O QUE OS ALUNOS SABEM SOBRE FUNÇÃO? UM ESTUDO
UTILIZANDO A MODELAGEM MATEMÁTICA E OS MAPAS
CONCEITUAIS
Ingridi Rodrigues Charal
Universidade Estadual de Maringá
[email protected]
Jusley Talita Grimes de Souza
Universidade Estadual de Maringá
[email protected]
Lilian Akemi Kato
Universidade Estadual de Maringá
[email protected]
Resumo:
Este trabalho é fruto de algumas inquietações acerca da aprendizagem significativa do conceito
de função em estudantes do Ensino Médio. Tomando como referência o trabalho de dissertação
de mestrado de Silas Luz propusemo-nos a realizar a mesma atividade de modelagem
matemática, com estudantes do 3o ano do Ensino Médio, afim de investigar quais significados
eles atribuíam ao conceito de função. Para tanto, os estudantes construíram mapas conceituais
da atividade desenvolvida e sobre função, com o intuito de fazermos possíveis comparações
com os resultados obtidos naquele trabalho. Os resultados obtidos indicaram que, embora esses
alunos não tivessem tido dificuldades no desenvolvimento da atividade de Modelagem
Matemática, diferenças significativas foram encontradas nos mapas conceituais produzidos
comparando-se as duas turmas.
Palavras-chave: Modelagem Matemática. Aprendizagem Significativa. Função. Mapas
Conceituais.
Introdução
Neste trabalho fundamentamo-nos na Teoria da Aprendizagem Significativa de
Ausubel, no conceito de Mapas Conceituais de Novak e Moreira e nas concepções de
Modelagem Matemática proposta por Bassanezi e Barbosa para um estudo acerca da
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aprendizagem significativa do conceito de função com estudantes do 3º ano do Ensino
Médio de uma escola da rede pública do Estado do Paraná.
Para tanto tomamos como referência o trabalho desenvolvido por Luz (2010),
em uma turma do 1º ano do Ensino Médio na qual ele era o professor, que analisa o
processo de aprendizagem significativa do conceito de função polinomial do 1o grau
utilizando atividades de modelagem matemática e mapas conceituais.
Este relato descreve o desenvolvimento de uma atividade de modelagem
matemática em que objetivamos identificar indícios de aprendizagem significativa do
conceito de função, nos estudantes, sujeitos desta pesquisa, e comparar os nossos
resultados com aqueles obtidos por Luz (2010). A atividade proposta foi baseada na
primeira das duas realizadas por este autor na sua dissertação.
Dentre os resultados obtidos destaca-se o fato que apesar dos estudantes desta
pesquisa estarem cursando uma série posterior, aos do trabalho de Luz (2010), os mapas
conceituais produzidos por eles não apresentaram relações significativas entre o
conceito de função e a atividade desenvolvida.
Teoria da Aprendizagem Significativa e Mapas Conceituais
A teoria da aprendizagem significativa foi proposta por David Ausubel na
década de 1970. Segundo Moreira (2008),
(...) a aprendizagem significativa é aquela em que o significado do
novo conhecimento é adquirido, atribuído, construído, por meio da
interação com algum conhecimento prévio, especificamente relevante,
existente na estrutura cognitiva do aprendiz. Interação é a palavrachave: interação entre conhecimentos novos e conhecimentos prévios.
Se não há essa interação, não há aprendizagem significativa
(MOREIRA, 2008 p.15).
Segundo Moreira (2010), Ausubel em sua teoria da aprendizagem significativa
não fala de mapas conceituais, porém eles estão fortemente relacionados. Essa relação
entre os mapas conceituais e a aprendizagem significativa decorre do fato que após o
seu aparecimento, essa técnica revelou ter um alto potencial para facilitar a negociação,
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construção e aquisição de significados. Mas, quando mal utilizados os mapas
conceituais também podem gerar uma aprendizagem sem significados.
