Nos últimos exames,
44,5%
das vagas
da FGV têm ficado para os alunos do
CPV • o curso que mais aprova na GV.
LÓGICA QUANTITATIVA
01. Duas seqüências: (x1, x2, x3, ..., xn, ...) e (y1, y2, y3, ..., yn, ...) são
 y1 = 1; y 2 = 4

yn
tais que:  x =
.
n y
n +1

A seqüência (x , x , x , ..., x , ...) é uma progressão geométrica de razão 2.
1 2 3
n

Escreva os 6 primeiros termos da seqüência (y1, y2, y3, ..., yn, ...).
Resolução:
Temos que x1 =
y1
y2
1
∴ x1 =
4
1 1

Então a seqüência (x1, x2, x3, ...) =  , , 1, 2, 4, ...  , de onde resulta:
4 2

x2 =
y2
y3
⇒
x3 =
y3
y4
⇒ 1=
1
4
=
∴ y3 = 8
2
y3
8
y4
∴ y4 = 8
y4
x4 =
y5
8
⇒ 2=
y5
∴ y5 = 4
y5
x5 = y
6
⇒ 4=
4
y6
∴ y6 = 1
02. O triângulo ABC da figura ao lado é acutângulo. Trace duas alturas,
B
AD e BE , do triângulo ABC. Demonstre que:
a) Os triângulos ADC e BEC são semelhantes.
b) Os triângulos ABC e DEC são semelhantes.
C
A
Resolução:
e BEC e m (AD̂ C) = m (BÊC) = 90º,
portanto ∆ADC ~ ∆BEC pelo critério
AA.
Resolução:
a) Indicando as quantidades de galos, galinhas e frangos por
x, y e z, respectivamente, montamos duas equações:
• como o total de aves é 100, temos:
x + y + z = 100
• como o total de moedas é 100, temos:
z
5x + 3y + = 100
3
 x + y + z = 100

O sistema é 
.
z
5x + 3y + 3 = 100
Os 6 primeiros termos da sequência (y 1 , y 2 , y 3 , ...) são
(1, 4, 8, 8, 4, 1)
a) O ângulo Ĉ é comum nos triângulos ADC
03. “Um galo custa 5 moedas; uma galinha, 3 moedas e 3 frangos
custam 1 moeda. Com 100 moedas, compram-se 100 dessas
aves. Quantos galos, galinhas e frangos são?”
Esse é o problema chinês do Cento de Aves, que foi enunciado
pela primeira vez no livro Manual Matemático, de Zhang Quijian,
editado no século V. O problema ficou famoso e apareceu, mais
tarde, em diversos textos matemáticos na Índia, no mundo
islâmico e na Europa.
a) Expresse o enunciado do problema chinês mediante um
sistema de equações.
b) Dê a solução geral do sistema.
c) Nessa época, o zero não era considerado um número e, por
isso, não entrava na solução dos problemas. Então, quais
as prováveis respostas que o matemático chinês deve ter
encontrado para o problema do Cento de Aves ?
(E1)
 x + y + z = 100

b) 
z
5x + 3y + 3 = 100 (E 2 )

 x + y + z = 100
Fazendo 3 x E2, temos: 
15x + 9y + z = 300
 x + y + z = 100
Finalmente, fazendo E2 – E1: 
14x + 8y = 200
Como se trata de um SPI, substituímos x = α:
 x + y + z = 100


100 − 7 α
14α + 8y = 200 ⇒ y =
4
Substituindo na equação x + y + z = 100, temos:
z=
B
D
b) Do item (a) verificamos que
(
CD
CE
A
E
C
=
. Como o ângulo Ĉ é comum
CA
CB
aos triângulos CDE e CBA, pelo critério de semelhança LAL
temos que ∆ABC ~ ∆DEC.
3á + 300
(Obs.: admite outros possíveis formatos)
4
 100 − 7á 3á + 300  
,
∴ S =  á,

4
4

 
c) Devemos atribuir valores ao fator α de modo a obter
soluções inteiras e positivas:
• fazendo α = 4, teremos: x = 4, y = 18, z = 78
• fazendo α = 8, teremos: x = 8, y = 11, z = 81
• fazendo α = 12, teremos: x = 12, y = 4, z = 84
Note que, caso α não seja divisível por 4, as demais
incógnitas não serão inteiras.
04. Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P (3, 1) e que determina
→
→
com os eixos Ox e Oy um triângulo localizado no primeiro quadrante e de
25
cm2.
4
área igual a
b
a
0
3
1
3b + a – ab = 0 (I)

1 = 0 ⇒  a . b 25
25
 2 = 4 ⇒ a = 2b (II)
1
1
25 25
–
= 0 ⇒ 6b2 – 25b + 25 = 0 ⇒ ∆ = 625 – 600 = 25
2b
2
25 ± 5
12
para b =
5
→ a=5
2
para b =
5
15
→ a=
3
2
Resolução:
a) Para x = 1, temos:
2p (1) – p (2 – 1) = 3 (1)2 – 3 (1) – 2 ⇒ p (1) = 3 – 3 – 2 ⇒ p (1) = – 2
(0, b)


