TUTORIAL – 7R
Data:
Aluno (a):
Série: 3ª
Ensino Médio
Turma:
Equipe de Matemática
MATEMÁTICA
Problemas do primeiro grau
Um problema é uma proposição a ser resolvida, na qual figuram elementos conhecidos (dados) e
elementos desconhecidos a calcular (incógnitas). Os dados podem ser numéricos ou literais. A estes
últimos, podem ser atribuídos quaisquer valores numéricos, de modo que um problema geral
compreende todos os problemas particulares semelhantes.
Resolver um problema é encontrar os valores das incógnitas que satisfazem às condições impostas
pelo enunciado, por meio de operações efetuadas com os valores dados. Generalizar um problema é
substituir os dados numéricos por literais. É muito comum, na geometria e na física, a generalização dos
problemas, porque assim a resolução de qualquer problema particular fica reduzida a uma simples
aplicação de fórmulas.
Equacionar um problema é exprimir, por meio de uma ou mais equações, as relações de
dependência distintas existentes entre as incógnitas e entre as incógnitas e as quantidades conhecidas.
Para que fique mais fácil se chegar à solução de um problema, o número de equações deve coincidir
com o número de incógnitas.
Vejamos alguns exemplos:
I) Somando
a
de um número e da soma retirando-se
do número, obtemos a diferença entre 49 e
esse número. Achar o seu valor.
Resolução:
Designando o número por x e equacionando o problema, teremos:
Resolvendo a equação, encontraremos x = 24, solução que pode ser facilmente verificada se
efetuarmos as operações indicadas no problema.
II) Um pai vai dividir 260 reais entre seus dois filhos, de modo que o mais velho receba
da quantia que
caberá ao mais novo. Quanto caberá a cada filho?
Resolução:
Designando a quantia a ser recebida pelo filho mais velho de x, o filho mais novo receberá 260 – x, de
modo que, teremos
. Resolvendo-se a equação, iremos encontrar x = 160. Portanto, o
filho mais novo irá receber 100 reais.
III) Encontrar o número que dividido por 3, por 5 e por 7, deixa restos que, respectivamente, valem 2, 3
e 2 e a soma dos quocientes das respectivas divisões é igual a 14.
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Resolução:
Designando o número por x, poderemos escrever: x = 3q + 2 = 5p + 3 = 7 t + 2.
Assim, teremos:
.
Equacionando o problema:
Resolvendo a equação, encontraremos x = 23.
IV) Encontrar uma fração equivalente a , na qual a soma do numerador e do denominador seja igual a
125.
Resolução:
Designando o numerador por x, o denominador será 125 – x. Assim, a equação do problema será
, donde iremos encontrar x =
Este valor não é aceitável, pois os termos da fração devem ser números inteiros. Portanto, o problema é
impossível.
V) Os pontos A, B e C são colineares, isto é, pertencem a uma mesma reta. Dois móveis partem ao
mesmo tempo dos pontos A e B e dirigem-se ao ponto C, como mostra a figura abaixo.
O primeiro parte de A com velocidade constante de 120 km/h, enquanto o segundo parte de B com
velocidade constante de 25 km/h. As distâncias AC e BC medem, respectivamente, 324 km e 120 km. A
que distância do ponto C dar-se-á o encontro?
Resolução:
Sabemos que velocidade =
. Assim, como os dois móveis partem no mesmo instante de tempo
de A e de B e chegam ao mesmo tempo no local do encontro, para formar a equação do problema
basta determinar a expressão do valor do tempo em cada movimento e igualar os dois resultados.
O percurso feito pelo primeiro móvel é 324 – x, com uma velocidade igual a 120. Logo, o tempo gasto é
. O percurso feito pelo segundo é 120 – x, com uma velocidade igual a 25. Logo, o tempo gasto é
. Então, a equação do problema é
.
Resolvendo, iremos encontrar
, ou seja, aproximadamente 66 km.
VI) Achar cinco números inteiros consecutivos, tais que o do meio seja a média aritmética dos demais.
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Resolução:
Designando o número do meio por x, teremos:
, donde 0x = 0, ou seja, x =
.O
problema, então, é indeterminado. Quaisquer que sejam os cinco números consecutivos, o do meio será
a média aritmética dos demais.
VII) Um número é formado por dois algarismos, tal que o quádruplo do algarismo das dezenas menos o
das unidades é igual a 5. Invertendo-se a ordem dos algarismos, obtém-se um número que excede o
primeiro de 36. Determinar o sucessor desse número.
Resolução:
Designando o algarismo das dezenas por x e o algarismo das unidades por y, o número que
procuramos pode ser escrito por 10x + y. Assim, invertendo-se a ordem dos algarismos, o número
passará a ser 10y + x. De acordo com o enunciado, as equações do problema serão
{
Resolvendo o sistema, encontraremos x = 3 e y = 7. Assim, o número em questão é 37, sendo seu
sucessor o número 38.