A Teoria da Aprendizagem Significativa implica em realizar uma conexão entre
os significados que os estudantes já adquiriram e os que eles necessitam apropriar-se
para uma aprendizagem significativa, criando relações explícitas entre essas duas
vertentes (MOREIRA, 2010). Nesse sentido a utilização dos mapas favorecem a
identificação dessas relações, assim como na obtenção de evidências de aprendizagem
significativa.
Os Mapas Conceituais foram idealizados pelo professor e pesquisador norte
americano Joseph D. Novak e seus colaboradores na Universidade de Cornell, nos
Estados Unidos em meados da década de setenta. Os mapas conceituais ou mapas de
conceitos, de uma maneira geral são diagramas que indicam relações entre conceitos, ou
seja, são mapas de conceitos e de relações entre conceitos. E para Novak, os mapas
conceituais são ferramentas "que têm o objetivo de representar relações significativas
entre conceitos na forma de proposições" (NOVAK; GOWIN, 1996, p.31).
Para a elaboração dos mapas conceituais é necessário a compreensão do que
Novak entende por conceito. Segundo Luz (2010),
A definição de conceito que permeia a compreensão de Novak é a de
conceito como "regularidade percebida em eventos ou objetos, ou
registros de eventos ou objetos designados" (NOVAK; GOWIN,
1996, p.31). Em uma definição mais recente, Novak afirma que as
palavras e os símbolos são rótulos dos conceitos definidos como
"regularidades apreendidas dos acontecimentos ou objetos, ou
registros dos acontecimentos ou objetos, designados por um símbolo"
(NOVAK, 2000, p. 21).
Assim, para a construção dos mapas conceituais é preciso identificar os
conceitos, sejam eles conceitos inclusivos ou conceitos específicos. Em seguida
relacioná-los, buscando palavras de ligação que expressem essas relações e atribuem
significados a dois ou mais conceitos, e finalmente organizá-los em um diagrama.
Em geral no mapa, os conceitos aparecem em caixas e as palavras de ligação
unem duas caixas com a seguinte estrutura: conceito + palavra de ligação + conceito.
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Modelagem Matemática na Educação Matemática
Segundo Almeida et al. (2012) a Modelagem Matemática, advinda da
Matemática Aplicada, amplia suas perspectivas no campo da Educação Matemática nas
duas últimas décadas do século XX. No Brasil, essa perspectiva desenvolveu-se
inicialmente nos cursos superiores buscando uma formação que melhor preparasse os
profissionais das engenharias, por exemplo, nas suas atividades profissionais.
Essa transição, da Modelagem na Matemática Aplicada para a Educação
Matemática, implicou numa diversidade de definições para a modelagem, segundo
autores que propõem concepções atreladas ás diferentes formas como estes
compreendem como esta perspectiva insere-se no ambiente de ensino.
Dentre as concepções sobre modelagem na Educação Matemática conhecidas,
adotamos, neste trabalho, as concepções de Bassanezi (2002) e Barbosa (2001),
conforme proposto também no trabalho de Luz (2010).
Segundo Bassanezi (2002): “[...] a modelagem matemática é a arte de
transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los
interpretando suas soluções na linguagem do mundo real” (BASSANEZI, 2002. p. 16).
Para ele a modelagem é apenas uma estratégia de aprendizagem, onde o mais
importante não é chegar imediatamente a um modelo bem sucedido, mas caminhar
seguindo etapas em que o conteúdo matemático vai sendo sistematizado e aplicado.
Com a modelagem o processo de ensino-aprendizagem não mais se dá no sentido único
do professor para o aluno, mas como resultado da interação do aluno com seu ambiente
natural.
Bassanezi (2002) cita a experimentação como um das atividades intelectuais da
modelagem matemática, para ele esta atividade intelectual inclui as seguintes etapas:
abstração, resolução, validação e modificação do modelo matemático.
Apoiamo-nos nesta concepção por entendermos que a aprendizagem
significativa do conceito de função poderia ser verificada pela construção de um modelo
matemático, para o problema estudado, que contemplasse significados relacionados a
este conceito.
