MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
CAMPUS PATO BRANCO
LIMITES
1. Introdução:
Usamos a palavra limite no nosso cotidiano para indicar, genericamente, um ponto que pode ser
eventualmente atingido mas que jamais pode ser ultrapassado.
Exemplos:
1) Injetando ininterruptamente ar em um balão de borracha, haverá um momento em que ele estoura.
Isso porque existe o limite de elasticidade da borracha.
2) Um engenheiro ao construir um elevador, estabelece o limite de carga que este suporta.
3) No lançamento de um foguete, os cientistas devem conhecer o limite mínimo de combustível
necessário para que a aeronave entre em órbita.
4) Como os avanços na tecnologia resultam na produção de calculadoras cada vez mais potentes e
compactas, o preço das calculadoras atualmente no mercado diminui. Suponha que x meses a partir
30
de agora, o preço de um certo modelo seja de P ( x) = 40 +
unidades monetárias (u. m.).
x +1
a) Qual será o preço daqui a 5 meses? Resposta: P(5) = $ 45.
b) De quanto cairá o preço durante o quinto mês? Resposta: P(5) - P(4) = 45 - 46 = $ 1.
c) Quando o preço será de $ 43 u. m. Resposta: P(x) = 43 => Daqui a 9 meses.
d) O que acontecerá com o preço a longo prazo (x→ ∞)? Resposta: P(x) → $ 40 quando x → ∞.
5) Supõe-se que a população de uma certa comunidade suburbana, daqui a t anos, será de
6
P (t ) = 20 −
milhares de pessoas.
t +1
a) Daqui a 9 anos, qual será a população da comunidade?
b) De quanto a população crescerá durante o 90 ano?
c) Ao longo desse tempo, o que acontecerá ao tamanho da população?
Resposta: a) P(9) = 194/10 = 19,4 milhares.
b) P(9) – P(8) = 194/10 - 58/3 = (1/15) milhares = 67 habitantes.
c) A população aproximar-se-á de 20 mil habitantes.
Nota: É importante ter em mente que o limite pode ser um ponto que nunca é atingido, mas do qual
pode-se aproximar tanto quanto se desejar.
2
2. Conceito intuitivo de limite:
Exemplos:
1) Inicialmente, vamos tomar a função f: ℜ→ℜ, definida por y = f(x) = x – 2 e determinar o valor de
f(x), quando os valores de x, encontram-se muito próximos de 2.
Atribuindo a x uma seqüência de valores que se aproximam cada vez mais de 2, sendo todos valores
menores que 2, é possível determinar os valores de f(x), conforme ilustra o quadro a seguir:
x
f(x)
1
-1
1,5
-0,5
1,8
-0,2
1,9
-0,1
1,99
-0,01
1,999
-0,001
1,9999
-0,0001
1,99999 -0,00001
1,999999 -0,000001
Percebe-se que conforme os valores de x aproximam-se de 2 (dois), os valores de f(x) aproximam-se de
0 (zero).
Por outro lado, atribuindo-se a x uma seqüência de valores que se aproximam cada vez mais de 2,
sendo todos maiores que 2, é possível determinar os valores de f(x), conforme observa-se no seguinte
quadro:
x
f(x)
3
1
2,5
0,5
2,3
0,3
2,1
0,1
2,01
0,01
2,001
0,001
2,0001
0,0001
2,00001 0,00001
2,000001 0,000001
Novamente, os valores de f(x) aproximam-se de 0 (zero), à medida que os valores de x aproximam-se
de 2 (dois).
Graficamente, temos:
Neste caso, escrevemos em linguagem matemática:
lim− f ( x) = lim+ f ( x) = lim f ( x) = 0
x →2
x→2
x →2
Lê-se: Limites laterais de f(x) são iguais ao limite de f(x), quando x tende para 2 e é igual a 0.
3
x2 − 9
. Suponha que estejamos interessados em saber de que valor se
x−3
aproxima f(x) quando x se aproxima de 3.
2) Tomemos a função f ( x) =
Façamos uma tabela e atribuamos a x valores menores que 3.
X
2,5
2,8
2,9
2,99
2,999
2,9999
...
f(x)
5,5
5,8
5,9
5,99
5,999
5,9999
...
Vemos que quanto mais x se aproxima de 3, mais o valor de f(x) se aproxima de 6. Note que nos
aproximamos de x por valores menores do que 3.
Matematicamente, representamos esta situação por:
lim - f ( x) = 6
x→ 3
Lê-se: limite de f(x) quando x tende a três pela esquerda é igual a 6 (seis).
Tomemos agora valores próximos de três, mas maiores que 3.
x
3,4
3,2
3,1
3,01
3,001
3,0001
...
f(x)
6,4
6,2
6,1
6,01
6,001
6,0001
...
Note que quanto mais x se aproxima de 3 por valores maiores do que 3, mais f(x) se aproxima de 6.
Matematicamente, representamos esta situação por
lim + f ( x) = 6
x→ 3
Lê-se: limite de f(x) quando x tende a três pela direita é igual a 6 (seis).
Estes limites, são chamados limites laterais.
O limite de uma função existe se e somente se seus limites laterais existem e tem o mesmo valor.
Simbolicamente:
lim f ( x ) = L ⇔ lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = L
x→ a
x→ a
x→ a
Como os limites anteriores são iguais, podemos dizer que:
lim f ( x) = 6 pois, lim− f ( x ) = 6 e lim+ f ( x ) = 6
x →3
x→3
x →3
4
Limites laterais: São obtidos quando considera-se os valores menores que x (limite de f(x), quando x
tende a 2 pela esquerda) e quando considera-se os valores maiores que x (limite de f(x), quando x tende
a 2 pela direita).
Antes de formalizarmos o conceito, façamos mais um exemplo:
x 2 −1
Analisar a função f: ℜ→ℜ, definida por y = f ( x) =
, quando x tende (aproxima-se) para 1.
x −1
Atribuindo valores para x, pode-se construir um quadro e em seguida, fazer um esboço de seu gráfico,