b


(3, 1)
b) Para x = –1, temos: 2 p (–1) – p (3) = 3 + 3 – 2 = 4 (I)
Para x = 3, temos:
2 p (3) – p (–1) = 27 – 9 – 2 = 16 (II)
Fazendo (I) + (II), resulta que
o valor da soma p (–1) + p (3) = 4 + 16 = 20
(a, 0)
a
09. Uma TV de plasma, cujo valor à vista é R$ 4.000,00, pode ser comprada a
prazo, num plano de pagamento de duas parcelas e a primeira, no valor de
R$ 2.124,00, vence somente 90 dias após a compra. Se o financiamento foi
realizado à taxa de juro composto de 10% ao mês, determine o valor da
segunda parcela, com vencimento em 120 dias.
As equações das retas são: 2x + 9y – 15 = 0 e x + 2y – 5 = 0.
05. Na figura, o triângulo ABF é eqüilátero.
Sendo dado que BC = CD = DE = EF, escreva a
área do quadrilátero CPQE, em função da área
S, do triângulo ABF.
A
P
M
Resolução:
Aplicamos a taxa de 10% a.m. ao capital de R$ 4000,00 por 3 meses
(ou 90 dias), obtendo: R$ 4000 . (1,1)3 = R$ 5324
Q
Resolução:
B
Seja a o lado do ∆ABF
Supondo que PC BF e QE
AD =
C
D
AD
MQ
AD
1
=
∴
=
QE
DF
QE
2
a 3
a 3
(altura ∆ eqüilátero) ∴ QE =
4
2
A
a a 3
a 3
⋅
=
Logo, SCPQE =
2
4
2.4
Resolução:
a) O problema pede números maiores que 800 → entre 800 e 999.
Portanto, o dígito da esquerda tem que ser 8 ou 9.
a 3
2
P
a2 3
4
M
Q
a 3
4
1
concluímos que SCPQE = SABF
2
B a C a D a E a
4
4
Pagamos a 1a parcela e aplicamos a taxa de 10% a.m. por mais 1 mês
(30 dias), obtendo: (R$ 5324 – R$ 2124) . 1,1 = R$ 3520
O valor da 2a parcela é de R$ 3520,00.
10. a) No sistema de numeração de base decimal, quantos números pares
existem com 3 algarismos distintos e maiores que 800?
b) Quantos são os números inteiros e positivos menores que 120 e cujo
maior divisor comum, entre qualquer um desses números e 120, é 1?
2
Como SABF =
F
E
BF,
então ∆ADF ~ ∆QEF, portanto
t
 25 
 24  ⇒
 
08. Considere uma função p(x), tal que 2 p(x) – p(2 – x) = 3x2 – 3x – 2.
a) Calcule p(1).
b) Qual é o valor da soma p(–1) + p(3)?






b=
t
 25 
 24  ⇒ 2 =
 
A população dobrará após 15 anos.
Substituindo II em I, resulta:
3b +
t
1 

P (t) = P0 . 1 +
 ⇒ 2 P0 = P0 .
24


t
 100 
 25 
⇒ log 2 = t (log 100 – log 96) ⇒
⇒ log 2 = log   ⇒ log 2 = t . log 
24
 96 
 
⇒ log 2 = t (2 log 10 – 5 log 2 – log 3) ⇒ 0,3 = t . 0,02 ⇒ t = 15
Resolução:
0
Resolução:
4
F
4
06. Bento emprestou R$ 10.000,00 a Carlos, pelo prazo de 10 meses, à taxa de
6,9% ao mês, no regime de juro simples. No entanto, 4 meses antes do
vencimento, necessitando de dinheiro, Bento propôs que Carlos antecipasse
o pagamento da dívida, utilizando para tal a taxa de 7,5% ao mês, ainda no
regime de juro simples. Caso Carlos aceite a proposta de Bento, quanto
deverá desembolsar para saldar a dívida?
Resolução:
+ 6,9 %
(1 + 0,069 . 10)3
→ 10000
10 000 
14444444442444444444
10 meses
16900
Antecipando o pagamento em 4 meses, para calcular a parcela a reduzir,
deve ser utilizada a taxa de 7,5%:
16 900 . 0,075 . 4 = 5070
Para saldar a dívida, Carlos deverá desembolsar: 16 900 – 5070 = R$ 11.830,00
07. A população de uma cidade cresce aproximadamente 4,166...% ao ano, ou
seja, 1 ao ano. Após quantos anos o número de habitantes dessa cidade
24
será o dobro da sua população atual? São dados: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48.
CPV • Rua da Consolação, 1705 – Tel: 3256 8981
0 par
2
4
8 — —
6 → — — —
—
1 . 8 . 4 = 32
ou
0 par
2
4
6
9
8 → — — —
— — —
1 . 8 . 5 = 40




 32 + 40 = 72




Existem 72 números pares com 3 algarismos distintos e maiores
que 800, no sistema de numeração de base decimal.
b) Inicialmente, contabilizamos os números, positivos e menores que 120,
que são múltiplos de 2, de 3 ou de 5. Esses números são os divisores
primos de 120, lembrando que 120 = 23 . 31 . 51.
Indicando por Ma o total de múltiplos positivos de a, vem:
n (A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n (A ∩ C)
– n(B ∩ C) + n (A ∩ B ∩ C)
=
60
8 + {
4 = 88
{ – 20
{ – {
{ + 40
{ + 24
{ – 12
M2
M3
M5
M6
M10
M15
M 30
Finalmente, temos: 120 – 88 = 32 números nas condições do enunciado.
• Rua das Fiandeiras, 964 – Tel: 3045 5515 • www.cpv.com.br