caderno do
ensino fundamental
a
7 - SÉRIE
volume 3 – 2009
MATEMÁTICA
PROFESSOR
Coordenação do Desenvolvimento dos
Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos
Professores
Ghisleine Trigo Silveira
AUTORES
Ciências Humanas e suas Tecnologias
Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton
Luís Martins e Renê José Trentin Silveira
Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu
Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo,
Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas
Governador
José Serra
Vice-Governador
Alberto Goldman
Secretário da Educação
Paulo Renato Souza
Secretário-Adjunto
Guilherme Bueno de Camargo
Chefe de Gabinete
Fernando Padula
Coordenadora de Estudos e Normas
Pedagógicas
Valéria de Souza
Coordenador de Ensino da Região
Metropolitana da Grande São Paulo
José Benedito de Oliveira
Coordenador de Ensino do Interior
Rubens Antonio Mandetta
Presidente da Fundação para o
Desenvolvimento da Educação – FDE
Fábio Bonini Simões de Lima
EXECUÇÃO
Coordenação Geral
Maria Inês Fini
Concepção
Guiomar Namo de Mello
Lino de Macedo
Luis Carlos de Menezes
Maria Inês Fini
Ruy Berger
GESTÃO
Fundação Carlos Alberto Vanzolini
Presidente do Conselho Curador:
Antonio Rafael Namur Muscat
Presidente da Diretoria Executiva:
Mauro Zilbovicius
Diretor de Gestão de Tecnologias
aplicadas à Educação:
Guilherme Ary Plonski
Coordenadoras Executivas de Projetos:
Beatriz Scavazza e Angela Sprenger
COORDENAÇÃO TÉCNICA
CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas
Pedagógicas
História: Paulo Miceli, Diego López Silva,
Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e
Raquel dos Santos Funari
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza
Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe,
Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina
Schrijnemaekers
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo
Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene
Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta
Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar
Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo
Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares
de Camargo
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina
Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto,
Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida
Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria
Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo
Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro,
Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão,
Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume
Linguagens, Códigos e suas Tecnologias
Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins,
Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino
e Sayonara Pereira
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza,
Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches
Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira
LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira
da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues,
Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo
Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet
Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar,
José Luís Marques López Landeira e João Henrique
Nogueira Mateos
Matemática
Matemática: Nílson José Machado, Carlos
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore
Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da
Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli
Caderno do Gestor
Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e
Zuleika de Felice Murrie
Equipe de Produção
Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza
Assessores: Alex Barros, Beatriz Blay, Carla de Meira
Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de
Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria
Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo
Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark,
Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti
Equipe Editorial
Coordenação Executiva: Angela Sprenger
Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa
Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam
Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís
Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho
Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira,
Maxwell Roger da Purificação Siqueira, Sonia
Salem e Yassuko Hosoume
Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie
Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes,
Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza,
Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa
Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda
Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião
FDE – Fundação para o Desenvolvimento da
Educação
Edição e Produção Editorial: Edições Jogo de
Amarelinha, Conexão Editorial e Occy Design
(projeto gráfico)
APOIO
CTP, Impressão e Acabamento
Esdeva Indústria Gráfica
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais
secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98.
* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não
estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.
Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas
S239c
São Paulo (Estado) Secretaria da Educação.
Caderno do professor: matemática, ensino fundamental - 7ª- série, volume 3 /
Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo
de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto
Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009.
ISBN 978-85-7849-365-3
1. Matemática 2. Ensino Fundamental 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria
Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore.
IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter.
VII. Título.
CDU: 373.3:51
Caras professoras e caros professores,
Tenho a grata satisfação de entregar-lhes o volume 3 dos Cadernos do Professor.
Vocês constatarão que as excelentes críticas e sugestões recebidas dos profissionais da rede estão incorporadas ao novo texto do currículo. A partir dessas
mesmas sugestões, também organizamos e produzimos os Cadernos do Aluno.
Recebemos informações constantes acerca do grande esforço que tem caracterizado as ações de professoras, professores e especialistas de nossa rede para
promover mais aprendizagem aos alunos.
A equipe da Secretaria segue muito motivada para apoiá-los, mobilizando
todos os recursos possíveis para garantir-lhes melhores condições de trabalho.
Contamos mais uma vez com a colaboração de vocês.
Paulo Renato Souza
Secretário da Educação do Estado de São Paulo
Sumário
São Paulo faz escola – Uma Proposta Curricular para o Estado
Ficha do Caderno
5
7
Orientação geral sobre os Cadernos
Situações de Aprendizagem
8
11
Situação de Aprendizagem 1 – Expandindo a linguagem das equações
11
Situação de Aprendizagem 2 – Coordenadas cartesianas e transformações no plano
Situação de Aprendizagem 3 – Sistemas de equações lineares
38
Situação de Aprendizagem 4 – Equações com soluções inteiras e suas aplicações
Orientações para Recuperação
58
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno
para a compreensão do tema 60
Considerações finais
61
Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Fundamental
62
50
25
São PAulo FAz ESColA – umA PRoPoStA
CuRRiCulAR PARA o EStAdo
Prezado(a) professor(a),
É com muita satisfação que lhe entregamos mais um volume dos Cadernos do Professor,
parte integrante da Proposta Curricular de 5ª- a 8ª- séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e
do Ensino Médio do Estado de São Paulo. É sempre oportuno relembrar que esta é a nova
versão, que traz também a sua autoria, uma vez que inclui as sugestões e críticas recebidas
após a implantação da Proposta.
É também necessário relembrar que os Cadernos do Professor espelharam-se, de forma
objetiva, na Base Curricular, referência comum a todas as escolas da rede estadual, e deram
origem à produção dos Cadernos dos Alunos, justa reivindicação de professores, pais e famílias para que nossas crianças e jovens possuíssem registros acadêmicos pessoais mais organizados e para que o tempo de trabalho em sala de aula pudesse ser melhor aproveitado.
Já temos as primeiras notícias sobre o sucesso do uso dos dois Cadernos em sala de
aula. Este mérito é, sem dúvida, de todos os profissionais da nossa rede, especialmente seu,
professor!
O objetivo dos Cadernos sempre será o de apoiar os professores em suas práticas de
sala de aula. Podemos dizer que este objetivo está sendo alcançado, porque os professores
da rede pública do Estado de São Paulo fizeram dos Cadernos um instrumento pedagógico
com bons resultados.
Ao entregar a você estes novos volumes, reiteramos nossa confiança no seu trabalho e
contamos mais uma vez com seu entusiasmo e dedicação para que todas as crianças e jovens da nossa rede possam ter acesso a uma educação básica de qualidade cada vez maior.
Maria Inês Fini
Coordenadora Geral
Projeto São Paulo Faz Escola
5
6
FiChA do CAdERno
Expandindo o mundo das equações
nome da disciplina:
Matemática
área:
Matemática
Etapa da educação básica:
Ensino Fundamental
Série:
7a
Volume:
3
temas e conteúdos:
Equações
Representações no plano através de coordenadas
Sistema de equações
Equações em diversos domínios
7
oRiEntAção gERAl SobRE oS CAdERnoS
Os temas escolhidos para compor o
conteúdo disciplinar de cada bimestre
não se afastam, de maneira geral, do que
é usualmente ensinado nas escolas, ou do
que é apresentado pelos livros didáticos. As
inovações pretendidas referem-se às suas
formas de abordagem sugeridas ao longo
do Caderno de cada um dos bimestres.
Em tal abordagem, busca-se evidenciar os
princípios norteadores do presente currículo,
destacando-se a contextualização dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas,
especialmente as relacionadas com a leitura e
a escrita matemática, bem como os elementos
culturais internos e externos à Matemática.
Em todos os Cadernos, os conteúdos estão
organizados em oito unidades com extensões
aproximadamente iguais, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo. De
acordo com o número de aulas disponíveis por
semana, o professor explorará cada assunto
com mais ou menos aprofundamento. A critério do professor, em cada situação específica,
o tema correspondente a uma das unidades
pode ser estendido para mais de uma semana,
enquanto o de outra unidade pode ser tratado
de modo mais simplificado.
É desejável que o professor tente contemplar as oito unidades, uma vez que, juntas,
elas compõem um panorama do conteúdo
do bimestre, e, muitas vezes, uma das unidades contribui para a compreensão das outras.
8
Insistimos, no entanto, no fato de que somente
o professor, em sua circunstância particular, e
levando em consideração seu interesse e o dos
alunos pelos temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicar
a cada uma das unidades.
Ao longo dos Cadernos são apresentadas,
além de uma visão panorâmica do conteúdo do
bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (1,
2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de abordagem sugerida, instrumentalizando o professor
para sua ação em sala de aula. As Situações de
Aprendizagem são independentes e podem ser exploradas com mais ou menos intensidade, segundo seu interesse e o de sua classe. Naturalmente,
em razão das limitações no espaço dos Cadernos,
nem todas as unidades foram contempladas com
Situações de Aprendizagem, mas a expectativa é
de que a forma de abordagem dos temas seja explicitada nas atividades oferecidas.
São apresentados também em cada Caderno, sempre que possível, materiais disponíveis
(textos, softwares, sites, vídeos, entre outros)
em sintonia com a forma de abordagem proposta, que podem ser utilizados pelo professor
para o enriquecimento de suas aulas.
Compõem o Caderno, ainda, algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada,
bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências
esperadas no presente bimestre.
Matemática – 7a série – Volume 3
Conteúdos básicos do bimestre
O planejamento do 3o bimestre da 7a série
tem três objetivos centrais: contemplar o estudo mais aprofundado das equações de 1o grau,
apresentar o plano cartesiano como recurso
para organizar e representar informação e
também apresentar a ideia de equação com
mais de uma incógnita em dois contextos: o
dos sistemas de equações e o das equações restritas às soluções inteiras.
Na Situação de Aprendizagem 1 – Expandindo
a linguagem das equações, partimos de uma discussão sobre a importância do trabalho com a leitura, interpretação de enunciados e transcrição das
informações para a linguagem algébrica, discutindo algumas estratégias para o desenvolvimento
da competência leitora do aluno. Na sequência,
sugerimos a continuidade do trabalho iniciado
na série anterior com equações de 1o grau por
meio de estratégias para a resolução de problemas. Na situação proposta, partimos de
problemas que envolvem equacionamentos
mais complexos do que os trabalhados na
6a série, e sugerimos estratégias de organização
de dados em tabelas, usando variações na posição da incógnita como recurso para discussão de
equações mais complexas. A situação é finalizada
com a apresentação de uma proposta de trabalho
com equações usualmente não trabalhadas na
7a série, em um contexto de desenvolvimento dos
raciocínios lógico e criativo.
Na Situação de Aprendizagem 2 – Coordenadas cartesianas e transformações no plano, iniciamos a apresentação do recurso da
representação de figuras por meio de coordenadas. A ideia de representação da informação
em um plano com eixos orientados não é nova,
ela já apareceu nas séries anteriores quando
foram trabalhados alguns temas relacionados
aos gráficos no contexto do tratamento da informação; porém, agora, ela se desenvolverá na
7a série com novas explorações, tais como
a ideia de representação através de coordenadas, usada em mapas e guias de ruas, e as
transformações no plano (translação, reflexão, ampliação e redução). O trabalho com as
transformações do plano também representa
uma oportunidade de retomada das ideias de
simetria axial e rotacional trabalhadas nas séries anteriores.
Com a Situação de Aprendizagem 3 – Sistemas de equações lineares, iniciamos a discussão sobre o significado de equações com
mais de uma incógnita, e sobre as estratégias
para a resolução de sistemas de equações.
O uso de mais de uma incógnita para organizar as informações de um problema mais
complexo é um recurso que deve ser compreendido, bem como devem ser compreendidas
as estratégias de resolução de sistemas de
equações lineares em uma 7a série. Além da
discussão dos métodos da adição e da substituição, que será proposta por meio de uma
retomada da ideia de balança desenvolvida na
6a série, dois outros importantes aspectos serão
trabalhados nesta Situação de Aprendizagem:
a representação de um sistema de equações no
plano cartesiano e a análise e discussão de um
sistema de equações lineares por meio de investigações sobre sua representação no plano.
9
Certamente a estratégia proposta não tem a
intenção de explorar a discussão de sistemas
lineares com a profundidade que será feita
mais adiante no Ensino Médio, mas tem o
caráter de desenvolver no aluno a compreensão do uso das linguagens algébrica e gráfica
como aliadas na análise e interpretação de
um problema com equações lineares.
Na Situação de Aprendizagem 4 – Equações com soluções inteiras e suas aplicações,
apresentamos uma série de problemas que,
uma vez equacionados, conduzem a uma
única equação com mais de uma incógnita.
Equações como essas, que em domínio real
seriam classificadas como indeterminadas,
podem ter um número finito de soluções inteiras e positivas. Problemas dessa natureza,
ou seja, problemas em que estamos interessados nas soluções inteiras positivas de uma
equação com mais de uma incógnita, são
muito frequentes em situações do nosso dia
a dia, e sua discussão, por meio da organização e análise dos dados em tabelas, trabalha
com o desenvolvimento de várias habilidades
matemáticas, como será descrito nesta Situação de Aprendizagem.
Como se pode perceber, este Caderno
apresenta inúmeras possibilidades de abordagem sobre os três objetivos centrais do
3o bimestre citados no primeiro parágrafo,
porém, deve ficar a critério do professor a escolha daquelas que são mais adequadas ao
10
seu programa e das maneiras para explorá-las.
Sabemos, evidentemente, que o bimestre
apresenta uma quantidade grande de novas
informações para o aluno, o que demanda
um tempo maior reservado para a reflexão
e a sistematização. Contamos com a leitura
cuidadosa das propostas aqui apresentadas,
mas entendemos como legítimo que o professor faça seus cortes e recortes de maneira a
adequá-las às suas necessidades.
Quadro geral de conteúdos do
3 o bimestre da 7 a série do Ensino
Fundamental
unidade 1 – Equações de 1o grau (problemas).
unidade 2 – Equações e inequações de
1o grau (problemas).
unidade 3 – Sistema de coordenadas cartesianas.
unidade 4 – Transformações geométricas
no plano.
unidade 5 – Sistemas de equações lineares
(método da adição).
unidade 6 – Sistemas de equações lineares
(método da substituição).
unidade 7 – Sistemas de equações lineares
(interpretação gráfica).
unidade 8 – Equações com soluções inteiras.
Matemática – 7a série – Volume 3
SituAçõES dE APREndizAgEm
SITuAçãO DE APRENDIzAgEM 1
ExPANDINDO A lINguAgEM DAS EquAçõES
Nesta Situação de Aprendizagem discutiremos aspectos relacionados com a leitura,
interpretação de enunciados e transcrição
das informações para a linguagem algébrica.
O trabalho prossegue com resolução de problemas envolvendo equações de 1o grau, utilizando o recurso de organização das informações
em tabelas.
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: equações de 1o grau; equações variadas (resolução por métodos
não algorítmicos); inequações.
Competências e habilidades: leitura e interpretação de enunciados; transposição entre as linguagens escrita e algébrica; raciocínio lógico dedutivo.
Estratégias: equacionar e resolver problemas de maneiras diferentes confrontando resultados
e identificando equivalências; utilizar a heurística como método de investigação da solução de
equações; estudar desigualdades por meio da resolução de problemas contextualizados.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 1
na 6a série é o da sistematização de métodos de
resolução de equações simples de 1o grau.
O estudo da Álgebra no Ensino Fundamental inicia-se de forma organizada e intencional
na 6a série, com o uso de letras na representação de problemas que envolvem regularidades,
padrões e relação entre grandezas. Ainda na
6a série, o aluno deve tomar contato e reconhecer
as equações simples como um importante recurso para organizar e representar informações.
Assim, parte significativa do empenho do
professor como o parceiro mais experiente
do aluno deve ser o de selecionar adequadamente problemas que permitam a maior abrangência
de situações passíveis de transposição da linguagem materna para a linguagem da álgebra.
Outro objetivo que também deve ser atingido
De acordo com esta proposta de planejamento, o 3o bimestre da 7a série será dedicado à
sequência do estudo da Álgebra, sendo, portanto, indispensável que o professor avalie, no início
do curso, em que estágio encontra-se o conhecimento dos alunos no que diz respeito à transposição de problemas da língua escrita para a álgebra
(e vice-versa) e ao tipo de equação que o aluno
consegue resolver por um método que não seja
apenas o de tentativa e erro. Feita essa avaliação,
a sequência de trabalho do bimestre poderá ser
planejada, tendo como objetivo a ampliação do
repertório de situações de transposição entre linguagens e a ampliação de estratégias de
11
resolução de equações mais complexas (ainda
com o foco voltado às equações de 1o grau). Na
Situação de Aprendizagem 1, apresentaremos algumas possibilidades de trabalho nessa direção.
A = 6P (nesse caso, para 1 professor temos 6
alunos, para 2 professores temos 12 alunos,
para 3 professores temos 18 alunos, e assim
sucessivamente).
A leitura atenta de um problema é o primeiro passo no caminho da transposição para a
linguagem algébrica, mas estudos indicam que
apenas a boa leitura não é garantia para a transposição correta. Veja, por exemplo, a seguinte
situação-problema apresentada para estudantes
universitários e os seus resultados: usando as variáveis A para número de alunos e P para o de
professores, escreva uma equação para representar a afirmação “há seis vezes mais alunos do
que professores nesta universidade”. A resposta
correta não é 6A = P, apesar de boa parte dos
estudantes ter assinalado essa alternativa. Se essa
fosse a resposta, para um total de 10 alunos teríamos 60 professores, exatamente o contrário do
que afirma o enunciado. O correto seria A = 6P.