Na concepção de Barbosa (2001): “[...] a modelagem matemática é um
ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a indagar e/ou investigar,
por meio da matemática, situações oriundas de outras áreas da realidade” (BARBOSA,
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2001. p.6). O ambiente de aprendizagem é concebido como um “convite” feito aos
alunos, o que pode ocasionar que eles se envolvam ou não nas atividades. Essa
conceituação de ambiente de aprendizagem está em consonância com o conceito de
“cenários de investigação” proposto por Skovsmose.
Com base nessa concepção, propomos a Modelagem Matemática como ambiente
de aprendizagem que com suas características próprias, pode contribuir para a
construção da aprendizagem significativa por meio da investigação de situações
recortadas da realidade ou de outras áreas não matemáticas. Proporcionando ao
estudante um ambiente cujas condições apontam para a aquisição de significados em
domínios interdisciplinares de conhecimentos por meio de sua interação intencional na
resolução e compreensão da situação proposta para estudo.
O aceite ao convite para a atividade de Modelagem Matemática implica em
algumas ações dos estudantes, que conduzem ao processo de aprendizagem
significativa.
A atividade desenvolvida
Para a realização da atividade orientamo-nos na dissertação de Silas Venâncio da
Luz (2010), em que ele desenvolveu duas atividades de modelagem com alunos do 1º
ano do Ensino Médio em que ele ministrava as aulas, objetivando responder as
seguintes questões: O ambiente da Modelagem Matemática favorece a aprendizagem
significativa de Função do 1º Grau em uma turma de primeiro ano do Ensino Médio?
Como os Mapas Conceituais podem ser utilizados, paralelamente à Modelagem
Matemática, para verificação de indícios da ocorrência da Aprendizagem Significativa
de Função do 1º Grau? Vale ressaltar que os sujeitos envolvidos na pesquisa de Luz
(2010) já haviam estudado sobre função polinomial do 1o grau conforme proposto no
livro didático.
Com base nessa referência e, considerando que os estudantes do 3o ano do
Ensino Médio, também já estudaram função nas séries anteriores, baseamo-nos na
primeira atividade, utilizada por Luz (2010), objetivando identificar indícios, por meio
dos mapas conceituais, da ocorrência da aprendizagem significativa do conteúdo de
função.
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Esta turma era constituída de 35 alunos, e destes, apenas 18 participaram
integralmente. As atividades tiveram duração de 5 horas/aula (três dias).
Nas duas primeiras aulas, apresentamos as condições necessárias para fazer
mapa conceitual com base nas concepções de Novak e Moreira, em seguida exploramos
um texto sobre a Bola Oficial da Copa do Mundo de 2014 (Figura 1(a)):
Figura 1(a): Bola Oficial da Copa do Mundo
Fonte: http://4.bp.blogspot.com. Acesso em: 27 de
mar. 2014.
Figura 1(b): Mapa referente ao texto da Bola
Oficial da Copa do Mundo
Primeiramente lemos o texto com os alunos, depois solicitamos que refizessem a
leitura individualmente e circulassem os conceitos encontrados. Dando continuidade a
aula, anotamos e discutimos os conceitos apontados pelos alunos no quadro. Juntamente
com a participação dos estudantes construímos um Mapa Conceitual que representava o
entendimento coletivo da turma acerca do texto fornecido (Figura 1(b)).
Na sequência foram desenvolvidas outras atividades envolvendo a construção de
mapas, para que os alunos compreendessem o processo de elaboração.
Na terceira e quarta aula, os alunos deveriam construir uma mapa a partir de
alguns conceitos fornecidos: função, domínio, contradomínio, variável, independente,
dependente, crescente, decrescente e imagem.
Observamos que os alunos tiveram dificuldade para relacionarem esses
conceitos, o que não ocorreu com os estudantes do trabalho desenvolvido por Luz
(2010).
