do que a de
Marcos, quantas cédulas
de 10 reais e de 5 reais, no
máximo, a mãe deles havia
dado?
)
7, 9
2 2
(4, 4)
(
3
9, 7
2 2
)
ƒƒ Como você distribuiria
essa quantia em dinheiro
de modo que a divisão não
fosse desigual?
2
ƒƒ De maneira geral, você
1
0
Marcos e Paula receberam da mãe uma quantia em
dinheiro para que dividissem
entre eles. Paula propôs que
Marcos ficasse com todas as
cédulas de 10 reais e lhe desse
13 reais em moedas de 1 real,
enquanto ela ficaria com todas
as cédulas de 5 reais, mais
9 reais que sobrariam da quantia dada pela mãe, além dos
13 reais dados pelo irmão.
ƒƒ Sabendo que a quantidade
(1, 7)
6
21
Desigualdade
1
2
3
4
5
6
7
x
21
Os pontos estão alinhados, ou seja, estão todos sobre uma
mesma reta. Isso acontece em todas as equações do 1o grau com
duas incógnitas.
acha que as divisões
de bens entre irmãos
deve ser representada
matematicamente por
uma equação ou por uma
inequação?
ƒƒ Nesse caso, quantas
incógnitas haveria?
146
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6/11/11 1:37:20 PM
Atividades
38. Copie no caderno o plano cartesiano a seguir.
y
6
40. Identifique qual reta representada a seguir,
vermelha ou azul, contém as soluções da
equação x 2 y 5 2.
5
y
4
6
3
5
2
4
1
3
26 25 24 23 22 21
21
1
2
3
4
5
2
6 x
1
22
26 25 24 23 22
21
23
21
24
22
25
23
26
24
Depois, represente os seguintes pontos nesse plano.
a)(0, 3)
g)(1, 3)
b)(0, 25) h)(22, 25)
c)(0, 0) i) (25, 4)
d)(2, 0) j) (6, 21)
e)(26, 0) k)(23, 23)
f) (5, 0) l) (2, 2)
39. Determine os pares ordenados cujos pontos
estão representados a seguir.
6x
y
6
5
3
4
D
2
3
E
2
1
1
2
3
4
5
6 x
1
1
26 25 24 23 22 21
2
3
4
5
6x
21
22
25
5
42. Observe dois conjuntos de pontos representados a seguir.
4 C
23
F
24
4
41. Determine pelo menos seis pares ordenados
que sejam raízes da equação 2x 1 y 5 6.
Depois, represente-os em um plano cartesiano e trace a reta que passa por esses
pontos.
5
26 25 24 23 22 21
21
3
26
y
A
2
25
6
B
1
22
23
G
24
25
26
a)Quando os pontos estão sobre a reta que
representa os valores de x, qual é o valor
de y?
b)Qual deve ser o valor de x para que um
ponto esteja marcado sobre a reta que representa os valores de y?
26
Identifique qual equação a seguir representa cada conjunto de pontos.
a)x 5 y 2 2
d)2y 5 x 2 4
b)x2 1 y 5 23
e)y2 5 37
c)7 5 2x 1 7y
f) x2 1 y2 5 1
147
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09.06.11 17:42:16
Mais atividades
43. Determine mentalmente a solução das inequações a seguir.
Em quantos meses a produção da fábrica B
irá superar a produção da fábrica A?
a)3x . 12
b)5x , 30
c)4x 1 8 . 12
d)5 2 2x , 7
49. No primeiro dia de certo mês, Pedro e Beto
tinham guardado, cada um em seu cofrinho,
500 e 700 reais, respectivamente. Se, a partir do primeiro dia de cada mês subsequente, Pedro depositou 20 reais em seu cofrinho e Beto retirou 20 reais do seu cofrinho,
em quantos meses o total acumulado por
Pedro ultrapassou o total de Beto?
44. Em cada item a seguir foi apresentada uma
inequação e um valor para a incógnita. Verifique se esse valor é solução da inequação.
a)4 1 2x . 8, para x 5 3.
b)2x 1 4 , 12, para x 5 0.
c)4 ? (2x 2 1) , 9, para x 5 3.
d)5 ? (1 2 x) . 10, para x 5 22.
e)5x 1 8 > 212, para x 5 4.
f) 3 ? (2 2 3x) < 15, para x 5 25.