Veremos a seguir alguns exemplos que podem
ser utilizados para o mesmo tipo de trabalho.
Aproveitando esse exemplo, uma estratégia
importante que merece ser discutida pelo professor com seus alunos é a da verificação. Note
que, após a transposição entre as linguagens,
que conduziu equivocadamente à expressão
6A = P, caso o aluno confrontasse seu resultado com um exemplo numérico, é possível que
tivesse identificado seu erro. Bastaria, nesse
caso, atribuir um valor qualquer para A, como
10, obtendo em seguida 60, o que indicaria
que para cada 1 aluno teríamos 6 professores.
Confrontando esse resultado com as informações do texto, fica evidente que a correção a
ser feita é a da troca entre A e P na expressão
errada, resultando corretamente na expressão
12
Atividade 1
Escreva uma sentença matemática que represente a seguinte frase:
“X reais a menos que Y reais é igual a 40 reais”.
É possível que boa parte dos estudantes
responda X – Y = 40, quando o correto
seria Y – X = 40. Um exemplo numérico
pode ajudá-los a esclarecer a questão: “Dez
reais a menos que 50 reais é igual a 40 reais”
(50 – 10 = 40).
Atividade 2
Se X operários constroem um muro em
Y horas, quantas horas serão necessárias para
que o triplo do número de operários construa
o mesmo muro? (Naturalmente, estamos supondo que todos os operários têm rendimento
igual no desempenho da tarefa de construção.)
A resposta correta não é 3Y, porque o
problema em questão envolve grandezas
“inversamente proporcionais”, ou seja,
quanto maior o número X de operários,
menor o número Y de horas necessárias
para levantar o muro (o dobro de X implica
a metade de Y, o triplo de X implica a terça
parte de Y, e assim por diante). A resposta
Matemática – 7a série – Volume 3
Y
. Veja como um exemplo
3
numérico seria útil na identificação do erro
correta é
da expressão 3Y:
Se X = 1 operário e Y = 6 horas, X = 3 operários
construiriam o muro mais rapidamente,
construiriam na terça parte do tempo, ou seja,
em 2 horas. Nesse caso, evidencia-se que a
resposta 3Y, que resultaria em 3 . 6 = 18 horas,
está errada.
Outro aspecto que pode ser trabalhado na
verificação das estratégias de transposição de
problemas para a linguagem algébrica é o uso
adequado da notação, como veremos na atividade a seguir.
Atividade 3
Escreva uma expressão, com as letras indicadas na figura, para a área do retângulo.
a
b
c
Alguns alunos devem escrever que a área é
igual a “a . b + c”, quando o correto seria
“a . (b + c)”. Nesse caso específico,
a verificação com números pode conduzir a
dois tipos de situação, como veremos usando
os valores numéricos a = 3, b = 4 e c = 2:
Situação 1: O aluno arma a conta 3 . 4 + 2 e
conclui que o resultado é 18. Nesse caso, ele
obteve o resultado esperado para o problema,
mas a partir de uma expressão escrita de forma
errada para sua resolução (pela expressão
formulada o resultado seria 14). Duas hipóteses
podem ser levantadas nessa situação: ele armou
a expressão com letras, mas não a utilizou
quando foi fazer a verificação com números (fez
a verificação apenas interpretando a figura),
ou ele armou a expressão e, ao substituir os
números, não associou a ideia de que em uma
expressão com multiplicações e somas fazemos
primeiro as multiplicações.
Situação 2: O aluno arma a conta 3 . 4 + 2,
lembra-se da ordem das operações (primeiro
a multiplicação e depois a adição) e conclui
que o resultado é 14. Nesse caso, seu cálculo
está correto para a expressão, mas não é a
solução do problema, porque partiu de uma
expressão errada.
A primeira situação evidencia a necessidade
de que o professor retome com os alunos a
ordem das operações, e a segunda sugere
que o professor explore mais a ideia de
verificação que, no caso desse problema,
implicaria confrontar o resultado 14 com o
cálculo por substituição direta de valores na
figura, como se vê a seguir:
Área = 3 . 6 = 18 ≠ 14
3
2
4
6
uma atividade importante que também deve
ser praticada é a da passagem da linguagem algébrica para um problema concreto e escrito na
nossa língua. As estratégias de verificação também devem ser usadas nesse tipo de problema.
13
Atividade 4
2x = 5 → dividindo ambos os membros por 2,
5
teremos x = .
2
Escreva por extenso uma sentença que forneça a mesma informação que a expressão
x = 5Y fornece.
x
Uma resposta tipicamente errada seria:
+ == 33 → multiplicando ambos os memxx +
2
“X = número de figurinhas de João e
bros por 2, teremos 2x + x = 6, ou seja,
Y = número de figurinhas de Paulo. Logo,
3x = 6. Por fim, dividindo ambos os memPaulo tem o quíntuplo do número de figuribros por 3, teremos x = 2.
nhas de João.”
Nesse caso, partindo do enunciado criado pelo
Na 6a série, a expectativa é de que o aluno
aluno, se João tem 3 figurinhas, Paulo terá
consiga resolver problemas que possam ser
15, que é o quíntuplo de 3, ou seja, se X = 3,
traduzidos por equações simples de 1o grau,
Y tem que ser igual a 15, o que se verifica pela
por exemplo:
expressão X = 5Y indicada no enunciado do
x
3x – 4 = 2 x + 6 ,
+ 3x = 5 – x , – 3 2 x − 1
problema. Para corrigir a resposta do aluno,
2
bastaria trocar Paulo e João na frase que
x
1
2x 1
3x – 4 = 2 x + 6 ,
+ 3x = 5 – x , – 3 2 x − 1 =
,
– =
relaciona seus números de figurinhas.
2
3
4
2
1
x
2x 1
3
Com relação aos procedimentos
3x – 4 de
= 2resolução
x+6 ,
+ 3x = 5 – x , – 3 2 x − 1 =
,
– = – 2x +
3
4
2
2
de equações, esta proposta de planejamento su- 2
a
2x 1
3
1
gere que na 6 série o alunoxtome contato com
,
– = – 2x +
3x – 4 = 2 x + 6 ,
+ 3x = 5 – x , – 3 2 x − 1 =
os métodos de resolução por
2 operação inversa
2
3
4
2
(“desfazer operações”) e por equações equivaNa 7a série, a expectativa é de que o aluno
a
lentes (método da “balança”), e que na 7 série
consiga resolver problemas que possam ser
resolva equações mais complexas usando quaistraduzidos por qualquer tipo de equação de
quer desses métodos. É claro que, com orientação
1o grau. Citamos, a seguir, alguns exemplos
do professor, a prática dos alunos na resolução
de equações de 1o grau mais complexas, que
de equações será encaminhada para um procedinos parecem mais apropriadas de ser trabamento que incorpore ideias de ambos os métodos,
lhadas em uma 7a série:
porém é importante que o professor compreenda
3 3 – 3x = 3x – 1 , 2(–2x + 3) – 3 = x + 2x
que frases como “muda de lado e troca o sinal”
5 2 4
2
7
2
devem ser evitadas, porque, além de sugerirem
2(–2x + 3)
uma ideia errada, induzem a uma série de equí-3 3 3x
–
= 3x – 1 ,
– 3 = x + 2x
2
7
2
vocos, como o de resolver a equação 2 x = 5 como5 2 4
x
x +2
x = 5 − 2 → x = 3, ou a equação x×++ = 3
2 – 3x
3
= x, x + 1=
2
x–4
5
4 x–4
como x + x = 6 → x = 3. Nos dois casos, a melhor
2
x +2
conduta do professor seria explicitar a opera2 – 3x
3
(com x ≠ 4)
= x, x + 1=
ção que está sendo feita:
x–4
5
4 x–4
2
(
(
(
(
)
(
(
14
)
)
)
)
)
Matemática – 7a série – Volume 3
O estudo de equações de 1o grau constitui em
um tema muito rico para o trabalho com resolução de problemas. O aluno deve reconhecer
nesse estudo que as equações constituem uma
ferramenta importante para a representação e
resolução de problemas cujo encaminhamento
por meio de recursos aritméticos seria muito complicado. Nesse sentido, o professor deve
incentivar que os alunos busquem inicialmente
solucionar os problemas por meio da Aritmética
e que, constatada a dificuldade, saibam utilizar
de maneira apropriada o recurso algébrico das
equações para encontrar a resposta procurada.
A seguir, veremos alguns exemplos de problemas que cumprem essa função. Inúmeros outros
exemplos podem ser criados ou encontrados nos
livros didáticos.
outras tabelas chamando de x a quantia paga
por outra pessoa. Essa atividade de mudar o
significado da incógnita é útil para o trabalho
com a ideia de operação inversa e para a
discussão de que, apesar de encontrarmos
valores diferentes para x dependendo de
onde ele esteja na tabela, a resposta final
do problema sempre será a mesma, seja qual
for a escolha de posição para x.
Tabela 1
Rui
3x
4
gustavo
x
Cláudia
x
− 10
3
3x
x
+x+
− 10 = 78
4
3
x = 42,24
Rui: R$ 31,68
Gustavo: R$ 42,24
Cláudia: R$ 4,08
Atividade 5
Ao repartir uma conta de R$ 78,00 no restaurante AL GEBRÁ, três amigos estabeleceram que:
f Rui pagaria 3 do que gustavo pagou;
4
f Cláudia pagaria R$ 10,00 a menos que a
terça parte do que gustavo pagou.
que valor da conta coube a cada um dos
três amigos?
Em primeiro lugar, é importante que o professor
oriente uma estratégia de organização das
informações, que pode ser feita por meio
de uma tabela. Na montagem dessa tabela,
chamaremos de x a quantia paga por um
dos três amigos e, sempre que possível, o
professor deve pedir que os alunos montem
Tabela 2
Rui
9( x + 10)
4
9(x + 10)
+ 3(x + 10) + x = 78
4
x = 4,08
gustavo 3(x + 10)
Cláudia
Rui: R$ 31,68
Gustavo: R$ 42,24
x
Cláudia: R$ 4,08
Tabela 3
Rui
gustavo
x
4x
3
x+
4x
4x
+
– 10 = 78
3
9
x = 31,68
Rui: R$ 31,68
Cláudia
4 x − 10
9
Gustavo: R$ 42,24
Cláudia: R$ 4,08
15
O equacionamento mais natural é o da
Tabela 1 que, por sua vez, recai em uma
equação de resolução supostamente já conhecida de um aluno de 7a série. Partindo
da Tabela 1 e do equacionamento obtido,
o aluno terá encontrado como resultado
para Rui, Gustavo e Cláudia, respectivamente, os valores de R$ 31,68, R$ 42,24
e R$ 4,08. Espera-se, portanto, que equacionamentos com a colocação de x como
o valor da conta a ser paga por outra pessoa que não Gustavo produzam os mesmos
resultados finais para cada uma das três
pessoas. De posse dessa conclusão, e tendo
montado as Tabelas 2 e 3, o aluno poderá investigar estratégias de resolução das
equações decorrentes dessas duas tabelas,
em particular nos interessando as estratégias de resolução da equação decorrentes
da Tabela 2, que é mais difícil do que as
outras. No caso da equação da Tabela 2,
o aluno sabe que seu resultado final tem
que ser x = 4,08 e, a partir dessa informação, deverá descobrir eventuais erros no
seu processo de resolução da equação, se
ele não tiver conduzido a esse valor. O erro
mais frequente, e que merece um comentário do professor, é:
Ao multiplicar por 4 os dois membros,
o aluno escreve a equação:
9(x+10)+12(4x+40)+4x = 312, quando o
correto seria 9(x+10)+12(x+10)+4x = 312
ou 9(x+10)+3(4x+40)+4x = 312.
Uma boa estratégia que pode ser sistematizada ao final dessa discussão para evitar
erros como o mencionado é:
1. Aplicamos a propriedade distributiva
eliminando parênteses.
16
2. Frações com o numerador escrito como
soma ou subtração devem ser transformadas
em frações com numerador simples (apenas
um número ou uma letra, ou um número
multiplicando uma letra).
3. Multiplicamos os dois membros (termo
a termo) pelos denominadores das frações
ou, de forma mais direta, pelo MDC dos
denominadores.
Nesse caso, a resolução corresponderia às
seguintes etapas:
9(x + 10)
+ 3(x + 10)+ x = 78
4
9x + 90
+ 3x + 30 + x = 78
2)
4
9x 90
3))
+ + 3x + 30 + x = 78
4
4
4) 9x + 90 + 12x + 120 + 4x = 312
255x = 102 → x = 4,08
1)
Atividade 6
Se de 220 subtrairmos a idade de uma pessoa , obtemos uma aproximação da frequência
cardíaca máxima por minuto que essa pessoa
tolera em atividade física intensa. Sabe-se que
24
a frequência cardíaca máxima de Renê é
23
da de Bernardo. Se a frequência cardíaca máxi16
ma de Renê é igual a
da idade de Bernardo,
3
determine a idade e a frequência cardíaca máxima dos dois amigos.
Adotando o mesmo tipo de procedimento
usado na resolução do problema anterior,
equacionaremos esse problema utilizando
tabelas.
Matemática – 7a série – Volume 3
Tabela 1
Idade
Renê
220 −
Frequência
cardíaca máxima
24(220 − x)
24(220 − x)
220 −
23
23
x
220 − x
Idade
Frequência
cardíaca máxima
x
220 − x
Bernardo
24(220 − x) 16x
=
23
3
x = 36
Renê: 28 anos e FCmáx = 192
Bernardo: 36 anos e FCmáx = 184
Tabela 2
Renê
23(220 – x) ⎤
16 ⎡
23(220 16
– x)
⎡ ⎤
220
–
220
–x =
220 220
– –x =
Bernardo
⎥⎦
⎢
⎥
⎢
24
3 ⎣
24 3 ⎣ ⎦
220 – x =
16 ⎡
23(220 – x) ⎤
220 –
⎥⎦
⎢
3 ⎣
24
x = 28
Renê: 28 anos e FCmáx = 192
Bernardo: 36 anos e FCmáx = 184
Tabela 3
Idade
Renê
Bernardo
220 −
24x
23
Frequência
cardíaca máxima
24x
23
220 − x
x
Idade
Frequência
cardíaca máxima
24x 16
= (220 − x)
23
3
x = 184
Renê: 28 anos e FCmáx = 192
Bernardo: 36 anos e FCmáx = 184
Tabela 4
Renê
220 − x
Bernardo
23x
220 −
24
x
x=
16 
23x 
220 −

3 
24 
x = 192
23x
220 −
24
Para a montagem das tabelas, é importante
que o aluno compreenda inicialmente
Renê: 28 anos e FCmáx = 192
Bernardo: 36 anos e FCmáx = 184
a seguinte informação do enunciado:
FCmáx = 220 – I, onde FCmáx é a frequência
17
cardíaca máxima do indivíduo de idade I. Para
compreender essa relação, alguns exemplos
podem ser úteis.
Um indivíduo de 20 anos tem frequência
cardíaca máxima 200 porque 220 – 20 = 200.
Reciprocamente, um indivíduo com frequência
cardíaca máxima igual a 200 tem 20 anos de
idade, porque 220 – 200 = 20. Um indivíduo
de 30 anos tem frequência cardíaca máxima
190, porque 220 – 190 = 30. Reciprocamente,
um indivíduo com frequência cardíaca máxima
igual a 190 tem 30 anos de idade, porque
220 – 190 = 30. Segue que um indivíduo de
idade I tem FC máxima igual a 220 – I, e
um indivíduo de frequência cardíaca máxima
FCmáx tem idade I igual a 220 – FCmáx.
Na Tabela 3, colocamos x na frequência
cardíaca máxima de Bernardo, o que implica
dizer que sua idade será 220 − x. Como a
frequência cardíaca máxima de Renê é 24
23
da de Bernardo, então a FCmáx de Renê será
24x . A partir da FC de Renê concluímos
máx
23
que sua idade tem que ser 220 – 24x .
23
Note que o caminho feito para a organização
dos dados na Tabela 3 foi:
x
Para as Tabelas 1, 2 e 4 os caminhos foram:
Tabela 1
Tabela 2
x
x
1
18
Tabela 4
x
Tendo em vista a resolução das equações
decorrentes de cada uma das tabelas, é
importante, mais uma vez, destacar que o
aluno deverá compreender que o valor de x
obtido em cada uma delas é diferente porque
diz respeito a uma informação diferente da
tabela, porém, as respostas finais sobre as
idades e frequências cardíacas máximas
de Renê e Bernardo devem ser iguais nas
quatro tabelas, o que pode ser utilizado
como recurso para corrigir eventuais
erros no procedimento de resolução
das equações.
um curso de equações necessariamente
tem que dar atenção à técnica de resolução,
mas não deve dar ênfase maior a ela do que
ao uso do raciocínio lógico. Não é razoável
que se faça uso de técnicas em problemas de
equações nos quais a solução pode ser obtida
diretamente pelo uso da heurística1, como comentaremos a seguir.
O ambiente de estudo das equações é
extremamente adequado ao exercício da
heurística, já que muitas vezes uma equação pode ser resolvida por estratégias diferentes das que normalmente faríamos com
o uso das técnicas. O exercício de resolver
equações por caminhos mais inventivos do
que o da técnica é fundamental para o desenvolvimento do pensamento matemático
e, portanto, deve sempre ser incentivado.
A seguir, apresentamos uma atividade em que
o aluno tem que resolver uma série de equações, mas, na maioria dos casos, as técnicas
Segundo o Dicionário Houaiss, heurística: arte de inventar, de fazer descobertas; ciência que tem por objeto
a descoberta de fatos. Dicionário Houaiss da Língua Portuguesa (edição eletrônica). Rio de Janeiro: Editora
objetiva, 2007.