Sistema de equações lineares
A resolução de um problema do primeiro grau pode nos levar a um sistema de equações do primeiro
grau, como vimos acima. Assim, é interessante revermos os principais métodos para a resolução de um
sistema de equações lineares, com duas equações e duas incógnitas.
Método da Adição
Neste caso, preparamos as equações de modo que, ao efetuarmos a adição delas, iremos fazer
desaparecer uma das variáveis, passando a trabalhar apenas com a que ficou.
Vejamos alguns exemplos:
a) {
Somamos as duas equações: 2x = 4  x = 2.
Substituímos o valor encontrado (x = 2) em qualquer uma das equações do sistema.
2 + y = 3  y = 1 ou 2 – y = 1  y = 1.
O sistema fica resolvido: S = {(2,1)}.
b) Seja o sistema
Adicionamos membros a membros as equações:
2x = 16
x=8
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Substituímos o valor encontrado de x, em qualquer das equações, determinado y:
8 + y = 10
y = 10 - 8
y=2
A solução do sistema é o par ordenado (8, 2). Logo, S = {(8, 2)}.
Método de substituição
Neste caso, encontramos o valor de uma das incógnitas ou variáveis em uma das equações e
substituímos da outra.
Por exemplo:
Solução: determinamos o valor de x na 1ª equação.
x=4-y
Substituímos esse valor na 2ª equação.
2 . (4 - y) -3y = 3
Resolvemos a equação formada.
8 - 2y -3y = 3  -5y = -5 => Multiplicamos por -1
5y = 5
y=1
Substituímos o valor encontrado de y, em qualquer das equações, determinando x.
x +1= 4
x= 4-1
x=3
A solução do sistema é o par ordenado (3, 1).
V = {(3, 1)}
VIII) Achar os números que devem ser somados aos termos da fração
para que se obtenha uma
fração que seja o dobro dela e na qual a soma dos termos seja 81.
Resolução:
Designando os dois números por x e y, teremos:
{
Resolvendo-se o sistema por um dos métodos acima mencionados, iremos encontrar os seguintes
valores: x = 40 e y = 22.
IX) O clássico problema das torneiras.
Um reservatório é alimentado por três torneiras: A, B e C. Abrindo A e B, o reservatório fica cheio em 10
minutos. Abrindo B e C, em 20. Abrindo A e C, em 12. Qual o tempo necessário para que cada torneira
encha, sozinha, o reservatório?
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Resolução:
Designando por x, y e z os tempos pedidos, veremos o que acontece em 1 minuto.
A cada minuto, a primeira despejará a fração , a segunda
e a terceira
do reservatório. Assim, as
equações do problema serão:
{
Resolvendo o sistema, teremos: x = 15; y = 30; z = 60 minutos.
X) (ENEM 2013) Uma indústria tem um reservatório de água com capacidade para 900 m 3. Quando há
necessidade de limpeza do reservatório, toda a água precisa ser escoada. O escoamento da água é
feito por seis ralos, e dura 6 horas quando o reservatório está cheio. Esta indústria construirá um novo
reservatório, com capacidade de 500 m3, cujo escoamento da água deverá ser realizado em 4 horas,
quando o reservatório estiver cheio. Os ralos utilizados no novo reservatório deverão ser idênticos aos
do já existente.
A quantidade de ralos do novo reservatório deverá ser igual a
(A) 2
(B) 4
(C) 5
(D) 8
(E) 9
Resolução:
Cada ralo tem capacidade de escoamento de 900/6 = 150 m3 de água em 6 horas. Portanto, 150/6 = 25
m3 de água por hora.
A água do novo ralo deverá ser escoada em 4 horas. Assim, 4 vezes 25 dará 100 m3 a serem escoados
por cada ralo.
Logo: 100x = 500  x = 5. Opção (C).
Exercícios:
1. (IBGE) Gastei R$ 9,00 comprando canetas azuis e vermelhas para o meu escritório. Sabendo que
comprei mais canetas azuis do que canetas vermelhas, e que as canetas azuis custam, cada uma R$
0,60 e as vermelhas custam, cada uma, R$ 0,50, o total de canetas compradas por mim é igual a
a) 16
b) 17
c) 18
d) 19
e) 20
2. Em sua fazenda, Jerolme criava 75 animais, entre bodes e marrecos. Quando um visitante
perguntava quantos animais de cada espécie ele tinha, Jerolme respondia: “Na última contagem, havia
registrado 210 patas...” Decifre a charada de Jerolme e calcule, respectivamente, o número de bodes e
de marrecos que Jerolme criava.
a) 32 e 43.
b) 40 e 35.
c) 42 e 33.
d) 30 e 45.
e) 28 e 47.
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3. Uma casa de shows propôs três tarifas a seus clientes:
Tarifa A: Taxa de R$ 200,00 mais R$ 20,00 por show.
Tarifa B: R$ 40,00 por show.
