Modelagem em Ciências Biológicas
Aula 6: Interações Presa-Predador
Carlos Ruberto Fragoso Júnior
11:11
Sumário







11:11
Revisão da aula anterior
Introdução
Equações de Lotka-Volterra
Interações fitoplâncton-zooplâncton
Parâmetros do zooplâncton
Interações organismos/nutrientes
Trabalho
Revisão




11:11
Aprendemos sobre alguns fatores físicos e
químicos (temperatura, luz e nutrientes) que
limitam o crescimento do fitoplâncton;
Também descrevemos processos de perdas
tais como respiração e excreção;
Falamos também como podemos modelar a
predação de forma indireta;
Hoje focaremos na ação dos predadores
(fitoplâncton) que usam as presas
(zooplâncton) como fonte de alimento.
Introdução



11:11
Existem diversos casos na natureza envolvendo a
interação um par de organismos, um servindo como
fonte de alimento do outro (ex. Alces e leão; leão
marinho e Orcas).
O conhecimento destas interações é fundamental
para gestão ambiental;
Alguns organismos em excesso são indesejáveis,
podendo ser fruto de um desequilíbrio das
interações presa-predator (ex. bloom de cobras
píton em Everglades).
11:11
Equações de Lotka-Volterra



11:11
Em 1926 o biólogo italiano Humberto D’Ancona
estimou a população de predadores e presas no
Mar Adriático baseado no número de peixes
vendidos no mercado de 1910 a 1923;
Baseado nesta informação, ele observou que o
período sem pesca durante a primeira guerra
mundial levou a uma maior proporção de
predadores;
Comunicou este fato ao seu padrasto, o matemático
Vito Volterra.
Equações de Lotka-Volterra



11:11
No ano seguinte Volterra desenvolveu vários
modelos matemáticos para simular as interações
envolvendo duas ou mais espécies;
Independente, o biólogo americano A. J. Lotka
reproduziu diversos modelos semelhantes, baseado
nos modelos de Volterra;
Esta variedade de modelos são comumente
chamados de equações de Lotka-Volterra.
Equações de Lotka-Volterra

Vamos escrever uma equação de crescimento para
uma simples presa em um ambiente isolado, sem
predador e repleto de alimento:
dx
 ax
dt

11:11
onde x é o número de presas e a é uma taxa de
crescimento de primeira ordem.
Equações de Lotka-Volterra

A equação de um simples predador y na ausência de
sua fonte de alimento x:
dy
 cy
dt

11:11
onde c é uma taxa de mortalidade de primeira ordem.
Equações de Lotka-Volterra

A interação entre as duas espécies depende da
população das duas espécies;

Se existem poucos predadores ou poucas presas a
magnitude desta interação diminui;

Uma simples maneira de representar esta interação é
usando um produto, xy.
11:11
Equações de Lotka-Volterra

Assim, como essa interação resulta em perda da
presa, temos:
dx
 ax  bxy
dt

11:11
onde b é um parâmetro que quantifica o impacto da
interação na presa.
Equações de Lotka-Volterra

E a equação do predador fica:
dy
 cy  dxy
dt

11:11
onde d é um parâmetro que quantifica o impacto da
interação no predador.
Equações de Lotka-Volterra

Usando o GRIND:
dx
 ax  bxy
dt
dy
 cy  dxy
dt
11:11
Interações fitoplâncton-zooplâncton
Respiração
/Excreção
11:11
Interações fitoplâncton-zooplâncton

Na aula passada vimos que o balanço de massa
para o fitoplâncton pode ser escrito como:
da
 k g T , N , I a 
k ra a
 k gz a


dt  respiração
/ excreção
Cresciment o
11:11
predação
Interações fitoplâncton-zooplâncton

A taxa de predação não é uma constante e pode ser
aproximada por:
kgz  Cgz z

11:11
T 20
onde Cgz é a taxa de predação em m3 gC-1 d-1; θ é
um fator de correção pela temperatura e z é a
concentração de zooplâncton em gC m-3
Interações fitoplâncton-zooplâncton

Poderiamos ter uma variedade de refinamentos que
aumentaria o poder de representação desta taxa,
como por exemplo:
a
T  20
k gz 
Cgz z
k sa  a

