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MAT 0317 - Topologia
16 de fevereiro de 2009
Exercício 1. Escreva explicitamente os conjuntos:
(a) {x ∈ A : x 6= 3}, {B ⊆ A : 1 ∈ B} e {B ⊆ A : 2 ∈
/ B}, sendo A = {1, 2, 3};
(b) {x ∈ A : x 6= 3 e x 6= 1} e {x ⊆ A : 3 ∈
/ x e 1 ∈ x}, sendo A = {1, 2, 3, 4}.
Exercício 2. Escreva, usando a notação de conjuntos,
(a) o conjunto dos subconjuntos de N que têm o 5 como elemento;
(b) o conjunto dos subconjuntos de N que têm o 5 como elemento e não têm o 3 como elemento;
(c) o conjunto dos números naturais que são múltiplos de 3;
(d) o conjunto dos números naturais que são múltiplos de 3 e não são múltiplos de 5.
Exercício 3. Sejam A, B e C conjuntos. Mostre que valem as seguintes propriedades:
(a) comutativa: A ∩ B = B ∩ A e A ∪ B = B ∪ A;
(b) associativa: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) e (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C);
(c) distributiva: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) e A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);
(d) leis de de Morgan: C \ (A ∩ B) = (C \ A) ∪ (C \ B) e C \ (A ∪ B) = (C \ A) ∩ (C \ B).
Exercício 4. Sejam A e B conjuntos. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes:
(i) A ⊆ B;
(ii) A ∩ B = A;
(iii) A ∪ B = B;
(iv) A \ B = ∅.
Exercício 5. Sejam A, B e X conjuntos tais que
(i) A ⊆ X;
(ii) B ⊆ X;
(iii) se Y é um conjunto tal que A ⊆ Y e B ⊆ Y , então X ⊆ Y .
Prove que X = A ∪ B.
Exercício 7. Sejam A, B e X conjuntos tais que A ⊆ X e B ⊆ X. Demonstre as seguintes
afirmações:
(a) A ∩ B = ∅ ⇔ A ⊆ X \ B;
(c) A ⊆ B ⇔ A ∩ (X \ B) = ∅.
(b) A ∪ B = X ⇔ X \ A ⊆ B;
Exercício 8. Sejam A e B conjuntos. Prove ou dê um contra-exemplo:
S
(a) ℘(A ∪ B) = ℘(A) ∪ ℘(B);
(c) A ⊆ ℘( A).
(b) ℘(A ∩ B) = ℘(A) ∩ ℘(B);
Exercício 9. Sejam A = {x ∈ ℘(N) : 2 ∈ x} ∪ {x ∈ ℘(N) : 3 ∈ x} e B = {x ∈ ℘(N) : pelo menos
um divisor de 6 pertence a x}.
(a) Determine A ∪ B e A ∩ B.
(b) Seja {xi : i ∈ I} uma família de elementos de A com I 6= ∅. É verdade que
T
de A? E i∈I xi ?
S
i∈I
xi é um elemento
Exercício 10. Sejam X um conjunto e C uma família não-vazia de subconjuntos de X. Prove as
leis de de Morgan:
S
T
(a) X \ C = {X \ A : A ∈ C};
T
S
(b) X \ C = {X \ A : A ∈ C}.
Exercício 11. Determine os conjuntos
T
Ce
S
C em cada um dos itens abaixo:
(a) C = { [−n, n] : n ∈ N \ {0}};
(b) C = { [− n1 , n1 ] : n ∈ N \ {0}};
(c) C = { ] − n1 , n1 [ : n ∈ N \ {0}};
(d) C = { [−1 + n1 , 1 − n1 ] : n ∈ N \ {0}};
(e) C = { ] − 1 + n1 , 1 − n1 [ : n ∈ N \ {0}};
(f ) C = { ]a, b[ : a, b ∈ Q, a < b};
(g) C = { [r, +∞[ : r ∈ R};
(h) C = {{x ∈ ℘(N) : n ∈ x} : n ∈ N};
(i) C = {{x ∈ ℘(N) : n ∈
/ x} : n ∈ N}.
Exercício 12. Sejam X um conjunto e a, b ∈ X com a 6= b. Defina C = {A ⊆ X : a ∈ A} ∪ {B ⊆
X : b ∈ B}. Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
T
(a) se D é uma coleção não-vazia de elementos de C, então D ∈ C;
S
(b) se D é uma coleção não-vazia de elementos de C, então D ∈ C.