Matemática – 7a série – Volume 3
conhecidas por ele não são suficientes para
resolver os problemas, o que deve motivar a
busca de soluções inventivas. O professor deve
observar que na lista incluímos equações de
2o grau, de 3o grau, com frações algébricas,
exponenciais, equações com radicais, equações com mais de uma solução, equações sem
solução e até equações com infinitas soluções,
sendo que todas podem ser resolvidas por um
aluno de 7a série sem o uso da técnica.
h) 2x+1 = 16
i) 52–x = 25
j) (x + 5).(x – 3) = 0
k) x.(x + 1).(x + 2).(x + 3) = 0
l) x + 1 = x + 2
m)
5
=0
x +1
n)
x+2
=1
3x
o)
2x – 1
=1
x+4
Atividade 7
As técnicas aqui estudadas para resolver
equações são importantes porque organizam
os procedimentos algébricos, porém, nunca
devemos perder de vista a heurística. Todas as
equações a seguir podem ser resolvidas sem o
uso das técnicas algébricas; descubra a solução de cada uma usando o método heurístico.
lembre-se que uma equação pode não ter solução, pode ter apenas uma solução, pode ter
mais de uma solução ou até mesmo infinitas
soluções.
a) 3x + 1 = 82
1
1
=–
b)
x +1
5
c) x2 = 25
p) (2x)3 = 64
q) (2x + 1).(3x + 3) = 0
r)
s)
x + 3 = 25
81
=1
3x
t) 1 =
29
2 –3
x
u) 3x 2 + 5x 6 = –15
d) x2 + 2 = 51
v) 2 x – 1 = – 13
41
41
e) (x + 1)2 = 9
w) x3 = – 8
f) x2 = – 16
x)
x 22 =
=
g) 22x
9
8
1
=0
5x
y) 0.x = 0
19
a) Basta investigar as potências de 3 até
encontrar alguma cuja soma com 1 resulte 82.
A resposta é x = 4, porque 34 = 81.
b) O denominador da fração do primeiro
membro tem que ser igual a – 5 para que
a igualdade seja verdadeira com o segundo
membro. Para que x + 1 seja igual a – 5,
x tem que ser igual a – 6 .
c) Os números que elevados ao quadrado resultam 25 são 5 e –5. É provável que os alunos encontrem apenas a resposta positiva,
e que se surpreendam com o fato de encontrarmos duas soluções para uma equação.
d) Tirando 2 de 51 resulta 49, o que implica
dizer que procuramos um número cujo
quadrado seja 49. Resposta: 7 e –7.
e) –3 e 3 são os números cujo quadrado é 9,
mas como estamos elevando x + 1 ao
quadrado, procuramos x + 1 = –3 e x + 1 = 3,
ou seja, x = – 4 ou x = 2.
f) Não existe número real cujo quadrado
seja negativo, portanto, a equação não possui
solução (em IR).
9
9
. Então, procuramos
é
8 16
um número que elevado ao quadrado resulte
9 . Resposta: 3 e − 3 .
4
4
16
g) A metade de
h) Como 24 = 16, procuramos um número
que somado a 1 dê 4, que é o número 3.
i) Análogo ao anterior, o x procurado é 0.
j) Se o produto de dois números é zero, necessariamente um deles é zero (ou ambos são 0).
Segue, portanto, que x é igual a –5 ou 3.
20
k) Análogo ao anterior, x pode ser 0, –1, –2
ou –3.
l) Não há valor de x que torne a igualdade verdadeira, portanto, essa é uma equação “sem
solução” (a solução é um conjunto vazio).
m) Como fração indica uma divisão, jamais
poderemos ter uma fração de numerador
diferente de zero que seja igual a zero. Portanto, essa é outra equação de solução vazia.
n) Se uma fração é igual a 1, necessariamente
seu numerador é igual ao seu denominador,
o que implica dizer que estamos procurando
o x que resolva a equação x + 2 = 3x.
Resposta: x = 1.
o) Análogo ao anterior. Resposta: x = 5.
p) Inicialmente, procuramos um número que
elevado ao cubo resulte 64, que é o número 4.
Em seguida, a pergunta passa a ser: qual é o
expoente de uma potência de 2 para que o
resultado seja 4? Resposta: 2. Esse exercício
pode ser usado para discutir ou recordar a
propriedade (am)n = a m . n.
q) Análogo ao raciocínio dos exercícios j e k.
Resposta: − 1 ou –1.
2
r) O quadrado de 25 é 625. Então, procuramos um número que somado a 3 resulte
625. Esse número é 622.
s) 3x tem que ser igual a 81 para que a
fração do lado esquerdo seja equivalente a 1.
O expoente que faz 3x ser igual a 81 é 4,
que é a resposta da equação.
t) Análogo ao anterior. Resposta: x = 5.
Matemática – 7a série – Volume 3
u) Seja qual for o valor de x, sabemos
que x 2 e x 6 serão números não negativos,
portanto, a equação não possui solução
(em IR).
v) Uma vez que os dois membros representam
equações de denominador 41, temos que ter
2x – 1 = –13, ou seja, x = – 6.
w) –2 é um número que elevado ao cubo
resulta – 8 (nesse exercício o professor pode
comentar com os alunos que em um conjunto
numérico, que será estudado no futuro,
a equação do problema terá outras duas
soluções além do –2).
x) De modo análogo ao exercício m e
ao o, o problema não tem solução (o
professor deve aproveitar esse exercício
para discutir que x = 0 não é uma solução
do problema).
y) Qualquer valor de x resolve a equação,
portanto, é uma equação com infinitas
soluções.
Dependendo do interesse da turma, os seguintes comentários podem ser feitos ao longo
da correção dessa atividade:
f As equações a, h, i, p, s, t e x recebem o
nome de equações exponenciais. Você consegue imaginar o porquê desse nome?
Porque a incógnita se encontra em um
expoente.
f Na 1a série do Ensino Médio, você vai
aprender técnicas para resolver equações
exponenciais.
f As equações b, m, n e o recebem o nome
de equações com frações algébricas. Você
consegue imaginar o porquê desse nome?
Porque são equações envolvendo frações
escritas com incógnitas no denominador.
f Na 7a e na 8a séries, você vai aprender técnicas para resolver equações com frações
algébricas.
f As equações c, d, e, f, g, j, k, l, q, u, v, w e y
recebem o nome de equações algébricas (ou
equações polinomiais). O grau de uma equação algébrica varia de acordo com o maior
expoente que a incógnita assume quando a
equação está escrita na forma mais simples
possível. As estratégias de resolução das
equações algébricas de 1o grau você começou a aprender na 6a série, e continua aprendendo na 7a série. Na 8a série, você aprenderá
técnicas para resolução de equações algébricas de 2o grau. Na 3a série do Ensino Médio, você vai aprender técnicas para resolver
algumas equações algébricas de grau maior
ou igual a 3.
f A equação r chama-se equação irracional (equação que possui a incógnita no radicando).
f Para sua surpresa, algumas equações para as
quais você não encontrou solução têm uma
ou mais respostas, mas para encontrá-la(s)
você terá que expandir seus conhecimentos
sobre conjuntos numéricos. Por exemplo,
as equações f e u têm soluções no conjunto
numérico dos números complexos, que você
vai aprender na 3a série do Ensino Médio.
21
f Existem muitos outros tipos de equação que
exploram contextos matemáticos que você
ainda não conhece, então, seja bem-vindo
ao maravilhoso mundo das equações que
você só está começando a aprender (referimo-nos, nesse caso, às equações trigonométricas, matriciais e logarítmicas).
A investigação das equações, que são sentenças matemáticas em que aparece o sinal de
igualdade (=) e uma ou mais incógnitas, estabelece quase de forma natural uma porta de entrada para o estudo das sentenças matemáticas
com uma ou mais incógnitas nas quais aparece
um sinal de desigualdade (>, <,  ou ).
Dois aspectos devem ser destacados na introdução ao estudo das inequações. Em primeiro lugar, é importante que o professor evite
a formulação de regras como “multiplica por
negativo e troca o sinal da desigualdade” sem
que antes tenha sido trabalhado com segurança uma compreensão significativa de tal “regra
prática”. Em segundo lugar, deve-se procurar,
na medida do possível, problematizar o uso das
inequações em situações concretas de resolução
de problemas. A seguir, apresentamos alguns
problemas que contemplam esse objetivo.
22
Atividade 8
A figura indica uma folha de latão que será
usada na montagem de uma peça (as medidas
estão em metros).
x + 10
x
2x + 4
x
x
x
2x + 4
A equação w, para a qual você só encontrou
uma solução, possui mais duas soluções no
conjunto dos números complexos. Mas fique
atento, existem equações que não possuem
solução, seja qual for o conjunto numérico
assumido, ou seja, sua solução sempre será
o conjunto vazio. São exemplos de equações
com solução conjunto vazio: l, m e x.
a) Determine todos os valores possíveis de
x (em metros) para que o perímetro da
folha seja maior ou igual a 64 m.
2(2x + 4 + x) + 2(x + x + 10 + x) ≥ 64
x ≥ 3 metros.
b) Determine todos os valores possíveis de x
(em metros) para que a soma dos comprimentos representados em vermelho seja
menor que a soma dos demais comprimentos que completam o perímetro da folha.
2(2x + 4 + x + x) < 2(x + 10) + x + x →
→ x < 3. Nesse caso, é importante que se
observe a figura para identificar a condição
de existência de x (para que a figura exista,
temos que ter x > 0). Portanto, a resposta
do problema deve atender simultaneamente
às condições x < 3 e x > 0, o que pode ser
escrito, resumidamente, como 0 < x < 3, com
x dado em metros.
Atividade 9
Para produzir x litros de uma substância, o
custo por litro depende da quantidade produzida, ou seja, depende do valor de x. Em dada
situação, o custo por litro é expresso pela relação
Matemática – 7a série – Volume 3
C = 1 000 – 1,5x. A empresa que fabrica essa
substância desenvolveu um novo processo de
produção que pode ser feito ao custo (por litro)
dado pela fórmula C = 940 – 1,4x. Pergunta-se:
a) Deseja-se produzir 450 litros da substância. Em qual dos dois processos o
custo por litro será menor? E se a quantidade a ser produzida for 620 litros?
Para x = 450, o processo antigo implica um
custo de (1 000 – 1,5 . 450) = R$ 325,00 por
litro, e o novo, um custo de (940 – 1,4 . 450)=
= R$ 310,00 por litro. Para x = 620, o processo
antigo implica um custo de (1 000 – 1,5 . 620) =
= R$ 70,00 por litro, e o novo, um custo de
(940 − 1,4 . 620)= R$ 72,00 por litro. Portanto, para 450 litros, o custo por litro dado pela
fórmula antiga é maior que o dado pela fórmula
nova, e para 620 litros a situação se inverte.
b) Determine todos os valores de x para os
quais o custo por litro no novo processo
de produção é menor do que o custo
por litro no processo antigo.
Procura-se a solução da inequação
940 − 1,4x < 1 000 − 1,5x, que é x < 600.
Devemos ainda observar que como x > 0,
portanto 0 < x < 600, com x dado em litros.
Atividade 10
Para enviar uma mensagem do Brasil para
os Estados unidos via fax, uma empresa cobra R$ 3,40 pela primeira página e R$ 2,60 por
página adicional, completa ou não. Calcule o
maior número de páginas possível de uma dessas mensagens para que seu preço não ultrapasse o valor de R$ 136,00.
Chamando de P o preço em R$ para enviar x
páginas, temos: P = 3,4 + 2,6.(x – 1)
Calcular o maior número de páginas possível
para que o preço não ultrapasse R$ 136,00,
resume-se a resolver e interpretar a inequação
3,4 + 2,6.(x – 1) ≤ 136, com x inteiro.
Resolvendo a inequação:
3,4 + 2,6x − 2,6 ≤ 136 → x ≤ 52.
O maior número inteiro que é menor ou
igual a 52 é o próprio 52, que é a resposta
do problema.
Atividade 11
Em um concurso com 20 questões, para
cada questão respondida corretamente, o candidato ganha 3 pontos e, para cada questão respondida de forma errada (ou não respondida),
perde 1 ponto. Sabendo que para ser aprovado
o candidato deve totalizar na prova um mínimo de 28 pontos, calcule o menor número de
questões respondidas corretamente para que
o candidato seja aprovado no concurso.
Chamaremos de x o número de questões
respondidas corretamente pelo candidato e
de 20 – x o número de questões respondidas
erradamente ou não respondidas por ele. Se
P é o total de pontos obtidos pelo candidato
ao responder corretamente x questões,
então a função que modela o problema é
P = 3x – (20 – x), com x sendo um número
inteiro tal que 0 ≤ x ≤ 20.
O menor número de questões respondidas
corretamente para que o candidato totalize
um mínimo de 28 pontos será o menor inteiro
que atende à inequação P ≥ 28. Resolvendo:
23
3x – (20 – x) ≥ 28
CA < CB
3x – 20 + x ≥ 28
35 + 0,5x < 20 + 0,8x, ou seja, x > 50
4x ≥ 48
CB < CC
x ≥ 12. Portanto, no mínimo ele deve
acertar 12 questões, totalizando, nesse caso,
exatamente 28 pontos.
Atividade 12
Três planos de telefonia celular são apresentados na tabela a seguir:
Plano
Custo fixo
mensal
Custo adicional
por minuto
A
R$ 35,00
R$ 0,50
B
R$ 20,00
R$ 0,80
C
R$ 0,00
R$ 1,20
a) qual é o plano mais vantajoso para
alguém que utiliza 25 minutos por mês?
Chamando-se de CA , CB e CC o custo total
dos planos A, B e C para x minutos de uso,
teremos:
C A = 35 + 0,5 .x → C A = 35 + 0,5 .25 =47,5
C B = 20 + 0,8 .x → C B = 20 + 0,8 .25 =40
CC = 1,2.x → CC = 1,2 .25 =30
Portanto, para 25 minutos de uso:
CC < CB < CA.
b) A partir de quantos minutos, de uso
mensal, o plano A se torna mais
vantajoso que os outros dois?
Queremos encontrar o menor valor de x para
que CA < CB e CA < CC .
24
35 + 0,5x < 1,2x, ou seja, x > 50
Para qualquer valor de x maior do que
50 minutos, o plano A será mais barato que
os planos B e C.
Considerações sobre a avaliação
Na Situação de Aprendizagem 1, discutimos a resolução de equações e inequações.
No tema equações, demos continuidade à
introdução feita na 6a série sobre o assunto, apresentando situações mais complexas
passíveis de equacionamento, bem como
equações de 1o grau de complexidade maior
que as apresentadas na série anterior. No que
diz respeito às desigualdades, na Proposta
Curricular que está sendo apresentada, o estudo das inequações tem início na
7a série e prossegue nas séries seguintes.
Na 7a série, entendemos que o assunto deve
ser tratado, sempre que possível, com maior
ênfase dada à resolução de problemas e não à
tecnicidade, o que não quer dizer que o professor deva abandonar por completo a sistematização de alguns procedimentos de resolução
de inequações. lembramos que o estudo das
inequações está apenas começando na 7a série
e, certamente, será retomado com aprofundamento e outros matizes nas séries seguintes.
uma vez que o aluno estará aprofundando
seus conhecimentos sobre equações nesse bimestre, é tarefa importante do professor prepará-los para uma boa leitura de enunciados
Matemática – 7a série – Volume 3
e para a transposição de linguagens (do texto para a álgebra, e vice-versa). A leitura
e a interpretação de enunciados será melhor, quanto mais o aluno puder praticá-la
com orientação do professor. O professor
deve evitar concentrar o curso apenas em
problemas do tipo “resolva a equação...”,
“determine o valor de x...”, etc., sendo
preferível que se privilegiem problemas
com texto e contexto. Instrumentalizar os
alunos para uma boa leitura de enunciados
significa orientá-los para que identifiquem
os dados, as relações entre dados e a pergunta. Em seguida, outra etapa importante
é a da transposição às informações coletadas para a linguagem da álgebra. Nesse momento, o professor deve estar atento para as
dificuldades específicas dos seus alunos para
que possa elaborar a estratégia certa para a
condução do curso.
SITuAçãO DE APRENDIzAgEM 2
COORDENADAS CARTESIANAS E TRANSFORMAçõES NO PlANO
Nesta Situação de Aprendizagem, iremos
ampliar a noção de localização com base na
exploração e na formalização do sistema de
coordenadas no plano. Os alunos já trabalharam nas séries anteriores com a leitura e a representação de valores numéricos em retas e
gráficos. Nesta etapa da escolaridade, pretende-se que os alunos compreendam o sistema
de coordenadas cartesianas como um modo
organizado e convencionado para representar
objetos e relações matemáticas.
há uma ressalva a se considerar: no plano
cartesiano, os pontos representados nos dois
eixos correspondem a números reais. Como os
alunos ainda não estudaram a formação do
conjunto dos reais e a reta real, trabalharemos
neste momento apenas com pontos racionais.
O que estamos chamando de coordenadas
cartesianas é um sistema de coordenadas racionais no plano. A formalização do plano
cartesiano será feita posteriormente, a partir
do estudo dos números reais e das funções.