ressaltando que Dom( f ) = {x ∈ ℜ / x ≠ 1} (Dom = domínio, ou seja, valores que são possíveis de serem
atribuídos a variável independente x).
x
-1
0
0,9999
1
1,0001
2
3
y=
x2 −1
x −1
0
1
1,9999
Não existe
2,0001
3
4
Graficamente, temos:
Observe no gráfico, o que ocorre com as imagens das seqüências cujos valores se aproximam de 1. As
imagens se aproximam de 2. Portanto, neste caso, escrevemos:
lim f ( x) = lim+ f ( x) = lim f ( x) = 2
x →1−
x →1
x →1
Perceba que o limite dessa função para x tendendo a 1 existe, embora a função não esteja definida no
ponto x = 1.
De forma genérica, escrevemos: lim f ( x)
x→ a
De acordo com os exemplos apresentados anteriormente, nota-se que a idéia de limite de uma função f,
quando x tende para a, depende somente dos valores de f em valores próximos de a, o valor de f(a) é
irrelevante.
 lim− f ( x) = L
x →a
Nota: lim f ( x) = L ⇔ 
, L ∈ℜ
x →a
lim
f
(
x
)
=
L
 x →a +
5
Exemplos:
1) Seja f ( x ) =
x
x
lim 1 = 1
x →0 +
2)
x 1
se x > 0
se x > 0
x
x =
=
x - 1 se x < 0
- x se x < 0
lim− − 1 = −1
∴ não existe limite, pois lim+ f(x) ≠ lim− f ( x )
x →0
x →0
x →0
O gráfico a seguir representa uma função f de [−6, 9] em ℜ . Determine:
a) f (2)
b) lim− f ( x)
x→ 2
c) lim+ f ( x)
x→ 2
d) lim f ( x)
x→ 2
e) f (−2) =
f) f (7) =
Solução:
a) f (2) = 3
b) lim− f ( x) = 2
x →2
c) lim+ f ( x) = 5
x →2
d) Não existe o limite pedido, pois: lim− f ( x) ≠ lim+ f ( x)
x→ 2
x→ 2
e) f (−2) = 0
f) f (7) = 0
Observe que -2 e 7 são as raízes (ou zeros) da função f.
3) Um gás (vapor d’água) é mantido à temperatura constante. A medida que o gás é comprimido, o
volume V decresce até que atinja uma certa pressão (P) crítica. Além dessa pressão, o gás assume
forma líquida. Observando a figura a seguir, determine:
a) lim − V
b) lim + V
c) lim V
p →100
p →100
p →100
6
Solução:
a) lim − V = 0,8
p →100
b) lim + V = 0,4
p →100
c) Não existe o limite pedido, pois: lim − V ≠ lim + V
p →100
p →100
Outros exemplos
4) lim( x 2 − 4) =12 – 4 = 1 – 4 = -3, pois o domínio de f(x) = x2 – 4 é todos os Reais
x →1
x2 − 4
( x − 2)( x + 2)
= lim( x + 2) = 2 + 2 = 4 , pois D(f ) = ℜ − {2}
= lim
x →2 x − 2
x→2
x→2
x−2
5) lim
6) lim
x →2
7) lim
x →9
8) lim
x →3
4x − 8
4( x − 2)
4
4
4
= lim
= lim
=
=
= −4 , pois D(f ) = ℜ − {2, 3}
x
→
2
x
→
2
x − 5x + 6
( x − 2)( x − 3)
x − 3 2 − 3 −1
2
x −9
( x − 9)( x + 3)
( x − 9)( x + 3)
= lim
= lim
= lim( x + 3) = 9 + 3 = 3 + 3 = 6
x →9
( x − 9)
x − 3 x → 9 ( x − 3)( x + 3) x →9
6 x − 18
6 ⋅ ( x − 3)
6
6
6
= lim
= lim
=
= =6
x
→
3
x
→
3
( x − 2) ⋅ ( x − 3)
( x − 2) ⋅ ( x − 3)
x − 2 3− 2 1
6 x − 30
6 ⋅ ( x − 5)
6
6
6 3
= lim
= lim
=
=
=
2
x →5 x − 25
x →5 ( x − 5) ⋅ ( x + 5)
x →5 x + 5
5 + 5 10 5
9) lim
3. Propriedades Operatórias dos Limites
A seguir introduziremos propriedades que podem ser usadas para achar muitos limites sem utilizar a
pesquisa do número δ que aparece na definição de limite.
•
(P0) Se lim f ( x) = L1 e lim f ( x) = L2 , então L1 = L2 . (Teorema da Unicidade do limite)
•
(P1) Sejam a e c números reais quaisquer, então lim c = c isto é o limite de uma constante é a
x→a
x→a
x→ a
própria constante.
•
(P2) Se a, b, m são números reais, então: lim (mx + b) = ma + b
x→ a
Exemplo: lim (3 x − 5) = 3.4 − 5 = 7
x→ 4
•
(P3) Se lim f ( x) = L e lim g ( x) = M , então:
x→a
x →a
a) lim [ f ( x) + g ( x)] = L + M
x →a
7
b) lim [ f ( x) ⋅ g ( x)] = L ⋅ M
x→a
f ( x) L
=
desde que M ≠ 0
g ( x) M
c) lim
x→a
d) lim [ f ( x)] = Ln ( p/ ∀ inteiro positivo n)
n
x →a
e) lim
x →a
n
f ( x) = n L , desde que L > 0 p/ n par
f) lim ln[ f ( x)] = ln .L , desde que L > 0
x→a
g) lim cos [f(x)] = cos ( L)
x →a
h) lim sen [f(x)] = sen ( L)
x →a
i) lim e f ( x ) = e L
x →a
Exemplo: Determine o seguinte limite:
P3
P2
lim ( x 2 − 3x + 1) = ⇒ lim x 2 − lim 3x + lim 1 ⇒ 2 2 − 3.2 + 1 = −1
x →2
x→2
x→2
x →2
Vemos neste exemplo que o valor de lim f ( x) = f (a )
x→a
Isto na verdade ocorre para todos os polinômios. Enunciando então, formalmente, temos:
Teorema I: Se f é uma função polinomial, então: lim f ( x) = f (a ) .
x→a
Exemplos:
1) Calcule lim ( x 2 − 5 x + 1) = 2 2 − 5 ⋅ 2 + 1 = −5
x →2
3x, se x ≤ 2
2) Calcule lim f ( x) sendo  2
.
x →2
x , se x > 2
Solução: Se x < 2 ⇒ lim − f ( x) = 3 ⋅ 2 = 6 . Por outro lado, x > 2 ⇒ lim + f ( x) = 2 2 = 4 . Portanto,
x →2
x →2
não existe o limite.
Além deste, temos ainda outros teoremas que nos fornecem resultados úteis para o cálculo de limites.
Teorema II: Se f é uma função racional, e a pertence ao domínio, então:
lim q ( x) = q (a )
x→a
8
Exemplos:
5x 2 − 2 x + 1
x →3
6x − 7
1) Calcule lim
Solução:
5 x 2 − 2 x + 1 5 ⋅ 32 − 2 ⋅ 3 + 1 40
7
lim
=
=
=3
x →3
6x − 7
6⋅3 − 7
11
11
2) Calcular lim 3 3x 2 − 4 x + 9
x →5
Solução:
lim 3 3 x 2 − 4 x + 9 = 3 lim 3 x 2 − 4 x + 9 = 3 75 - 20 + 9 = 3 64 = 4
x →5
x →5
Exemplos:
1) lim(4x 3 − 8) = ... = 24
2) lim(ax 2 + bx + c) = ... = ap 2 + bp + c, (∀ a, b, c ∈ ℜ)
x3 + x2 +1
3
= ... =
3) lim
x →1
x +1
2
 x 3 + 2x 

