Sessão Técnica de Sistemas Dinâmicos
Coordenação: Claudio Aguinaldo Buzzi
Programação
Qua 25/04
Qui 26/04
Sex 27/04
14h00-14h20
P. R. Silva
A. J. Santana
T. Carvalho
14h20-14h40
L. F. Martins
T. Ferraiol
T. Rodrigues
14h40-15h00
C. Pessoa
P. H. Baptistelli
P. Cardin
15h00-15h20
W. Pereira
L. G. Oliveira
M. Dumett
15h20-15h30
Resumos
Tı́tulo: Structural stability of constrained systems on compact manifold.
Autor: Paulo Ricardo da Silva.
Resumo: We consider constrained systems and impasse regular regular
curves on S2 . We study the structural stability and present the Peixoto’s
theorem for constrained systems on S2 . Moreover we make a global analysis
of the systems
A(x).ẋ = F (x),
x ∈ IR3 ,
A ∈ M(3),
F : IR3 → IR3
in the Poicaré ball (i.e. in the compactification of IR3 with the sphere S2 of
the infinity)
Tı́tulo: Folheações singulares de dimensão 2 construı́das a partir de
retratos de fase de campos de vetores.
Autor: Luciana de Fátima Martins.
Resumo: Nesta apresentação exibiremos um método de construção de folheações singulares no toro sólido S 1 xD 2 a partir de campos de vetores X
em D 2 dados por seu retrato de fase. Algumas das folheações são obtidas
fazendo a suspensão do campo X. Uma tal folheação F têm a propriedade
que as folhas da folheação de dimensão 1 obtida nos discos Σ = {θ} × D 2
fazendo a interseção das folhas de F com Σ são precisamente as órbitas de
X. Reciprocamente, para uma famı́lia de folheações singulares em S 1 xD 2 ,
mostramos que as folheações induzidas nos discos Σ como acima (ou em uma
perturbação do disco) são orientáveis e bem caracterizadas.
Tı́tulo: Ciclicidade de gráficos em do tipo Lips em duas e três dimensões.
Autor: Claudio Gomes Pessoa.
Resumo: Nesta apresentação falaremos dos resultados conhecidos envolvendo bifurcações de uma classe de gráficos, chamados de lips (i.e. lábios),
que ocorrem genericamente em famı́lias infinitamente diferenciaveis a três
parâmetros de campos de vetores em variedades de dimensão dois. Os lábios
consistem de um conjunto de gráficos formados por duas selas-nó, uma atratora e outra repulsora, conectadas pelas separatrizes dos setores hiperbólicos
e por órbitas comuns aos interiores dos setores nodais das selas-nó. Também
discutiresmos as possı́veis extensões deste problema para dimensão três.
On the reversible quadratic polynomial vector fields on S2
Claudio Pessoa,
Weber F. Pereira,
Depto de Matemática, IBILCE, UNESP,
15054-000, São José do Rio Preto, SP
E-mail: [email protected], [email protected]
Abstract: In this work, we study a class of quadratic reversible polynomial vector fields on S2
with (3, 2)-type reversibility. We classify all isolated singularities, symmetric and nonsymmetric,
and we prove the nonexistence of limit cycles for this class. Our study provides tools to determine
the phase portrait for these vector fields.
Conjugação topológica de fluxos em sistemas de controle e grupos de
Lie
Alexandre J. Santana (e-mail: [email protected])
Universidade Estadual de Maringá, Maringá, Paraná, Brasil
1
Resumo
Considere dois fluxos Φ e Ψ em espaços topológicos M e N . Num contexto geral, conjugação topológica visa estabelecer condições para estes fluxos no intuito de encontrar homeomorfismos entre M e N que levam Φ-trajetórias em
Ψ-trajetórias, preservando a parametrização pelo tempo. Neste contexto, o principal objeto desta palestra é a conjugação topológica de fluxos. Em particular, nós generalizamos o resultado clássico que, no caso de hiperbolicidade, duas
equações diferenciais autônomas lineares são topologicamente conjugadas, se e só se as dimensões dos subespaços estáveis coincidem. Para provar este resultado, a existência de domínios fundamentais homeomorfos, um para cada fluxo, é
essencial para construir a conjugação.