Em outras palavras, eles devem conhecer as
principais características do plano cartesiano:
que é constituído por dois eixos perpendiculares entre si, cada qual subdividido em partes
iguais, representadas por números positivos
e negativos; que o plano é dividido em quatro quadrantes, etc. São essas características
que fazem do plano cartesiano um sistema
apropriado para representar pontos, figuras
geométricas, equações e funções. Contudo,
O conhecimento do sistema de coordenadas cartesianas também é importante
para a continuidade dos estudos em Álgebra. A representação de pares ordenados
(x, y) correspondentes a uma equação com
duas variáveis possibilita a análise gráfica da solução de um sistema de equações.
No Ensino Médio, o gráfico cartesiano será
usado para a representação de diferentes tipos de função, da linear à exponencial.
25
Inicialmente, propomos algumas atividades
relacionadas à noção de localização antes de
introduzir formalmente o sistema de coordenadas cartesianas. É importante explorar os
conhecimentos prévios dos alunos em situações de localização, tais como a procura de uma
rua em um guia de endereços ou a localização
de uma cidade em um mapa.
A partir de alguns exemplos conhecidos, discutiremos as principais características de um
sistema de localização: a necessidade de um ponto de referência, as coordenadas e as dimensões
envolvidas, as convenções adotadas, etc. Em
seguida, destacamos os principais elementos
do sistema de coordenadas cartesianas: o ponto
de origem, a reta numérica, os eixos coordenados,
os pares ordenados e o plano cartesiano.
Feito isso, propomos uma série de atividades
que têm por objetivo consolidar o conhecimento
do sistema de coordenadas cartesianas. As atividades 5 e 6 tratam da representação de figuras
geométricas no plano cartesiano. Na atividade 7,
propomos um jogo de batalha naval matemático
envolvendo coordenadas cartesianas. Da atividade 8 em diante, introduzimos as transformações
geométricas no plano cartesiano: por meio de
operações realizadas com as coordenadas cartesianas, exploraremos movimentos e transformações de figuras geométricas simples, tais como
translação, reflexão, ampliação e redução.
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: coordenadas; plano cartesiano; pares ordenados; transformações geométricas.
Competências e habilidades: conhecer as principais características do sistema de coordenadas
cartesianas; localizar pontos e figuras geométricas no plano cartesiano; realizar transformações geométricas no plano usando operações com as coordenadas cartesianas.
Estratégias: análise e resolução de situações–problema; uso de um jogo para a familiarização
com o sistema de coordenadas; uso do plano para representar pontos e figuras.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 2
A ideia de localização
um dos desafios que se colocam para o professor da 7a série é como introduzir o sistema
de coordenadas cartesianas de uma forma significativa para o aluno. Sugerimos que se explorem, inicialmente, algumas situações e alguns
contextos em que a noção de localização seja
26
familiar aos alunos. um aluno da 7a série provavelmente já se deparou com algum tipo de
problema de localização, como encontrar uma
rua em um guia de endereços, achar um livro
em uma biblioteca ou, até mesmo, jogar batalha naval. Em todos esses exemplos, a noção de
coordenada está diretamente envolvida.
Nosso trabalho será fazer com que o aluno
saiba reconhecer e analisar os elementos que
Matemática – 7a série – Volume 3
estão presentes em uma situação de localização.
Ele deverá se apropriar dos termos próprios da
Matemática usados para localizar um objeto, tais
como: origem, sentido, distância, escala, coordenada, reta numerada, eixos coordenados, plano
cartesiano, par ordenado, etc. As atividades propostas a seguir caminham nessa direção.
Atividade 1 – localização
2
3
R. João Teo
doro
etano
R. Ma
os
Pais
ntare
ira
Ram
nio
a Ca
línio
ntô
R. A
R. P
uel Car
do
Av.
cú
tare
Can
R. d
a
ar
Luca
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s
.C
aio
mp
Sa
ra
ei
or
M
R. do
ne
iro
co
R.
R.
G
ro
asômet
R. do G
0,7 m
di
Va
n
R. Polig
Praça
São Vito
ega
ând
é
. Mar
ano A
ralo
R.
va
s Sil
nde
erna
R. F
a Alf
R.
a
veir
e Oli
im d
jam
Ben
3,2 m
ndrade
ira
rio
um empreiteiro deve construir um ralo em
uma cozinha seguindo as instruções fornecidas
pelo arquiteto na planta a seguir, construída
em escala.
0,3 m
eira
Cald
R. Monsenhor A
er
R. d
R. Barão de Duprat
des
en
R. M
R. Santa Rosa
.M
D
Est
ado
los
Av
C
BRÁS
R. d
R. Mig
R. Elisa Whitaker
R. Rodrigues dos Santos
Av.
do
uá
B
etano
ado
BOM RETIRO
R. São Ca
Est
A
Atividade 2 – Ponto de referência
4
R. São Ca
Outra ideia que deve ser destacada é que a
informação sobre a localização de um objeto
parte sempre de um ponto de referência escolhido.
No caso do guia de ruas, o ponto de referência
é o canto superior esquerdo da página, onde se
iniciam as sequências de números e letras. Na
próxima atividade, exploramos uma situação
em que as informações sobre a localização de
um objeto depende do referencial escolhido.
sômetro
R. do Ga
No mapa acima, a Rua Vadico encontra-se no
quadro C4, ou seja, no cruzamento da 3a linha
com a 4a coluna.
Conexão Editorial
1
R. Monsenhor Andrade
Conexão Editorial
Solicite aos alunos que tentem localizar
o endereço de suas casas usando um guia de
ruas. Eles devem consultar uma lista em ordem alfabética das ruas de sua cidade, que
deve conter duas informações: a página onde
se encontra o mapa da região e a localização
da rua neste mapa. A localização será feita
por meio de duas informações: uma referência
horizontal e uma referência vertical, ambas
representadas por números ou por letras.
Pode-se comentar com os alunos que,
nesse caso, utilizou-se uma combinação
de letras e números para dar a informação da
localização de um ponto desta rua. Poderiam
ser duas letras ou dois números, dependendo
da convenção estabelecida pelo guia. O cruzamento das duas informações resultou na
localização da região em que se encontra a
rua no mapa.
Como achar a localização precisa do ralo por
meio da planta fornecida? Se escolhermos
27
como ponto de referência o canto superior
esquerdo da cozinha, então o ralo se encontra
a 3,2 metros na direção horizontal e a
0,7 metros na direção vertical em relação ao
ponto de referência escolhido. Veja a planta
a seguir.
ponto de
referência
ralo
Conexão Editorial
0,7 m
3,2 m
Por outro lado, se adotarmos como ponto
de referência o canto superior direito, as
coordenadas da localização do ralo mudam:
0,3 metros na horizontal e 0,7 metros na
vertical. Embora as coordenadas variem de
acordo com o referencial adotado, a posição
do ralo é sempre a mesma. Tudo depende
da escolha do referencial mais adequado em
cada situação.
ponto de
referência
28
ralo
0,7 m
Conexão Editorial
0,3 m
Atividade 3 – localização e dimensões
Para encontrarmos o local de uma casa,
precisamos do endereço dela. No caso, precisamos saber o nome da rua e o número da casa.
Encontrada a rua, basta nos orientarmos pela
numeração até localizarmos a casa. Por convenção, a numeração de uma rua segue um
sentido crescente de numeração relacionado
à distância em relação ao início dessa rua.
Esse início é estabelecido por convenção, e a
partir dele numeram-se as residências, com os
números pares à direita e os ímpares à esquerda.
Assim, a casa de número 250 fica no lado direito
da rua, a aproximadamente 250 metros de seu
início. Esta situação envolveu a localização de um
ponto em determinado espaço de uma dimensão,
a saber, da distância da casa até o início da rua.
No caso do guia de endereços, para localizar uma rua foram necessárias duas informações: a primeira em relação à direção
horizontal (representada por letras) e a segunda em relação à direção vertical (representada
por números). O mesmo ocorre quando queremos informar a localização de um livro em
uma estante. A prateleira informa a dimensão
vertical, e a posição do livro na prateleira, a
dimensão horizontal. Tal livro encontra-se na
5a prateleira de baixo para cima, e é o 5o da
direita para a esquerda.
um mapa geográfico também envolve
a localização de duas direções: a vertical,
chamada de latitude, e a horizontal, que é a
longitude. O sentido de cada uma dessas direções foi estabelecido por convenção: Norte
e Sul a partir da linha do Equador para a latitude, e leste e Oeste a partir do meridiano
de greenwich para a longitude. A cidade de
Santos, por exemplo, encontra-se 23° 57´ ao
Matemática – 7a série – Volume 3
número real e cada número real a um único
ponto na reta. Essa afirmação não precisa
ainda ser justificada para os alunos, uma vez
que eles somente vão estudar a construção e
a representação dos números reais na 8a série.
Neste momento, basta que eles compreendam
que é possível localizar e representar números
inteiros e racionais na reta numerada.
Sul do Equador e 46° 20’ a Oeste do meridiano de greenwich. As três situações descritas
envolveram a localização em um espaço de
duas dimensões.
Já a posição de um avião em pleno voo envolve a localização em um espaço de três dimensões. Além das coordenadas geográficas
(latitude e longitude), precisamos determinar a
altura em que o avião está viajando, completando assim três informações. Outro exemplo é a
localização de um livro em uma biblioteca com
várias fileiras de estantes. Precisamos informar
a fileira em que se encontra a estante, a prateleira e a posição do livro na prateleira. Três dimensões, três informações são necessárias.
Essa correspondência entre pontos e números
define um sistema de coordenadas na reta. O número correspondente a um ponto da reta é chamado de coordenada. A coordenada nada mais é
do que o endereço de um ponto na reta numerada.
A reta numérica, contudo, não é suficiente
para localizar pontos em um espaço de duas
dimensões. O modelo matemático mais utilizado para esse fim é o plano. O plano cartesiano consiste na junção de duas retas numeradas
(eixos coordenados), uma horizontal e outra
vertical, que se cruzam no ponto de origem.
Atividade 4 – da reta numerada ao plano
O modelo matemático mais usado para localizar pontos em uma dimensão é a reta numerada (veja a figura a seguir). Para localizar
um ponto com precisão em uma reta são necessários três elementos. O primeiro é um ponto
de referência ou origem, a partir do qual serão
feitas as comparações de distância. O segundo
é um sentido de crescimento, de forma que seja
possível estabelecer uma sequência crescente de
numeração. E, por fim, uma unidade de medida, que servirá de parâmetro para a marcação
de todos os outros pontos da reta.
Parte-se do pressuposto de que é possível associar cada ponto da reta a um único
Do mesmo modo que um número representava um ponto na reta numerada, um par
de números representará um ponto no plano.
Cada um desses números corresponderá a um
ponto em um dos eixos coordenados. Assim,
o endereço de um ponto no plano corresponde a um par ordenado de números. Essa ordenação foi convencionada da seguinte forma: o
primeiro número corresponde ao eixo horizontal, e o segundo, ao vertical. Por exemplo, o
ponto correspondente ao par ordenado (3, 2)
unidade
–3
–2
–1
0
Sentido
1
2
3
4
5
Origem
29
encontra-se a 3 unidades de distância da origem na horizontal e a 2 unidades na vertical.
O gráfico a seguir mostra a representação de alguns pares ordenados no plano cartesiano.
y
4
3
(3, 2)
2
(–3, 1)
1
(0, 0)
–4
–3
–2
0
–1
1
2
3
4
x
–1
–2
(2, –2)
–3
(–1, – 4)
–4
Por convenção, o ponto de origem do plano
corresponde ao par ordenado (0, 0), que é o
ponto de interseção das duas retas numeradas.
O sentido de crescimento no eixo horizontal é
da esquerda para a direita, e no vertical, de baixo para cima. Os números positivos são representados à direita e acima do ponto de origem,
e os negativos à esquerda e abaixo desse ponto.
Os pontos do plano são representados pelos
pares ordenados (x, y), no qual x representa os
valores associados ao eixo horizontal, e y,
os valores associados ao eixo vertical.
No caso da representação de planos no
espaço, acrescenta-se mais um eixo coordenado perpendicular ao plano, passando pela
origem. Assim, no espaço, o endereço de um
30
ponto é uma coordenada composta por três
pontos ordenados (x, y, z).
É importante comentar com os alunos que
o nome do sistema de coordenadas cartesianas é uma homenagem ao seu criador, o filósofo e matemático francês René descartes,
que viveu no século xVII. A ideia de localizar
pontos no plano por meio de um sistema de
coordenadas representou um grande avanço
no estudo da geometria. A partir da criação do sistema de coordenadas cartesianas, a
geometria passou a se apoiar nas técnicas de
representação algébrica, permitindo um estudo mais analítico das figuras geométricas.
Além disso, a própria Álgebra se transformou,
pois os valores de uma função puderam ser
representados graficamente, permitindo uma
análise geométrica das expressões algébricas.
As atividades a seguir têm como objetivo
principal familiarizar os alunos com os principais elementos do sistema de coordenadas no
plano, por meio da representação de figuras
geométricas e das possíveis transformações que
podem ser feitas a partir de operações com
suas coordenadas: translações, reflexões, ampliações e reduções. Na atividade 5, serão introduzidos os termos abscissa e ordenada para
designar as coordenadas do eixo x e do eixo y,
respectivamente.
Atividade 5 – Representação de figuras
geométricas no plano
Observe as figuras geométricas representadas no plano a seguir.
Matemática – 7a série – Volume 3
10
y
b
F
5
A
C
d
g
–10
E
i
10
5
–5
l
h
K
J
–5
m
n
–10
1. Determine as coordenadas de seus vértices.
As coordenadas dos vértices do quadrado
ABCD são A (6, 5), B (4, 7), C (2, 5) e
D (4, 3). As do triângulo EFG são E (–2, 1),
F (– 8, 5) e G (– 8, 1). As do retângulo HIJK
são H (0, –1), I (– 6, –1), J (– 6, – 4), K (0, – 4).
As do triângulo LMN são L (6, 0), M (0, – 6)
e N (4, – 6).
2. quais pontos possuem a mesma abscissa?
Os pontos A e L possuem abscissa 6. Os
pontos B, D e N possuem abscissa 4.
Os pontos H, K e M possuem abscissa 0. Os
pontos I e J possuem abscissa – 6. Os pontos
F e G possuem abscissa – 8.
x
A familiaridade com os termos abscissa
e ordenada pode levar ainda algum tempo.
Assim, se os alunos apresentarem dificuldade nessa atividade, o professor pode reformular a pergunta, substituindo o termo
abscissa por coordenada x e ordenada por
coordenada y. O importante é enfatizar a
capacidade leitora dos alunos em relação
às coordenadas cartesianas no plano. Outro
problema que costuma aparecer é a dificuldade de leitura de pontos que estejam nos
eixos coordenados. Por exemplo, o ponto l
situa-se no eixo x, e possui coordenada (6, 0).
O ponto H está situado no eixo y, possui
coordenada (0, –1). Deve-se mostrar aos
alunos que todo ponto situado no eixo x
será representado por um par ordenado
(x, 0), e todo ponto situado no eixo y, por um
par ordenado (0, y).
Atividade 6 – desenhando polígonos
Desenhe os seguintes polígonos no plano
cartesiano a partir das coordenadas de seus
vértices:
1. Triângulo ABC, sendo A (5, 2), B (7, 7) e
C (1, 5).
2. quadrado DEFg, sendo D (–3, 2), E (–3, 7),
F (– 8, 7) e g (– 8, 2).
3. quais pontos possuem ordenadas iguais a zero?
Somente o ponto L possui ordenada igual a 0.
Na próxima atividade, os alunos deverão
fazer o caminho inverso, isto é, partindo das
coordenadas para representar as figuras geométricas no plano cartesiano.
3. Hexágono HIJKlM, sendo H (–7, 0),
I (–10, 0), J (–12, –3), K (–10, –6), l (–7, – 6)
e M (–5, –3).
4. quadrilátero NOPq, sendo N (7, 0),
O (0, –3), P (7, – 6) e q (5, –3)
31
A próxima atividade é uma espécie de jogo
de batalha naval adaptado para o plano cartesiano. O uso de jogos como estratégia de
ensino na Matemática tem se mostrado bastante proveitoso, sobretudo com alunos do Ensino Fundamental. Esse jogo tem por objetivo
o conhecimento do sinal das coordenadas nos
quatro quadrantes do plano cartesiano. No
primeiro quadrante, ambas as coordenadas
são positivas; no segundo, a abscissa é negativa e a ordenada positiva; no terceiro, ambas
as coordenadas são negativas; e no quarto, a
abscissa é positiva e a ordenada, negativa.
Pode-se explorar com os alunos que nos quadrantes ímpares (1o e 3o) as coordenadas têm o
mesmo sinal, enquanto nos quadrantes pares,
(2o e 4o) elas têm sinal oposto, como mostra a figura abaixo.
1o e 2o quadrantes, e o jogador Sul no 3o e 4o
quadrantes. Cada tiro é um par ordenado (x, y)
que representa um ponto no plano cartesiano.
Os objetos a serem descobertos são os seguintes:
adição
subtração
multiplicação
ponto
triângulo
menor
quadrado
2
triângulo
maior
Os símbolos devem ser posicionados no
tabuleiro do jogo, que é um plano cartesiano.
Por exemplo, o jogador Norte deve posicionar seus símbolos no 1o e 2o quadrantes, como
mostra a figura a seguir.
y
10
y
o
divisão
5
1
o
x
(−, +)
(+, +)
(−, −)
(+, −)
3o
–10
0
–5
5
10
x
–5
4o
–10
Atividade 7 – batalha naval matemática
Este jogo é uma batalha naval desenvolvida
em um plano coordenado. As regras são as mesmas do tradicional jogo de batalha naval. A diferença é que, em vez de navios e submarinos, os
objetos a serem atingidos são símbolos e objetos
matemáticos. Além disso, a batalha se desenvolve nos quatro quadrantes do plano cartesiano.