4) lim
x →1 

x
+
2


x →2
x→p
x +4
 3

= ... = 

2


5
4. Limites Indeterminados
Em alguns casos não é possível calcular o valor do limite por simples substituição. Ao adotar tal
0 ∞
procedimento nos deparamos com resultados do tipo , , ∞ - ∞, 0.∞, 1∞ , 0 0 , ∞ 0
0 ∞
Exemplo:
x2 − x − 2
1) Calcular o limite abaixo: lim
x→2
x2 − 4
Solução:
Seja f(x) = x2 - x – 2 e g(x) = x2 - 4.
Então:
f(2) = 22- 2 - 2 = 0 e g(2) = 22 - 4 = 0
Assim, ao substituirmos direto teríamos uma indeterminação do tipo
0
, logo esse procedimento não
0
pode ser utilizado.
0
∞
ou
há vários métodos que podem ser aplicados de acordo
0
∞
com as funções envolvidas. Futuramente, utilizando-se de derivadas apresentaremos um método
prático para resolver esses casos, método este conhecido como regra de L’Hospital.
No caso de indeterminações do tipo
9
5. Limites no Infinito
5.1 Introdução:
1
e analisemos, mediante uma tabela, o seu
x
comportamento quando os valores de x crescem ilimitadamente através de valores positivos.
Consideremos a função f definida por f ( x) =
x
f ( x)
1
4
4
1
3
3
1
2
2
1
2
3
4
10
100
1.000 10.000 100.000
1
1
2
1
3
1
4
0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001
Pela tabela constatamos que quando x cresce ilimitadamente através de valores positivos, os valores
da função se aproximam cada vez mais de 0 (zero). Simbolicamente, representamos tal fato por:
lim f ( x) = 0 , que se lê: “limite de f de x , quando x tende a mais infinito, é igual a zero”.
x →+∞
Observação: Quando uma variável independente x está crescendo ilimitadamente através de valores
positivos, escrevemos: “ x → +∞ ”. Devemos enfatizar que + ∞ não é um número real. O símbolo + ∞
indica, portanto, o comportamento da variável independente x .
Consideremos agora, para a mesma função, uma tabela onde os valores da variável x decrescem
ilimitadamente através de valores negativos.
x
f ( x)
1
4
-4
-
1
3
-3
-
1
2
-2
-
-1
-1
-2
-
1
2
-3
-
1
3
-4
-
1
4
-10
-100
-1.000 -10.000 -100.000
-0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 -0,00001
Observando a tabela anterior verificamos que à medida em que os valores de x decrescem
ilimitadamente através de valores negativos, os valores da função se aproximam cada vez mais de 0
(zero). Usando o simbolismo “ x → −∞ ” para indicar os valores de x que estão decrescendo
ilimitadamente, representamos simbolicamente o fato acima por um lim f ( x) = 0 , que se lê: “limite
x →−∞
de f de x , quando x tende a menos infinito, é igual a zero.
1
cujo esboço é
x
indicado pela figura ao lado, notamos que quando
x cresce ilimitadamente através de valores
positivos ( x → +∞ ), os valores da função f ( x)
aproximam-se cada vez mais de 0 (zero). E,
portanto, simbolicamente podemos escrever
1
lim f ( x) = 0 ou lim = 0 .
x →+∞
x →+∞ x
Pelo gráfico da função f ( x) =
Analogamente, observando o comportamento da função através do seu gráfico (figura indicada acima),
constatamos que quando x decresce ilimitadamente através de valores negativos ( x → −∞ ), os valores
da função f ( x) aproximam-se cada vez mais de 0 (zero). Simbolicamente, escrevemos:
1
lim f ( x) = 0 ou lim = 0 .
x →−∞
x →−∞ x
10
Exemplos:
1) Observe o gráfico da função f ( x) = 1 −
1
apresentado na Figura a seguir:
x
Observando o gráfico e as tabelas, vemos que esta função tende para o valor 1, quando x tende para o
 1
infinito. Isto é, y → 1 quando x → ±∞. Denotamos por lim 1 −  = 1
x→±∞
 x
2x +1
2) A função f ( x) =
tende para 2 quando x → ±∞ como podemos observar na Figura a seguir.
x −1
Assim,
podemos escrever:
2x + 1
=2
x→±∞ x − 1
lim
5.2 Propriedades dos Limites no Infinito
5.2.1. Limite de uma função polinomial
Consideremos a função polinomial P ( x) = −4 x 3 + 6 x 2 − 7 x + 13 , podemos escrevê-la na seguinte
forma:
6
7
13 