Nesta palestra nós primeiro falaremos de fluxos de sistemas de controle afim em Rd , depois de fluxos de campos
vetoriais invariantes a esquerda em grupos de Lie.
No caso de sistemas de controle, nós consideramos sistemas da forma
ẋ = A0 x + a0 +
m
X
ui (t)[Ai x + ai ], u = (u1 , ..., um ) ∈ U,
(1)
i=1
onde Ai ∈ gl(d, R), ai ∈ Rd , e U := {u ∈ L∞ (R, Rm ), u(t) ∈ U para todo t ∈ R} é o conjunto das funções de controle
adimissíveis com valores no conjunto U ∈ Rm . Nós denotamos as soluções com condição inicial x(0) = x0 ∈ Rd por
ψ(t, x0 , u), t ∈ R.
O sistema de controle (1), chamado sistema de controle afim, define um sistema dinâmico (ou fluxo) em U × Rd por
Ψ : R × U × Rd → U × Rd , Ψt (u, x) = (θt u, ψ(t, x, u)),
(2)
onde (θt u)(s) := u(t + s), s ∈ R, é o shift em U. De fato, Ψ satisfaz as propriedades de fluxo Ψ0 = id e Ψt+s =
Ψt ◦ Ψs para t, s ∈ R. Se U é compacto e convexo, o conjunto U de funções de controle adimissíveis é um espaço
metrizável compacto com a topologia fraco∗ de L∞ e Ψ é um fluxo produto contínuo. Neste trabalho, nós assumimos
que conjugações topológicas de tais fluxos respeitem a estrutura produto; i.e., também para conjugações topológicas
nos fibrados vetoriais U × Rd a primeira componente deve ser independente da segunda componente. Com isto nós
estudamos, no contexto mais geral de fluxo afim em fibrados vetoriais, a existência de soluções únicas. Como resultados
principais desta parte, nós provamos que fluxos lineares são topologicamente conjugados a sua parte linear, com uma
hipótese adicional de continuidade. Em particular, usando a classificação de sistemas de controles lineares nós obtemos
uma classificação de sistemas de controles afins.
Por fim trataremos de fluxos de campos vetoriais invariantes a esquerda em grupos de Lie. Lembramos que no caso
clássico de sistemas dinâmicos, os fluxos são dados por matrizes em gl(d, R). Sabendo que este conjunto é a álgebra de
Lie do grupo de Lie Gl(d, R) e sabendo da relação entre elementos hiperbólicos e a decomposição de Iwasawa de grupos
de Lie semissimples, é natural pensar no resultado acima no caso de grupos de Lie semissimples. Considerando o grupo
de Lie semissimples G, o principal resultado desta parte da palestra estabelece que os fluxos em G de campos nilpotentes
ou hiperbólicos são topologicamente conjugados. A técnica usada na demonstração consiste em mostrar a existência de
seções transversais em G, associadas a tais campos. Finalmente, nós consideramos o produto semidireto G = H o V ,
onde H é um grupo de Lie arbitrário e V é isomorfo a Rn . Nós mostramos que a conjugação topológica de fluxos em G,
induzidos por elementos (A, b) da álgebra de Lie g = h o V , não depende de b.
1
Expoentes de Lyapunov para Fibrados Principais e Associados
Thiago Ferraiol (e-mail: [email protected])
Universidade Estadual de Maringá
Resumo
Nesta apresentação pretendo mostrar uma generalização dos expoentes de Lyapunov de cociclos lineares para uma classe
de fluxos em fibrados principais, conforme proposta em [2]. O contexto será o de fluxo de endomorfismos de um Gfibrado principal, onde G é um grupo de Lie semissimples, e de seus fluxos induzidos nos fibrados Flag associados.
O caso clássico de expoentes em fibrados vetoriais se recupera desta generalização tomando o fluxo induzido no fibrado
Flag cuja fibra é o espaço projetivo. Em [3], mostra-se a versão do teorema ergódico multiplicativo para o nosso contexto,
além de uma propriedade de estabilidade estrutural a partir da relação entre os espectros de Morse e de Lyapunov.
