2.as Olimpíadas Concelhias da Matemática
Soluções da Finalíssima
Categoria: A (7º, 8º e 9º ano)
10 de Maio de 2006
Regras gerais para a correcção de todos os problemas
•
A resolução dum problema que contenha apenas a resposta correcta, será cotada
com 1 Ponto
•
A resolução dum problema que, na sequência dum raciocínio errado, apresenta a
resposta correcta, será cotada com 0 Pontos
•
As resoluções elaboradas na base de raciocínios correctos, mas que contêm
erros, serão avaliadas de acordo com os critérios adoptados pelos professores
nomeados para a correcção do respectivo problema. Recomenda-se que cada
erro menor seja penalizado em 1 Ponto
Propostas de resolução do problema 1
Cotação: 10 Pontos
A Andreia, o Carlos, o Miguel e o Rui são quatro amigos com os seguintes sobrenomes:
Freitas, Curião, Sanches e Ponte - não necessariamente por esta ordem.
Cada um deles tem um e um só cão, mas de raças diferentes. As raças nacionais
preferidas são o Cão do Barrocal e o Serra da Estrela, enquanto que as de origem
estrangeira mais apreciadas são o Boxer e o São Bernardo.
Tendo em conta as pistas a seguir indicadas, descobre o sobrenome e a raça de cão
preferida de cada amigo.
•
A Andreia e o Sr. Freitas gostam de cães de raças nacionais;
•
Quando o Miguel vai passear o seu cão do Barrocal, costuma encontrar o Sr.
Sanches com o seu Boxer e por vezes o Rui Curião.
Primeira Proposta:
Das afirmações: “Andreia e o Sr. Freitas gostam de cães de raças nacionais” e “Miguel
vai passear o seu cão do Barrocal” concluímos que Miguel Freitas tem um Cão do
Barrocal.
Nome
Sobrenome
Raça Canina
Freitas
Cão do Barrocal
Andreia
Carlos
Miguel
Rui
Como “A Andreia e o Sr. Freitas gostam de cães de raças nacionais” então Andreia tem
um Serra da Estrela, mas ainda não sabemos o seu sobrenome.
Nome
Sobrenome
Andreia
Raça Canina
Serra da Estrela
Carlos
Miguel
Rui
Freitas
Cão do Barrocal
Da frase “costuma encontrar o Sr. Sanches com o seu Boxer e por vezes o Rui Curião”
concluímos o sobrenome do Sr. Sanches não pode ser Curião e que o Rui Curião não
pode ter um boxer. Logo, por exclusão de partes, conclui-se que Rui Curião tem um São
Bernardo e que Carlos Sanches tem um Boxer.
Nome
Sobrenome
Andreia
Raça Canina
Serra da Estrela
Carlos
Sanches
Boxer
Miguel
Freitas
Cão do Barrocal
Rui
Curião
São Bernardo
Agora é evidente que o sobrenome da Andreia é Ponte.
Resposta:
Nome
Sobrenome
Raça Canina
Andreia
Ponte
Serra da Estrela
Carlos
Sanches
Boxer
Miguel
Freitas
Cão do Barrocal
Rui
Curião
São Bernardo
Critérios de correcção:
Interpretar correctamente o problema ..................................................................2 Pontos
Concluir a partir do enunciado quais as correspondências correctas entre as três
categorias..............................................................................................................3 Pontos
Excluir todas as possibilidades que não satisfazem as condições do problema....3 Pontos
Utilizando as conclusões anteriores establecer a correspondência definitiva entre as três
categorias................................................................................................................1 Ponto
Resposta..................................................................................................................1 Ponto
Propostas de resolução do problema 2
Cotação: 10 Pontos
A seguinte figura é formada por um rectângulo e um triângulo rectângulo em C.
Sabendo que A[ ACDE ] = 2006 cm 2 , determina a área do triângulo ABE.
Primeira Proposta:
[ABC ] é um triângulo rectângulo, logo
[ACDE ] é um rectângulo, logo
ACˆ B = 90º .
ACˆ D = 90º e as rectas AE e DC são paralelas.
Então BCˆ D = ACˆ B + ACˆ D = 180º .
Logo os pontos B, C e D são colineares (pertencem a uma mesma recta).
Para calcularmos a área do triângulo ABE, podemos escolher o lado AE para base, neste
caso, a altura será a distância entre as rectas AE e DC, o que corresponde a AC , por
exemplo.
Logo A[ ABE ] =
AE × AC
e tendo em conta que A[ ACDE ] = AE × AC = 2006 cm 2 pode-se
2
concluir que A[ ABE ] = 1003 cm 2 .
Critérios de correcção:
Concluir que A[ ACDE ] = AE × AC = 2006 cm 2 .......................................................2 Pontos
Concluir que os pontos B, C e D são colineares...................................................2 Pontos
Utilizar correctamente a fórmula para o cálculo da área do triângulo ABE..........2 Pontos
Expressar a área do triângulo ABE
como uma fracção da área do rectângulo
ACDE....................................................................................................................3 Pontos
Resposta..................................................................................................................1 Ponto
Propostas de resolução do problema 2
Cotação: 10 Pontos
A seguinte figura é formada por um rectângulo e um triângulo rectângulo em C.
Sabendo que A[ ACDE ] = 2006 cm 2 , determina a área do triângulo ABE.
Segunda Proposta:
Comecemos por notar que a área do triângulo AED (ACE) corresponde à metade da
área do rectângulo ACDE, logo A[ AED ] =
2006
= 1003 cm 2 .
2
Fazendo uma rotação sobre o ponto B, de maneira a que a recta EA coincida com a
horizontal obtemos a seguinte figura:
É possível observar que os triângulos AED e ABE (ACE e ABE) têm a mesma base e a
mesma altura, pois ACˆ B = ACˆ E = 90º .
Então A[ ABE ] = A[ AED ] = 1003 cm 2 .
Critérios de correcção:
Concluir que A[ AED ] =
2006
= 1003 cm 2 ( A[ ACE ] = 1003 cm 2 )...............................2 Pontos
2
Concluir que os pontos B, C e D são colineares ( ACˆ B = ACˆ E = 90º ).................2 Pontos
Concluir que os triângulos AED e ABE (ACE e ABE) têm a mesma base e a mesma
altura...................................................................................................................2.5 Pontos
Expressar a área do triângulo ABE
como uma fracção da área do rectângulo
ACDE.................................................................................................................2.5 Pontos
Resposta..................................................................................................................1 Ponto
Propostas de resolução do problema 3
Cotação: 10 Pontos
O número 28 tem seis divisores, são eles 1, 2, 4, 7, 14 e 28.
Sabendo que n = 21002 × 3 , indica quantos divisores tem o número n.
Primeira Proposta:
Os divisores podem ser números de duas formas:
os que não são múltiplos de 3:
20 