P ( x ) = −4 x 3 ⋅  1 +
− 2 + 3
4x 
 4x 4x
Portanto,
6
7
13 

lim P ( x) = lim (−4 x 3 ) ⋅ lim 1 +
− 2 + 3
x →±∞
x → ±∞
4x 
 4x 4x
x →±∞
Ora, é claro que:
11
6
7
13 

lim 1 +
− 2 + 3  =1
x →±∞
4x 
 4x 4x
Temos, então:
lim P( x) = lim (−4 x 3 )
x →±∞
x →±∞
Assim, temos dois casos:
lim P( x) = lim (−4 x 3 ) = −∞ e
x →+∞
x →+∞
lim P( x) = lim (−4 x 3 ) = +∞
x →−∞
x →−∞
Generalizando, sendo P ( x) = a n x n + a n−1 x n −1 + ... + a 2 x 2 + a1 x + a0 , podemos sempre escrever:
lim P( x) = lim an x n
x →±∞
x → ±∞
5.2.2. Limite de uma função racional
P( x)
, onde P e Q são funções polinomiais em x com:
Q( x )
P ( x) = a n x n + a n−1 x n −1 + ... + a 2 x 2 + a1 x + a0 e Q ( x) = bm x m + bm −1 x m −1 + ... + b2 x 2 + b1 x + b0
Dada a função racional f ( x) =
Sendo a n ≠ 0 e bm ≠ 0. Tem-se então que:
P( x) lim an x n
a n x n an
P( x) xlim
→±∞
x →±∞
lim f ( x) = lim
=
=
= lim
= ⋅ lim x n−m
m
m
x →±∞
x →±∞ Q ( x )
x
→
±∞
lim Q( x) lim bm x
bm x→±∞
bm x
x →±∞
x →±∞
Dependendo do valor de n e m , três casos podem ser considerados:
1o) n > m ⇒ lim f ( x) = ±∞
x →±∞
2o) n < m ⇒ lim f ( x) = 0
x →±∞
3o) n = m ⇒ lim f ( x) =
x →±∞
an
bm
Exemplos:
10 x 3 + x 2 − 8 x + 115
10 x 3 10
=
lim
= ⋅ lim x = +∞
x →+∞
x →+∞ 9 x 2
9 x 2 − 10 x + 4
9 x→+∞
1) lim
15 x 3 − 8 x 2 + 6 x − 119
15 x 3
1
2) lim
= lim
= −15 ⋅ lim = −15 ⋅ 0 = 0
x →−∞ − x 4 + 2 x 2 − 101x + 2
x →−∞ − x 4
x →−∞ x
7 x 3 − 8 x 2 + 11x − 2
7x3 7
7
=
= ⋅ lim 1 =
lim
3
2
3
x →±∞ 5 x + 14 x − 8 x + 5
x →±∞ 5 x
5 x→±∞ 5
3) lim
12
4) Calcule lim
x →+∞
x
x −1
2
Solução:
Para calcularmos este limite, escrevemos x = x 2 ( x > 0, pois x → +∞) e então dividimos o
numerador e o denominador, sob o sinal do radical, por x 2 .
x
lim
x →+∞
5) Calcule lim
x →+∞
x −1
2
= lim
x →+∞
x
2
x2
x2
= lim
x −1
x →+∞
2
2
x
1
− 2
2
x
x
x → +∞
(x
2
x →+∞
1
1
1− 2
x
=1
x 2 + 3x + 4 − x
Solução: Multiplicando, numerador e denominador, por
lim
= lim
)
+ 3 x + 4 − x = lim
x → +∞
(x
2
) (( xx
+ 3x + 4 − x ⋅
2
2
x 2 + 3x + 4 + x , temos:
) = lim x + 3x + 4 − x = lim
+ 3x + 4 + x )
x + 3x + 4 + x
+ 3x + 4 + x
2
x → +∞
3x + 4
2
2
x → +∞
x + 3x + 4 + x
2
Procedendo de modo análogo ao exemplo anterior, vem:
lim
x →+∞
(x
2
)
+ 3x + 4 − x = lim
x →+∞
3x 4
4
+
3+
3
3
x
x x
= lim
=
=
2
x → +∞
1+1 2
3 4
x
3x 4 x
1+ + 2 +1
+ 2+ 2 +
2
x x
x
x
x
x
6. Limites Laterais
Vimos que para determinar o limite de uma função quando x tende para a, devemos verificar o
comportamento da função para valores de x muito próximos de a, maiores ou menores que a.
O valor do qual f se aproxima quando o valor de x se aproxima de a por valores menores do que a é
denominado limite à esquerda de f. Analogamente, o valor do qual f se aproxima quando x tende para
a através de valores maiores que a é o limite à direita de f.
Estes limites, são chamados limites laterais.
•
Limite à esquerda: lim − f ( x) , teremos x < a
•
Limite à direita:
x→ a
logo
x = a – h, onde h > 0 é muito pequeno.
lim f ( x ) , teremos x > a logo x = a + h, onde h > 0 é muito pequeno.
x →a +
Quando temos o gráfico de uma função ou temos esta função definida por várias sentenças fica simples
calcular os limites laterais.
13
Exemplos:
1) Seja a função definida pelo gráfico da Figura a seguir, calcule:
a ) lim + f ( x)
b) lim − f ( x)
x →1
x →1
Solução:
Observando o gráfico, podemos concluir que: lim + f ( x) = 5 e lim − f ( x) = 3
x →1
x →1
Logo não existe o limite desta função quando x tende a 1.
 x 2 + 1 , para x < 2