O jogador Norte posiciona seus símbolos nos
32
O jogador Sul terá três tentativas de tiro.
Cada tentativa deve ser anunciada como um
par ordenado (x, y). Em seguida, o jogador
Norte deverá informar se os tiros acertaram
algum símbolo. Por exemplo, se os tiros forem
(3, 5), (–2, 4) e (–5, 5), apenas o segundo
tiro terá acertado o alvo, que é o símbolo da
multiplicação.
É importante que cada jogador dê os tiros com as coordenadas correspondentes ao
Matemática – 7a série – Volume 3
quadrante do adversário, caso contrário, poderá acertar a própria esquadra. O jogo termina quando um jogador acertar as coordenadas
dos oito símbolos do outro jogador.
As próximas atividades envolvem transformações geométricas no plano. Por meio
de simples operações aritméticas realizadas
com as coordenadas dos vértices de figuras
geométricas, iremos explorar algumas transformações que podem ser realizadas com essas figuras. É importante destacar que esta é
uma abordagem dinâmica da geometria, em
contraposição à maneira usual, que é estática. Por meio dela, os alunos poderão analisar
não apenas o movimento das figuras no plano
(translações e reflexões) como, também, ampliações e reduções dessas figuras.
Considere o triângulo ABC. As coordenadas (x, y) de seus vértices são A (3, 2), B (7, 3)
e C (4, 5).
y
b
A
3
4
C
5
C'
3
2
b
A
b'
A'
3
4
7
9
10
13 x
7
DABC
(x, y)
DA’B’C’
(x + 6, y)
A
(3, 2)
A’
(9, 2)
B
(7, 3)
B’
(13, 3)
C
(4, 5)
C’
(10, 5)
2. translação vertical: Somando –10 às
ordenadas do triângulo ABC, obtemos o
triângulo A’B’C’, cujas coordenadas dos
vértices são ( x, y – 10), conforme mostram
a figura e a tabela a seguir.
C
3
2
y
A tabela a seguir mostra as transformações
nas coordenadas de cada vértice.
Atividade 8 – translação
5
unidades na direção do eixo coordenado
correspondente. Por exemplo, somando 6
às abscissas dos vértices do triângulo ABC,
obteremos o triângulo A’B’C’ de coordenadas (x + 6, y). Esse novo triângulo resulta
da translação horizontal (segundo o eixo x)
em 6 unidades do triângulo original, como
mostra a figura.
x
1. translação horizontal: Se somarmos uma
constante a às coordenadas dos três vértices, o triângulo será transladado em a
ABC
(x, y)
A’B’C’
(x, y – 10)
A
(3, 2)
A’
(3, –8)
B
(7, 3)
B’
(7, –7)
C
(4, 5)
C’
(4, –5)
33
y
coordenadas (x + a, y + b), em que a e b são
números reais quaisquer.
C
5
Atividade 9 – Reflexão
3
b
A
2
1. Reflexão em relação ao eixo y: se multiplicarmos as abscissas dos vértices por –1, a figura
será refletida em relação ao eixo y. Obteremos
o triângulo A’B’C’ de coordenadas (–x, y).
x
3
4
7
–5
–7
A
B
C
b'
A'
–8
3. translação combinada: Ocorre quando somamos constantes às duas coordenadas
de cada vértice. Por exemplo, se quisermos
transladar o triângulo ABC em 11 unidades para a esquerda e 4 unidades para
cima, devemos fazer a seguinte operação
em suas coordenadas: (x – 11, y + 4).
ABC
(x, y)
(3, 2)
(7, 3)
(4, 5)
A
B
C
A’B’C’
(x – 11, y + 4)
A’
(–8, 6)
B’
(–4, 7)
C’
(–7, 9)
y
C'
9
b'
A'
6
5
–4
C
A’
B’
C’
y
C'
b'
A'
–7
C
5
–4 –3
b
3
2
A
3 4
7
x
A reflexão preserva a distância dos vértices
em relação ao eixo, como mostra a figura. O
vértice A está à mesma distância do eixo y que
o vértice A’. O mesmo vale para B e B’, C e C’.
Assim, podemos afirmar que o triângulo A’B’C’ é
simétrico ao triângulo ABC em relação ao eixo y.
b
A
3 4
7
x
genericamente, temos que a translação de
um ponto de coordenadas (x, y) passa a ter
34
A’B’C’
(–x, y)
(–3, 2)
(–7, 3)
(– 4, 5)
2. Reflexão em relação ao eixo x: se multiplicarmos as ordenadas dos vértices por –1, a figura
será refletida em relação ao eixo x. Obteremos
o triângulo A’B’C’, de coordenadas (x, –y).
7
3
2
–8 –7
ABC
(x, y)
(3, 2)
(7, 3)
(4, 5)
C'
A
B
C
ABC
(x, y)
(3, 2)
(7, 3)
(4, 5)
A’
B’
C’
A’B’C’
(x, –y)
(3, –2)
(7, –3)
(4, –5)
Matemática – 7a série – Volume 3
y
Agora, o ponto de simetria entre os triângulos é a própria origem (0, 0). Ou seja, a distância de A até a origem é igual à distância
de A’ até a origem, o mesmo acontecendo em
relação a B e B’ e C e C’. A reflexão por um
ponto é equivalente à composição entre duas
translações, uma vertical e outra horizontal,
como mostra a figura.
C
5
b
3
A
2
3
7
4
x
A'
–2
b'
–3
–5
Atividade 10 – Ampliação e redução
C'
Neste caso, observa-se que o triângulo A’B’C’ é
simétrico ao triângulo ABC em relação ao eixo x.
3. Reflexão em relação à origem: se multiplicarmos ambas as coordenadas dos vértices por –1,
a figura será refletida em relação à origem.
O que é equivalente a uma composição de
reflexões, uma em relação ao eixo y e outra em
relação ao eixo x, ou vice-versa. Obteremos, de
qualquer modo, o triângulo A’B’C’ de coordenadas (–x, –y), como mostra a figura a seguir.
1. Ampliação: para ampliar as dimensões do
triângulo ABC em duas vezes, multiplicamos suas coordenadas por 2, obtendo o
triângulo A’B’C’.
ABC
(x, y)
A’B’C’
(2x, 2y)
A
(3, 2)
A’
(6, 4)
B
(7, 3)
B’
(14, 6)
C
(4, 5)
C’
(8, 10)
y
C'
10
ABC
(x, y)
A
B
C
(3, 2)
(7, 3)
(4, 5)
A’
B’
C’
A’B’C’
(–x, –y)
(–3, –2)
(–7, –3)
(– 4, –5)
y
–7
A'
C
3
2
A
b'
C'
b
3 4
–2
–3
–5
C
A'
4
3
2
b
A
3
5
–4 –3
b'
6
5
7
x
4
6 7
8
14
x
Neste caso, ao duplicarmos as coordenadas de ABC, as distâncias até a origem também duplicam.
OA’ = 2.OA
OB’ = 2.OB
OC’ = 2.OC
35
generalizando, para ampliar uma figura
em n vezes, multiplicamos suas coordenadas
(x, y) por n, obtendo (n.x, n.y), para n > 1.
quando 0 < n < 1, obtemos uma redução da
figura, como mostra o exemplo a seguir.
2. Redução: para reduzir as dimensões do triângulo ABC, tornando-as quatro vezes meno1
res, multiplicamos suas coordenadas por ,
4
obtendo o triângulo A’B’C’ de coordenadas
1 1
( x, y).
4 4
A’B’C’
1
( x, 1 y)
4
4
ABC
(x, y)
A
B
C
(3, 2)
(7, 3)
(4, 5)
A’
B’
C’
(0,75; 0,5)
(1,75; 0,75)
(1; 1,25)
C
5
Translação vertical: (x, y) (x, y + b)
Translação horizontal e vertical:
(x, y)  (x + a, y + b)
Reflexão horizontal: (x, y)  (–x, y)
Reflexão vertical: (x, y)  (x, –y)
Reflexão pela origem: (x, y)  (–x, –y)
Redução: (x, y)  (ax, ay). Para 0 < a < 1.
3
b
A
2
C'
A'
0,75
b'
1,75
3
4
7 x
Comentários sobre a aplicação da
Situação de Aprendizagem
A aplicação dessas atividades pode ser menos expositiva e mais investigativa. Por exemplo: solicite aos alunos que representem uma
figura geométrica qualquer no plano cartesiano.
36
Translação horizontal: (x, y)  (x + a, y)
Ampliação: (x, y)  (ax, ay). Para a > 1.
y
1,25
0,75
Em seguida, peça que analisem o que acontece com os pontos da figura quando somamos
um valor constante às suas abscissas ou quando
multiplicamos suas coordenadas por um valor
negativo. Ao realizarem essas simples operações
aritméticas, os alunos podem descobrir os diferentes tipos de transformações envolvidas. Ao
professor caberá a tarefa de nomear e sistematizar os diferentes tipos de transformação, usando uma notação simbólica.
No Caderno do Aluno apresentamos atividades relativas apenas às transformações:
translação (horizontal; vertical; horizontal
e vertical) e reflexão (horizontal; vertical).
Todavia, se houver tempo e se julgar necessário, o professor poderá propor situações
envolvendo as demais transformações: reflexão pela origem, ampliação e redução.
Apesar da rotação ser uma transformação,
não a incluímos nas atividades anteriores.
Consideramos que a inclusão desse tópico
implicaria a discussão sobre ângulos, e a
determinação das coordenadas ficaria mais
complexa, fugindo ao objetivo principal
desta Situação de Aprendizagem.
Matemática – 7a série – Volume 3
Considerações sobre a avaliação
Após a realização das atividades propostas,
esperamos que os alunos estejam mais familiarizados com as coordenadas cartesianas e com
as representações gráficas de pontos no plano,
construindo uma base sólida para a representação de equações e resolução de sistemas, conteúdos da próxima Situação de Aprendizagem.
O uso do jogo de batalha naval matemática
como recurso didático constitui um excelente estímulo para o aluno se apropriar das coordenadas
cartesianas e dos quadrantes do plano cartesiano.
Além disso, a sequência de atividades de transformações geométricas no plano coloca tanto a
geometria como o uso do plano cartesiano em
outra perspectiva, diferente da usualmente adotada. Acreditamos que tal abordagem favorece a
aprendizagem significativa do sistema de coordenadas cartesianas e amplia o conhecimento geométrico dos alunos, ao introduzir o movimento e
a transformação nas figuras geométricas.
f conhecer as características das principais
transformações geométricas no plano.
uma atividade que permite avaliar se o aluno
apropriou-se efetivamente do sistema de coordenadas cartesianas e dos diferentes tipos de transformação geométrica é a seguinte: solicita-se que
cada aluno represente uma figura geométrica
qualquer no plano cartesiano, identificando os
vértices com letras e anotando suas coordenadas. Em seguida, eles devem escolher pelo menos
duas transformações e aplicá-las na figura escolhida. Por exemplo, o aluno pode representar um
quadrilátero ABCD e aplicar uma reflexão em
relação ao eixo y e uma redução de 50%, como
mostra a figura a seguir.
y
d'
C'
d
10
b'
A'
d''
b''
b
A
C
5
A''
C''
–10
–5
O processo de avaliação deve ser elaborado
pelo professor de acordo com as características de cada turma e com os objetivos de aprendizagem mínimos estabelecidos pela atual
Proposta Curricular. Acreditamos que, ao final desse percurso, o aluno deve se apropriar
dos seguintes conhecimentos, necessários para
a continuidade de seus estudos:
quadrilátero ABCD: A (3, 7), B (6, 8),
C (10, 6), D (6, 10)
f compreender a associação entre pontos de
uma reta e números;
Redução em 50% (0,5): A’ (–1,5, 3,5),
B’ (–3, 4), C’ (–5, 3), D’ (–3, 5)
f localizar e representar pontos no plano cartesiano;
Por meio desta atividade, o professor poderá avaliar se o aluno se apropriou efetivamente do sistema de coordenadas cartesianas
e das transformações no plano.
f distinguir os sinais das coordenadas cartesianas em cada quadrante do plano;
5
10
x
Reflexão em relação ao eixo y: A’ (–3, 7),
B’ (– 6, 8), C’ (–10, 6), D’ (– 6, 10)
37
SITuAçãO DE APRENDIzAgEM 3
SISTEMAS DE EquAçõES lINEARES
O assunto principal desta Situação
de Aprendizagem é o estudo dos sistemas de
equações de 1o grau. Os alunos já estão familiarizados com a resolução das equações de
1o grau, conteúdo que foi estudado na 6a série
e aprofundado neste mesmo Caderno, na Situação de Aprendizagem 1.
o método da substituição e o da adição, o que, a
nosso ver, contribui para uma melhor compreensão por parte do aluno dos procedimentos estudados. Deve-se evitar a simples memorização ou
automatização dos procedimentos, pois isso acaba
por gerar um aprendizado precário da Álgebra,
potencializando erros e dificuldades posteriores.
Nesta Situação de Aprendizagem, apresentaremos alguns problemas que envolvem duas
equações e duas incógnitas. São os chamados
sistemas de equações lineares, pois as equações
podem ser representadas no plano cartesiano por
uma reta.
Depois, apresentaremos dois procedimentos de resolução de sistemas (adição e subtração), com um enfoque na escolha do método
pelo aluno e na verificação dos resultados em
relação à pergunta original do problema.
Inicialmente, discutiremos o significado das
equações com duas incógnitas e os métodos
de resolução de sistemas por meio da análise de
situações-problema. Recorremos à já conhecida
analogia com as balanças de prato para ilustrar
A representação gráfica de equações com
duas variáveis no plano cartesiano será explorada
nas últimas atividades. A construção do gráfico
das equações de um sistema vai ajudar o aluno a
compreender melhor quando o sistema é possível
e determinado ou indeterminado e impossível.
tempo previsto: 3 semanas.
Conteúdos e temas: sistemas de equações; métodos de resolução (adição e substituição);
representação gráfica de uma equação linear com duas variáveis; análise das soluções de um
sistema linear (algébrica e gráfica).
Competências e habilidades: traduzir um problema para a linguagem algébrica na forma
de um sistema; resolver sistemas de equações pelo método da adição; resolver sistemas de
equações pelo método da substituição; representar uma equação com duas incógnitas no
plano cartesiano; analisar e discutir as possíveis soluções de um sistema linear; interpretar
graficamente a solução de um sistema.
Estratégias: análise de situações-problema envolvendo sistemas de equações lineares; uso da
analogia com balanças para compreender os métodos de resolução; representação gráfica
das equações de um sistema.
38
Matemática – 7a série – Volume 3
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 3
Atividade 1 – Equações e incógnitas
1. Considere o problema seguinte:
A soma das idades de João e Maria é 28 anos.
qual a idade de cada um deles?
Transcrevendo o problema para a linguagem
algébrica, temos x + y = 28. Se considerarmos apenas as idades completas de João
e Maria (números naturais entre 1 e 28), teremos as seguintes possibilidades de solução,
mostradas na tabela a seguir:
João (x) Maria (y) João (x) Maria (y)
1
27
15
13
2
26
16
12
3
25
17
11
4
24
18
10
5
23
19
9
6
22
20
8
7
21
21
7
8
20
22
6
9
19
23
5
10
18
24
4
11
17
25
3
12
16
26
2
13
15
27
1
14
14
A tabela mostra que são possíveis 27 pares de
soluções. Ou seja, considerando apenas as informações contidas no enunciado, o problema fica
indeterminado, isto é, aceita mais de uma solução.
Para que o problema tenha uma solução determinada, precisamos de mais uma informação numérica a respeito das idades de João e Maria.
Em termos algébricos, uma equação com duas
incógnitas pode ter mais de uma solução. Dependendo do domínio, podem haver infinitas soluções.
2. Se o enunciado também informasse que
João é 4 anos mais velho que Maria, mais
uma equação seria acrescentada ao problema, delimitando o número de soluções.
Essa nova informação pode ser escrita algebricamente como x = y + 4. Ou ainda, de forma
equivalente, como x – y = 4, pois a diferença de
idade entre João e Maria é de 4 anos. Observando a tabela, há um único par de valores que
satisfaz ambas as equações: x = 16 e y = 12.
Portanto, o problema passou a ter uma solução
determinada. A idade de João é 16 anos e a de
Maria 12 anos.
3. Se o problema nos informasse que a idade
de João é o triplo da de Maria, teríamos
que x = 3y.
O único par de valores que satisfaz essa nova
condição é 21 e 7. Portanto, João teria 21 anos
e Maria 7 anos.
4. Consideremos, agora, o caso em que a idade
de Maria é o dobro da idade de João.
Nesse caso, observando a tabela, não há nenhum
par de valores inteiros que satisfaçam essa condição. Ou seja, dentro do contexto inicial, o problema
não possui solução. A não ser que considerássemos
as idades não inteiras. Isso tornaria inviável a solução pela tabela, pois existem infinitos pares que
satisfazem a primeira equação.
39
5. Podemos operar com as equações dadas
para resolver o problema do item anterior.
Partindo da equação inicial x + y = 28 e sabendo que a idade de Maria é o dobro da de
João, podemos substituir o valor de y por 2x,
obtendo uma equação com apenas uma incóg28
nita: x + 2x = 28 ou 3x = 28, portanto x =
3
1
ou x = 9,333... ou 9 . Como y = 2x, então
3
2
y = 18 . Dessa forma, dentro do contexto
3
dos números racionais, descobrimos algebricamente que João tinha 9 anos e 4 meses, e Maria
18 anos e 8 meses.