21 

2 2 1003
... 

21002 

e os que são múltiplos de 3:
20 × 3 

21 × 3 

2 2 × 3 1003

...

21002 × 3

Há no total 2006 divisores.
Critérios de correcção:
Concluir que há 1003 divisores que não são múltiplos de 3..............................4.5 Pontos
Concluir que há 1003 divisores que são múltiplos de 3.....................................4.5 Pontos
Resposta..................................................................................................................1 Ponto
Propostas de resolução do problema 3
Cotação: 10 Pontos
O número 28 tem seis divisores, são eles 1, 2, 4, 7, 14 e 28.
Sabendo que n = 21002 × 3 , indica quantos divisores tem o número n.
Segunda Proposta:
2 e 3 são os únicos números primos que dividem n.
Seja d um divisor de n, então d = 2 a × 3b , a ∈ {0, 1, 2,  , 1002}, b ∈ {0, 1}.
Se b = 0 , a pode tomar 1003 valores distintos.
Se b = 1 , a pode tomar 1003 valores distintos.
Logo, no total, d pode tomar 2 × 1003 = 2006 , valores distintos, pelo que o número n
tem 2006 divisores.
Critérios de correcção:
Concluir que há 1003 divisores que não são múltiplos de 3..............................4.5 Pontos
Concluir que há 1003 divisores que são múltiplos de 3.....................................4.5 Pontos
Resposta..................................................................................................................1 Ponto
Propostas de resolução do problema 4
Cotação: 10 Pontos
Na figura que se segue, [AB] é um diâmetro da circunferência de centro C. Sabemos
que os pontos A, D e E pertencem à mesma recta e que BC = DE .
Determina a amplitude do ângulo x.
A
C
B
36º
D
xº
E
Primeira Proposta:
O triângulo ACD é isósceles, pois AC e DC são raios da mesma circunferência.
Logo, os ângulos CAˆ D e ADˆ C têm a mesma amplitude.
Dado que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º, então:
CÂD + ADˆ C + 36º = 180º e portanto
ADˆ C = 72º
Um ângulo raso tem amplitude de 180º, logo:
CDˆ E = 180º − ADˆ C = 108º
O triângulo CDE é isósceles, pois BC = DE e BC = DC , implica que DC = DE .
Assim, os ângulos DEˆ C e DCˆ E têm a mesma amplitude, que vale x.
Então, no triângulo CDE temos:
108º + x + x = 180º
e portanto x = 36º .
Critérios de correcção:
Concluir que ADˆ C = 72º ...................................................................................2.5 Pontos
Concluir que CDˆ E = 108º .....................................................................................2 Pontos
Concluir que triângulo CDE é isósceles...........................................................2.5 Pontos
Cálculo da amplitude do ângulo x .......................................................................2 Pontos
Resposta..................................................................................................................1 Ponto