AMj Studio/ID/BR
45. A medida dos lados de um retângulo, em
centímetros, são expressas por (2x 1 3) e
(x 2 1).
a)Escreva a expressão que representa o perímetro desse retângulo.
b)Qual deve ser o menor valor de x para que
o perímetro do retângulo seja, no mínimo,
28 centímetros?
50. Acompanhe nos panfletos abaixo os valores a
serem cobrados nos planos mensais de telefonia oferecidos por duas empresas.
46. O carro de Pedro faz 9 quilômetros com 1 litro
de etanol. Com quantos litros, no mínimo, Pedro deverá abastecer seu carro para realizar
uma viagem de 300 quilômetros?
Empresa A
• Franquia de 200 minutos: RS|| 52,00
• Valor por minuto excedente utilizado:
RS|| 0,40
47. Um taxista cobra uma bandeirada de RS|| 3,00
mais RS|| 1,50 a cada quilômetro rodado. Qual
é o menor número inteiro de quilômetros
que o taxista deverá percorrer para receber,
no mínimo, RS|| 50,00 em uma corrida?
Empresa B
• Franquia de 200 minutos: RS|| 40,00
• Valor por minuto excedente utilizado:
RS|| 0,50
48. Duas fábricas de bonecas, A e B, produzem
respectivamente 1 000 e 800 bonecas por
mês. A partir de certo mês, a fábrica A vai
aumentar sucessivamente a produção em
80 bonecas por mês, e a fábrica B vai aumentar sucessivamente a produção em 100
bonecas por mês.
boneca
boneca
AMj Studio/ID/BR
boneca
A partir de quantos minutos de utilização o
plano da empresa A passa a ser mais vantajoso para os clientes do que o plano da empresa B, ou seja, a partir de quantos minutos o cliente pagará um valor menor usando
o plano da empresa A em relação ao valor
pago usando o plano da empresa B?
51. Quando recebeu o salário do último mês de
abril, Osvaldo verificou que havia ganhado
um prêmio, por seu desempenho, no valor
de um terço do seu salário. Calcule entre
quais valores está o salário de Osvaldo sem
o valor do prêmio, sabendo que a quantia
recebida por ele nesse mês foi maior do que
RS|| 4 000,00 e menor do que RS|| 5 000,00.
148
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09.06.11 17:42:18
52. Na escola onde Artur estuda, a média final
para aprovação em Matemática é 5. Se a
média final é a média aritmética dos quatro bimestres, e Artur tirou notas 3, 4 e 6
nos três primeiros bimestres, qual nota ele
deverá tirar no último bimestre para ser
aprovado?
53. Carlos vai comprar um terreno retangular
para construir sua casa. Para executar o
projeto que ele escolheu, será preciso um
terreno de, no mínimo, 330 m2, com uma
frente de 15 m de comprimento.
56. Em uma urna foram colocadas bolinhas numeradas de 0 até 100. Ao sortear duas dessas bolinhas, Víctor percebeu que a soma
dos valores indicados é 102. Sabendo que a
diferença entre esses valores é 26, determine o valor marcado em cada bolinha.
57. A largura de certo retângulo, cujo perímetro
2
é 56 m, corresponde a __
​    ​do comprimento.
5
2 x
__
5
330 m� ?
x
Determine no caderno as dimensões desse
retângulo.
15 m
58. Considere a equação dada a seguir.
x 1 2y 5 12
a)Determine dois pares ordenados que são
raízes dessa equação.
AMj Studio/ID/BR
b)Marque em um plano cartesiano esses pares ordenados.
Carlos deve comprar um terreno com uma
largura mínima de quantos metros?
54. Represente no caderno cada uma das seguintes situações por uma equação.
a)A soma de um número x com um número y
é 45.
b)A diferença entre o preço y de uma camiseta e o preço z de um caderno é
2 reais.
c)Antônio tem x DVDs, e Paula, y DVDs.
A soma da quantidade de DVDs de Paula
com o triplo da de Antônio é 12.
55. Determine no caderno o valor de x para que
o par ordenado (x, 5) seja solução da seguinte equação:
2x 1 y 5 35
c)Trace a reta que contém esses pontos.
d)Observando da reta traçada, verifique se
19
​   ​   ​ é uma solução da equao ponto ​ 27, __
2
ção. Justifique.
( 
)
59. Dada uma equação do 1o grau com duas incógnitas, se determinarmos um único par
ordenado que seja raiz da equação, podemos traçar a reta que contém as demais soluções? Justifique.