11:11
ksa é a constante de meia-saturação para predação
do zooplâncton no fitoplâncton.
Interações fitoplâncton-zooplâncton

Incorporando este processo, o balanço final da
concentração de fitoplâncton fica:
 a
da
T 20 
a
 k g T , N , I a  kra a  
Cgz z
dt
 k sa  a

11:11
Interações fitoplâncton-zooplâncton

O balanço final da concentração de zooplâncton
fica:
 a
dz
T 20 
a  kdz z
 aca 
Cgz z
dt
 k sa  a


11:11
onde ε é um fator de eficiência de conversão e kdz é
a taxa de perda por respiração, excreção e
mortalidade em d-1.
Interações fitoplâncton-zooplâncton

O sistema de equações fica:
 a
da
T 20 
a
 k g T , N , I a  kra a  
Cgz z
dt
 k sa  a

 a
dz
T 20 
a  kdz z
 aca 
Cgz z
dt
 k sa  a

11:11
Parâmetros do zooplâncton

A taxa de predação varia entre 0,5 a 5, com valores
mais comuns adotados entre 1 a 2 m3 gC-1 d-1;

O fator de correção pela temperatura geralmente é
1,08;

A constante de meia saturação varia entre 2 a 25 ,
com valores mais comuns adotados entre 5 a 15
μgCl-a L-1;
11:11
Parâmetros do zooplâncton

A taxa de perda pode ser quebrada em duas partes:
kdz  krz  kgzc

11:11
onde krz é a taxa de perdas não-predatórias
(respiração e excreção) e kgzc é a taxa de perda
predatória por carnívoros;
Parâmetros do zooplâncton

A taxa de perdas não-predatórias pode ser adotada
com valores entre 0,01 e 0,5 d-1, sendo os valores
mais comuns entre 0,01 a 0,1 d-1;

A taxa de perda predatória depende do tipo de
predador do zooplâncton (peixe onívoro, peixe
planctívoro, macroinvertebrados, etc);

Valores podem ser encontrados em Bowier et al.
(1985).
11:11
Interações fitoplâncton-zooplâncton
Exercício no Grind:

Modelo conceitual
da
 k g  k ra a  C gz za
dt
dz
 acaC gz za  k dz z
dt
11:11
Interações fitoplâncton-zooplâncton








11:11
a0 = 1mgCl-a m-3
z0 = 0,05 gC m-3
aca = 0,04 gC mgCl-a-1
Cgz = 1,5 m3 gC-1 d-1
ε = 0,6
kdz = 0,1 d-1
kg = 0,5 d-1
kra = 0,2 d-1
Interação organismos cadeia alimentar
C
Zooplâncton
(gC m-3)
P
apc
C
aca
ε
Cl-a
apa
1-ε
P
Cl-a
Fitoplâncton
(mgCl-a m-3)
11:11
Cl-a
apa
P
Fósforo
(mgP m-3)
Interação organismos cadeia alimentar
Seguindo o esquema, podemos escrever uma
sistema de equações para aproximar as relações
entre fitoplâncton, zooplâncton e nutrientes:

da
 k g  k ra a  C gz za
dt
dz
 acaC gz za  k dz z
dt
dp
 a pa 1   C gz za  a pc k dz z  a pa k g  k ra a
dt
11:11
Trabalho

Faça uma análise criteriosa dos Estados Alternativos de
Estabilidade (ciclos no tempo, ponto de equilíbrio, nullclines e
análise de parâmetros) entre organismos e nutrientes. Inclua um
efeito de limitação por nutrientes no crescimento do fitoplâncton.
Use um valor de 2 μgP/L para a constante de meia-saturação.