2) Seja a função: f ( x) = 2
, para x = 2

2
9 - x , para x > 2
(a) lim + f ( x)
Calcule:
x →2
(b) lim − f ( x)
x→2
(c) lim f ( x)
x →2
Solução:
+
• Quando x → 2
•
Quando x → 2
−
significa x > 2 logo f ( x) = 9 − x 2 assim lim+ 9 - x 2 = 9 - 2 2 = 5
x →2
significa x < 2 logo f ( x) = x + 1 assim lim + x 2 + 1 = 2 2 + 1 = 5
2
x →2
Como os limites laterais são iguais, concluímos que lim f ( x) = 5.
x →2
Quando a função não está definida por várias sentenças, ou não temos o gráfico da função, teremos
que usar um artifício que chamaremos de incremento (h) para encontrar os limites laterais.
Isto é: Simplificando: Para calcular os limites laterais, basta fazer uma substituição:
•
Quando lim+ f ( x)
fazemos x = a + h
•
Quando lim− f ( x)
fazemos x = a – h
x→ a
x→ a
Onde h é positivo e muito pequeno.
3) Calcule por mudança de variáveis os limites laterais à esquerda e à direita respectivamente, das
funções abaixo, nos pontos indicados:
a) y = 2 x + 1
em
x =1
b) y = x 2
em
x=2
c) y = 1 − 2 x + x 2
em
x = −1
14
7. Funções contínuas ou continuidade de funções
(Texto adaptado de: Devanil Antonio Francisco & Elaine Cristina Ferruzzi)
7.1 Introdução:
Sejam f e g funções de gráficos:
Observe que f e g se comportam de maneira diferente no ponto p. Enquanto a função g apresenta um
salto a outra não.
Ao calcular o limite da função f, observamos que o valor deste limite, quando x tende para p é igual
ao valor da função quando x é igual a p, isto é:
lim f ( x) = f ( p)
x→ p
Por exemplo, se f ( x) = x 2 − 4 e p = 2, temos que:
lim f ( x) = lim ( x 2 − 4) = 2 2 − 4 = 0 = f (2) = f ( p )
x→ p
x→2
As funções que se comportam desta forma em um ponto qualquer de seu domínio são ditas contínuas
nesse ponto.
7.2. Definição:
Dizemos que uma função f é contínua em um ponto p se forem verificados as três condições abaixo:
(i) ∃ f ( p )
(ii) ∃ lim f ( x), isto é : lim+ f ( x) = lim− f ( x)
x→ p
x→ p
x→ p
(iii) lim f ( x) = f(p)
x→ p
Observação: quando pelo menos uma das três condições não forem verificadas dizemos que f é
descontínua em x = p.
Exemplos:
1) Verifique se a função f ( x) = 2 x − 5 + 3 x é contínua em x = 4.
Solução: Analisaremos uma a uma as três condições:
•
f (4) = 2 ⋅ 4 − 5 + 3 ⋅ 4 = 3 + 12
•
lim f ( x) = lim ( 2 x − 5 + 3 x) = 2 ⋅ 4 − 5 + 3 ⋅ 4 = 3 + 12
•
lim f ( x) = f (4)
x→ p
x→4
x →4
Portanto, como lim f ( x) = f (4) a função é contínua em x = 4.
x →4
15
| x − 2|
é contínua em x = 2.
2
Solução: Primeiramente, lembramos que:
− x + 2
, se x < 2
| x − 2 |  2
=
2
 x − 2 , se x ≥ 2
 2
A seguir, analisaremos uma a uma as três condições:
2−2 0
•
f ( 2) =
= = 0.
2
2
• Para verificar a existência do limite, devemos calcular os limites laterais:
| x − 2|
− x+2 −2+2 0
= lim
=
= =0
lim− f ( x) = lim−
x →2
x →2
x →2
2
2
2
2
e
| x − 2|
x−2 2−2 0
lim+ f ( x) = lim+
= lim
=
= =0
x →2
x →2
x →2
2
2
2
2
Como lim− f ( x) = lim+ f ( x) ⇒ ∃ lim f ( x) e lim f ( x) = 0 .
2) Verifique se a função f ( x) =
x →2
•
x→2
x→2
x→2
lim f ( x) = f (2) . Portanto, como lim f ( x) = f (2) a função é contínua em x = 2.
x →2
x →2
 x 2 − 1, se x < 3

3) Verifique se a função f ( x) = 2,
se x = 3 é contínua em x = 3.
3 − x, se x > 3

Solução: Analisaremos uma a uma as três condições:
•
f (3) = 2 .
• Para verificar a existência do limite, devemos calcular os limites laterais:
lim− f ( x) = lim ( x 2 − 1) = 32 − 1 = 9 − 1 = 8 e lim+ f ( x) = lim (3 − x) = 3 − 3 = 0
x →3
x →3
x →3
x →3
Como lim− f ( x) ≠ lim+ f ( x) ⇒ não existe lim f ( x) e portanto a função dada não é contínua em x = 3.
x →3
x →3
x→3
se x ≤ 2
2 x,
4) Verifique se a função f ( x) =  2
é contínua em x = 2.
 x − 3x, se x > 2
Solução: Analisaremos uma a uma as três condições:
•
f ( 2) = 2 ⋅ 2 = 4 .
• Para verificar a existência do limite, devemos calcular os limites laterais:
lim− f ( x) = lim (2 x) = 2 ⋅ 2 = 4
e
lim+ f ( x) = lim ( x 2 − 3x) = 2 2 − 3 ⋅ 2 = 4 − 6 = −2
x →2
x →2
x →2
x→2
Como lim− f ( x) ≠ lim+ f ( x) ⇒ não existe lim f ( x) e portanto a função dada é descontínua em x = 2.
x →2
x →2
x→2
Mostramos a seguir um esboço do gráfico de f e podemos constatar que o mesmo tem um “salto” em
x = 2.
16
x 2 −1
não é contínua no ponto x = 1, pois a função dada não é definida no ponto
x −1
especificado. Graficamente, temos:
5) A função f ( x) =
 x 2 −1
, se x ≠ 1