60. Traçando, em um mesmo plano cartesiano,
a reta que contém as soluções da equação
x 1 y 5 5 e a reta que contém a solução da
equação x 2 y 5 1, qual dos pontos a seguir
será o cruzamento dessas retas?
a)(3, 2)
b)(2, 3)
c)(23, 2)
d)(23, 3)
149
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Matemática e cotidiano
Água
Saiba como economizar água com pequenas mudanças de hábito.
370 L
40 L
Ao lavar o carro
Com uma mangueira comum, aberta durante 15 minutos, o gasto é de aproximadamente 370 litros.
Com quatro baldes de 10 litros (dois para ensaboar e dois
para enxaguar), é possível fazer uma lavagem completa,
economizando 330 litros.
Ao lavar a louça
Lavar a louça durante 15 minutos com a torneira continuamente
aberta gera um gasto aproximado
de 240 litros de água. Se você ensaboar a louça e abrir a torneira
somente para enxaguar, reduzindo o tempo para 5 minutos, vai
economizar até 160 litros de água.
torneira
sempre
aberta
240 L
Ao escovar os dentes
Quando você escova os dentes durante 5 minutos com a torneira não muito aberta, gasta aproximadamente 12 litros de água. Se fechar a torneira
enquanto escova os
dentes e enxaguar a
copo
torneira
d’água
aberta
boca com um copo
0,5 L
12 L
de água, pode economizar 11,5 litros.
aberta
para
enxágue
80 L
15 min
52 500 L/ano
5 min
17 500 L/ano
Ao tomar banho
Com chuveiro elétrico, um
banho diário de 15 minutos gera o consumo anual de
aproximadamente 52,5 mil
litros. Se você reduzir o ritual
para 5 minutos, a economia é
de 35 mil litros por ano.
Ao lavar a roupa
No tanque, com a torneira aberta por 15 minutos, o gasto de água pode chegar a 279 litros. Já a
lavadora de roupas com capacidade de [5 quilogramas] consome
135 litros, por
lavadora
torneira
aberta
135 L
isso lembre-se de
279 L
usá-la com a capacidade total [...].
Disponível em: <http://noticias uol.com.br>. Acesso em: 5 jan. 2010.
De olho no texto
I.Qual é a utilidade dos dados apresentados nesse infográfico?
II.Copie a tabela a seguir e complete-a com os dados extraídos do infográfico, em litros.
Atividade
Consumo comum
Consumo com
economia
Diferença de
consumo
Lavar o carro
Lavar a louça
Tomar banho
Escovar os dentes
Lavar a roupa
III.Escreva uma expressão que demonstre o consumo de água na sua casa durante um mês,
considerando o consumo comum e o consumo econômico. Considere c a quantidade de
vezes que se lava o carro, l a quantidade de vezes que se lava a louça, b a quantidade de
banhos, d a quantidade de vezes que se escovam os dentes, e r a quantidade de vezes
que se lavam as roupas.
IV.Qual é o valor máximo (consumo comum) e o valor mínimo (consumo econômico), em
sua casa? Represente-os utilizando inequações.
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Mundo tecnológico
Símbolos da Matemática e o computador
Em Matemática, usam-se símbolos como: . (está contido), > (intersecção), a, b, u (letras
gregas), > (maior do que ou igual a). Além dos símbolos, a escrita de uma fração ou a indicação
de potenciação são situações para as quais o teclado não está preparado.
Os programas de edição de texto, em geral, oferecem soluções para essas situações. Uma
solução é utilizar o tipo de fonte Symbol. Outra é usar uma aplicação especial comumente disponível nos editores de texto, chamada “Equação” (no Word) ou “Fórmula” (no OpenOffice).
A fonte Symbol
Fonte é o nome que se dá ao estilo de grafar os caracteres. Observe, a seguir, alguns exemplos da letra A e do número 4 grafados em fontes diferentes.
Arial
Bauhaus
Blackadder
Castellar
Goudy
Papyrus
A fonte Symbol oferece diversos símbolos matemáticos. Busque, nos programas de edição
de texto, o menu “inserir” e a opção “símbolo” (dependendo da versão, é preciso clicar também
em “mais símbolos”). Altere a fonte para Symbol e procure os caracteres abaixo:
≠ ø ù a b u s µ ≅ p ∞ ∩ ∪ ⊃ ⊄ ∈ ∉ ⇒ ∑ ± ≡
As aplicações “Equação” e “Fórmula”
Essas aplicações aparecem como opção do menu “inserir” do editor de texto, ou nas barras
de ferramentas, na forma dos ícones
.
p equação
p equação
aa, a oua p equação
a a
Elas criam um objeto que contém o texto com a escrita matemática, permitem escolher diversos símbolos matemáticos e selecionar várias formas de escrita, como frações, potências, etc.