11:11
a0 = 1mgCl-a m-3
z0 = 0,05 gC m-3
p0 = 20 μgP L-1
aca = 0,04 gC mgCl-a-1
apa = 1 mgP mgCl-a-1
apc = 20 mgP gC-1
Cgz = 1,5 m3 gC-1 d-1
ε = 0,6
kdz = 0,1 d-1
kg = 0,5 d-1
kra = 0,2 d-1
Equação completa do balanço de massa
(considerando a heterogeneidade espacial)
C uC  vC wC    C    C    C 
   Ez



  Ex
   E y
S
t
x
y
z
x  x  y 
y  z  z 
onde S é a taxa de perda ou ganho de massa de uma substância
11:11
Transporte de poluentes não conservativos em rios
C uC    C 

  Ex
  kC
t
x
x  x 
k inclui termos de cinética e outras perdas e ganhos
11:11
Transporte de poluentes não conservativos em rios, regime
permanente e dispersão desprezível
uC 
 kC
x
k inclui termos de cinética e outras perdas e ganhos
11:11
Exemplo (Produção Primária Aquática):
 HB  uBH  vBH    HB     HB 
 Kh
   eff BH



 Kh

t
x
y
x 
x  y 
y 
11:11
Equação de transporte/crescimento/consumo:
 HB  uBH  vBH    HB     HB 
 Kh
   eff BH



 Kh

t
x
y
x 
x  y 
y 
11:11
Fatores de Produtividade
NUTRIENTES
RADIAÇÃO
SOLAR
TEMPERATURA
PRODUÇÃO
PRIMÁRIA
PREDAÇÃO
11:11
PROFUNDIDADE
Fatores de Produtividade
NUTRIENTES
RADIAÇÃO
SOLAR
TEMPERATURA
PRODUÇÃO
PRIMÁRIA
PREDAÇÃO
11:11
PROFUNDIDADE
Fatores de Produtividade
NUTRIENTES
RADIAÇÃO
SOLAR
TEMPERATURA
PRODUÇÃO
PRIMÁRIA
PREDAÇÃO
11:11
PROFUNDIDADE
Radiação solar
11:11
Radiação solar
Algas
Zooplâncton
Outros
organismos
Nutrientes
11:11
Organismos
bentônicos
Radiação solar
Advecção
Difusão
Algas
Consumo
Zooplâncton
Outros
organismos
Respiração
Advecção
Difusão
Nutrientes
Fontes
11:11
Organismos
bentônicos
Radiação solar
Consumo
Advecção
Difusão
Algas
Consumo
Zooplâncton
Outros
organismos
Respiração
Advecção
Difusão
Nutrientes
Fontes
11:11
Organismos
bentônicos
Radiação solar
Consumo
Advecção
Difusão
Algas
Consumo
Zooplâncton
Respiração
Advecção
Difusão
Outros
organismos
Sedimentação
Nutrientes
Regeneração
pelágica
Fontes
11:11
Organismos
bentônicos
Radiação solar
Consumo
Advecção
Difusão
Algas
Consumo
Zooplâncton
Respiração
Advecção
Difusão
Outros
organismos
Sedimentação
Nutrientes
Regeneração
pelágica
Fontes
11:11
Regeneração
bentônica
Organismos
bentônicos
Cálculo da taxa efetiva de crescimento:
Nutrientes
(μN)
Luz e Temperatura
(μLT)
Perdas
(μP)
11:11
Cálculo da taxa efetiva de crescimento:
Nutrientes
(μN)
Luz e Temperatura
(μLT)
Fotossíntese
(μF=μNxμLT)
11:11
Perdas
(μP)
Cálculo da taxa efetiva de crescimento:
Nutrientes
(μN)
Luz e Temperatura
(μLT)
Fotossíntese
(μF=μNxμLT)
Perdas
(μP)
Taxa efetiva
(μeff)
11:11
Modelagem Fitoplâncton/Nutrientes:
Clorofila a:
 Ha  uHa  vHa
   Ha     Ha 
 Kh



  eff Ha 
 Kh

t
x
y
x 
x   y 
y 
Nitrogênio total:
 Hn  uHn  vHn
   Hn     Hn 
 Kh



  ana eff Ha 
 Kh

t
x
y
x 
x  y 
y 
Fósforo total:
 Hp  uHp  vHp
   Hp     Hp 
 Kh



  apa eff Ha  k phosp 
 Kh

t
x
y
x 
x  y 
y 
11:11
Modelagem Fitoplâncton/Nutrientes:
 Ha  uHa  vHa
   Ha     Ha 
 Kh