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Em outra aula realizamos a atividade de Modelagem Matemática sobre a
densidade dos materiais, conforme proposta por Luz (2010) iniciando por meio de uma
discussão que caracterizava o convite, aos alunos, à modelagem.
Pesq: O que “pesa” mais um quilo de chumbo ou um quilo de algodão?
Alunos: É a mesma quantidade.
Pesq: Mas, têm pessoas que caem nesse trocadilho hoje em dia?
Alunos: Sim!
Pesq:Por que?
Aluno: Porque o chumbo é mais compacto que o algodão.
Dessa forma, explicamos as diferenças entre massa e peso, e demos continuidade
à discussão envolvendo o chumbo e o algodão, que era complicado encontrar a
quantidade de massa do chumbo e do algodão, em algumas quantidades específicas,
assim sugerimos a pesagem da água e do óleo.
Com uma balança de precisão, becker, água e óleo realizamos a pesagem desses
líquidos, em quantidades variando entre 50 e 200 ml, considerando o becker com 83,3
gramas. A tabela 1 a seguir mostra os dados obtidos:
Tabela 1: Pesagem dos Líquidos
Quantidade (ml)
50
100
150
200
Massa (grama)
Água
Óleo
40,5
36,8
96,5
77,2
144,6
120,5
198,6
169,2
Na sequência, questionamos, os alunos sobre o que faríamos se quiséssemos
encontrar a massa de 73 ml, 439 ml e um valor qualquer de água ou de óleo, com apenas
os dados obtidos, como isso poderia ser feito. Para responder esta questão os estudantes
foram divididos, em 4 grupos de 5 alunos, e por fim, solicitamos um mapa conceitual
da atividade que eles haviam feito.
Resultados e discussão
Na construção do primeiro mapa conceitual, os alunos se interessaram pelo
tema: Bola Oficial da Copa de 2014. No início ficaram inseguros, mas com o decorrer
da atividade foram participando, não tiveram dificuldade para entender como se
construía o Mapa de Conceitos.
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Na elaboração do mapa conceitual em que foram fornecidos os conceitos de
função, os alunos apresentaram várias dificuldades para construí-lo, uma delas foi por
qual palavra começar e outra por não lembrarem quais relações poderiam ser
estabelecidas entre esses conceitos. Uma aluna consultou o dicionário para encontrar a
definição dos conceitos dados. Outra aluna falou que aqueles conceitos não faziam
sentido para ela. Essas dificuldades geraram algum desinteresse dos alunos pela
atividade. O mapa da Figura 2 mostra que esse aluno fez relações sobre os conteúdos
matemáticos, mesmo não possuindo sentido.
Figura 2: Mapa Conceitual sobre Função.
Por fim, para a realização da atividade de Modelagem Matemática, a sala foi
dividida em 4 grupos de 5 alunos, em que dois grupos tiveram por objetivo analisar a
relação entre a massa e a quantidade de água, e os outros dois se atentaram ao óleo.
Os dois grupos que desenvolveram a atividade usando o óleo determinaram a
massa do óleo para 73 ml dividindo a massa para 50 ml por 50 (36,8/50 = 0,73) e
multiplicando esse valor por 73. Assim concluíram que para um valor x qualquer a
massa seria de 0,73 × x, Figura 3.
Figura 3: Resolução dos grupos que trabalharam com a densidade do óleo.
Em contra partida, os dois grupos que trabalharam com a água, não conseguiram
encontrar um modelo matemático para a massa de uma quantidade qualquer de água.
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Um dos grupos encontrou apenas a solução para as duas quantidades específica
solicitadas, realizaram os cálculos similares ao grupo do óleo, para 73 ml de água
dividiram a massa para 50 ml por 50 (40,5/50 = 0,81) e multiplicando esse valor por 73,
e para 439 ml eles realizaram o mesmo procedimento, mas utilizaram a massa de 200 ml
e dividiram por 200 (198,6/200 = 0,99) e multiplicando esse valor por 439, como
podemos observar na Figura 4.
