Testes de Hipóteses para Diferença entre duas
proporções
Ivan Bezerra Allaman
Introdução
• Seguindo a mesma idéia das seções anteriores, o que irá mudar agora é o parâmetro e consequentemente
o cálculo dos estimadores.
• Outro detalhe, é que as amostras são tomadas de maneira independente em cada população.
Estimadores
• O estimador pontual da diferença entre duas proporções populacionais π1 − π2 é p1 − p2 .
• Novamente devemos ter uma atenção especial no cálculo do erro padrão.
• Quando estivermos interessados em testar a hipótese de que a diferença entre as proporções das duas
populações é um valor qualquer, mas diferente de zero, o erro padrão da diferença será dada pela
seguinte expressão:
s
σp1 −p2 =
p1 (1 − p1 ) p2 (1 − p2 )
+
n1
n2
• No entanto, quando o interesse é testar a hipótese de que a diferença entre as proporções é igual a 0,
que é equivalente a testar se as duas populações possuem a mesma proporção, então o erro padrão da
diferença será dada pela seguinte expressão:
s
σp1 −p2 =
p12 (1 − p12 )
1
1
+
n1
n2
• Em que p12 é o estimador agrupado de p1 e p2 . O seu cálculo é feito da seguinte forma:
p12 =
n1 p1 + n2 p2
n1 + n2
Estatística de teste
• A estatística de teste é dada pela seguinte expressão:
Z=
(p1 − p2 ) − π0
σp1 −p2
Exemplo
1. Considere os seguintes resultados de amostras independentes tomadas de duas populações:
1
Amostra 1
Amostra 2
n1 = 400
n2 = 300
p1 = 0, 48
p2 = 0, 36
• Qual é a estimação por ponto da diferença entre as duas proporções populacionais?
p1 = 0.48
p2 = 0.36
p1_menos_p2 = p1 - p2
p1_menos_p2
## [1] 0.12
• Teste a hipótese de que a proporção entre as duas populações é maior que zero. Considere α = 0, 07.
# Primeiramente precisamos obter um estimador agrupado.
n1 = 400
n2 = 300
p12 = (n1*p1 + n2*p2)/(n1+n2)
p12
## [1] 0.4286
# Agora o erro padrão da diferença
erropadiff = sqrt(p12*(1-p12) * (1/n1 + 1/n2))
erropadiff
## [1] 0.0378
# A estatística Z
Z = (p1_menos_p2 - 0)/erropadiff
Z
## [1] 3.175
# O pvalor
pvalor = 1-pnorm(Z)
pvalor
## [1] 0.0007494
Logo, como pvalor é menor que alfa rejeita-se H0 com 93% de confiabilidade.
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Aplicações
1. Uma firma especializada em declarações de imposto de reda está interessada em comparar a qualidade
do trabalho em dois de seus escritórios regionais. Ao selecionar aleatoriamente amostras de declarações
do imposto de renda preenchidas em cada escritório e verificar a precisão amostral das declarações, a
firma será capaz de estimar a proporção das declarações preenchidas erroneamente em cada escritório.
A firma está interessada em verificar se a proporção de declarações preenchidas erroneamente é diferente
nos dois escritórios. Use α = 0, 03.
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