Tarifa C: R$ 50,00 por show pelos 4 primeiros shows e, R$ 33,33 por cada um dos seguintes.
Supondo que Carlos irá assistir a dez shows, qual é a melhor opção para que ele tenha uma menor
despesa?
a) A tarifa A
b) A tarifa B
c) A tarifa C
d) As tarifas A e B, indistintamente
e) As três tarifas representam o mesmo custo
4. Antonio e Bernardo acabam de contar a quantia que cada um conseguiu economizar durante o
período de férias.
Bernardo diz a Antonio: “se você me der um terço do que você economizou, eu ficarei com 110 reais”.
Antonio responde a Bernardo: “Olhe, amigo, eu preciso de menos. Basta que você me dê um quarto das
suas economias para que eu fique com 110 reais”.
Podemos concluir que Bernardo e Antonio possuem, respectivamente
a) 95 e 100 reais.
b) 90 e 105 reais.
d) 85 e 95 reais.
d) 95 e 85 reais.
e) 80 e 90 reais.
5. Numa grande noite, a sensacional banda “Os Matemáticos do Som” apresentou-se num festival de
rock, fazendo o público vibrar, cantar e dançar bastante. Depois da meia noite, quinze meninas saíram
do clube, restando dois rapazes para cada menina. Após algum tempo, quarenta e cinco rapazes
saíram, ficando então cinco meninas para cada rapaz. No grupo inicial de jovens, o número de meninas
era igual a
a) 29
b) 40
c) 43
d) 50
e) 52
6. Juliana possuía pedrinhas coloridas e caixinhas. Quando ela guardava uma pedrinha em cada
caixinha, sobrava uma pedrinha sem caixa. Porém, quando ela colocava duas pedrinhas em cada
caixinha, uma caixa ficava vazia. Assim, a soma do número de pedrinhas com o número de caixinhas é
igual a
a) 12
b) 10
c) 9
d) 8
e) 7
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7. Misturam-se dois tipos de leite, um com 3% de gordura e outro com 4% de gordura, com o intuito de
se obter, ao todo, 80 litros de leite com 3,25% de gordura. Quantos litros de leite de cada tipo há nessa
mistura?
a) 65 e 15 litros.
b) 60 e 20 litros.
c) 55 e 25 litros.
d) 50 e 30 litros.
e) 45 e 35 litros.
8. (ENEM 2011) O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso a outro
município. Para isso, foi aberta uma licitação na qual concorreram duas empresas. A primeira cobrou
R$ 100 000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 350 000,00, enquanto a
segunda cobrou R$ 120 000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 150 000,00.
As duas empresas apresentam o mesmo padrão de qualidade dos serviços prestados, mas apenas uma
delas poderá ser contratada.
Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar a extensão da rodovia que tornaria
indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas apresentadas?
a) 100n + 350 = 120n + 150
b) 100n + 150 = 120n + 350
c) 100(n + 350) = 120(n + 150)
d) 100(n + 350 000) = 120(n + 150 000)
e) 350(n + 100 000) = 150(n + 120 000)
9. (ENEM) Algumas pesquisas estão sendo desenvolvidas para se obter arroz e feijão com maiores
teores de ferro e zinco e tolerantes à seca. Em média, para cada 100 g de arroz cozido, o teor de ferro é
de 1,5 mg e o de zinco é de 2,0 mg. Para 100 g de feijão, é de 7 mg o teor de ferro e de 3 mg o de
zinco. Sabe-se que as necessidades diárias dos dois micronutrientes para uma pessoa adulta é de
aproximadamente 12,25 mg de ferro e 10 mg de zinco.
Considere que uma pessoa adulta deseja satisfazer suas necessidades diárias de ferro e zinco
ingerindo apenas arroz e feijão. Suponha que seu organismo absorva completamente todos os
micronutrientes oriundos desses alimentos.
Na situação descrita, que quantidade a pessoa deveria comer diariamente de arroz e feijão,
respectivamente.
a) 58 g e 456 g
b) 200 g e 200 g
c) 350 g e 100 g
d) 375 g e 500 g
e) 400 g e 89 g
10. (UERJ - adaptada) Um feirante separou um número inteiro de dúzias de tangerinas (t), de maçãs
(m) e de peras (p). Observou que para cada maçã arrumada, havia 2 tangerinas. Com 90 dúzias, ele fez
lotes de 6 tangerinas, lotes com 6 maçãs e lotes com 4 peras. Colocou em cada lote, indistintamente, o
preço de R$ 0,50. Arrecadou R$ 105,00 na venda de todos eles. Calcule t, m, e p.
a) t = 40, m = 20, p = 30.
b) t = 30, m = 20, p = 40.
c) t = 30, m = 30, p = 30.
d) t = 30, m = 15, p = 45.
e) t = 20, m = 10, p = 60.
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Gabarito:
1) a;
2) d;
3) c;
4) e;
5) b;
6) e;
7) b;
8) a;
9) c;
10) a.
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