Ao substituir o valor de uma incógnita
pela expressão equivalente em termos da outra incógnita, obtivemos uma equação com
apenas uma incógnita, tornando possível
determinar sua solução. Essa forma de resolução é chamada de método da substituição,
que será discutido a seguir.
Atividade 2 – As balanças e o método da
substituição
uma forma de introduzir o método da
substituição com significado é por meio
de uma analogia com a balança de pratos.
Vamos explorar a seguir um exemplo de problema que pode ser resolvido tanto por meio das
balanças como algebricamente pelo método
da substituição.
1. Precisamos descobrir o peso de dois objetos, convenientemente denominados x e y.
Para isso, foram realizadas as seguintes
medidas em uma balança de pratos:
40
a) Primeira medida: os dois objetos pesam,
conjuntamente, 2 500 gramas.
Em linguagem algébrica, x + y = 2 500
2 000g
x
y
500g
b) Segunda medida: o objeto x pesa o mesmo
que o objeto y mais 500 gramas.
Em linguagem algébrica, x = y + 500
x
y
500g
c) Substituição: trocamos o objeto x pelo
seu equivalente, y mais 500 gramas. Em
seguida, tiramos 500 gramas de cada
lado, mantendo a equivalência.
Em linguagem algébrica, (y + 500) + y = 2 500,
ou y + y – 500 = 2 500 – 500
y
500g
2 000g
x
y
500g
Matemática – 7a série – Volume 3
2 000g
y
y 500g
500g
d) Se dois objetos y pesam 2 000 gramas,
um objeto y pesará 1 000 gramas.
Em linguagem algébrica, 2y = 2 000 ou,
y = 1 000
2 000g
y
Substituindo o valor de x na primeira
equação, temos:
(y + 500) + y = 2 500
2y + 500 = 2 500
2y = 2 000
y = 1 000
A ideia principal desse método de resolução é que, tanto na solução pela balança
como na solução algébrica, a estratégia adotada foi a substituição do valor de uma das
incógnitas pelo seu equivalente em termos
da outra. Isso é o que caracteriza o chamado
método da substituição.
y
e) Como o objeto x pesa o mesmo que o
objeto y mais 500 gramas, então seu
peso é de 1 500 gramas.
Em linguagem algébrica, x = 1 000 + 500 ou
x = 1 500
Em linguagem algébrica, a resolução do
problema ficaria assim:
 x+ y= 2 500

 x= y+500
Substituindo o valor de y na segunda equação, temos:
x = 1 000 + 500
x = 1 500
As atividades anteriores foram resolvidas
usando-se a imagem das balanças e a ideia de
peso como analogia. Em ambos os casos, o princípio que estava subjacente era o da equivalência.
É importante comentar com os alunos que esse
recurso pode ser transferido para outras atividades que não envolvam necessariamente medidas
de pesos, tais como: idade, preço de produtos,
tempo, altura ou, simplesmente, números.
Atividade 3 – Procedimentos de resolução
de sistemas lineares pelo método da
substituição
Consideremos os seguintes sistemas:
a) x + 2y = 5
x – y = –1
b) 3x – 2y = 8
5x + y = 9
Em termos de procedimentos gerais, para
resolver um sistema de duas equações lineares
com duas incógnitas pelo método da substituição são necessárias as seguintes etapas:
41
1a etapa: escrever uma incógnita em termos da outra. Nessa etapa, devemos
orientar o aluno a escolher a incógnita
mais apropriada para ser isolada, de preferência com coeficiente unitário.
2a etapa: substituir a incógnita isolada
pelo seu equivalente em termos da outra,
obtendo uma nova equação com apenas
uma incógnita.
3a etapa: resolver a nova equação e obter o
valor de uma das incógnitas.
4a etapa: substituir o valor da incógnita
obtido na 3a etapa em uma das equações,
para obter o valor da outra incógnita.
5a etapa: verificar se a solução obtida
satisfaz as equações originais.
a) x+ 2y = 5
x – y = –1
1a: Nesse caso, uma escolha possível é escrever x
em termos de y, por exemplo, x = 5 – 2y
2a: Substituí-lo na outra equação:
(5 –2y) – y = –1
3a: Resolvendo a equação, obtemos y = 2.
4a: Substituindo esse valor na 1a equação, temos
x + 2.2 = 5, ou seja, x = 1. A solução do sistema
é x = 1 e y = 2.
5 : Verificação: 1 + 2.2 = 5 e 1 – 2 = –1.
A solução encontrada satisfaz as duas equações.
a
42
b) 3x – 2y = 8
5x + y = 9
1a: Nesse caso, a escolha mais apropriada
é escrever y em função de x a partir da
2a equação: y = 9 – 5x.
2a: Substituindo na 1a equação, temos
3x – 2.(9 – 5x) = 8.
3a: Resolvendo a equação, obtemos x = 2.
4a: Substituindo esse valor na 2a equação,
temos 5.2 + y = 9, ou seja, y = –1.
5a: Verificação: 3.2 – 2.(–1) = 8 ou 6 + 2 = 8
e 5.2 + (–1) = 9 ou 10 – 1 = 9. A solução
encontrada satisfaz as duas equações.
Atividade 4 – Somando e subtraindo
equivalências
A ideia principal que subjaz ao chamado
método da adição é a de que podemos somar
ou subtrair duas equações sem comprometer
o princípio de equivalência. Ou seja, a soma
ou a diferença entre duas equações gera uma
nova equação. Essa ideia nem sempre é discutida com profundidade, e muitos alunos
simplesmente aplicam o método da adição
por mero automatismo, sem perceber que a
equivalência é preservada. Para ilustrar essa
ideia, propomos o seguinte problema que
pode ser resolvido usando-se a analogia com
as balanças.
1. André e Júlia foram a uma lanchonete.
André comeu dois mistos e tomou um refrigerante, e gastou R$ 6,60. Já Júlia comeu
Matemática – 7a série – Volume 3
um misto e também tomou um refrigerante,
gastando R$ 4,10. qual é o preço do misto e
do refrigerante nesta lanchonete?
R$ 2,50
a) Representação do consumo e do gasto de
André.
Chamando o sanduíche de x e o refrigerante
de y, obtemos a equação ( I ) 2x + y = 6,60
R$ 6,60
Algebricamente, subtraímos a equação II da
equação I:
( I ) 2x + y = 6,60 – (II) x + y = 4,10,
resultando em x = 6,60 – 4,10 ou x = 2,50.
d) Se um sanduíche custa R$ 2,50 e Júlia
gastou R$ 4,10, então o preço do
refrigerante é o valor que falta: R$ 1,60.
b) Representação do consumo e do gasto de
Júlia.
Equivalente à equação (II) x + y = 4,10
R$ 4,10
Se 2,50 + y = 4,10, então y = 1,60.
e) Em termos algébricos, a resolução
completa ficaria assim:
���
2x + y = 6,60
–
x + y = 4,10
( 2x – x ) + ( y – y ) = 6,60 – 4,10
c) Subtraindo o consumo de Júlia do consumo
de André, restará apenas um sanduíche.
Portanto, subtraindo os valores pagos,
a diferença obtida, R$ 2,50, é o preço do
sanduíche.
R$ 4,10
R$ 6,60
x = 2,50
2,50 + y = 4,10
y = 1,60
O procedimento de resolução adotado
nesse problema é conhecido como método
da adição. Embora tenha sido feita uma
diferença entre equações, deve-se comentar
com os alunos que subtrair é equivalente a
adicionar o oposto. Portanto, adicionando
a equação I à equação II multiplicada por
menos um, obteremos o mesmo resultado.
43
2x + y = 6,60
–x – y = – 4,10
+
2x + (–x) + y + (–y) = 6,60 + (– 4,10)
x = 2,50
Uma ideia importante que deve ser retomada
com os alunos é a de que qualquer equação pode
ser transformada em outra equação equivalente
quando realizamos as seguintes operações:
a) adicionamos ou subtraímos um mesmo
número ou expressão nos dois lados da
igualdade.
b) multiplicamos ou dividimos os termos
de ambos os lados da igualdade por um
mesmo número ou expressão, desde que
diferente de zero.
Atividade 5 – Procedimentos para resolução
de sistemas lineares pelo método da adição
Consideremos os seguintes sistemas:
a) 2x + y = 5
x–y=4
b) 3x
3x + 5y =––66
x – 2y = –22
c) 3x + 2y = – 4
4x – 3y =23
23
Para resolver um sistema pelo método da
adição é preciso que, quando somadas as equações, pelo menos uma das incógnitas seja anulada. Isso ocorre quando somamos um termo
ao seu oposto. Por exemplo: 2x + (–2x) = 0
ou (–5y) + 5y = 0. Assim, precisamos proceder
da seguinte maneira:
44
1 a etapa: decidir uma maneira de anular
uma das incógnitas na soma de equações.
Observar os coeficientes e sinais das incógnitas. Se houver dois termos opostos entre si,
basta efetuar a soma. Caso contrário, será
preciso multiplicar uma das equações para
obter um termo oposto ao termo da outra
equação.
2a etapa: efetuar a soma de equações que
anule uma das incógnitas.
3a etapa: resolver a nova equação obtida.
4a etapa: substituir o valor da incógnita obtido na 3a etapa em uma das equações do sistema
para obter o valor da outra incógnita.
5a etapa: verificar se a solução obtida satisfaz as equações originais.
a) 2x+ y
x–y
3x
+
1a: as equações possuem termos opostos
(y e –y)
2a e 3a: obtemos 3x = 9. Portanto, x = 3
4a: substituindo na 2a equação, temos:
3 – y = 4, então y = –1
5a: verificação: 2.3 + (–1) = 5 ou 6 – 1 = 5
3 – (–1) = 4 ou 3 + 1 = 4
A solução satisfaz as equações.
Matemática – 7a série – Volume 3
b) 3x + 5y = –6
⎧3x + 5y = –6
–3
+
. 
→ ⎨

⎩ –3x +6y = 6
 x – 2y = –2
11y = 0
1a: não há termos opostos. Portanto, podemos multiplicar a 2a equação por –3, obtendo o
termo oposto a 3x.
2a e 3a: obtemos 11y = 0. Portanto, y = 0.
4a: substituindo na 2a equação, temos:
x – 2.0 = –2, então x = –2
A princípio, não há uma norma para se usar
um ou outro método. É por meio da experiência e da reflexão sobre os procedimentos utilizados que o aluno poderá decidir qual o melhor
caminho a ser percorrido. Contudo, podemos
delinear algumas características que facilitam
um ou outro método. Por exemplo, o método
da adição se torna mais rápido quando existem
termos opostos nas duas equações. Já o método
da substituição é preferível quando for fácil
isolar uma das incógnitas.
5a: Verificação: 3.(–2) + 5 . 0 = – 6 ou
–6+0=–6
Os seguintes sistemas podem ser propostos
aos alunos:
–2 – 2.0 = –2 ou –2 – 0 = –2
A solução satisfaz as equações.
 9x + 6y = –12
c)⎧3x + 2y = –4
3
+
⎯..⎯
→

⎨
2
 8x – 6y = 46
⎩4 x – 3y = 23
17x = 34
1a: não há termos opostos. Portanto, uma estratégia é multiplicar a 2a equação por 2 e a 1a equação
por 3, obtendo os termos opostos 6y e –6y.
2 e 3 : obtemos 17x = 34. Portanto, x = 2.
a
a
4a: substituindo na 1a equação, temos:
a) 2 x – y = 7
x + 3y = –7
x = 2 e y = –3
c)  2x + 3y = 0

6 x − 4 y = 13
3
x=
e y = –1
2
b)  x + 5y = 1

3x − y = −13
x = –4 e y = 1
d)  x = 3y − 1

2 x + y = 12
x=5ey=2
3.2 + 2y = –4, então y = –5
5a: Verificação: 3.2 + 2.( –5) = –4 ou 6 – 10 = – 4
4.2 – 3.( –5) = 23 ou 8 + 15 = 23
A solução satisfaz as equações.
Atividade 6 – A escolha do método
A ideia é que os alunos decidam qual o
sistema mais apropriado em cada situação.
Atividade 7 – Equações, tabelas e gráficos
A representação gráfica de uma equação linear com duas incógnitas é um recurso
valioso na discussão e na análise das possíveis
resoluções de um sistema. Além disso, ele prepara o aluno para o trabalho posterior com
funções, que se iniciará na 8a série.
45
Na atividade 1, construímos uma tabela
com as soluções inteiras e positivas de uma
equação com duas incógnitas. Para cada valor
de x, correspondia um valor de y, cuja soma
era sempre 28 (x + y = 28). Podemos, então,
construir um par ordenado (x, y) que configure
a relação entre essas incógnitas, e representá-lo
num plano cartesiano.
tipo e representar as soluções em uma tabela
e, em seguida, no plano cartesiano.
1. Problema: A soma de dois números inteiros
e positivos é 12 e a diferença entre eles é 4.
Traduzindo em linguagem algébrica, escrevemos as equações I e II:
 x + y = 12 (I)

 x – y = 4 (II)
A representação de uma equação linear
com duas incógnitas no plano cartesiano permite a visualização de suas possíveis soluções,
o tipo de relação existente entre as incógnitas,
etc. Além disso, será de muita valia na análise
e discussão das soluções de um sistema linear
de duas equações. A seguir, vamos explorar
um problema que resulta em um sistema desse
Para cada equação, constroem-se as tabelas
com os valores x e y, considerando o domínio
dado pelo problema, isto é, de valores entre 1
e 11. Vamos considerar também, sem perda de
generalidade, que x é maior que y.
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
x
5
6
7
8
9
10 11
y
11 10
9
8
7
6
5
4
3
2
y
1
2
3
4
5
6
7
x−y 4
4
4
4
4
4
4
1
x + y 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12
Agora, para cada par ordenado (x, y) das
tabelas, localizaremos um ponto no plano
x + y = 12
x–y=4
y
y
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
46
cartesiano, obtendo os seguintes gráficos das
equações I e II:
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
Matemática – 7a série – Volume 3
Juntando os pontos no mesmo plano, obtemos o gráfico das duas equações. O ponto em
comum aos dois gráficos (8,4) é a solução do
sistema.
y
Pode-se solicitar aos alunos que construam
o gráfico das equações e verifiquem se pontos
fora do domínio do problema inicial também
estão contidos na reta. Por exemplo, no gráfico
da equação x + y = 12 representado abaixo, os
pares ordenados (–1, 13), (7,5; 4,5) e (15, –3) pertencem à reta e satisfazem à equação x + y = 12.
11
y
10
13
9
12
8
10
11
7
9
6
7
x + y = 12
8
5
6
4
4
5
3
3
2
1
2
1
–3 –2 –1
1 2
–1
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 x
–2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
x
–3
Consideremos agora que o problema não
se restrinja ao domínio dos números inteiros,
e possa incluir números negativos, racionais e
irracionais. Então, os pontos das equações
podem ser representados por uma reta. Como
já foi comentado anteriormente, a formalização do conceito de reta real será feita na
8a série. Nesse momento, basta que o aluno
compreenda que os pontos intermediários entre os inteiros também estão alinhados e, portanto, podem ser representados por uma reta.
Atividade 8 – Soluções de um sistema
Assim que os alunos se apropriarem dos procedimentos de resolução de um sistema linear,
podemos problematizar a questão das possíveis
soluções de um sistema. Até agora, o repertório
de soluções que os alunos conheciam era composto por números determinados. Contudo, uma
particularidade dos sistemas lineares de duas
equações é que eles podem gerar outros tipos de
resultados. Podemos obter uma solução possível,
mas indeterminada, ou uma solução impossível.
Determinada
Possível
Solução de um
sistema linear
Indeterminada
Impossível
47
Apresentaremos alguns exemplos de sistemas contendo os três tipos de soluções mostradas na página anterior. O professor deve
estimular os alunos a investigarem os padrões
nas equações dos sistemas em que a solução
é indeterminada ou impossível. Além disso,
será feita a representação gráfica dos sistemas
para a interpretação geométrica das soluções.
Proponha aos alunos a resolução de sistemas por meio do método da adição como o
que segue:
x
Atividade 10 – Sistema possível e
indeterminado
Peça aos alunos que resolvam o seguinte
sistema pelo método da adição:
2x + y = 3

 x–y=6
=9
3x
x=3 y=–3
2x + y = 3

4 x + 2y = 6
Agora, eles devem representar as duas equações no plano cartesiano. Como para determinar uma reta são necessários ao menos dois
pontos, eles devem montar a tabela com apenas
dois pares ordenados para cada equação.
x–y=6
x
y
x
y
0
3
0
–6
1,5
0
6
0
A partir da tabela, obtemos o gráfico a seguir,
que mostra as duas retas, uma de cada equação,
interceptando-se no ponto (3, –3), que é a solução do sistema.
48
3
–3
Atividade 9 – Sistema possível e
determinado
2x + y = 3
y
Multiplicando a 1a equação por –2, obtemos
uma outra equação cujos termos são os opostos
da 2a equação.
 –4x – 2y = −6
+

 4x + 2y = 6
0.x + 0.y = 0
Assim, ao tentarmos anular uma das incógnitas, a outra incógnita e o termo independente também se anularam, obtendo a igualdade
0x + 0y = 0. Como os coeficientes de ambas
as incógnitas é zero, qualquer que seja o valor das
incógnitas x e y o resultado sempre será igual a
zero. Portanto, teremos uma sentença verdadeira
(0 = 0) para qualquer valor de x e y.