6) A função g ( x) =  x − 1
também não é contínua no ponto x = 1, pois:
1, se x = 1

• g (1) = 1 .
•
Limites laterais:
( x 2 − 1)
( x − 1) ⋅ ( x + 1)
lim− g ( x) = lim
= lim
= lim ( x + 1) = 1 + 1 = 2
x →1
x
→
1
x →1
x →1
x −1
( x − 1)
e
( x 2 − 1)
( x − 1) ⋅ ( x + 1)
= lim
= lim ( x + 1) = 1 + 1 = 2
x →1
x →1
x →1
x −1
( x − 1)
lim+ g ( x) = lim
x →1
Como lim− g ( x) = lim+ g ( x) ⇒ ∃ lim g ( x) e lim g ( x) = 2 .
x →1
•
x →1
x→1
x →1
lim g ( x) = 2 ≠ 1 = g (2)
x →1
Portanto, como não foi satisfeita a terceira condição, a função dada não é contínua no ponto
especificado, como confirma o gráfico a seguir:
17
− 4 x, se x < 0

7) Verificar os possíveis pontos de descontinuidade da função f ( x) = 2 x − x 2 , se 0 ≤ x ≤ 3 .
2 x − 9, se x > 3

Solução: Da definição de f, os prováveis pontos de descontinuidade são x = 0 e x = 3.
Pelo esboço do gráfico de f, verificamos as condições de continuidade para o ponto x = 0, assim:
•
•
f ( 0) = 2 ⋅ 0 − 0 2 = 0 − 0 = 0.
Limites laterais:
lim− f ( x) = lim (−4 x) = 0 e lim+ f ( x) = lim (2 x − x 2 ) = 0
x →0
x →0
x →0
x →0
Como lim− f ( x) = lim+ f ( x) ⇒ ∃ lim f ( x) e lim f ( x) = 0 .
x →0
•
x →0
x →0
x→0
lim f ( x) = f (0)
x →0
Logo, como lim f ( x) = f (0) a função é contínua em x = 0.
x →0
Da mesma forma, pelo esboço do gráfico de f, verificamos as condições de continuidade para o ponto
x = 3, assim:
•
•
f (3) = 2 ⋅ 3 − 3 2 = 6 − 9 = −3.
Limites laterais:
lim− f ( x) = lim (2 x − x 2 ) = 2 ⋅ 3 − 32 = 6 − 9 = 3
x →3
x →3
e
lim f ( x) = lim (2 x − 9) = 2 ⋅ 3 − 9 = 6 − 9 = −3
x →3+
x →3
Como lim− f ( x) = lim+ f ( x) ⇒ ∃ lim f ( x) e lim f ( x) = −3 .
x →3
•
x →3
x→3
x →3
lim f ( x) = f (3)
x →3
Logo, como lim f ( x) = f (3) a função é contínua em x = 3.
x →3
Portanto, uma vez que nos pontos de provável descontinuidade, verificamos que a função f é continua,
concluímos que f é contínua para todo x real, e vemos que seu gráfico não tem qualquer tipo de salto
ou interrupção.
18
8. Limites de Funções Trigonométricas
(Texto adaptado de: Devanil Antonio Francisco & Elaine Cristina Ferruzzi)
sen x
=1
x
Uma demonstração: No círculo trigonométrico (o raio é a unidade), seja ÂM um arco de x radianos,
•
Teorema: Limite Trigonométrico Fundamental: lim
com 0 < x <
x →0
π
2
. Na figura a seguir: x = Aˆ M , sen x = PM e tg x = AT .
Lembre-se:
1
• A∆ = ⋅ Base ⋅ Altura
2
•
ASetor =
1
⋅ ( Raio) 2 ⋅ Arco
2
Observe que o triângulo oAM está contido no setor circular oAM , o qual por sua vez está contido no
triângulo oAT .
Assim, podemos afirmar que:
área ∆ oAM < área setor oAM < área ∆ oAT
isto é:
1
1
1
⋅ oA ⋅ PM < ⋅ (oA) 2 ⋅ x < ⋅ oA ⋅ AT
2
2
2
Mas,
oA = 1
Logo:
PM < x < AT
ou,
sen x < x < tg x
Dividindo termo a termo por sen x, temos:
sen x
tg x
x
x
1
<
<
⇒1<
<
sen x sen x sen x
sen x cos x
Tomando os inversos e invertendo a desigualdade, ficamos com:
sen x
sen x
> cos x ⇒ cos x <
<1
x
x
Sabemos que, quando x → 0, cos x → 1.
1>
Então, para x tendendo a zero,
sen x
permanece entre cos x e 1
x
E, portanto:
lim
x →0
sen x
=1
x
(c.q.d)
19
A seguir, construímos um quadro para confirmar o que acabamos de demonstrar:
x (em radianos)
sen x
f ( x) =
x
0,4546
± 2,0
0,8414
± 1,0
0,9588
± 0,5
0,9933
± 0,2
0,9983
± 0,1
0,9999
± 0,001
...
...
f(x) → 1
x→ 0
sen x
Assim, quando x→ 0 (em radianos), temos que: f(x) → 1, ou seja, lim
= 1.
x →0
x
Exemplos:
x
1) Calcule lim
.
x→0 sen x
x
1
1
1
Solução: lim
= lim
=
= =1
x →0 sen x
x →0 sen x
sen x 1
lim
x
→
0
x
x
tg x
.
2) Calcule lim
x→0
x
Solução:
sen x
 sen x 1 
 sen x
tg x
1 
sen x
1
1
cos x
 = lim
lim
= lim
= lim 
⋅  = lim 
⋅
⋅ lim
= 1⋅ = 1
x →0
x
→
0
x
→
0
x
→
0
x
→
0
x
→
0
x
x
cos x 
x
cos x
1
 cos x x 
 x
sen 3 x
sen u
= lim
= 1.
u
→
0
3x
u
Nota: u = 3 x, x → 0 ⇒ u → 0
3) lim
x →0
4)
sen kx
sen u
= lim
= 1, ∀ k ∈ ℜ* .
x →0
u
→
0
kx
u
Nota: u = kx, x → 0 ⇒ u → 0
lim
sen 2 x
sen x sen x
= lim
⋅
= 1.
2
x →0
x →0
x
x
x
5) lim
6) Calcule lim
x →0
1 − cos x
.
x
Solução:
 (1 − cos x) (1 + cos x) 
 (1 − cos 2 x) 
 sen 2 x 
1 − cos x
 = lim 
 = lim 
=
lim
= lim 
⋅
x →0
x →0
x
x
(1 + cos x)  x →0  x ⋅ (1 + cos x)  x →0  x ⋅ (1 + cos x) 

