Notas de Aula – Disciplina Matemática
Licenciatura em Matemática – Osasco -2010
Tópico 09
Tema: Logaritmos, Funções Logarítmicas, Equações e Inequações Logarítmicas
1. Logaritmos
Definição: O logaritmo de um número real 𝑥 na base 𝑛 , denotado por log 𝑛 𝑥, é
definido como o expoente ao qual devemos elevar o número 𝑛 para obtermos como
resultado o número 𝑥, ou seja
log 𝑛 𝑥 = 𝑎
𝑥 é chamado de logaritmando.
𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖 çã𝑜
𝑛𝑎 = 𝑥
Para que a definição seja coerente, trabalhamos somente com bases e logaritmando
positivos, isto é , 𝑛 > 0 e 𝑥 > 0. Também, para manter a coerência trabalhamos com a
base 𝑛 ≠ 1.
Exemplos:
log 3 81 = 4, porque 34 = 81
log 5 1 = 0, porque 50 = 1
3
3
log 4 8 = 2, porque 42 = 22
3
2
3
= 22.2 = 23 = 8
Quando a base não é indicada explicitamente, subentendemos que se trata de um
logaritmo na base 10.
Exemplo:
log 1000 = 3, pois 103 = 1000
Cálculo do Logaritmo
Para calcularmos o logaritmo de um número numa base dada, usamos a definição e
resolvemos uma equação exponencial.
Por exemplo: Calcular
1
log 2
8
Temos, pela definição
1
1
log 2 = 𝑎 2𝑎 =
8
8
1
Resolvendo a equação exponencial 2𝑎 = 8, obtemos
1
2𝑎 = = 2−3
8
Logo,
1
log 2 = 𝑎 = −3
8
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Tópico 09
Tema: Logaritmos, Funções Logarítmicas, Equações e Inequações Logarítmicas
Propriedades dos logaritmos (decorrentes da definição)
a)
b)
c)
d)
log 𝑎 1 = 0
log 𝑎 𝑎 = 1
𝑎log 𝑎 𝑏 = 𝑏
log 𝑎 𝑏 = log 𝑎 𝑐
𝑏=𝑐
e) O logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos:
log 𝑎 (𝑏. 𝑐) = log 𝑎 𝑏 + log 𝑎 𝑐
f)
O logaritmo de um quociente é a diferença dos logaritmos:
log 𝑎
𝑏
= log 𝑎 𝑏 − log 𝑎 𝑐
𝑐
g) Logaritmo da Potência:
log 𝑎 𝑏 𝑐 = 𝑐. log 𝑎 𝑏
Mudança de base
Para os logaritmos também a válida a seguinte propriedade que permite a mudança de
base do logaritmo que se quer calcular:
Se a,b e c são reais positivos com a e c diferentes de 1, então vale que
log 𝑎 𝑏 =
log 𝑐 𝑏
log 𝑐 𝑎
Exemplos:
log 5
𝑐2 3
a) log 3 5 = log 2
log 10 3
10 100
b) log100 3 = log
=
log 10 3
2
2. Função Logarítmica
Dada uma constante fixa a que é real positiva e diferente de 1, chamamos de função
logarítmica de base 𝑎, a função que associa a cada valor de 𝑥 ao seu logaritmo na base
a:
𝑓: ℝ+
ℝ, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑥 = log 𝑎 𝑥
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Propriedades da função Logarítmica
a) A função logarítmica só esta definida para valores positivos, ou seja, ao
escrevermos 𝑓 𝑥 = log 𝑎 𝑥, estamos subentendendo que o logaritmando 𝑥 é
sempre positivo.
b) A função logarítmica 𝑓 𝑥 = log 𝑎 𝑥 é a função inversa da função exponencial
𝑔 𝑥 = 𝑎𝑥
c) Se a base 𝑎 da função logarítmica for maior do que 1 (𝑎 > 1) , então 𝑓 𝑥 =
log 𝑎 𝑥 será uma função crescente e seu gráfico terá o seguinte aspecto:
𝑓 𝑥 = log 2 𝑥
d) Se a base 𝑎 da função logarítmica for um número entre zero e um (0 < 𝑎 < 1) ,
então 𝑓 𝑥 = log 𝑎 𝑥 será uma função decrescente e seu gráfico terá o seguinte
aspecto
e) Assim com a função exponencial, a função logarítmica é injetora.
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Tema: Logaritmos, Funções Logarítmicas, Equações e Inequações Logarítmicas
Exemplo:
Construir o gráfico cartesiano da função 𝑓 𝑥 = log 2 𝑥, para 𝑥 > 0.
Se construirmos uma tabela e plotarmos os pontos encontrados obtemos.
3. Equação Logarítmicas
Uma equação logarítmica é uma equação que utiliza a operação de logaritmo em sua
formulação. Por exemplo
log 2 (2𝑥 + 1) = log 2 5
log 2 (−𝑥 + 4) = 4
Solução de equações logarítmicas
Exemplo 1
Seja a equação log 2 (2𝑥 + 1) = log 2 5.