Matemática – 7a série – Volume 3
Esse resultado mostra que, na verdade, as
duas equações do sistema são equivalentes, ou
seja, são a mesma equação. Por essa razão,
trata-se de um problema que tem apenas uma
equação com duas incógnitas e, portanto, infinitas soluções. Em termos gráficos, a representação das equações no plano gera duas retas
coincidentes, como mostra a figura.
2x + y = 3
4x + 2y = 6
x
y
x
y
0
3
0
3
1,5
0
1,5
0
O resultado obtido, 0x + 0y = 4, não possui
solução, pois quaisquer que sejam os valores de
x e y, o lado esquerdo da equação será sempre
igual a zero, enquanto o direito vale quatro.
Assim, a sentença obtida é falsa, pois 0 ≠ 4. Em
termos gráficos, as duas equações seriam representadas como mostra a figura.
2x + y = 3
4x + 2y = 10
x
y
x
y
0
3
0
5
1,5
0
2,5
0
y
y
5
3
3
1,5 2,5
1,5
x
Atividade 11 – Sistema impossível
Peça aos alunos que resolvam o seguinte
sistema pelo método da adição:
 2x+ y = 3

4x+ 2 y = 10
Multiplicando a 1a equação por –2, obtemos
uma equação em que os coeficientes das incógnitas
são opostos, mas o termo independente, não.
���
− 4x − 2y = − 6
+
4x + 2y = 10
0x + 0y = 4
x
Como podemos ver, as duas retas que representam as equações são paralelas. Dessa forma,
elas não possuem pontos de interseção, o que
mostra que o sistema não possui solução.
Considerações sobre a avaliação
Ao final desta Situação de Aprendizagem, espera-se que os alunos sejam capazes
de resolver problemas envolvendo mais de
uma incógnita, saibam representar esses problemas na forma de um sistema e consigam
achar uma solução usando o método mais
conveniente.
49
Além disso, eles devem analisar e compreender as possíveis soluções de um sistema linear:
determinada, indeterminada e impossível.
Além disso, eles devem saber representar uma
equação linear com duas variáveis no plano
cartesiano, além de interpretar graficamente a
solução de um sistema.
No decorrer das aulas, é importante que o
professor alterne momentos de problematização e sistematização com atividades e exercícios
relativos ao conteúdo ensinado. Consideramos
que no decorrer dessas duas semanas o professor
proponha algumas atividades de avaliação que
contemplem os seguintes itens:
a) Resolução de problemas: o foco da
avaliação deve estar na tradução do
problema para a linguagem algébrica
(montagem do sistema).
b) Resolução de sistemas: propor exercícios visando a familiarização com os
procedimentos de resolução dos sistemas
estudados. Avaliar se os alunos sabem
usar os dois métodos, escolhendo o
melhor em cada situação e se fazem a
verificação dos resultados obtidos.
c) Representação gráfica: representar equações no plano cartesiano e construir
tabelas com alguns valores das incógnitas.
Avaliar se os alunos representam corretamente os pares (x, y) da equação no
plano cartesiano.
d) Análise e discussão das soluções de um
sistema: propor a resolução de sistemas
que tenham solução indeterminada ou
impossível. Avaliar se os alunos sabem identificar quando o sistema é possível e determinado ou indeterminado ou impossível.
SITuAçãO DE APRENDIzAgEM 4
EquAçõES COM SOluçõES INTEIRAS E SuAS APlICAçõES
Nesta Situação de Aprendizagem, apresentamos uma série de problemas que, uma
vez equacionados, conduzem a uma única
equação com mais de uma incógnita. Equações como essas que, em domínio real, seriam
classificadas como indeterminadas, podem ter
um número finito de soluções inteiras e positivas. Investigaremos equações dessa natureza (em
domínio inteiro positivo) com o uso de tabelas e
em contextos próximos de situações reais.
tempo previsto: 1 semana.
Conteúdos e temas: múltiplos e divisores; máximo divisor comum; equações e sistemas; contagem.
Competências e habilidades: identificar regularidades e padrões; raciocínio lógico dedutivo em
problemas algébricos; organizar informações em tabelas.
Estratégias: utilizar tabelas para identificar padrões e regularidades; utilizar tabelas para organizar informações; investigar propriedades de divisibilidade entre inteiros e do MDC por
meio de exemplos numéricos.
50
Matemática – 7a série – Volume 3
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 4
O estudo de sistemas de equações lineares
na 7a série, normalmente, concentra esforços na
discussão, compreensão e sistematização dos
métodos de resolução (adição e substituição) de
sistemas determinados. Ocorre que, em inúmeras situações de ordem prática, o que precisamos resolver são sistemas com mais incógnitas
do que equações e, ainda para complicar (ou facilitar), sistemas que requerem apenas soluções
inteiras positivas.
Vejamos alguns exemplos adaptados de artigos da Revista do Professor de Matemática 2.
Exemplo 1 – Para agrupar 13 ônibus em
filas de 3 ou 5 em uma garagem, quantas filas
serão formadas de cada tipo?
R$ 50,00 e R$ 100,00. Se um cliente deseja sacar
R$ 250,00, de quantas maneiras diferentes ele
poderá receber suas notas?
Exemplo 5 – Deseja-se adquirir um total
de 100 peças dos tipos A, B e C, sendo que
os preços unitários das peças são R$ 1,00,
R$ 10,00 e R$ 20,00, respectivamente. Se
dispomos de R$ 200,00 para a compra,
quantas e quais são as possibilidades de
compras que podemos fazer?
Escrevendo cada um desses problemas em
linguagem algébrica, encontraremos equações
do tipo ax + by = c ou ax + by + cz = d, em
que nos interessam apenas as soluções inteiras
e positivas do tipo (x,y) ou (x,y,z).
Exemplo 1:
t: número de filas com 3 ônibus.
Exemplo 2 – quantas quadras de vôlei
e quantas quadras de basquete são necessárias para que 80 alunos joguem simultaneamente? E se forem 77 alunos? (Dado: uma
partida de basquete é disputada por 5 jogadores,
e uma de vôlei por 6.)
c: número de filas com 5 ônibus.
Exemplo 3 – um laboratório dispõe de duas
máquinas para examinar amostras de sangue.
uma delas examina 15 amostras de cada vez,
enquanto a outra examina 25. quantas vezes
essas máquinas devem ser acionadas para
examinar 2 000 amostras?
b: número de pares de times de basquete.
Exemplo 4 – um caixa eletrônico disponibiliza para saque apenas notas de R$ 20,00,
2
3t + 5c = 13
Exemplo 2:
v: número de pares de times de vôlei.
12v + 10b = 80 ou 12v + 10b = 77
lembrete: usamos 12v, e não 6v, porque
para haver uma partida de vôlei precisamos de
dois times completos de 6 jogadores; o mesmo raciocínio se aplica a 10b no lugar de 5b.
A Revista do Professor de Matemática é editada pela Sociedade Brasileira de Matemática. Disponível em:
<http://www.rpm.org.br/cms>.
51
Exemplo 3:
x: número de amostras examinadas pela
máquina x
y: número de amostras examinadas pela
máquina Y
15x + 25y = 2 000
Exemplo 4:
x: total de notas de R$ 20,00
y: total de notas de R$ 50,00
z: total de notas de R$ 100,00
20x + 50y + 100z = 250
Exemplo 5:
a: número de peças adquiridas do tipo A
b: número de peças adquiridas do tipo B
c: número de peças adquiridas do tipo C
a + 10b + 20c = 200
Problemas nos quais nos interessam as soluções inteiras positivas de uma equação com
mais de uma incógnita, normalmente, recebem
o nome de equações diofantinas, em homenagem
ao matemático Diofanto de Alexandria, que viveu por volta do ano 250 d.C. e se interessou por
problemas dessa natureza (ver nota histórica ao
final do texto).
52
uma equação diofantina, como acabamos
de descrever, pode apresentar uma, mais de
uma ou nenhuma solução. O estudo aprofundado das equações diofantinas permite-nos
encaminhar a discussão para:
1. estabelecer um critério de existências de solução que envolva diretamente a noção de
máximo divisor comum;
2. estabelecer um algoritmo para encontrar
as soluções, quando elas existirem.
Nesta Situação de Aprendizagem, investigaremos problemas envolvendo equações
diofantinas com o uso de tabelas e, a partir
da observação de padrões e regularidades,
identificaremos suas soluções. Não investigaremos o algoritmo de resolução das equações
diofantinas, no entanto, ele é uma decorrência quase que imediata da análise que faremos para determinar quando uma equação
diofantina tem ou não solução. Deve ficar
claro, por meio da atividade, que o recurso
das tabelas, usado para a busca de soluções,
torna-se muito complicado quando estamos
diante de um problema em que os coeficientes da equação são números muito altos, o
que certamente justificará o interesse pela
busca de um algoritmo geral. Caso o professor identifique esse interesse nos alunos,
deixaremos duas indicações bibliográficas
nas quais o algoritmo e sua demonstração
podem ser encontrados.
A forma como pretendemos apresentar o estudo de problemas relacionados às
Matemática – 7a série – Volume 3
equações diofantinas, apesar de não usual na
escola básica, sugere pelo menos três aspectos que justificam plenamente sua abordagem:
1) trabalha-se com a identificação de padrões
e regularidades; 2) trabalha-se com a ideia de
múltiplos, divisores e do máximo divisor comum; 3) trabalha-se, indiretamente, com raciocínio de contagem.
A seguir, apresentaremos a resolução dos
exemplos indicados no início desta proposta,
contando com sua análise, professor, sobre
outros desdobramentos possíveis para atividades com os alunos.
Resolução do exemplo 1
Montaremos uma tabela que nos permita
avaliar possibilidades para t e c, de tal forma
que se atenda à restrição 3t + 5c = 13:
linha
número de número de
filas com
filas com
3 ônibus (t) 5 ônibus (c)
total de
ônibus
(3t + 5c)
1
0
0
0
2
0
1
5
3
0
2
10
4
0
3
15
5
1
0
3
6
2
0
6
7
3
0
9
8
4
0
12
9
5
0
15
10
1
2
13
Inicialmente, fixamos t = 0 e variamos o
valor de c, o que permite observar que não há
solução para o problema quando t = 0, porque a soma 3t + 5c sempre será um múltiplo
de 5 (lembre-se de que queremos 3t + 5c = 13).
Note que não fizemos mais do que 4 linhas
na tabela com t = 0 por dois motivos: em primeiro lugar, pode-se observar com facilidade
que 3t + 5c será sempre múltiplo de 5, o que
não fornece solução para o problema e, em
segundo lugar, na quarta linha já atingimos
soma maior do que os 13 ônibus possíveis
do problema.
Da 5a linha até a 9a, fizemos o mesmo tipo
de análise, só que agora com c = 0. Também
concluímos, nesse caso, que não há solução
possível com c = 0.
Com os valores possíveis de 3t e de 5c listados na última coluna da tabela, nos interessa
agora procurar somas de dois deles que totalizem 13. No caso do problema, a única soma que
totaliza 13 é 10 + 3. Segue, portanto, que a única
solução do problema é 3.1 + 5.2 = 13, ou seja,
(t,c) = (1,2).
Deve-se observar, por meio desse exemplo,
que o fato de um problema dessa natureza ter
uma, mais de uma ou nenhuma solução está
diretamente relacionado com os valores atribuídos aos coeficientes da equação, que no
caso do exemplo 1 foram 3, 5 e 13. Outras
escolhas poderiam implicar na existência de
mais de uma solução (se trocássemos, por
exemplo, o 13 por 15) ou de nenhuma solução (se trocássemos, por exemplo, 3 por 2).
53
Resolução do exemplo 2
Montaremos uma tabela que nos permita
avaliar possibilidades para v e b de tal forma
que se atenda à restrição 12v + 10b = 80 (na sequência, analisaremos o caso 12v + 10b = 77).
no de pares no de pares total de
linha de times de de times de
alunos
vôlei (v) basquete (b) (12v + 10b)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
3
4
5
6
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
0
0
0
0
0
2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
12
24
36
48
60
72
80
Com as nove primeiras linhas da tabela,
descobrimos uma solução do problema, que é
v = 0 e b = 8. Note que o padrão seguido nas
nove primeiras linhas não foi continuado, porque
na nona linha já se atingiu 80, que é o número de
alunos da escola na primeira situação proposta
no enunciado do problema. Da 10a à 15a linha,
identificamos que não há solução quando
b = 0. O padrão com b = 0 não prosseguiu para
além da 15a linha, porque na linha seguinte já
54
ultrapassaríamos 80 alunos. Por fim, buscando
combinações de resultados da última coluna
cuja soma seja 80, encontraremos mais uma solução para o problema, que é v = 5 e b = 2. Esse
problema apresenta, portanto, soluções do tipo
(v,b), que são (0,8) e (5,2).
Dando continuidade à análise desse exemplo, é fácil perceber que não existe solução
para a equação 12v + 10b = 77. uma justificativa razoável para isso é a seguinte:
f os múltiplos de 10 terminam sempre em 0,
portanto, 10b tem algarismo das unidades
igual a zero;
f os múltiplos de 12 terminam em 0, 2, 4, 6 ou 8,
portanto, 12v termina em algarismo das unidades igual a um desses números;
f decorre dos itens anteriores que a soma 12v + 10b
termina em 0, 2, 4, 6 ou 8 e, como 77 tem algarismos das unidades igual a 7, 12v + 10b
nunca será igual a 77.
Pode-se demonstrar que:
uma equação diofantina ax + by = c tem solução inteira se, e somente se, o máximo divisor
comum entre a e b for um número que divide c.
O teorema que acabamos de enunciar
garante a existência de soluções inteiras (inclui os negativos). lembramos que nos cinco
exemplos que estamos analisando, nos interessam as soluções inteiras positivas. Ou seja, sua
aplicação em problemas desse tipo exige que
se faça uma análise com critério, porque pode
ser que a equação tenha uma solução com inteiros negativos e, nesse caso, essa solução não
interessaria para o problema em questão.
Matemática – 7a série – Volume 3
Veremos a seguir os passos da demonstração do teorema.
Recordemos as seguintes propriedades de
divisibilidade entre inteiros:
1. Se d divide a, então d dividirá a.m, para
qualquer m inteiro.
Exemplo: 7 divide 21, então 7 divide 9 . 21
(se 7 divide 21, então 21 é múltiplo de 7 e,
portanto, o produto de 21 por qualquer inteiro será divisível por 7).
2. Se d divide a e divide b, então d dividirá
a + b.
Exemplo: 3 divide 6 e 9, então, 3 divide
6 + 9 (como
6+9
6 9
é igual a + , e como
3
3 3
3 divide 6 e 9, então 3 dividirá 6 + 9).
3. Se d é MDC(a,b), então existem inteiros r e s
tais que a . r + b . s = d.
Exemplo: MDC(6,9) = 3, e 6.(–1) + 9.(1) = 3
(note que –1 e 1 não são os únicos valores
r e s tais que a.r + b.s = d; temos também,
por exemplo, 2 e –1).
Essa propriedade é uma decorrência
quase imediata do algoritmo de Euclides
para determinação do MDC entre dois
números:
1
2
9
6
3
3
0
Veja que o algoritmo nos permite escrever
1) 9 = 1 . 6 + 3 e 2) 6 = 2 . 3 + 0. Da primeira
igualdade temos 3) 3 = 9 – 1 . 6 e da segunda
4) 2 . 3 = 6 – 0. Substituindo 4 em 3, temos
3 = 9 − 1 . (6 – 0), ou seja, 3 = (1) . 9 + (–1) . 6.
Por meio das duas primeiras propriedades
listadas, sabemos que se a equação ax + by = c
tiver alguma solução com x’ e y’ inteiros, e se
d for um divisor comum de a e b, então d dividirá c. Em particular, como o MDC (a,b) é um
divisor comum de a e b, a condição necessária
para que a equação tenha solução inteira é que
MDC (a,b) divida c. Já sabemos que é necessário
que MDC (a,b) divida c para que a equação diofantina tenha solução inteira. Agora nos resta
perguntar se essa condição também é suficiente.
A resposta é sim, e decorre da terceira propriedade listada. Chamando o MDC (a,b) de d, se
d dividir c, então c = d.m e, pela propriedade 3,
existem inteiros r e s tais que a.r + b.s = d. Multiplicando ambos os membros da igualdade por m, temos a.(r.m) + b.(s.m) = d.m, ou seja, a.x’ + b.y’ = c.
