Módulo 1 ­ Conjuntos A Teoria dos Conjuntos foi estabelecida por Georg Ferdinand Ludwig Cantor (1845 – 1918). Em meados do século XX, a Teor ia dos Conjuntos exer ceu profundos efeitos sobre o ensino da Matemática. 1.1 ­ Definição Define­se por conjunto a uma coleção de objetos cuja representação pode ser feita de três modos: 1. Representação Ordinária: Na representação ordinária os elementos do conjunto são explicitamente listados. Exemplos incluem o conjunto das faces de um dado A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } , o conjunto de regiões do Brasil A = {SU , SE , CO , NE , NO } , o conjunto das notas musicais A = {dó , ré , mi , fá , sol , lá , si } . 2. Representação Abstrata: Na representação abstrata os elementos do conjunto são representados através de uma caracterização que é previamente definida. Em termos gerais se os elementos de um conjunto A são caracterizados por uma propriedade P então o conjunto A pode A = { x tal que x satisfaz a propriedad e P } ou ser ainda assim enunciado utilizando símbolos A = { x / x satisfaz P } (o símbolo / representa “tal que”, ás vezes a barra é substituída por ponto e vírgula). A representação abstrata é amplamente utilizada em matemática por que permite que se possa expressar quaisquer tipos de conjuntos, bastando definir a propriedade que caracteriza os elementos do conjunto. Por exemplo, se definirmos a propriedade P como “P : regiões do Brasil”, então o conjunto das regiões do Brasil pode ser reescrito como A = { x / x satisfaz P } . 3. Representação por Diagramas de Venn: A vantagem na utilização dos diagramas de Venn como representação de conjuntos é seu apelo visual, muito útil para visualizar operações entre conjuntos, entretanto é importante salientar que o poder analítico desse tipo de dispositivo é extremamente limitado. O conjunto das faces de um dado pode ser posto como:
1 A
6 1 2 4 3 5 Atenção: o conjunto vazio é representado por { } 1.2 ­ Pertinência e Inclusão Quando um elemento a está num conjunto A, dizemos que este pertence ao conjunto A e representamos este fato simbolicamente como: a Î A Se ao contrário, o elemento não está no conjunto A então dizemos que o mesmo não pertence ao conjunto A e representamos este fato como: a Ï A Essas são as chamadas relações de pertinência que conectam os conjuntos aos seus elementos. Quando o conjunto A não possui elemento algum dizemos que o conjunto A é o conjunto vazio e neste caso representamos esse conjunto pelo símbolo Æ. Dados dois conjuntos A e B, quando todo elemento de A é também elemento de B, dizemos que o conjunto A está incluído em B ou que o conjunto A é um subconjunto do conjunto B, este fato é simbolicamente representado como: A Ì B Quando por outro lado, existe ao menos um elemento que pertence ao conjunto A e não pertence ao conjunto B então A não está incluído em B ou o conjunto A não é subconjunto do conjunto B. Este fato é simbolicamente representado como: A Ë B Essas são as chamadas relações de inclusão e conectam conjuntos a outros conjuntos. É importante ter em mente a distinção entre pertinência e inclusão. No primeiro caso a relação é entre elemento e conjunto e no segundo entre dois conjuntos quaisquer. Por 2 exemplo, as sentenças a seguir possuem significados totalmente diferentes, embora pareçam dizer a mesma coisa: a Î A e { a} Ì A A primeira sentença diz que o elemento a pertence ao conjunto A e a segunda sentença diz que o conjunto unitário {a } está incluído ou é subconjunto do conjunto A. A relação de inclusão é freqüentemente utilizada para determinar a igualdade entre conjuntos. Dois conjuntos A e B são iguais se possuem exatamente os mesmos elementos, fato que pode ser estabelecido mostrando­se que: A Ì B e B Ì A 1.3 ­ Operações Entre Conjuntos 1.3.1 ­ Interseção Dados dois conjuntos A e B, a interseção entre A e B é o conjunto definido como: A Ç B = { x / x Î A e x Î B } Pelos conjuntos dados acima se vê que A Ç B = {1 , 2 } . O diagrama de Venn abaixo ilustra a operação de interseção. A B