Figura 4: Resolução dos grupos que trabalharam com a densidade da água.
Na elaboração do Mapa Conceitual sobre a atividade desenvolvida os alunos
descreveram apenas alguns conceitos relacionados à parte experimental, e não
remeteram esta atividade ao conceito de função, como observamos na Figura 5.
Fonte: Produção do Aluno.
Figura 5: Mapa Conceitual sobre atividade de Modelagem Matemática.
Apresentamos neste relato alguns mapas que expressam como a turma,
em geral, desenvolveu as atividades, não havendo distinção significativa entre os
demais estudantes.
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Considerações Finais
Este relato de experiência nos proporcionou diversas reflexões referentes à
aprendizagem significativa dos alunos sobre o conceito de função.
Analisando os mapas conceituais dos alunos desta pesquisa, percebemos que
eles compreenderam como elaborar mapas de conceitos, fato que também ocorreu com
os alunos de Luz (2010).
As informações recolhidas com a construção do Mapa Conceitual sobre função
forneceram-nos suporte para analisar o que os estudantes do 3º ano se recordam
referente a este conteúdo estudado em anos anteriores. Com a construção, deste mapa
observamos que os alunos fizeram relações sobre os conteúdos matemáticos, mesmo
não possuindo sentido. Alguns estudantes não lembravam se haviam estudado o
conteúdo de função. Podemos relacionar este fato com as considerações que Luz (2010)
relata em sua dissertação de que os alunos passaram por situações de aprendizagem e
que retiveram "rótulos" relacionados à Função. Porém, apresentaram dificuldades para
relacionar estes "rótulos" adequadamente em seus mapas, sinalizando para uma
aprendizagem superficial e pouco significativa.
Contudo, observamos que apesar do interesse dos alunos na elaboração dos
mapas conceituais e no desenvolvimento da atividade de modelagem matemática, os
mapas
produzidos
não
evidenciaram
que
os
estudantes
apropriaram-se
significativamente sobre o conceito de função.
Ao analisarmos os mapas de conceitos elaborados a partir da atividade de
modelagem matemática, percebemos que os alunos não relacionaram conceitos
matemáticos, o que não ocorreu com os alunos de Luz (2010), pois os estudantes do 1º
ano conseguiram relacionar os conceitos matemáticos com a atividade envolvendo a
densidade de material.
Vale ressaltar, que os alunos de Luz (2010) antes de serem apresentados a
atividade de modelagem matemática já haviam estudado o conteúdo de função como a
proposto no livro didático.
No nosso caso, os alunos estavam cursando o 3º ano e já
haviam estudado o conteúdo nas séries anteriores.
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Dessa maneira, essa experiência e comparação remete-nos a seguinte questão:
Os alunos que estão concluindo o 3º ano do Ensino Médio se apropriam dos conceitos
matemáticos estudados nas séries anteriores e como relacionam com situações do seu
cotidiano?
Referências
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ALMEIDA, L. W. SILVA, K. P. da. VERTUAN, R. E.Modelagem Matemática na
Educação Básica. São Paulo: Contexto, 2012.
BARBOSA, J. C. Modelagem na Educação Matemática: contribuições para o
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BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova
estratégia. São Paulo: Contexto, 2002.
LUZ, S. V. da. Aprendizagemsignificativa de Função de 1º Grau : uma investigação
por meio da modelagem matemática e dos mapas conceituais. Maringá, 2010.
MASANI, E. F. S. e MOREIRA, M. A. Aprendizagem Significativa: Condições para
ocorrência e lacunas eu levam a comprometimentos. São Paulo: Vetor, 2008.
MOREIRA. M. A. Mapas Conceituais e Aprendizagem Significativa. São Paulo:
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NOVAK, J. D. e GOWIN, D. B. Aprender a aprender. Tradução Carla Valadares.
Lisboa: Plátano. 1996.