 sen x sen x 
 sen x 
sen 0
0
 sen x 
 = lim 
 = 1⋅
lim 
⋅
⋅ lim 
= 1⋅
= 1⋅ 0 = 0

x →0
x
→
0
x
→
0
1 + cos 0
1+1
 x 
 x 1 + cos x 
 1 + cos x 
sen 3 x
7) Calcule lim
.
x →0
5x
sen 3 x
3
 sen 3 x 3  3
 sen 3 x  3
Solução: lim
= lim 
⋅  = ⋅ lim 
 = ⋅1 =
x →0
x
→
0
x
→
0
5x
5
 3x 5  5
 3x  5
20
9. Limites de Funções Exponenciais
(Texto adaptado de: Devanil Antonio Francisco & Elaine Cristina Ferruzzi)
•
O Número “e”.
No estudo dos logaritmos (ensino médio ou antigo segundo grau) já nos referimos ao número e. Esse
número é a base do sistema de logaritmos naturais ou neperianos. O número e pode ser obtido por
meio de uma sucessão notável (sucessão de Euler), cujo termo geral é:
 1
a n = 1 + 
 n
n
Tomando alguns valores naturais, para exemplificar, temos:
1
 1
n = 1 ⇒ a1 = 1 +  = 2
 1
2
 1
n = 2 ⇒ a 2 = 1 +  = 2,25
 2
3
 1
n = 3 ⇒ a3 = 1 +  = 2,37037037...
 3
5
 1
n = 5 ⇒ a5 = 1 +  = 2,48832
 5
10
1

n = 10 ⇒ a10 = 1 +  = 2,59374246...
 10 
100
1 

n = 100 ⇒ a100 = 1 +

 100 
= 2,704813829...
1.000
1 

n = 1.000 ⇒ a1.000 = 1 +

 1.000 
= 2,716923932...
10.000
n = 10.000 ⇒ a10.000
1 

= 1 +

 10.000 
= 2,718145927...
100.000
n = 100.000 ⇒ a100.000
1


= 1 +

 100.000 
= 2,71818268237... , e assim por diante.
...
n → ∞ ⇒ an → e , ou seja:
Notamos que aumentando o valor de n, infinitamente, an tende ao valor aproximado de 2,718182..., ou
ainda:
x
 1
lim 1 +  = e ≅ 2,7182818284590...
x →+∞
 x
•
Limite Exponencial Fundamental
x
 1
Teorema: lim 1 +  = e ≅ 2,718281828.......
x→+∞
 x
Lembre-se: O número “e” é irracional.
21
Dois limites podem ser obtidos como conseqüência do limite exponencial fundamental.
1
•
Primeira Conseqüência: lim (1 + x ) x = e
x →0
De fato, fazendo u =
1
1
⇒ = x , e observando que quando x → 0 ⇒ u → +∞ , ficamos com:
x
u
lim (1 + x )
1
x
x →0
u
 1
= lim 1 +  = e
u →+∞
 u
que é o próprio limite exponencial fundamental.
•
Segunda Conseqüência: lim
x →0
ex − 1
=1
x
Fazendo e x − 1 = u ⇒ e x = u + 1 ⇒ x = ln(u + 1) , e é evidente que quando x → 0, u → 0. Daí,




 e −1 


u
1

 = lim
 = lim 
 = lim
lim 
x →0
u →0
u →0  1
+
x
ln
(u
1)
 u →0




 ⋅ ln(u + 1) 
 u

x
=
1

lim  ln(1 + u)
u →0





1
u
=
1

ln lim
 u →0


 (1 + u)


1
u
=






1

1
 ln(u + 1) u



=


1 1
= =1
ln e 1
Exemplos:
1
x
1) Calcule lim (1 + kx ) , k ∈ ℜ* .
x →0
Solução: Podemos escrever:
(1 + kx )
1
x
= (1 + kx )
k
kx

kx 
= (1 + kx ) 