A Ç B 1 Quando a interseção entre os conjuntos A e B resultar no conjuntos vazio, dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. 3 1.3.2 ­ União Dados dois conjuntos A e B, a união entre A e B é o conjunto definido como: A È B = { x / x Î A ou x Î B } Sejam A = {1 , 2 , 3 , 4 } e B = {1 , 2 , 5 , 6 } então A È B = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } . O diagrama de Venn abaixo ilustra a operação de união. A B
A È B Observe que o número de elementos da união é calculado por: n( A È B ) = n ( A ) + n ( B ) - n ( A Ç B ) 1.3.3 ­ Diferença ou Complemento Relativo Dados dois conjuntos A e B, a diferença ou complemento relativo de A e B é o conjunto definido como: A | B = { x / x Î A e x Ï B } No exemplo dado acima se vê que A | B = { 3 , 4 } . O diagrama de Venn abaixo ilustra a operação de diferença. 4 A B
A | B 1.4 – Alguns conjuntos numéricos importantes: 1 ­ Conjunto dos Números Naturais: N = {1, 2,3,4,5,6,...} 2 ­ Conjunto dos Números Inteiros: Z = {...,­3,­2,­1,0,1,2,3,...} 3 ­ Conjunto dos Números Racionais: Q = {m/n; m Î ℤ,n Î ℤ,n ¹ 0} 4 ­ Conjuntos dos Números Reais: R = o conjunto dos números reais incluem os números racionais e outros números que não são racionais como, por exemplo, os números 2 e as dízimas não periódicas. 5 ­ Produto Cartesiano Entre Conjuntos Dados dois conjuntos A e B, o produto cartesiano entre A e B é o conjunto definido como: A´ B = {( x , y ) / x Î A e y Î B } Exemplo: Sejam A = {1 , 2 , 3 , 4 } e B = {1 , 2 , 5 , 6 } então:
, 1 ), ( 1 , 2 ), ( 1 , 5 ), ( 1 , 6 ) ü
ì(1 ï( 2 , 1 ), ( 2 , 2 ), ( 2 , 5 ), ( 2 , 6 ) ï
ï
ï
A ´ B = í
ý
ï( 3 , 1 ), ( 3 , 2 ), ( 3 , 5 ), ( 3 , 6 ) ï
ïî( 4 , 1 ), ( 4 , 2 ), ( 4 , 5 ), ( 4 , 6 ) ïþ
O diagrama abaixo, conhecido como plano cartesiano ilustra o produto cartesiano entre números reais. 5 ℝ
y (x,y) x 0 (y,x) x y ℝ
O plano cartesiano é formado pelo conjunto  ´  = {(x, y); x Î Â , y Î Â }. É importante observar, que o conjunto resultante do produto cartesiano entre dois conjuntos corresponde a uma coleção de pares ordenados, ou seja, cada elemento do produto cartesiano toma a forma (x, y). Assim as sentenças {x, y} e (x, y) correspondem a objetos inteiramente distintos. O primeiro é o conjunto formado pelos elementos x e y e o segundo ao par ordenado (x, y). Assim sendo é imediato concluir que {x, y} = {y, x}, mas (x, y) ¹ (y, x). 1.5 – Aplicações 1 – Uma empresa colocou no mercado um produto em duas embalagens diferentes, A e B. Depois de algum tempo, entrevistou 200 pessoas num supermercado sobre a preferência pelas embalagens. Dos entrevistados, 120 declararam preferir o tipo A, 142 o tipo B e 30 declararam desconhecer o produto. Quantas pessoas gostariam de encontrar o produto nas duas embalagens. 6 Solução: Designando por A e B respectivamente o conjunto das embalagens A e B, podemos escrever: n(A) = 120 pessoas n(B) = 142 pessoas n(AUB) = 200 – 30 = 170 pessoas O número de pessoas que gostariam de encontrar o produto nas duas embalagens é dado pela intersecção entre os conjuntos A e B, isto é, n( A Ç B ) Representando a situação no diagrama de Venn, temos: A B