  eff Ha 
 Kh

t
x
y
x 
x   y 
y 
 Hn  uHn  vHn
   Hn     Hn 
 Kh



  ana eff Ha 
 Kh

t
x
y
x 
x  y 
y 
 Hp  uHp  vHp
   Hp     Hp 
 Kh



  apa eff Ha  k phosp 
 Kh

t
x
y
x 
x  y 
y 
11:11
Modelos Complexos de Estrutura
Trófica
11:11
O que é o modelo IPH-ECO?
•
•
•
•
•
•
•
•
Módulo Hidrodinâmico 3D, 2DH
Módulo Químico (Qualidade da Água)
Módulo Biológico-Ecológico
Windows version 1.0
η
Discretização estruturada e não-estruturada
Código desenvolvido em Fortran
Interface Gráfica desenvolvida em Visual Basic (pré-processamento)
Visualização dos resultados em tempo real e pós-processamento em
w
Array Visualizer Fortran
i,j
x
i,j,k+1/2
h
ui-1/2,j,k
ui+1/2,j,k
Δzi+1/2,j,k
wi,j,k-1/2
0,12
z
wi,j,k+1/2
ui+1/2,j,k
x
y
11:11
H (x,y,z,t)
p (x,y,z,t)
C (x,y,z,t)
T (x,y,z,t)
vi,j+1/2,k
Interação organismos cadeia alimentar
A primeira versão foi feita em 2004
(bidimensional)
• 01 Dissertação
“Simulações de fitoplâncton no Sistema
Hídrológico do Taim”
• 02 Aplicações reais
Qualidade da água em reservatórios
A segunda versão foi feita em 2005
(tridimensional)
A terceira versão foi feita em 2007
(qualidade da água e biológico)
Futuras versões (tridimensional grade
não estruturada )
11:11
Módulo hidrodinâmico
• Baseado na metodologia utilizada por Casulli e Cheng (1992)
ηi,j
x
wi,j,k+1/2
h
ui-1/2,j,k
ui+1/2,j,k
Δzi+1/2,j,k
0,12
wi,j,k-1/2
wi,j,k+1/2
ui+1/2,j,k
vi,j+1/2,k
11:11
Módulo Químico e Biológico
• Baseado na metodologia utilizada no modelo PCLake
(Janse, J. H., 2005)
11:11
11:11
Módulo Químico e Biológico
• São descritos os ciclos completo de nutrientes (N, P e Si) como
fechados
• Fitoplâncton pode ser divido diatomáceas, algas verdes e
cianobactéria
• Macrófitas podem ser divididas em enraizadas, não-enraizadas,
emergentes e plantas emergentes
• Peixes podem ser divididos em onívoros, planctívoros e piscívoros.
• Quase todos os componentes na água são sujeitas a efeitos
hidrodinâmicos (advecção and difusão).
• Estes modulos são tridimensional (estratificação)
11:11
ui-1/2,j,k
Δzi+1/2,j,k
ui+1/2,j,k
Discretização
w
Grades Estruturadas:
0,12
i,j,k-1/2
Representa o campo de escoamento
em um plano formado por uma grade
estruturada regular
Eficiência computacional e o
comprometimento das soluções
numéricas
Grades ortogonais estruturadas não
são suficientemente flexíveis para
ajustar contornos complexos e
arbitrários
Lagoa Mangueira/RS
11:11
SHT Taim
wi,j,k+1/2
ui+1/2,j,k
vi,j+1/2,k
Discretização
Grades Não-Estruturas:
Aumento da precisão na solução
computacional e a redução do número de
elementos na representação de um mesmo
contorno
Esforços computacionais podem ser
concentrados em áreas de interesse
reduzindo a densidade da malha nas demais
áreas
Facilidade de adaptação destas malhas em
geometrias complexas permitem a
elaboração de refinamentos locais em
regiões específicas
11:11
Lagoa Mangueira/RS
SHT Taim
Discretização
Lagoa Mangueira/RS, SHT Taim
Parte Sul
11:11
Lagoa Mangueira/RS, SHT Taim
Parte Sul
11:11
Help do Modelo IPH-ECO
11:11
Help do Modelo IPH-ECO
11:11
Help do Modelo IPH-ECO
11:11
Help do Modelo IPH-ECO
11:11