Além dos resultados já citados acima, pretendo mostrar como essa estabilidade estrutural pode fornecer condições
para a regularidade dos expoentes de Lyapunov por pequenas perturbações do fluxo, generalizando, por exemplo, o
resultado apresentado em [1], que fornece a analiticidade dos expoentes de Lyapunov para uma classe de fluxos em
fibrados vetoriais que deixam um cone invariante.
Palavras-chave: Expoentes de Lyapunov, Fibrados Principais, Fibrados Flag.
Referências
[1] David Ruelle. Analycity Properties of the Characteristic Exponents of Random Matrix Products Advances in Mathematics, v.32, p.68-80, 1979.
[2] Lucas Seco and Luiz San Martin. Morse and Lyapunov spectra and dynamics on flag bundles, Ergodic Theory and
Dynamical Systems, v.26, p.923-947, 2009.
[3] Luciana Alves and Luiz San Martin. Multiplicative Ergodic Theorem on Flag Bundles for Flows on Principal Bundles
of Reductive Lie Groups. Artigo submetido, 2011.
1
Teoria invariante no estudo de campos de vetores
reversíveis-equivariantes
Patricia Hernandes Baptistelli
Universidade Estadual de Maringá
Maringá, PR
[email protected]
Resumo
A presença de simetrias e antissimetrias em um sistema dinâmico pode levar ao aparecimento de soluções múltiplas, além de afetar a genericidade da ocorrência de bifurcações
locais. Simetrias e antissimetrias em um sistema de equações diferenciais são transformações
do retrato de fase que levam trajetórias sobre outras trajetórias, incluindo uma reversão
no tempo para as antissimetrias. Quando ambas ocorrem simultaneamente, o sistema é
chamado reversível-equivariante e o conjunto Γ de todos estes elementos tem estrutura de
grupo. Neste caso, a existência de um homomorfismo σ : Γ → {−1, 1} implica na existência
de um subgrupo normal de índice 2, formado apenas pelas simetrias de Γ e denotado por
Γ+ . Neste trabalho, usamos ferramentas da teoria invariante algébrica para obter a forma
geral de campos de vetores Γ−reversíveis-equivariantes a partir da teoria invariante para Γ+ .
Este trabalho foi desenvolvido em colaboração com Miriam Manoel (ICMC/USP).
1
Expansões Periódicas de Frações Contínuas e Equações Quadráticas
Leonardo G. de Oliveira ([email protected])
Túlio O. Carvalho ([email protected])
Departamento de Matemática - Universidade Estadual de Londrina,
CP 6001, Londrina, PR, 86051-990
23 de março de 2012
Resumo
Neste artigo, expomos brevemente parte da teoria sobre frações contínuas, estudo que o primeiro autor faz dentro de
suas atividades do PICME. Distinguimos o comportamento das expansões em frações contínuas de números racionais e
irracionais e suas diferenças quanto à unicidade, por exemplo. A aplicação de Gauss é usada para demonstrar que toda
expansão periódica ou pré-periódica representa um número irracional que é raiz de uma equação do segundo grau.
Palavras-chave: Frações contínuas, aplicação de Gauss.
1 Introdução
Este estudo se baseou grandemente na monografia [1] e também em [2], onde se pode encontrar as demonstrações dos
teoremas que não são apresentadas.
Definição 1. Dado x 2 R, uma sequência de naturais (ak )k
1
(finita ou infinita) que satisfaça
1
x = a0 +
1
a1 +
a2 +
1
..
1
.+
ak
1
1
+
ak +
1
..
.
é chamada expansão em frações contínuas de x e representada como x = a0 + [a1 , a2 , · · · , ak
Definição 2. Para a0 , a1 , a2 , · · · , an , · · · 2 N, os convergentes
[a0 ; a1 , a2 , · · · , an ] = a0 +
1 , ak , · · · ]
pn
, n 2 N da fração contínua são dados por
qn
1
=
1
a1 +
a2 +
pn
2Q.
qn
1
..
.+
1
an
pn
. Note que p0 = a0 , q0 = 1, p1 = a0 a1 + 1 e
qn
pk
= 1. Denominamos cada fração
como convergente de x, enquanto cada ai
qk
Quando a0 = 0, escreve-se simplesmente [a1 , a2 , · · · , an ] =
q1 = a1 . Convencionamos q
1
=0ep
1
é chamado de quociente de x.