Aplicando a fórmula da união de conjuntos n( A È B ) = n ( A ) + n ( B ) - n ( A Ç B ) , temos: 170 = 120 + 142 ­ n( A Ç B ) n( A Ç B ) = 262 ­170 = 92 Logo, 92 pessoas gostariam de encontrar o produto nas duas embalagens. 2 ­ Em uma pesquisa de mercado 1000 pessoas foram entrevistadas em todo o território nacional sobre a preferência por marcas de refrigerante de laranja. O gráfico abaixo mostra como a pesquisa foi distribuída entre as regiões brasileiras. 7 Centro ­ Oeste 10% Norte 15% Sul 20% Sudeste 30% Nordeste 25% Três marcas de refrigerante foram pesquisadas, as marcas A, B e C. Na pesquisa verificou­ se que 40% dos entrevistados preferem a marca A, 25% a marca B e 35% a marca C. Também foi constatado que dos que preferem a marca B, 70% são da região Nordeste, 8% da região Sul, 2%da região Centro­Oeste, 10% da região Norte e 10% da região Sudeste. A empresa que encomendou a pesquisa deseja saber o seguinte: a) Quantas pessoas pertencem ao conjunto dos Sulistas que preferem a marca B? b) Dentro do conjunto de pessoas que preferem a marca B, quantas são da região Norte ou da região Nordeste? Solução: a) Pelos dados do gráfico o número de pessoas que consomem a marca B é 25% de 1000 pessoas = 250 pessoas. Destas 250 pessoas, 8% são sulistas, portanto 8% de 250 = 20 sulistas. b) Do enunciado, dos que preferem a marca B, 10% são da região Norte, logo 10% de 250 = 25 pessoas e 70% são da região Nordeste, logo 70% de 250 = 175 pessoas. Representando pelo conjunto A as pessoas da região Norte e o conjunto B as pessoas da região Nordeste, o número de pessoas que são da região Norte ou Nordeste é dado por n( A È B ) , com n( A Ç B ) = 0, pois não há pessoas em comum das regiões Norte e Nordeste, que preferem a marca B, portanto,
8 n( A È B ) = n ( A ) + n ( B ) - n ( A Ç B ) n( A È B ) = 25 + 175 – 0 n( A È B ) = 200 pessoas Logo, 200 pessoas da região Norte ou Nordeste preferem a marca B. 3 ­ Uma fabricante de medicamentos realizou uma pesquisa para testar a eficiência de uma nova loção contra calvície. A empresa utilizou 100 pacientes homens para testar quatro fórmulas experimentais. Os resultados do experimento são dados na tabela a seguir: F1 F2 F3 F4 MB 3 4 6 4 B 5 6 12 14 RE 12 11 4 3 RU 4 5 4 3 Onde F1 = Fórmula 1, F2 = Fórmula 2, F3 = Fórmula 3, F4 = Fórmula 4, MB = Muito Bom, B = Bom, RE = Regular e RU = Ruim. Os números dentro das células correspondem às quantidades de pacientes que tiveram determinado resultado para a fórmula correspondente. Considere os seguintes conjuntos: A = {MB , B , RE , RU } B = {F 1 , F 2 , F 3 , F 4 } Encontre A´ B e substitua os pares ordenados encontrados pelos respectivos números que aparecem na tabela e em seguida reescreva A´ B com esses resultados. Solução: Sejam A = {MB , B , RE , RU } e B = {F 1 , F 2 , F 3 , F 4 } O produto cartesiano de A por B, A X B é dado por: A X B = {(MB, F1), (MB, F2), (MB, F3), (MB, F4), (B, F1), (B, F2), (B, F3), (B, F4), (RE, F1), (RE, F2), (RE, F3), (RE, F4), (RU, F1), (RU, F2), (RU, F3), (RU, F4)}
9 Substituindo cada par ordenado pelos números da tabela, obtemos: A X B = { 3 , 4 , 6 , 4 , 5 , 6 , 12 , 14 , 12 , 11 , 4 , 3 , 4 , 5 , 4 , 5 } que representa de forma simplificada o resultado da pesquisa. Observe que o número de elementos do conjunto A X B = 16 elementos, calculado pelo produto do número de elementos do conjunto A e do conjunto B, isto é: n(AXB) = n(A) n(B)
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