1
k
Fazendo kx = u , resulta que se x → 0 ⇒ u → 0 portanto, ficamos com:
lim (1 + kx )
x →0
1
x
k
1


u
= lim (1 + u )  = e k
u →0


ln x
.
x →1 x − 1
Solução: Façamos u = x − 1 ⇒ x = u + 1.
2) Calcule lim
Quando x → 1 ⇒ u → 0, logo:
1
1




 ln x 
 ln (u + 1) 
1

lim 
 = lim 
 = lim ⋅ ln (u + 1)  = lim  ln (u + 1) u  = ln  lim (u + 1) u  = ln e = 1.
x →1 x − 1
u →0
u

 u →0 
 u →0  u
 u →0 



22
10. Assíntotas Horizontais e Verticais
(Texto adaptado de: Elaine Cristina Ferruzzi & Devanil Antonio Francisco)
10.1 Introdução
Em aplicações práticas, encontramos com muita freqüência gráficos que se aproximam de uma reta a
medida que x cresce ( x → + ∞ ) ou decresce (x → −∞). Veja as Figuras a seguir:
Essas retas são chamadas assíntotas.
Traçaremos com facilidade um esboço do gráfico de uma função se conhecermos as assíntotas
horizontais e verticais do gráfico, caso elas existam.
10.2 Assíntota Vertical
Dizemos que a reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de f, se pelo menos uma das afirmações
seguintes for verdadeira:
(i ) lim + f ( x) = ∞
(ii ) lim + f ( x) = −∞
x→a
x →a
(iii ) lim − f ( x) = ∞
x→a
(iv) lim − f ( x) = −∞
x →a
10.3 Assíntota Horizontal
Dizemos que a reta y = b e/ou y=c é uma assíntota horizontal do gráfico de f, se pelo menos uma das
afirmações seguintes for verdadeira:
(i ) lim f ( x) = b
x → +∞
(ii ) lim f ( x) = c
x → −∞
Exemplos:
a) Seja a função f ( x) =
5
. Encontre a equação das assíntotas horizontais e verticais, se elas
x−3
existirem.
Solução: Primeiramente devemos observar o domínio da função.
5
.
x →3 ( x − 3)
Para calcular o limite da função quando x tende a 3 devemos calcular os limites laterais, assim:
Verificamos, facilmente que D( f ) = ℜ − {3}. Sendo assim, vamos calcular: lim
Para calcular lim−
x →3
5
, fazemos x = 3 − h, com h → 0 , assim temos:
( x − 3)
lim−
x →3
5
5
5
1
= lim
= lim
= −5 ⋅ lim = −5 ⋅ ∞ = −∞
h
→
0
h
→
0
h
→
0
( x − 3)
(3 − h − 3)
(−h)
h
23
Por outro lado, para calcular lim+
x →3
lim+
x →3
5
, fazemos x = 3 + h, com h → 0 , assim temos:
( x − 3)
5
5
5
1
= lim
= lim = 5 ⋅ lim = 5 ⋅ ∞ = ∞
h →0 h
( x − 3) h→0 (3 + h − 3) h→0 h
Desta forma, temos:
lim f ( x) = ∞ e lim− f ( x) = −∞
x →3+
x →3
Logo, x = 3 é uma Assíntota Vertical da função dada, pois são válidas as afirmações (i) e (iv).
Agora, vamos determinar a assíntota horizontal, se esta existir.
Para determinar a assíntota horizontal, basta fazer:
5
5
= lim = 0
x →∞
x →∞ x − 3
x →∞ x
e
5
5
lim f ( x) = lim
= lim = 0
x → −∞
x → −∞ x − 3
x → −∞ x
lim f ( x) = lim
Logo, y = 0 é a assíntota horizontal.
Obs: é possível que os limites acima tenham resultados distintos, nesse caso, teremos duas assíntotas
horizontais.
O gráfico da função em estudo está apresentado na figura a seguir:
b) Considere a função f ( x) = 3 −
4
. Encontre a equação das assíntotas horizontais e/ou
( x − 2) 2
verticais, se elas existirem.
Solução:
Primeiramente devemos observar o domínio da função. Verificamos facilmente que D( f ) = ℜ − {2}.
Sendo assim, vamos calcular lim 3 −
x →2
4
.
( x − 2) 2
Para calcular o limite da função quando x tende a 2 (dois) devemos calcular os limites laterais, assim:
24
4
, fazemos x = 2 − h , com h → 0, vamos a:
( x − 2) 2
4
4
4
4
4
lim − 3 −
= lim 3 −
= lim 3 −
= lim 3 − 2 = lim 3 − lim 2 = 3 − ∞ = − ∞
2
2
2
h →0
h→0
h→0
h →0
h →0 h
x →2
h
( x − 2)
( 2 − h − 2)
( − h)
Para calcular lim − 3 −
x →2
Agora para calcular lim + 3 −
x →2
lim + 3 −
x →2
4
, fazemos x = 2 + h , com h → 0 , vamos a:
( x − 2) 2
4
4
4
4
= lim 3 −
= lim 3 − 2 = lim 3 − lim 2 = 3 − ∞ = − ∞
2
2
h →0
h →0
h→0
h →0 h
( x − 2)
( 2 + h − 2)
h
Assim, temos:
lim + f ( x) = −∞ e lim − f ( x) = −∞
x →2
x →2
Logo x = 2 é uma Assíntota Vertical da função dada.
Agora vamos encontrar a assíntota horizontal, se esta existir:
Para encontrar a assíntota horizontal, basta calcular lim 3 −
x →±∞
lim 3 −
x →±∞
4
, ou seja:
( x − 2) 2
4
4
4
= lim 3 − 2
= lim 3 − lim 2 = 3 − 0 = 3
2
x →±∞
x →∞ x
( x − 2)
x − 4 x + 4 x →±∞
Logo, y = 3 é a assíntota horizontal.
O gráfico da função em estudo está apresentado na figura a seguir:
A lista de exercícios referente aos tópicos abordados nesse material encontra-se disponibilizada em
http://www.pb.utfpr.edu.br/daysebatistus
Referência:
O presente material, o qual não se encontra na sua versão final e que passará por uma revisão mais requintada, é
uma adaptação da apostila elaborada pelo prof. Msc. José Donizetti de Lima.
Agosto/2010
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