Resolução do exemplo 3
Com o resultado que acabamos de demonstrar, como o MDC(15,25) = 5 divide 2 000, o
problema tem solução inteira. Com o uso de
uma tabela, é possível encontrar as 27 soluções
do problema, que são os seguintes pares (x,y):
(130,2), (125,5), (120,8), (115,11), (110,14),
(105,17), (100,20), (95,23), (90,26), (85,29),
(80,32), (75,35), (70,38), (65,41), (60,44), (55,47),
(50,50), (45,53), (40,56), (35,59), (30,62), (25,65),
(20,68), (15,71), (10,74), (5,77), (0,80)
55
Resolução do exemplo 4
Como o MDC (20,50,100) = 10 divide 250, o
problema tem solução inteira. utilizando uma tabela encontramos as seguintes soluções (x,y,z):
(0,1,2), (0,3,1), (0,5,0), (5,1,1), (5,3,0), (10,1,0)
Resolução do exemplo 5
uma vez que o MDC (1,10,20) = 1 divide 200,
a equação possui solução inteira. utilizando uma
tabela encontraremos as 91 soluções (a,b,c):
(0,0,10), (0,2,9), (0,4,8), (0,6,7), (0,8,6), (0,10,5),
(0,12,4), (0,14,3), (0,16,2), (0,18,1), (0,20,0)
(10,19,0), (10,17,1), (10,15,2), (10,13,3), (10,11,4),
(10,9,5), (10,7,6), (10,5,7), (10,3,8), (10,1,9)
(20,18,0), (20,16,1), (20,14,2), (20,12,3), (20,10,4),
(20,8,5), (20,6,6), (20,4,7), (20,2,8), (20,0,9)
(30,17,0), (30,15,1), (30,13,2), ... , (30,3,7),
(30,1,8)
(40,16,0), (40,14,1), ... ,(40,0,8)
(50,15,0), (50,13,1), ... , (50,1,7)
(60,14,0), (60,12,1), ... , (60,0,7)
(70,13,0), (70,11,1), ... , (70,1,6)
(80,12,0), (80,10,1), ... , (80,0,6)
(90,11,0), (90,9,1), ... , (90,1,5)
(100,10,0), (100,8,1), ... , (100,0,5)
56
Observe que a tabela tem uma série de regularidades que, uma vez identificadas, facilitam a generalização das triplas ordenadas. Por
exemplo, as primeiras 11 triplas, que começam
com a = 0, têm soma b + c iniciando em 10 e
aumentando sempre uma unidade. Nas demais
sequências de triplas (conforme organizamos
anteriormente), a será um múltiplo de 10, b
será igual a 19, 18, 17, ... , 10 (reduzindo sempre
duas unidades para a tripla seguinte) e c será
igual a 0, 1, 2, ... (terminando em 9, 8, 7, 6 ou 5,
dependendo da sequência).
nota histórica
Diofanto viveu por volta do ano 250 d.C. e
foi um matemático de trabalhos extremamente originais para sua época. A principal obra de
Diofanto, chamada Arithmetica, consta ter sido
escrita em 13 livros, dos quais apenas os seis primeiros chegaram até nós. Alguns consideram
Diofanto o pai da Álgebra, uma vez que ele introduziu em seu trabalho a ideia de equação algébrica expressa por símbolos. Na solução de sistemas
de equações, Diofanto manipulava um único símbolo para representar as incógnitas e chegava às
respostas, comumente, pelo método de tentativa,
que consiste em assumir para alguma das incógnitas um valor preliminar que satisfaça algumas
condições. Esses valores preliminares conduziam a
expressões erradas, mas que geralmente sugeriam
alguma estratégia pela qual valores podiam ser
obtidos de forma a atender a todas as condições
do problema. Na coleção de 150 problemas que
compõem sua obra, fica claro que o tratamento
dado por Diofanto não é o da axiomatização, e
raramente ele apresenta generalizações. Não há
uma distinção clara no tratado de Diofanto entre equações determinadas e indeterminadas e,
Matemática – 7a série – Volume 3
Muitos dos problemas resolvidos por
Diofanto eram da determinação de soluções inteiras (ou racionais) em equações com mais de
uma incógnita, fato pelo qual esse tipo de assunto, investigado na Situação de Aprendizagem 4, é
conhecido por muitos na Matemática como equações diofantinas. Veremos a seguir (em notação
moderna) um problema resolvido por Diofanto
para ilustrar sua forma de pensar a Matemática.
“Determine dois números tais que, cada
um somado com o quadrado do outro, forneça um quadrado perfeito.”
Como Diofanto tentava sempre escrever os
problemas usando apenas uma incógnita, em
vez de chamar os números de x e y, chamou-os
de x e 2x + 1. Note que, nesse caso, ao somar o
segundo com o quadrado do primeiro, necessariamente teremos um quadrado perfeito, porque
2x + 1 + x² é igual a (x + 1)². Na sequência, exige-se que o primeiro somado com o quadrado
do segundo seja um quadrado perfeito, ou seja,
que x + (2x + 1)² seja um quadrado perfeito.
Diofanto escolhe um quadrado perfeito particular, que é (2x – 2)², para igualar à expressão
x + (2x + 1)², da qual decorrerá uma equação
linear em x, como veremos a seguir:
Note que no lugar de (2x − 2)² poderíamos ter
usado (2x − 3)² ou (2x − 4)² ou outras expressões
semelhantes, o que resultaria em outros pares de
respostas que atendem à condição do enunciado
do problema, mas Diofanto se contentava em
encontrar uma única solução para o problema.
Como curiosidade final, citamos um trecho
(adaptado para a linguagem moderna) de uma
obra datada do século V ou VI d.C., chamada
Antologia grega, em que, supostamente, revela-se
com quantos anos Diofanto morreu:
1
da sua vida na infân6
1
na juventude, 1 como solteiro; 5 anos
cia,
12
7
“Diofanto passou
depois de casado nasceu o seu filho, que morreu com metade da idade que Diofanto viveu,
4 anos antes da sua própria morte.”
Equacionando o problema, descobriremos
a suposta idade que Diofanto morreu:
5
2
4 → x = 84 anos
Reprodução
quando ele se ocupava desse segundo grupo, geralmente contentava-se em encontrar uma solução, e não todo o conjunto de soluções.
x + (2x + 1)² = (2x – 2)²
x + 4x² + 4x + 1 = 4x² – 8x + 4 → x =
Segue, portanto, que um dos números é
outro, dado por 2x + 1, é
19
.
13
3
.
13
3
eo
13
Frontispício de livro de Aritmética de Diofanto,
Toulouse, França, 1620.
57
Considerações sobre a avaliação
Na Situação de Aprendizagem 4, investigamos processos de resolução de equações com
mais de uma incógnita e soluções inteiras positivas. Acreditamos que a discussão de problemas desse tipo, além de aproximar o estudo da
Matemática de sua contextualização, permite
também a retomada de propriedades dos múltiplos e divisores de um número. Do ponto de
vista das habilidades trabalhadas, a situação
proposta exige que o aluno seja capaz de organizar as informações numéricas em uma tabela,
observar padrões, generalizar regularidades e
investigar propriedades dos múltiplos e divisores por meio da resolução de problemas.
As avaliações devem verificar se o aluno
está apto a:
f equacionar um problema a partir da leitura e interpretação do seu enunciado;
f identificar se a equação possui ou não
solução por uma análise numérica direta
(com uso de tabelas), o que pode ser comprovado pelo teorema do máximo divisor
comum que foi apresentado no texto;
f organizar os dados em uma tabela, o que
implica fazer escolhas convenientes dos números atribuídos às incógnitas de tal forma
que haja um padrão que possa ser cercado
na montagem da tabela;
f encontrar todas as soluções da equação;
f criar (e resolver) seus próprios problemas
envolvendo equações com várias incógnitas e soluções inteiras positivas.
ORIENTAçõES PARA RECuPERAçãO
A avaliação do conteúdo trabalhado na
Situação de Aprendizagem 1 pode-se realizar por meio de provas individuais, o que
permitirá identificar melhor as dificuldades específicas de cada aluno. Tais dificuldades podem
ser classificadas em: 1) não consegue transpor a
informação para a linguagem algébrica; 2) consegue transpor a informação, porém não consegue
resolver a equação; 3) consegue resolver a equação, porém não interpreta e analisa as soluções
no contexto do problema.
Para recuperar o primeiro tipo de dificuldade, o professor pode recorrer a novos
problemas, de preferência mais simples no
58
primeiro momento, para que o aluno possa
progredir. Outra estratégia interessante é a de
formar duplas de trabalho para a resolução
de problemas. Nesse caso, é necessário que o
professor escolha as duplas adequadamente
de forma que um aluno com maior conhecimento sobre o assunto possa ajudar o que
ainda não atingiu objetivos mínimos. A recuperação do segundo tipo de dificuldade implica identificar qual erro específico o aluno
está cometendo e, uma vez esclarecido, o professor pode propor novos problemas em que
ele tenha mais uma vez que colocar à prova
esse tipo de conhecimento. um bom caminho
para recuperar o terceiro tipo de dificuldade
Matemática – 7a série – Volume 3
é o de fazer perguntas para o aluno do tipo:
“Sua resposta é plausível para o que está sendo perguntado?” ou “Identifique novamente
a pergunta do problema no texto e confronte
com a sua resposta”.
uma atividade cujo foco seja a leitura de enunciados: identificação dos verbos principais,
reconhecimento dos valores a serem descobertos (incógnita), descrição da pergunta central
do problema, etc.
Em relação à Situação de Aprendizagem 2,
caso os objetivos de aprendizagem não forem
plenamente atingidos pelos alunos, o professor poderá explorar as seguintes estratégias de
recuperação:
Por fim, no que diz respeito aos conteúdos da Situação de Aprendizagem 4, se os
objetivos mínimos não tiverem sido atingidos
plenamente por algum aluno, o professor poderá lançar mão das seguintes estratégias de
recuperação:
f a retomada da ideia de localização usando
guias de endereços, mapas, plantas e outros
recursos extramatemáticos;
f uma sistematização das principais características do sistema de coordenadas cartesianas, seguida de exercícios similares às
atividades 5 e 6 propostas neste Caderno.
Essas atividades sintetizam a essência da
ideia de localização no sistema de coordenadas cartesianas.
Caso o professor note que os alunos não estão conseguindo resolver os sistemas propostos
na Situação de Aprendizagem 3, é adequado avaliar se isso se deve à dificuldade em relação aos
procedimentos de resolução de equações ou à
interpretação do problema. No primeiro caso,
a atividade de recuperação deve contemplar
os procedimentos de resolução de equação de
1o grau: o significado da operação inversa, a ideia
de equivalência, a linguagem algébrica, etc.
Se a dificuldade de interpretação do problema persistir, o professor deverá preparar
f propor novos exercícios para que sejam resolvidos em duplas de trabalho, procurando sempre formar duplas em que um aluno
possa, de fato, ajudar outro que esteja com
dificuldades no assunto;
f trabalhar com a representação das equações (com duas incógnitas) no plano cartesiano. uma equação do tipo ax + by = c
terá sempre como representação uma reta
e, construindo o gráfico no papel milimetrado (ou quadriculado), podemos identificar as soluções inteiras como pontos da
malha de coordenadas inteiras por onde
passa a reta;
f trabalhar com estratégia de jogos: divida
a classe em grupos, e cada um deverá elaborar um problema de equação diofantina
(com sua solução). Os problemas criados
pelos grupos deverão ser trocados entre
eles e vencerá o jogo o grupo que conseguir
resolver corretamente o maior número de
problemas.
59
RECuRSOS PARA AMPlIAR A PERSPECTIVA DO PROFESSOR E
DO AluNO PARA A COMPREENSãO DO TEMA
AlVES, Sérgio; gAlVãO, Maria E. E. l.
Um estudo geométrico das transformações
elementares. São Paulo: IME-uSP, 1996.
BAuMgART, John K. Tópicos de história da
Matemática para uso em sala de aula: Álgebra.
São Paulo: Atual, 2001.
BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática.
São Paulo: Edgard Blucher, 1994.
CAJORI, Florian. Uma história da Matemática.
Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2007.
CARNEIRO, José Paulo. Dispositivo para
expressar o MDC de dois números como
combinação linear deles. Revista do Professor
de Matemática, no 37, São Paulo: Sociedade
Brasileira de Matemática, 1998.
60
gARBI, gilberto g. O Romance das equações
algébricas. São Paulo: Makron Books, 1997.
KRulIK, Stephen; REYS, Robert. E. (Org.).
A resolução de problemas na Matemática
escolar. São Paulo: Atual, 1998.
lIMA, Elon lages et. al. Temas e problemas
elementares. 2. ed. Rio de Janeiro: Sociedade
Brasileira de Matemática, 2006. (Coleção do
Professor de Matemática.)
MIlES, César Polcino; COElHO, Sônia P.
Números: uma introdução à matemática. São
Paulo: Edusp, 2001.
PATROCÍNIO, Antônio Carlos; SATO,
Sérgio Nokiani; ISNARD, Carlos Augusto
Soluções inteiras. Revista do Professor de
Matemática. no 8. São Paulo: Sociedade
Brasileira de Matemática, 1986.
COIMBRA, Carlos. Coordenadas no Espaço.
Ciência hoje na escola tempo e espaço, v. 7.
Rio de Janeiro: Ciência Hoje, 1999.
Revista do Professor de Matemática. São Paulo:
Sociedade Brasileira de Matemática, publicada
desde 1982.
COxFORD, Albert F.; SHulTE, Arthur P.
As ideias da Álgebra. São Paulo: Atual, 1995.
Vários números apresentam material sobre
álgebra e equações.
DINIz, Maria Ignez S.; SOuzA, E. R. Álgebra:
das variáveis às equações. São Paulo: CAEM,
IME-uSP, 1996. Disponível em: <http://www.
ime.usp.br/caem>. Acesso em: 13 maio 2009.
ROCquE, gilda Diha.; PITOMBEIRA,
João Bosco. uma equação diofantina e suas
resoluções.Revista do Professor de Matemática,
no 19. São Paulo: Sociedade Brasileira de
Matemática, 1991.
Matemática – 7a série – Volume 3
ConSidERAçõES FinAiS
Os três objetivos centrais do 3o bimestre
da 7a série são aprofundar a discussão sobre
equações de 1o grau; apresentar o plano cartesiano e suas possibilidades e introduzir a
ideia de sistemas de equações e seus métodos
de resolução. O professor deve compreender
que muitos dos temas deste bimestre serão
retomados nas séries subsequentes, seguindo
uma proposta de currículo em espiral, o que
deve ser usado como um balizador para a escolha da “escala” a ser adotada, no que diz
respeito tanto à profundidade com que vai
explorar cada assunto, como ao tempo que
dedicará a cada um deles.
Reforçamos mais uma vez nossa compreensão de que o bimestre apresenta uma quantidade grande de novos temas, e que as propostas
aqui apresentadas para o tratamento desses
temas são sugestões para reflexão do professor,
sendo perfeitamente compreensível que sejam
feitos ajustes, adequações, cortes e recortes
para colocá-las a serviço do seu planejamento.
Apresentamos, a seguir, a grade curricular
com os conteúdos de Matemática, de todas as
séries do Ensino Fundamental, destacando
com um sombreado os conteúdos de outros
bimestres e de outras séries diretamente relacionados com os conteúdos deste 3º- bimestre.
61
ContEúdoS dE mAtEmátiCA PoR SéRiE/bimEStRE
do EnSino FundAmEntAl
4o bimestre
3o bimestre
2o bimestre
1o bimestre
5a série
62
6a série
7a série
8a série
NÚMEROS REAIS
- Conjuntos numéricos.
- Números irracionais.
- Potenciação e radiciação
em IR.
- Notação científica.
NÚMEROS NATuRAIS
- Múltiplos e divisores.
- Números primos.
- Operações.
- Introdução às potências.
NÚMEROS NATuRAIS
- Sistemas de numeração na
Antiguidade.
- O sistema posicional
decimal.
NÚMEROS RACIONAIS
- Transformação de decimais
finitos em fração.
- Dízimas periódicas e
fração geratriz.
FRAçõES
- Representação.
- Comparação e
ordenação.
- Operações.
NÚMEROS INTEIROS
- Representação.
- Operações.
POTENCIAçãO
- Propriedades para
expoentes inteiros.
NÚMEROS RACIONAIS
- Representação fracionária e
decimal.
- Operações com decimais
e frações.
TRATAMENTO DA
INFORMAçãO
- A linguagem das potências.
NÚMEROS DECIMAIS
- Representação.
- Transformação em
fração decimal.
- Operações.
gEOMETRIA/MEDIDAS
- Ângulos.
- Polígonos.
- Circunferência.
- Simetrias.
- Construções geométricas.
- Poliedros.
ÁlgEBRA
- Equivalências e
transformações de
expressões algébricas.
- Produtos notáveis.
- Fatoração algébrica.
ÁlgEBRA
- Equações de 2o grau:
resolução e problemas.
- Noções básicas sobre
funções; a ideia de
interdependência.
- Construção de tabelas e
gráficos para representar
funções de 1o e 2o graus.
NÚMEROS/
PROPORCIONAlIDADE
- Proporcionalidade direta
e inversa.
- Razões, proporções,
porcentagem.
- Razões constantes na
geometria: π.
ÁlgEBRA/EquAçõES
- Equações de 1o grau.
- Sistemas de equações e
resolução de problemas.
- Inequações de 1o grau
- Sistemas de coordenadas
(plano cartesiano).
gEOMETRIA/MEDIDAS
- Proporcionalidade,
noção de semelhança.
- Relações métricas em
triângulos retângulos.
- Razões trigonométricas.
gEOMETRIA/MEDIDAS
- Teoremas de Tales e
Pitágoras: apresentação e
aplicações.
- Área de polígonos.
- Volume do prisma.
gEOMETRIA/MEDIDAS
- O número π; a
circunferência, o círculo e
suas partes; área do círculo.
- Volume e área do cilindro.
SISTEMAS DE
MEDIDAS
- Comprimento, massa e
capacidade.
- Sistema métrico decimal.
gEOMETRIA/MEDIDAS
- Formas planas e espaciais.
- Noção de perímetro e área
de figuras planas.
- Cálculo de área
por composição e
decomposição.
TRATAMENTO DA
INFORMAçãO
- gráficos de setores.
- Noções de
probabilidade.
TRATAMENTO DA
INFORMAçãO
- leitura e construção de
gráficos e tabelas.
- Média aritmética.
- Problemas de contagem.
ÁlgEBRA
- uso de letras para
representar um valor
desconhecido.
- Conceito de equação.
- Resolução de equações.
- Equações e problemas.
TRATAMENTO DA
INFORMAçãO
- Contagem indireta e
probabilidade.