Para resolver esta equação, nos apoiamos no fato de que a função logarítmica é uma
função injetora, o que informa que se log 𝑎 𝑥 = log 𝑎 𝑦, então 𝑥 = 𝑦.
Neste caso então
log 2 (2𝑥 + 1) = log 2 5
2𝑥 + 1 = 5, 𝑒, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑥 = 4.
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Exemplo 2
log 2 (−𝑥 + 4) = 4
Neste caso, decorre da própria definição de logaritmo que
24 = −𝑥 + 4
𝑥 = −16 + 4
𝑥 = −12
Exemplo 3
Considere a equação
log 2 𝑥
2
− log 2 𝑥 = 2
Neste caso, fazemos inicialmente uma mudança de variáveis substituindo log 2 𝑥 por 𝑦.
Teremos
𝑦2 − 𝑦 − 2 = 0
Ao resolvermos a equação do segundo grau acima obtemos como soluções
𝑦 = −1 𝑒 𝑦 = 2
Se 𝑦 = −1 temos log 2 𝑥 = 𝑦
Se 𝑦 = 2 temos log 2 𝑥 = 𝑦
log 2 𝑥 = −1
log 2 𝑥 = 2
1
𝑥 = 2−1 = 2
𝑥 = 22 = 4
1
Portanto, temos como soluções 𝑥 = 2 𝑜𝑢 𝑥 = 4.
4. Inequação Logarítmica
Uma inequação logarítmica é uma inequação (caracterizada por uma desigualdade)
que utiliza a operação de logaritmo em sua formulação. Por exemplo
log 2 (2𝑥 + 1) > log 2 5
log 2 (−𝑥 + 4) < 4
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Tema: Logaritmos, Funções Logarítmicas, Equações e Inequações Logarítmicas
Solução de inequações logarítmicas
Para solucionarmos as inequações logarítmicas temos que nos lembrar de que :

Se base 𝑎 do logaritmo for maior do que um, a função logarítmica é crescente,
e, teremos
Se 𝑎 > 1 , 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 0 > 𝑥 > 𝑦
log 𝑎 𝑥 > log 𝑎 𝑦
Note que estamos impondo 0 > 𝑥 pois o logaritmo não é definido para valores
negativos (já que a base é positiva).

Se a base 𝑎 do logaritmo for menor do que um, a função logarítmica é
decrescente, e, por este motivo, teremos
Se < 𝑎 < 1, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 0 < 𝑥 < 𝑦
log 𝑎 𝑥 > log 𝑎 𝑦
Note que, novamente, estamos impondo 0 > 𝑥 pois o logaritmo não é definido
para valores negativos (já que a base é positiva).
Exemplo 1
Resolver a inequação
log 3 3𝑥 + 2 < 2
Note que podemos escrever 2 = log 3 32 , e então
log 3 3𝑥 + 2 < 2 log 3 3𝑥 + 2 < log 3 32
Como a base 𝑎 = 3 é maior do que um teremos
log 3 3𝑥 + 2 < log 3 32 0 < 3𝑥 + 2 < 32
Resolvendo a inequação 0 < 3𝑥 + 2 < 9, obtemos
De 3𝑥 + 2 < 9
3𝑥 < 7
De 0 < 3𝑥 + 2
−2 < 3𝑥
7
𝑥 <3,e
2
𝑥 > −3
2
7
Portanto, as soluções são dadas pelo conjunto 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | − 3 < 𝑥 < 3}
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Exemplo 2
Resolver a inequação
log 1 2𝑥 2 − 7𝑥 + 5 ≤ −2
3
Temos
log 1 2𝑥 2 − 7𝑥 + 5 ≤ log 1
1
3
3
3
1
3
−2
= log 1 9
3
Como a base 𝑎 = é menor do que um teremos
2𝑥 2 − 7𝑥 + 5 ≥ 9
Resolvendo a equação 2𝑥 2 − 7𝑥 + 5 ≥ 9, obtemos
De 2𝑥 2 − 7𝑥 + 5 ≥ 9
2𝑥 2 − 7𝑥 − 4 ≥ 0
1
As raízes da equação 2𝑥 2 − 7𝑥 − 4 = 0 serão 𝑥 = − 2 e 𝑥 = 4, como o coeficiente de
𝑥 2 é positivo ( igual a 2), sabemos que entre suas raízes a função quadrática
𝑓 𝑥 = 2𝑥 2 − 7𝑥 − 4 = 0 é negativa. Portanto 2𝑥 2 − 7𝑥 − 4 terá sinal positivo ou
1
nulo se 𝑥 ≤ − 2, ou se 𝑥 ≥ 4.
1
Portanto as soluções pertencem ao conjunto 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤ − 2 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 4}