(5 1 2 ? 3)2
A expressão ​ __________
 ​ 
 < 4x 2 d​2 XXX
16 ​ foi escrita utilizando essas aplicações. Note que elas
2
não calculam o resultado das expressões: são apenas ferramentas para inserir escrita matemática em textos. Na aplicação “Equação”, por exemplo, há menus com quadrados pontilhados, que
representam os espaços para digitar números, letras ou outras expressões – observe abaixo.
Frações
Sobrescrito
Radiciação
Parênteses, colchetes e chaves
{
{
[
[
[
]
(
(
2
Na aplicação “Fórmula”, esses espaços são representados por letras (a, b, n, x e y). Veja abaixo
a barra “Elementos de fórmula”, seus principais ícones e algumas formas que eles representam.
Operações básicas
e frações
Potenciação,
radiciação
e módulo
Parênteses, colchetes, chaves e módulos
Faça você
Leia o texto de ajuda das aplicações “Equação” ou “Fórmula” e tente reproduzir as
expressões matemáticas a seguir.
5
1
4
a) __
​   ​ 1 2
b) ​d3 XXXXXXX
9 1 18 ​ 
? ​d2 XXXXXXXXXX
(5 ? 2) 1  
6 ​
c) 52 2 2 1 ​ __
​    ​ 1 __
​   ​   ​
3
3 6
( 
)
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ROTEIRO DE ESTUDOS
Autoavaliação
61. Classifique cada afirmação a seguir em
verdadeira ou falsa e corrija as falsas.
a)Se 2 1 6 , 10,
então 2 1 6 1 ( 26) , 10 1 (2 6).
b)Se 3 ? 5 , 18,
1
1
​    ​   ​.
então 3 ? 5 ? __
​    ​ < 18 ? ​ __
3
3
c)Se 2x < 8,
então 2x ? (21) < 8 ? (21).
(  )
62. Qual é o maior número inteiro que é raiz
da inequação 5 2 3 ? (x 2 2) . x 2 2x 1 1?
63. Considere os seguintes números.
15
1
25 ​ __  ​   4 27 2​ __ ​ 
2
2
Quais desses números são raízes da
5x 22
 .x 2 2?
inequação ______
​   ​ 
4
64. Resolva as inequações a seguir e escreva os números naturais que são soluções de cada uma.
a)4y 2 6 < 3y 1 7
b)36 . 2x 2 6
Reforço
67. Represente cada situação por uma inequação.
a)A altura de uma cortina acrescida de
20 cm não pode ultrapassar 2,5 m.
b)Um número n é maior do que o dobro
do seu consecutivo.
c)A terça parte de um número subtraída
de 10 é maior do que esse número.
68. (UFGO) O menor múltiplo de três que satisfaz a inequação x 1 5 < 2x 2 1 é:
a)12
d)3
b)9
e)0
c)6
69. Associe cada inequação a uma inequação
simplificada.
a)5 ∙ (x 2 2) 2 7 ? (x 1 2) . x
I. x , 26
3
x x _____
x11
b)​ __  ​1 __
​    ​, ​   ​ II.x
 
 
, __
​   ​ 
7
4
2 3
3x 1 1
2x 2 1
c)​ ______
 < 1 2 ​ ______
 
 
 ​ 
 ​ III.x
, 28
3
2
3x 1 2 ___
5x
 2 ​   ​ . 1
d)​ _______
 ​ 
4
6
5
IV.x < __
​    ​ 
13
c)5 2 x , 8
y
d)​ __  ​2 1 . 2
2
65. Faça o que se pede.
a)Verifique se o par ordenado (3, 1) é
solução da equação x 2 2y 5 3.
b)Determine o valor de x para que o
par ordenado (x, 23) seja uma solução da equação 5x 2 2y 5 24.
c)Determine o valor de y para que o
par ordenado (2, y) seja uma solução
da equação 2x 2 y 5 3.
66. Para fabricar x unidades de um produto,
o preço de custo é 2 400 1 3,60x reais
e o preço de venda de cada unidade é
10 reais. Quantas unidades precisam ser
fabricadas e vendidas para que a fábrica
obtenha lucro?