O estudo das frações contínuas pode seguir por muitos rumos. Nesse texto veremos como se comportam expansões de
racionais e de irracionais e, com o estudo sobre as sequências dos convergentes de expansões em frações contínuas, concluiremos que ter expansão periódica ou pré-periódica e ser raiz de uma equação quadrática são condições equivalentes.
1
Tı́tulo: Campos de vetores suaves por partes em R2 − A singularidade
Dobra-Sela.
Autor: Tiago de Carvalho.
Resumo: Nesta apresentação trataremos da análise de bifurcações locais
numa vizinhança de uma singularidade tı́pica de campos de vetores suaves
por partes em IR2 . Nosso principal objetivo é descrever o desdobramento
da singularidade dobra-sela através da variação de três parâmetros. Formas
normais e diagramas de bifurcação serão exibidos.
Tı́tulo: O Fractal de Rauzy.
Autores: Prof.Dr. Jefferson L.R.Bastos UNESP (Campus: São José do Rio
Preto) e Profa. Dra. Tatiana Miguel Rodrigues - UNESP (Campus:Bauru).
Resumo: O Fractal de Rauzy é um subconjunto do plano complexo que foi
definido por G. Rauzy em 1982. Este assunto tem aplicações em diversas
áreas: sistemas dinâmicos, teoria dos números, teoria dos azulejamentos,
sistemas de numeração, entre outras.
O objetivo desta palestra é apresentar um método para a construção do
Fractal de Rauzy, suas propriedades topológicas, geométricas e aritméticas.
Também mostrar a relação entre a fronteira deste Fractal e as propriedades
aritméticas e algébrias da α-representação de um número complexo.
Tı́tulo: Problemas de perturbação singular com descontinuidades.
Autor: Pedro Toniol Cardin.
Resumo: Neste trabalho consideramos problemas de perturbação singular,
também conhecidos como sistemas lento–rápido, para o qual o fluxo lento é
dado por um sistema do tipo Filippov (sistemas que apresentam descontinuidades no lado direito). Investigamos sobre quais condições os resultados
da Teoria Geométrica das Perturbações Singulares obtidos em [1] continuam
válidos para estes tipos de sistemas. Apresentamos alguns resultados nesta
direção.
Co–autores: Marco Antonio Teixeira e Paulo Ricardo da Silva.
Bibliografia
[1] Fenichel, N., Geometric singular perturbation theory for ordinary differential equations, J. Diff. Equations 31 (1979), 53–98.
[2] Filippov, A. F., Differential Equations with Discontinuous Righthand
Sides, Mathematics and its Applications (Soviet Series), Kluwer Academic Publishers, Dordrecht (1988).
Tı́tulo: Caos estável no ciclo biótico do ferro da pirita pela bactéria
Acidithiobacillus ferrooxidans.
Autores: Miguel Dumett (UFPR, Depto. de Matemática,
[email protected])
James Keener (University of Utah, Dept. of Mathematics).
Resumo: O ciclo do ferro da pirita é uma coleção de reações quı́micas que
produz ácido sulfúrico no meio (pH ∼ 1) na presença de água e oxigênio. A
bactéria Acidithiobacillus ferrooxidans acelera um milhão de vezes a oxidação
de ı́on ferroso para ı́on férrico, utilizando o elétron tomado para gerar água
dentro de seu citoplasma e para produzir ATP. Tem sido observadas oscilações no pH e na população dessa bactéria por diversos autores. Propomos um modelo de sistemas dinâmicos que trata de explicar a presença
de soluções periódicas sem introduzir variações sazonais de água e oxigênio.
As velocidades de reação, assim como a dinâmica da população da bactéria,
foram tomadas da literatura existente em microbiologia. Encontram-se bifurcações de Hopf, homoclı́nicas, SNP e de duplo perı́odo, assim como a
presença de órbitas periódicas estáveis e caos estável para uma faixa de valores do parâmetro de metabolismo da bactéria. As implicações biológicas
disto permitem considerar a possibilidade de que a bactéria sobreviva num
estado em que produza menos ácido.