Nota: Confira se você acertou todas as
questões dessa Autoavaliação. Se não
acertou, faça as atividades de Reforço e de
Revisão antes do Aprofundamento.
70. Identifique qual das equações a seguir é
do 1o grau com duas incógnitas.
a)x2 1 y2 5 4
b)2y 1 x 5 9
c)3xy 5 3
d)2z 1 8y 5 3t 1 1
71. Eric viajou de avião para Porto Alegre.
Chegando lá, resolveu alugar um carro
por dois dias para conhecer melhor a cidade. Ele consultou o preço do aluguel
de um carro da mesma categoria em
duas locadoras. Veja o preço em cada
uma delas:
• Locadora A: RS|| 50,00 por dia, mais
RS|| 1,25 por quilômetro rodado.
• Locadora B: RS|| 100,00 por dia, com
quilometragem livre.
a)Na locadora B, Eric gastaria RS|| 200,00
pelos dois dias e poderia rodar quantos
quilômetros quisesse. Já na locadora A,
quanto ele pagaria se rodasse um total
de x quilômetros nos dois dias?
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b)Em que situação alugar um carro na locadora A é mais vantajoso do que alugar na locadora B?
72. Determine seis pares ordenados que são
solução da equação x 1 y 5 5.
Revisão: Refaça as atividades 4, 6, 7, 11, 12,
13, 22, 23, 24, 26, 27, 28, 29, 34, 37, 38, 39 e
40.
Aprofundamento
73. Em um sítio, entre ovelhas e cabritos, há
200 animais. Se a quantidade de ovelhas
1
é __
​    ​ da quantidade de cabritos, determine
3
quantas são as ovelhas e quantos são os
cabritos.
74. O custo C de produção de x unidades
de um produto é dado pela equação
C1 5 800 2 2x, com C dado em RS||/unidade.
A empresa que fabrica esse produto
desenvolveu um novo procedimento de
produção que pode ser feito ao custo
(por unidade) dado por C2 5 640 2 1,5x.
a)Em qual dos dois procedimentos a produção por unidade de 300 unidades do
produto é mais barata? E de 350 unidades?
b)Determine todos os valores de x para
os quais o novo procedimento de produção de x unidades é mais barato (por
unidade produzida) do que no procedimento antigo.
75. (UNICAMP) Numa escola é adotado o
seguinte critério: a nota da primeira
prova é multiplicada por 1, a nota da
segunda prova é multiplicada por 2 e
a nota da terceira prova é multiplicada
por 3. Os resultados, após somados, são
divididos por 6. Se a média obtida por
esse critério for maior ou igual a 6,5,
o aluno é dispensado das atividades de
recuperação. Suponha que um aluno tenha tirado 6,3 na primeira prova e 4,5
na segunda prova. Quanto precisará tirar na terceira prova para ser dispensado da recuperação?
a)No máximo 7,9.
b)No mínimo 9,7.
c)No máximo 9,7.
d)No mínimo 7,9.
e)n. d. a.
76. (OBMEP) Considere um número escrito na
forma decimal X,Y, onde X e Y são algarismos diferentes de 0. Determine esse núme3
ro, sabendo que X,Y é igual a ​ ___  ​ (X 1 Y).
10
Estratégias de Aprendizagem
Compreendendo o uso dos recursos de
estudos
Agora você fará uma análise dos pontos
fracos de sua aprendizagem referentes
aos temas deste capítulo.
a)Dentre todos os objetivos que você deveria ter atingido neste capítulo, aponte apenas os pontos que você ainda
tem dúvidas, ou seja, os objetivos que
você ainda não atingiu.
b)Escreva um pequeno texto expondo um
plano de estudos para você melhorar
sua aprendizagem nesses pontos. Em
seu texto procure responder perguntas
como:
1. O que eu pretendo aprender?
2.Quais recursos de estudos posso
usar?
3.Como devo usar os recursos de estudos? Por quanto tempo?
c)Compare seu texto com o de outros colegas, buscando compreender como os recursos de estudos podem ser utilizados
para atingir determinados objetivos.
Saber quais e como usar os recursos de
estudos certamente o ajudará a melhorar os pontos fracos de sua aprendizagem e, além disso, o ajudará a se conhecer melhor.
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Stuart Westmorland/Photographer's Choice/Getty Images